数学建模案例之多变量最优化

数学建模案例之多变量最

优化

数学建模案例之

多变量无约束最优化

问题1[1]：一家彩电制造商计划推出两种产品：一种19英寸立体声彩色电视机，制造商建议零售价（MSRP）为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价399美元。公司付出的成本为19英寸彩电195美元/台，21英寸彩电225美元/台，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售量会影响21英寸彩电的销售量，反之也是如此。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？

清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？

1．问题分析、假设与符号说明

这里涉及较多的变量：

s：19英寸彩电的售出数量（台）；

t：21英寸彩电的售出数量（台）；

p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）；

q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）；

C：生产彩电的成本（美元）；

R：彩电销售的收入（美元）；

P：彩电销售的利润（美元）

两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元，成本分别为：195美元和225美元；每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；两种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。

变量之间的相互关系确定：

假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。

假设2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。

因此，19英寸彩电的销售价格为：

p=339-a×s-0.03×t，此处a=0.01

21英寸彩电的销售价格为：

q=399-0.01×t-0.04×s

因此，总的销售收入为：

R=p×s+q×t

生产成本为：

C=400000+195×s+225×t

净利润为：

P=R-C

因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得P取得最大值。

2．建立数学模型

根据前面的分析，原问题的数学模型如下：

max (,)

..

(,)(3390.003)(3990.0040.01)(400000195225)

0,0

P s t s t P s t as t s s t t s t s t =--+---

++≥≥（1） 3．模型求解

3.1求解方法

（1）求出驻点（s 0，t 0），即解方程组

（2）判断是否在驻点处取得极值，方法如下：

1）先计算

2）若120,0D D >>，则（s 0，t 0）是极小值点；

若120,0D D <>，则（s 0，t 0）是极大值点；

若20D <，则（s 0，t 0）不是极值点；

若20D =，则不能肯定（s 0，t 0）是不是极值点，必须考察更高阶的偏导

数。

3.2计算结果

（1）利用Matlab 计算出驻点为：（4735.04，7042.7）,其中a=0.01；

（2）利用Matlab 计算出D 1=-0.02<0，D 2=0.000351>0，因此P(s,t)在（4735，

7043）处取得极大值：553641美元。

（3）辅助数据：p=270.52；q=309.63；C=2907950；利润率=0.190389。

3.3结果解释

简单地讲，这家公司可以通过生产4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润是553641美元。

19英寸彩电的平均售价为270.52美元/台；21英寸彩电的平均售价为309.63美元/台；生产的总成本为2907950美元；相应的利润率为19.0389%。

根据以上结果显示了是有利可图的，因此建议这家公司的推出新产品计划应该实行。

图形显示见下图。

图1彩电问题

4．灵敏性分析

在报告结论之前，应该对关于彩电市场和生产过程所作的假设进行

灵敏性分析，以保证结果具有稳定性。我们主要关心的是决策变量s 、t 的值，因为公司据此来确定生产量。在前面的计算中，我们假设a=0.01美元/台，下面考虑当19英寸的彩电的价格弹性系数a 发生微小的变化时，公司的生产量以及利润将如何变化。

4.1产量对a 的灵敏性分析

(,)(3390.003)(3990.0040.01)(400000195225)

P s t as t s s t t s t =--+---++（2）

它的驻点为：

1662000()4000049581700

()87004000049s a a t a a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩

（3） 由（2）可得，19英寸彩电的价格弹性系数a 的增加，会导致19英寸彩电的最优生产量s(a)的下降，而21英寸彩电的最优生产量t(a)会增加，见图2。

图2s 和t 关于a 的变化的灵敏性曲线

我们计算得到灵敏性的具体数值（其中a=0.01,s=s(a),t=t(a)）：

因此，如果19英寸彩电的价格弹性系数增加10%，则应该将19英寸

彩电的生产量减少11%，21英寸彩电的生产量增加2.7%。