初三相似三角形的基本模型
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D C
B A
解析:
例2:如图,在ABC ∆中,AD BC ⊥于D ,CE AB ⊥于E ,ABC ∆的面积是BDE ∆面积
的4倍,6AC =,求DE 的长.
解析:
题型2:相
似中的角平分线问题
例1:如图,AD 是ABC ∆的角平分线,求证:
AB BD
AC CD
=
解析:
例2:已知ABC ∆中,BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ,求证:
AB BD
AC CD =
解析:
B A E
D
C
D
C
B
A
例3:已知:AD 、AE 分别为ABC ∆的内、外角平分线,M 为DE 的中点,求证:22AB BM
AC CM
=
M
E
D C
B
A
解析:
题型3:2
a bc =型结论的证明
例1:如图,直角ABC ∆中,AB AC ⊥,AD BC ⊥,证明:2AB BD BC =⋅,2AC CD BC =⋅,
2AD BD CD =⋅.
解析:
B A
D C
例2:如图,在ABC
∆中,AD平分BAC
∠,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F,求证:2
FD FB FC
=⋅.
解析:
题型4、三角形内接矩形问题
例1、已知,如图,ABC
∆中,3490
AC BC C
==∠=︒
,,,四边形DEGF为正方形,其中D E
,在边AC BC
,上,F G
,在AB上,求正方形的边长.
G
F
E
D
C
B
A
解析:
E
F
D C
B
A
三、课堂达标检测
检测题1:如图,在正方形ABCD 中,点E 在AB 边上,且AE ∶EB =2∶1,AF ⊥DE 于G 交BC
于F ,则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积之比为( )
A 、1∶2
B 、1∶4
C 、4∶9
D 、2∶3
第1题图
F
E G
D
C
B
A
第2题图
O
E
D
C
B
A
检测题2、如图,已知DE ∥BC ,CD 和BE 相交于点O ,DOE S ∆∶COB S ∆=4∶9,则AE ∶EC 为( )
A 、2∶1
B 、2∶3
C 、4∶9
D 、5∶4
检测题3、在△ABC 中,D 为AC 边上一点,∠DBC =∠A ,BC =6,AC =3,则CD 的长为( )
A 、1
B 、
23 C 、2 D 、2
5
答案:1、C
2、A
3、C
一、专题精讲
构造相似辅助线——双垂直模型
例1:在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB为边在C点的异侧作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.
答案:解:情形一:
情形二:
情形三:
例2:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线
MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点.求证:MC:NC=AP:PB.
答案:证明:方法一:
连接PC,过点P作PD⊥AC于D,则PD//BC
根据折叠可知MN⊥CP
∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°
∴∠2=∠CNM
∵∠CDP=∠NCM=90°
∴△PDC∽MCN
∴MC:CN=PD:DC
∵PD=DA
∴MC:CN=DA:DC
∵PD//BC
∴DA:DC=P A:PB
∴MC:CN=P A:PB
方法二:如图,
过M作MD⊥AB于D,过N作NE⊥AB于E
由双垂直模型,可以推知△PMD∽NPE,则,
根据等比性质可知,而MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN,∴MC:CN=P A:PB
例3:已知,如图,直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为1﹕2。
求C、D两点的坐标。
构造相似辅助线——A、X字型
例4:如图:△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F。
求证:
答案:证明:(方法一)如图
延长AE到M使得EM=AE,连接CM
∵BE=CE,∠AEB=∠MEC
∴△BEA≌△CEM
∴CM=AB,∠1=∠B
∴AB∥CM
∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF
∴△MCF∽△ADF
∴
∵CM=AB,AD=AC
∴
(方法二)
过D作DG∥BC交AE于G
则△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF
∴,
∵AD=AC,BE=CE
∴
例5:四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC平分∠DAB。求证:
答案:证明:
过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F,则∠2=∠3
∵AC平分∠DAB
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴AD=DF
∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3
∴△BEA∽△DEF
∴
∵AD=DF