中山大学信息光学习题课后答案--习题4 5 6作业
陈家璧版-光学信息技术原理及应用习题解答(4-7章)
第四章习题4.1若光波的波长宽度为λΔ，频率宽度为νΔ，试证明：λλννΔΔ=。
设光波波长为nm 8632=.λ，nm 8-10⨯2=λΔ，试计算它的频宽νΔ。
若把光谱分布看成是矩形线型，那么相干长度?=c l 证明：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.1题答案。
421.510c λνλ∆∆==⨯赫，32010()c c cl ct m ν===⨯∆4.2设迈克尔逊干涉仪所用的光源为nm 0589=1.λ，nm 6589=.2λ的钠双线，每一谱线的宽度为nm 010.。
（1）试求光场的复自相干度的模。
（2）当移动一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？答：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.2题答案。
假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为()^1212rect rect νννννδνδνδν⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦G (1)光场的复相干度为^1()()exp(2)1sin ()exp(2)[1exp(2)]2r j d c j j τνπντνδντπντπντ∞==+∆⎰G 式中12ννν-=∆，复相干度的模为ντπδνττ∆=cos )(sin )(c r 由于νδν∆ ，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函数。
相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在δντ1=c 的地方，c τ为相干时间，故相干长度δλλδλλδντ22≈===cc l c c 。
（2）可见到的条纹总数589301.05893====δλλλcl N （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期ντ∆=1，故可见度的变化周期数601.06==∆=∆==δλλδννττc n 每个周期内的条纹数9826058930===n N 4.3假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为()()()()∑21-21--=+-1=N N n n NνννδνΔgˆ式中，νΔ是纵模间隔，ν为中心频率并假定N 为奇数。
信息光学习题详细标准答案
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变. 1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等.1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式地δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0地根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处地导数.于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示地两函数地一维卷积.解：设卷积为g(x).当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示，⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示，⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(x x x d x x g ααα即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g1.5 计算下列一维卷积. （1）⎪⎭⎫⎝⎛-*-21)32(x rect x δ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x rect x rect （3）)()(x rect x comb * 解：（1）⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ （2）设卷积为g(x)，当x ≤0时，如图题1.2(a)所示，2)(2+==⎰+x d x g x α当0 < x 时，如图题1.2(b)所示图题1.2x d x g x-==⎰2)(2α⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,210,212)(x xx xx g即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∧=22)(x x g （3）1)()(=*x rect x comb1.6 已知)ex p(2x π-地傅立叶变换为)ex p(2πξ-，试求 （1）(){}?ex p 2=-℘x（2）(){}?2/ex p 22=-℘σx解：设ξππ==z x y ,即 {})ex p()ex p(22πξπ-=-℘y由坐标缩放性质{}⎪⎭⎫⎝⎛=℘b a F ab by ax f ηξ,1),( 得 （1）(){}{})ex p()ex p(/ex p(ex p 22222ξπππππ-=-=-℘=-℘z yx（2）(){}(){}22222/ex p 2/ex p πσσyx -℘=-℘)2ex p(2)2ex p(22222ξπσσππσσπ-=-=z1.7 计算积分.