八年级上数学培优试题及答案(供参考)

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

专题一三角形个数的确定

1．如图，图中三角形的个数为（）

A．2 B．18 C．19 D．20

2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个．

3．阅读材料，并填表：

在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？

完成下表：

△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)

构成不重叠的小三角形的个数 3 5 …

专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围

4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（）

A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－2

5. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个．

6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式

2

2

x+

＞

12

3

x

-

-的正整数解，试求第

三边x的长．

状元笔记

【知识要点】

1．三角形的三边关系

三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．

2．三角形三条重要线段

(1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．

(2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线．

(3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

3．三角形的稳定性

三角形具有稳定性．

【温馨提示】

1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种．

2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线．

【方法技巧】

1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边．

2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等．

参考答案:

1．D 解析：线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D．

2．21 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n个图形中，三角形的个数是4n－3．所以当n=6时，原式=21．

3．解：填表如下：

△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)

构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 (2015)

解析：当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015．

4．B 解析：根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B．

5．10 解析：∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，∴a=1，2，3，4．a=1时，c=4；a=2时，c=4或5；a=3时，c=4，5，6；a=4时，c=4，5，6，7．∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个．

6．解：原不等式可化为3（x+2）＞－2（1－2x），解得x＜8．

∵x是它的正整数解，

∴x可取1，2，3，5，6，7．

再根据三角形三边关系，得6＜x＜10，

∴x=7．

11.2与三角形有关的角

专题一利用三角形的内角和求角度

1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC 且交BD于P，求∠BPA的度数．

3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；

（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）

（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）

专题二利用三角形外角的性质解决问题

4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°

5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；

（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）

6．如图：

（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4

个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．

状元笔记

【知识要点】

1．三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于180°．

2．直角三角形的性质及判定

性质：直角三角形的两个锐角互余．

判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．

3．三角形的外角及性质

外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

【温馨提示】

1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．

2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．

【方法技巧】

1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．

2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．

参考答案:

1．C 解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=1

2

∠ACE，

∠2=1

2

∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=

1

2

∠A=25°．故选C．

2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，

所以1

2

(∠BAC＋∠ABC)=45°.