复合函数单调区间的求法

复合函数单调区间的求法

浙江省诸暨市学勉中学（311811） 郭天平

一、复合函数单调性的判断：

设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，

则()[]x g f y =在],[b a 上也是单调函数。

①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则()[]x g f y =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则()[]x g f y =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时,则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时,则复合函数为减函数。简而言之“同为增，异为减”。

二、复合函数单调区间的求解步骤:

①求复合函数的定义域；

②把复合函数分解成若干个常见的基本函数；

③分别判定常见的基本函数在定义域范围内的单调性；

④由复合函数的增减性判断方法，写出复合函数的单调区间.

例1．求函数21x y =

的单调区间 解：由02≠x ，得0x

令2x t =（0>t ），则t y 1=

t y 1=在),0(+∞上为减函数 而2x t =在)0,(-∞上为减函数，在),0(+∞上是增函数；由“同增异减”可得，函数21

x y =

在)0,(-∞上为增函数，在),0(+∞上为减函数。

例2 求函数342+-=

x x y 的单调区间. 解：由x x x x 243013-+≥⇒≤≥或 ∴函数的定义域是(][)-∞+∞，，13 .

令u x x =-+243 ,则21u y = y u =12

在[)+∞,0是增函数，而u 在(]1,∞-上是减函数，在[)+∞,3上是增函数；由“同增异减”得，函数的增区间是[)3，+∞， 函数的减区间是(]1,∞-.

例3 已知228)(x x x f -+=，试确定)2(2

x f y -=的单调区间.

解：令22x t -=，则()()912822+--=-+==t t t t f y ，得()t f 在(]1,∞-上为增函数，在[)+∞,1上为减函数；

由122≤-=x t ，解得1-≤x 或1≥x ，由122

≥-=x t ，解得11≤≤-x ；而函数t 在(]1,-∞-和[]0,1-上是增函数，在[]1,0和[)+∞,1上是减函数；

由复合函数求单调区间的方法得，)(x g 的单调递增区间为(]1,-∞-和[]1,0，)(x g 的单调递减区间为[)+∞,1和[]0,1-.

例4 若函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，试判断()22x

x f y -=的单调区间。 解：原函数的定义域为R

令22x x u -=，则()u f y =， 函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，而22x x u -=在(]1,∞-上是增函数，在[)+∞,1上为减函数，y ∴在(]1,∞-上为减函数，在[)+∞,1上为增函数，即原函数的单调减区间为(]1,∞-，单调增区间为[)+∞,1.

评注：复合函数求单调区间是一个难点，我们应明确单调区间必须是定义域的子集，当求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域，再根据基本函数的单调性与“同为增，异为减”的原则判断复合函数的单调区间，在函数学习中应树立“定义域优先”的原则。另外，对初学者来说，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步。