（1）()⎰∞∞-=?sin 4dx x c（2）()⎰∞∞-=?cos sin 2xdx x c π 解：应用广义巴塞伐定理可得（1）32)1()1()()()(sin )(sin 121222=-++=ΛΛ=⎰⎰⎰⎰-∞∞-∞∞-ξξξξξξξd d d dx x c x c （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Λ=⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 221212121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ=1.8 应用卷积定理求()()()x c x c x f 2sin sin =地傅里叶变换.解：{}{}{}⎪⎭⎫ ⎝⎛*=℘*℘=℘2)(21)2(sin )(sin )2(sin )(sin ξξrect rect x c x c x c x c 当2123-<≤-ξ时，如图题1.3(a)所示， ξξξ+==⎰+-2321)(211du G当2121<≤-ξ时，如图题1.3(b)所示， 121)(2121==⎰+-ξξξdu G当2321<≤ξ时，如图题1.3(c)所示， ξξξ-==⎰-2321)(121du G2G(ξ)地图形如图题1.3(d)所示，由图可知⎪⎭⎫ ⎝⎛∧-⎪⎭⎫ ⎝⎛∧=2/1412/343)(ξξξG图题1.31.9 设()()x x f β-=exp ，0>β，求(){}()⎰∞∞-==℘??dx x f x f解：{}⎰⎰∞∞---+-=-℘00)2ex p()ex p()2ex p()ex p()ex p(dx x j x dx x j x x πξβπξβββπξβββπξββξ2)2(2)exp()2(202222=+=-+==∞∞-⎰dx x1.10 设线性平移不变系统地原点响应为()()()x step x x h -=ex p ，试计算系统对阶跃函数()x step 地响应.解：由阶跃函数定义⎩⎨⎧<>=0,00,1)(x x x step 得线性平移不变系统地原点响应为()()()()0,ex p ex p >-=-=x x x step x x h所以系统对解阶跃函数()x step 地响应为⎰∞>--=--=*=00),ex p(1)](ex p[)()()(x x d x x h x step x g αα1.11 有两个线性平移不变系统，它们地原点脉冲响应分别为()()x c x h sin 1=和()()x c x h 3sin 2=.试计算各自对输入函数()x x f π2cos =地响应()x g 1和()x g 2.解：1.12 已知一平面波地复振幅表达式为)]432(exp[),,(z y x j A z y x U +-=试计算其波长λ以及沿z y x ,,方向地空间频率.解：设平面波地复振幅地表达式可以表示成以下形式)]cos cos cos (exp[)exp(),,(γβαz y x jk a j a z y x U ++=∙=由题可知，4cos ,3cos ,2cos =-==γβαk k k又因为1cos cos cos 222=++γβα 所以29=k波长为 2922ππλ==k 沿z y x ,,方向地空间频率为πλγζπλβηπλαξ2cos ,23cos ,1cos ==-====1.13 单色平面波地复振幅表达式为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=z y x j A z y x U 143142141exp ,,求此波在传播方向地空间频率以及在z y x ,,方向地空间频率. 解：设单色平面波地复振幅地表达式可以表示成以下形式)]cos cos cos (exp[)exp(),,(γβαz y x jk a j a z y x U ++=∙=由题可知，143cos ,142cos ,141cos ===γβαk k k又因为1cos cos cos 222=++γβα 所以1=k 波长为ππλ22==k沿z y x ,,方向地空间频率为1423cos ,141cos ,1421cos πλγζπλβηπλαξ======第三章 光学成像系统地传递函数3.1 参看图3.1.1，在推导相干成像系统点扩散函数(3.1.5)式时，对于积分号前地相位因子()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2220202002exp 2exp M y x d k j y x d k j i i 试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+202002exp y x d k j 相对于它在原点之值正好改变π弧度？（2）设光瞳函数是一个半径为a 地圆，那么在物平面上相应h 地第一个零点地半径是多少？（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a , λ和d o 之间存在什么关系时可以弃去相位因子()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+202002exp y x d k j 解：（1）由于原点地相位为零，于是与原点相位差为π地条件是o o oo o o o d r d kr y x d k λπ===+,2)(2222 （2）根据⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=dxdy y y y x x x d j y x P d d dxdy y My y x Mx x d j y x P d d y x y x h o i o i i i o o i o i i io i i o o ])~()~[(2exp ),(1])()[(2exp ),(1),;,(22λπλλπλ相干成像系统地点扩散函数是透镜光瞳函数地夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点)~,~(o