完整word版,北京大学数学科学学院期末试题-高等代数-2012

北京大学数学学院期末试题

2011 - 2012学年第一学期

考试科目高等代数I考试时间2012年1月3日

1

1

（10分）已知n阶方阵A =

求矩阵X ,使得A X = B .

对矩阵作初等行变换

1

a = [ 1 1 0 ] T 构成

=2特征子空间的一组基

1 1 0

二.

（15

分）设A : X A X 是R 3上的线性变换，其中A =

1 1 2

0 0 2

（1） 求线性变换A 像空间的维数和一组基 （2） 求矩阵A 的特征值与特征向量； （3） 判断矩阵A 能否对角化并说明理由.

1 1 0

1 1

2 0

通解为 X 1 = X 2 , X 3 = 0 , X 2

X 1 x 2 x 2

x 2

X 3

解:（1）在标准基下 ,A 像空间就是矩阵A 的列空间，它的一组基

A|

维数是

（入2）

2入）

入（入2）2 A 的特征值为

=2 （代数二重）,

对二2解齐次方程组（A - 2 I ） X = 0 :

1 1 0

0 0 1

0 0 0

为自由变量.写成向量形式

1 x

2 1

a= [ 1 1 0 ] T构成=2特征子空间的一组基

对二0解齐次方程组A X = 0 :

1 1 0 110 1 1

2 0 0 1 0 0 2 0 0 0

X 3

⑶由于特征值

二2特征子空间的维数1小于其代数重数2,

A 不能否对角化. 三. （35分）填空题（多选）.

1 .已知3阶矩阵A 的特征值为1, 1/2,0 ,相应的特征向量为

[

1 0 ]T ,[0 1 0 ]T

, [ 1 2 0 则 2 A 3 4 -3 A 2 : 二

1 0

1

1 0

0 1 0 1

1 1 0 1 0 1

2 0 1/2 0 0 1 2 0 1/2 1

1 0

0 0 0

0 1

0 0

1

0 1

2.设A =

1

1

2t

.当 t

取不等于 1的值 时, 存在矩阵B ,

1 t

2 4

3 当 -4/5 < t < 0时，三元二次型

X 2 + y 2 + 5 z 2 + 2 t X y -2 X z + 4 y z 正定. 4 设 是n 维欧氏空间里的单位列向量 ，则| 1-5

T

| = —

注：可计算行列式或利用| I m — B | = | I n -B A | . 5.

在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是

{ABD},{C},

通解为 X 1 = - X 2 , X 3 = 0

X 2为自由变量•写成向量形式

X 1 X 2 X 2 X 2 X 2 1

a = [ -1 1 0 ] T 构成

=0特征子空间的一组基

使得AB

= =I

.

当t取 1 时,存在非E零矩

阵

C , 使得C A = 0 .

相似分类是{A,D},{B},{C},合同分类是{A},{B},{C},{D}

1 0 1 0 1 0 1 0 0

2 1 2

A 0 1 0 ,

B 1 3 1 ,

C 0 1 0 ,

D 0 1 0

1 0 1 0 1 0 3 0 1 0 0 0

6. 以下说法正确的有(a)(b)(c)(d)多选).

a) 如果两个实对称矩阵相似，它们也一定合同；

b) 实方阵都能写成P Q的形式，其中P是实对称矩阵，Q是正交矩阵

c) 每个矩阵都能写成P J的形式,P是可逆矩阵，J是行简化阶梯矩阵

d) 实方阵都能写成Q R的形式,Q是正交矩阵，R是上三角矩阵

四.(12分)判断对错，正确的请给出证明，错误的举出反例.

1) 在包含n (n>1)个向量的向量组中，若任意n - 1个向量都线性

无关，则整个向量组也线性无关.

1 2

解：此命题错误.例如，考察向量组o'。，其中由任意一个

向量构成的部分组都线性无关，但整个向量组线性相关.

2) 设A是m n矩阵.若存在矩阵B与C,使得BA = I n , AC = I m 则必有m 二n ,且B = C .

解：此命题正确.由矩阵乘法的结合律，有

C = ( BA ) C = B ( AC ) = B ,于是m 二 n.

五.(20 分)设 f = 2 X1 X2 + 2 X1 X3 + 2 X2X3 是三元二次型.

(1) 将f写成X T A X的形式，并求A的特征值与特征向量；

(2) 求正交矩阵P及对角矩阵D,使得A = P D P T;

(3) 求二次齐次函数f ( X1 , X2 , X3 )在单位球面X12+ X22+ X32= 1

上的最大、最小值,并确定在何处取到

0 1 1 x1

解： f X 'AX X

1

X2 X3 1 0 1 X2

1 1 0 X3

入 1 1 入 1 1 入 2 1 I 入 1 A| 1 入 1 1 入 1 1入1 1

1 1

入0 1入入1 0 0 入

1

（入1）（於入2）（入1）2（入

2）

A的特征值为二-1 （代数二重）,2 .

对二-1解齐次方程组（A + I ） X = 0 :

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

通解为X1 = - X2 -X3 , X2 、X3为自由变量.写成向量形式

X1 X2 X3 1 1

X2 X2 X2 1 X3 0

X3 X3 0 1

a =[- 1 1 0 ] T , a=[-1 0 1 ]T构成二- 1特征子空间的一组基. 对二2解齐次方程组（A - 2 I ） X = 0 :

2 1 1 1 2 1 1 0 1

1 2 1 2 1 1 0 1 1

1 1

2 0 0 0 0 0 0

通解为X1 = X3 , X2 = X3 , X3为自由变量.向量形式：