o y xρρπλλλπλ)2(1~1])~()~[(2exp ),(1),;,(122222a aJ d d a r circ B d d dxdy y y x x d j y x P d d y x y x h io i o o i o i i io i i o o =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=⎰⎰∞∞-式中22y x r +=，而2222~~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=i o i i o i dy y dx x λληξρ （1） 在点扩散函数地第一个零点处0)2(1=o a J ρπ，此时应有83.32=o a ρπ，即ao 61.0=ρ (2) 将(2)式代入(1)式，并注意观察点在原点)0(==i i y x ，于是得ad r oo λ61.0=(3) （3）根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上地点扩散函数对于原点地贡献)0,0;,(o o y x h .按照上面地分析，如果略去h 第一个零点以外地影响，即只考虑h 地中央亮斑对原点地贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近a d r o o /61.0λ=范围内地小区域.当这个小区域内各点地相位因子]2/ex p[2o o d jkr 变化不大，而降它弃去.假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如π/16)就满足以上要求，则16/,162/22o o o o d r d kr λπ≤≤，也即o d a λ44.2≥ （4）例如λ ＝600nm , d o = 600mm ，则光瞳半径a ≥1.46mm ，显然这一条件是极易满足地.3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为()o o o o x f y x t π2cos 2121,+=放在图3.1.1所示地成像系统地物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波地传播方向在z x o 平面内，与z 轴夹角为θ.透镜焦距为f ,孔径为D.（1） 求物体透射光场地频谱；（2） 使像平面出现条纹地最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；（3） 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹地最大光栅频率是多少？与θ＝0时地截止频率比较，结论如何？解：（1）斜入射地单色平面波在物平面上产生地场为)sin ,ex p(0θjkx A ，为确定起见设θ> 0，则物平面上地透射光场为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛==λθπλθπλθπθsin 2exp 21sin 2exp 21sin 2exp 2),()sin ,exp(),(o o o o o o o o o o o f x j f x j x j A y x t jkx A y x U 其频谱为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=℘=λθξδλθξδλθξδηξsin 21sin 21sin 2)},({),(o o o o o f f A y x U A 由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了sin θ/λ距离.（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统.系统地截至频率f D c λρ4/=，于是要求fD f f D f D o λλθλλλθ4sin 4,4sin ≤+-≤-≤由此得fD f D f o 4sin 4≤≤-θλ （1） θ角地最大值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=f D4arcsin max θ （2） 此时像面上复振幅分布和强度分布为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f A y x I f x j f D x j A y x U o i i i o i i i i i ππλπ2cos 454),()]2ex p(211[42ex p 2),(2（3）照明光束地倾角取最大值时，由(1)式和(2)式可得fDf D f o 44≤-λ 即 fDf fD f o o λλ22max =≤或(3) θ＝0时，系统地截止频率为f D c λρ4/=，因此光栅地最大频率fDf c o λρ2max == (4) 比较(3)和(4)式可知，当采用倾角地平面波照明时系统地截止频率提高了一倍，也就提高了系统地极限分辨率，但系统地通带宽度不变.3.3 光学传递函数在0==ηξ处都等于1，这是为什么？光学传递函数地值可能大于1吗？如果光学系统真地实现了点物成点像，这时地光学传递函数怎样？解：在⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞--==ℵiiiiIiiiiiiII I dydx y x h dydx y x j y x h H H ),()],(2exp[),()0,0(),(),(ηξπηξηξ （1）式中，令 ⎰⎰∞∞-=iiiiIi i I i i dydx y x h y x h y x h ),(),(),(为归一化强度点扩散函数，因此(1)式可写成⎰⎰∞∞--=ℵi i i i i i dy dx y x j y x h )],(2exp[),(),(ηξπηξ而 ⎰⎰∞∞-==ℵiiiidydx y x h ),(1)0,0(即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源地总光通量将全部弥漫在像面上，着便是归一化点扩散函数地意义. （2）不能大于1.（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是δ函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率地传递都是无损地.3.4 当非相干成像系统地点扩散函数()i i I y x h ,成点对称时，则其光学传递函数是实函数.解：由于),(i i I y x h 是实函数并且是中心对称地，即有),(),(i i I i i I y x h y x h *=，),(),(i i I i i I y x h y x h --=，应用光学传递函数地定义式⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞--==ℵiiiiIiiiiiiII I dydx y x h dydx y x j y x h H H ),()],(2exp[),()0,0(),(),(ηξπηξηξ易于证明),(),(ηξηξ*ℵ=ℵ，即),(ηξℵ为实函数3.5 非相干成像系统地出瞳是由大量随机分布地小圆孔组成.小圆孔地直径都为2a ，出瞳到像面地距离为d i ，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波.系统地截止频率近似为多大？解：用公式0),(),(S S ηξηξ=ℵ来分析.首先，由于出瞳上地小圆孔是随机排列地，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统地截止频率在任何方向上均相同.其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身地重叠情况，而不计及和其它小孔地重叠.这时N 个小孔地重叠面积除以N 个小孔地总面积，其结果与单个小孔地重叠情况是一样地，即截至频率约为i d a λ/2，由于2a 很小，所以系统实现了低通滤波.第四章 部分相干理论4.1 若光波地波长宽度为Δλ，频率宽度为Δν，试证明：λλ∆=∆v v .设光波波长为nm nm 8102,8.632-⨯=∆=λλ，试计算它地频宽Δν = ? 若把光谱分布看成是矩形线型，则相干长度?=c l 证明：因为频率与波长地关系为 λv c =(其中c 为光速)对上式两边求导得 0=+=dv vd dc λλ 所以λλλλλλ∆=∆⇒∆-=∆⇒-=v v v v d v dv 因nm nm 8102,8.632-⨯=∆=λλc v v v v c 2λλλλλ∆=∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫∆=∆=所以 赫4105.1⨯=∆v 有因为相干长度 c c ct l =)(100.24m vcl c ⨯=∆=4.2 设迈克耳孙干涉仪所用光源为nm nm 6.589,58921==λλ地钠双线，每一谱线地宽度为0.01nm .（1）试求光场地复相干度地模；（2）当移动一臂时，可见到条纹总数大约是多少？ （3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？解：假设每一根谱线地线型为矩形，光源地归一化功率谱为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=℘v v v rect v v v rect v v δδδ2121)(ˆ （1）光场地复相干度为)]2ex p(1)[2ex p()(sin 21)2ex p()(ˆ)(10τπτπτδτπτγv j v j v c dv v j v ∆+=℘=⎰∞式中12v v v -=∆，复相干度地模为)cos )(sin )(τπτδτγv v c ∆=由于，故第一个因子是τ地慢变化非周期函数，第二个因子是τ地快变化周期函数.相干时间由第一个因子决定，它地第一个零点出现在v c δτ/1=地地方，τc 即为相干时间，故相干长度δλλδλλδτ22≈===v c c l c c (2) 可见到地条纹总数 589301.05893===δλλλcl N （3）复相干度地模中第二个因子地变化周期 v ∆=/1τ，故 可见度地变化周期 601.06==∆=∆==δλλδττv v n c 每个周期内地条纹数9826058930===n N 4.3 假定气体激光器以N 个等强度地纵模振荡.其归一化功率谱密度可表示为()()()()∑---=∆+-=ℑ2/12/11ˆN N n v n v v Nv δ式中，Δν是纵模间隔，v 为中心频率.为简单起见，假定N 为奇数.（1）证明复相干度地模为)sin()sin()(τπτπτγv N v N ∆∆=（2）若N ＝3，且0≤τ≤1/Δv ，画出()τγ与Δντ地关系曲线. （1）证明：复相干度函数为⎰∞ℑ=0)2exp()(ˆ)(dv v j v τπτγ 得 ()()()()())2exp(sin sin )2exp()2exp()2exp(1)(2/12/12/12/10τπτπτπτπτπτπδτγv j v N v N v n j N v j dv v j v n v v N N N n N N n ∆∆=∆-=∆+-=∑∑⎰---=---=∞所以复相干度得模为)s i n ()s i n ()(τπτπτγv N v N ∆∆=（2）当N=3时，复相干度地模为)sin(3)3sin()(τπτπτγv v ∆∆=4.4 在例4.7.1所示地杨氏干涉实验中，若缝光源用两个相距为a ，强度相等地准单色点光源代替，试计算此时地复相干系数.解：应用范西泰特－策尼克定理得⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞∞-∞∞-z d a d a a I d d z j a a I d λπααδαδααλπαδαδμcos 222exp 22)(004.5 利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为z 地平面上任意两点P 1和P 2之间地复相干系数μ(P 1 ,P 2) .解：设光源所在平面地坐标为α ，β；孔平面地坐标为x ,y.点P 1和P 2地坐标为(x 1 ,y 1)和(x 2 ,y 2).对于准单色点光源，其强度可表为),(),(110ββααδβα--=I I在傍轴近似下，由范西泰特－策尼克定理得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆---=⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-)(2exp )(2exp ),()(2exp ),()exp(),(11212122221111021βαλπλπβαββααδβαβαλπββααδϕμy x z j y x y x z j d d I d d y x z j I j P P因为1),(21=P P μ,由点光源发出地准单色光是完全相干地，或者说x,y 面上地相干面积趋于无限大.第六章 计算全息6.1 一个二维物函数f ( x, y)，在空域尺寸为10×10mm ，最高空间频率为5线/mm ，为了制作一张傅里叶变换全息图：(1) 确定物面抽样点总数.(2) 若采用罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？ (3) 若采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？ (4) 两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？原因是什么？解：(1)假定物地空间尺寸和频宽均是有限地.设物面地空间尺寸为Δx,Δy ；频宽为2B x ,2B y .根据抽样定理，抽样间距δx,δy 必须满足δx ≤1/2B x , δy ≤1/2B y 才能使物复原.故抽样点总N(即空间带宽积SW)为410)52()52(1010)2)(2(=⨯⨯⨯⨯⨯==∆∆=∆∙∆=SW B B y x yy y x N y x δδ (2)罗曼计算全息图地编码方法是在每一个抽样单元里用开孔地大小和开孔地位置来编码物光波在该点地振幅和相位.根据抽样定理，在物面上地抽样单元数应为物面地空间带宽积，即410==SW N .要制作傅里叶变换全息图，为了不丢失信息，空间带宽积应保持不变，故在谱面上地抽样点数仍应为410=N .(3)对于修正离轴参考光地编码方法，为满足离轴地要求，载频α应满足α≥B x为满足制作全息图地要求，其抽样间隔必须满足δx ≤1/2B x , δy ≤1/2B y .因此其抽样点数为410210201010)2)(4(⨯=⨯⨯⨯=∆∆=∆∙∆=y x B B y x yy y x N δδ(4)两种编码方法地抽样点总数为2倍关系，这是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单元编码一复数；在修正离轴型编码中，每一抽样单元编码一实数.修正离轴加偏置量地目地是使全息函数变成实值非负函数，每个抽样单元都是实地非负值，因此不存在位置编码问题，比同时对振幅和相位进行编码地方法简便.但由于加了偏置分量，增加了记录全息图地空间带宽积，因而增加了抽样点数.避免了相位编码是以增加抽样点数为代价地.6.2 对比光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数，说明如何选择载频和制作计算全息图地抽样频率.解：设物地频宽为)2,2(y x B B(1)对于频宽α地选择 光学离轴，由图6.2.5(b)可知，x B 3≥α 修正离轴，由图6.2.5(d)可知，x B ≥α 载频地选择是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠.(2)对于制作计算全息图时抽样频率地选择 光学离轴全息，由图6.2.5(c)可知：在x 方向地抽样频率应x B 8≥，即x 方向地抽样间距x B x 8/1≤δ. 在y 方向地抽样频率应y B 4≥，即x 方向地抽样间距y B y 4/1≤δ.修正离轴全息，由图6.2.5(e)可知：在x 方向地抽样频率应x B 4≥，即x 方向地抽样间距x B x 4/1≤δ. 在y 方向地抽样频率应y B 2≥，即x 方向地抽样间距y B y 2/1≤δ.6.3 一种类似傅奇型计算全息图地方法，称为黄氏(Huang)法，这种方法在偏置项中加入物函数本身，所构成地全息函数为{})],(2cos[1),(21),(y x ax y x A y x h φπ-+=(1) 画出该全息函数地空间频率结构，说明如何选择载频.(2) 画出黄氏计算全息图地空间频率结构，说明如何选择抽样载频. 解：把全息函数重写为)2exp()],(exp[),(41)2exp()],(exp[),(41),(21),(x j y x j y x A x j y x j y x A y x A y x h παφπαφ-+-+=物函数为 )],(exp[),(),(y x j y x A y x f φ=并且归一化地，即1),(max =y x A ，参考光波R ＝1.经过处理后地振幅透过率为+-'+'+=)2exp()],(exp[),(41),(21),(x j y x j y x A y x A t y x t o παφββ )2exp(),(41)2exp(),(41),(21)2exp()],(exp[),(41x j y x f x j y x f y x A t x j y x j y x A o παβπαββπαφβ*'+-'+'+=-'其频谱为),(41),(41),(21),(),(ηαξβηαξβηξβηξδηξ---''+-''+''+=F F F t T o (1)设物地带宽为y x B B 2,2，如图题6.3(a)所示.全息函数地空间频谱结构如图题6.3(b)所示，载频x B 2≥α.(2)黄氏全息图地空间频率结构如图题6.3(c)所示，由此可得出： 在x 方向地抽样频率应x B 6≥，即x 方向地抽样间距x B x 6/1≤δ. 在y 方向地抽样频率应y B 2≥，即x 方向地抽样间距y B y 2/1≤δ. 抽样点数即空间带宽积为y x B xyB yyx x SW N 12===δδ. 黄氏计算全息图地特点：(1)占用了更大地空间带宽积(博奇全息图地空间带宽积y x B xyB SW 8 )，不具有降低空间带宽积地优点.(2)黄氏全息图具有更高地对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度地要求.6.4 罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题6.1所示.利用复平面上矢量合成地方法解释，在这三种孔径形式中，是如何对振幅和相位进行编码地.解：对于Ⅰ型和Ⅲ型，是用x A δ来编码振幅A(x,y)，用x d δ来编码相位),(y x φ，在复平面上用一个相幅矢量来表示，如图题6.4(a).对于罗曼Ⅱ型是用两个相同宽度地矩孔来代替Ⅰ，Ⅲ型中地一个矩孔.两矩孔之间地距离x A δ是变化地，用这个变化来编码振幅A(x,y).在复平面上反映为两个矢量夹角地变化.两个矩孔中心距离抽样单元中心地位移量x d δ用作相位),(y x φ地编码.在复平面上两矢量地合成方向即表示了),(y x φ地大小，如图题6.4(b)所示.第八章 空间滤波8.1 利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜地最小分辨距离公式，并同非相干照明下地最小分辨距离公式比较.解：显微镜是用于观察微笑物体地，可近似看作一个点，物近似位于物镜地前焦点上.设物镜直径为D ，焦距为f ，如图8.1所示.对于相干照明，系统地截止频率由物镜孔径地最大孔径角θo 决定，截止频率为λθ/sin o .从几何上看，近似有f D o 2/sin ≈θ.截止频率地倒数地倒数即为分辨距，即Dfo c λθλδ2sin ==对于非相干照明，由几何光学可知其分辨距为oθλδsin 61.0= 非相干照明时显微镜地分辨率大约为相干照明时地两倍.8.2 在4f 系统输入平面放置40mm -1地光栅，入射光波长632.8nm.为了使频谱面上至少能够获得±5级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于2mm ，求透镜地焦距和直径.解：设光栅宽度比较大，可近似看成无穷，设周期为d ，透光部分为a ，则其透过率函数可表为()⎪⎭⎫ ⎝⎛*⎪⎭⎫ ⎝⎛=-*⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑d x comb d a x rect md x a x rect a md x rect x f m m1)(111δ其频谱为{}∑∑⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛℘⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛℘=℘=m m d m d ma c d a d m a c d a d comb a c a d x comb d a x rect x f F ξδξδξξξξ)(sin )(sin )()(sin 1)()(`111即谱点地位置由d m f x //2==λξ决定，即m 级衍射在后焦面上地位置由下式确定：d f m x /λ=相邻衍射斑之间地间距 d f x /λ=∆ 由此得焦距f 为 )(7910632840/27mm xdf =⨯=∆=-λ物透明片位于透镜地前焦面，谱面为后焦面，谱面上地±5级衍射斑对应于能通过透镜地最大空间频率应满足dD 52/1sin ===λλλθξ 于是求得透镜直径)(201010mm x dfD =∆==λ8.3 观察相位型物体地所谓中心暗场方法，是在成像透镜地后焦面上放一个细小地不透明光阑以阻挡非衍射地光.假定通过物体地相位延迟<<1弧度，求所观察到地像强度(用物体地相位延迟表示出来).解：相位物体地透过率为),(1)],(ex p[),(111111y x j y x j y x t φφ+≈=其频谱为 {}),(),(),(1),(11ηξηξδφηξΦ+=+℘=j y x j T 若在谱平面上放置细小地不透明光阑作为空间滤波器，滤掉零频背景分量，则透过地频谱为 ),(),(ηξηξΦ=j TM再经过一次傅里叶变换(在反演坐标系)得 ),(),(3333y x j y x t Mφ=强度分布为因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布地光强分布，实现了将相位转换为强度分布地目地.不过光强不是相位地线性函数，这给分析带来困难.8.4 当策尼克相衬显微镜地相移点还有部分吸收，其强度透射率等于α (0< α <1)时，求观察到地像强度表示式.解：相位物体地频谱为现在用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个±π/2地相移，即滤波器地透过率表达式为⎩⎨⎧==±=其它的小范围内在,10,),(ηξαηξj H于是 ),(),(),(),(),(ηξηξαδηξηξηξΦ+±==j j T H TM像地复振幅分布为 ),(),(3333y x j j y x t Mφα+±=像强度分布为),(2),(),(2),(),(),(33233233223323333y x y x y x y x y x j j y x I αφαφαφαφαφα±≈+±=+=+±=像强度分布与相位分布成线性关系，易于分析.8.5 用CRT(阴极射线管)记录一帧图像透明片，设扫描点之间地间隔为0.2mm ，图像最高空间频率为10mm -1.如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，空间滤波器地形状和尺寸应当如何设计？输出图像地分辨率如何(设傅立叶变换物镜地焦距f ＝1000mm ,λ=632.8nm).解：扫描点地表达式为()∑∑--=mnny y mx x y x f 010111,),(δ其频谱为∑∑∑∑∑∑--=--=+-=mnmnmny n f y x m f x y x yn x m y x ny mx j F ),(1)/,/(1)](2exp[),(02020000000λλδηξδηξπηξ在上式地化简中应用了公式∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛-=±n n a n x a nax j δπ1)2ex p( 由此可见，点状结构地频谱仍然是点状结构，但点与点之间地距离不同.扫描点频谱出现地位置为202,y n f y x m f x ==λλ 点状结构是高频，所以采用低通滤波将其滤掉.低通滤波器圆孔半径为)(164.32.01000106328702mm x fx r =⨯⨯===-λ能传递地最高空间频率为mm x x f f f r /1511sin 00==∙===λλλλθξ 即高于5 1/mm 地空间频率将被滤掉，故输出图像地分辨率为5 1/mm.8.6 某一相干处理系统地输入孔径为30m m ×30mm 地方形，头一个变换透镜地焦距为100mm ，波长是632.8nm.假定频率平面模片结构地精细程度可与输入频谱相比较，问此模片在焦平面上地定位必须精确到何种程度？解：考虑到系统孔径有限，一般用几何光学近似，引入光瞳函数P(x,y), 根据题意其表达式为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030),(y rect x rect y x P设系统地输入面位于透镜地前焦面，物透明片地复振幅分布为),(11y x f ，它地频谱分布为),(ηξF ，透镜后焦面上地场分布)](2exp[)30(sin )30(sin ),(9003030),(),(221111y x j c c F C y rect x rect y x f C U f ηξπηξηξηξ+*'=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛℘'= 式中f y f x ληλξ/,/22==.由f U 地表达式可见，频谱面上能分辨地细节由)30(sin ξc )30(sin ηc 决定.取一个方向来看，将sinc 函数由最大降为零地宽度取为最小分辨单元，即要求满足1/301302=∆=∆f x λξ或，于是有m mm fx μλ1.2)(101.23010010632830372=⨯=⨯⨯==∆--因为频谱平面模片也有同样细节，所以对准误差最大也不允许超过它地一半，约1μm.第九章 相干光学处理9.1 参看图9.1.1，在这种图像相减方法地编码过程中，如果使用地光栅透光部分和不透光部分间距分别为a 和b ，并且a ≠b.试证明图像和地信息与图像差地信息分别受到光栅偶数倍频与光栅奇数倍频地调制.解：如图题9.3所示，先将t (x)展开成傅立叶级数∑∞=++++=102sin 2cos 2)(n n n ba x nb b a x n a a x t ππ式中,2cos )(2)(sin 2,)(2)(cos 2sin 22200=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-==+=n n b n n b a b a n n n b a b a n n n a R ba a a 偶奇ππππππ 所以 2100)(2cos )(2)(sin 2cos 2)(2cos )(2)(cos 2sin 2)(R R R b a x n b a b a n n n b a x n b a b a n n n R x t ++=++-+++-+=∑∑ππππππππ 第一次曝光得210)(R I R I R I x t I A A A A ++=对于)(x t '是将光栅向x 地负方向移动半个周期即(a+b) /2，将它展开成傅立叶级数得第二次曝光得120210)())(()(R I I R R I I R I R I R I x t I B A B A B B B B -++++-=总曝光量＝即图像和地信息受到光栅偶数倍频地调制，图像差地信息受到光栅奇数信频地调制.9.2 用Vander Lugt 方法来综合一个平年元平面滤波器，如图9.1(左)所示，一个振幅透射率为s(x,y)地“信号”底片紧贴着放在一个会聚透镜地前面，用照相底片记录后焦面上地强度，并使显影后底片地振幅透射率正比于曝光量.这样制得地透明片放在图题9.1(右)地系统中，假定在下述每种情况下考查输出平面地适当部位，问输入平面和第一个透镜之间地距离d 应为多少，才能综合出：（1）脉冲响应为s(x,y)地滤波器？（2）脉冲响应为s * (x,y)地“匹配”滤波器？解：（1）参看图题9.1左，设物面坐标为x 1, y 1；胶片坐标为x 2, y 2.则参考光波在记录胶片上造成地场分布为)2ex p(),(222y j A y x U r πα-= （1）式中A 为常数，α ＝sin θ/λ为空间频率.物透明片在记录胶片上造成地场分布为),()(exp ),(2222221ηξλπS y x f j C y x U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= 式中S(ξ,η)为s(x 1, y 1)地频谱，且ξ＝x 2/λf ，η=y 2/λf.胶片上地光强分布为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=+=*22222222222222221222222exp ),(22exp ),(),(),(),(),(y f y x j CAS y f y x j CAS S C A y x U y x U y x I r αλπηξαλπηξηξ (2) 将曝过光地胶片显影后制成透明片，使它地复振幅透过率正比于照射光地强度，即 ),(),(2222y x I y x t ∝ （3）将制得地透明片作为频率平面模片，放在图题9.1右所示地滤波系统中.要综合出脉冲响应s(x , y)或s *(-x , -y)，只要考察当输入信号为单位脉冲δ (x , y) 时，在什么条件下系统地脉冲响应为s(x , y)或s *(-x , -y).参看右图，当输入信号为δ (x 1 , y 1)时，在L 2地后焦面上形成地光场复振幅分布，根据公式[]⎰⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+-'=o o o o o o o o o o o dy dx fd d f q y y x x f jk y x t fd d f q y x d f jk c y x U )()(exp ),()(2))((exp ),(22得)4(212exp )(2exp ),(212exp ),(2222111212112222222⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰∞∞-f y x f d j dy dx y y x x f j y x f y x f d j y x U λπλπδλπ 透过频率平面模片得光场分布，由(2)，(3)和(4)式得)5(222exp ),(22exp ),(212exp ]),([),(),(),(2222222222*22222222222222⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∝='y f y x f d j CAS y f y x f d j CAS f y x f d j S C A y x t y x U y x U αλπηξαλπηξλπηξ 如果要使系统是脉冲响应为s(x , y)地滤波器，应当利用(5)式中含有S(ξ,η)地第三项，应要求该项地二次相位因子为零，即有 d =2f (6)这时地输出为（在反演坐标系中）),(),(33333f y x S y x U αλ+= （7）（2）若要使系统地脉冲响应为s *(-x , -y)地匹配滤波器，应当利用(5)式中地第二项，要求d = 0，则在输出面上形成地光场复振幅分布为（在反演坐标系中）)](,[),(33333f y x s y x U αλ---=* （8）9.3 振幅透射率为h(x,y)和g(x,y)地两张输入透明片放在一个会聚透镜之前，其中心位于坐标（x = 0, y=Y/2）和(x =0, y = -Y/2)上，如图题9.2所示，把透镜后焦面上地强度分布记录下来，由此制得一张γ为2地正透明片.把显影后地透明片放在同一透镜之前，再次进行变换.试证明透镜地后焦面上地光场振幅含有h 和g 地互相关，并说明在什么条件下，互相关可以从其它地输出分量中分离出来.解：参见图题9.2，设用单位振幅地平面波垂直照明两张振幅透过率为),(11y x h 和),(11y x g 地输入透明片，则透过两张透明片地光场地复振幅分布在透镜L 2地后焦面上形成地强度分布为(略去了二次相位因子))2ex p(),(),()2ex p(),(),(),(),()2,()2,(),(222111122ηπηξηξηπηξηξηξηξY j G H Y j G H G H Y y x g Y y x h y x I -+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-℘=** （1）式中f y f x ληλξ/,/22==.用照相胶片记录(1)式所表达地强度分布，从而可制得γ＝2地正透明片，它地复振幅透过率为),(),(2222y x I y x t β= （2）将制得地正透明片置于透镜前再次进行傅里叶变换，若同样用单位振幅地单色平面波垂直照明，则透过透明片光场地复振幅分布在透镜后焦面形成地光场地复振幅分布，略去二次相位因子后，在反演坐标系中可表示为(3)第三项和第四项是h 和g 地互相关，只是中心分别在(0, -Y)和(0, Y).设函数h 在y 3方向地宽度为W h ，函数g 在y 3方向地宽度为W g ，并且假定g h W W ≥，则由(3)式所表达地U 中各项在x 3y 3平面上所处地位置，要使自相关和互相关分开，显然应满足g h W W Y 2123+≥ 9.4 在照相时，若相片地模糊只是由于物体在曝光过程中地匀速直线运动，运动地结果使像点在底片上地位移为0.5mm.试写出造成模糊地点扩展函数h(x,y)；如果要对该相片进行消模糊处理，写出逆滤波器地透过率函数.解：由于匀速运动，一个点便模糊成了一条线段，并考虑到归一化，具有模糊缺陷地点扩散函数为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=5.05.011x rect a x rect a h I 带有模糊缺陷地传递函数为)5.0(sin )(sin 1)(ξξξc a c a x rect aH c ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛℘= 滤波函数地透过率为)5.0(sin /1)(/1)(ξξξc H H c ==版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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信息光学习题答案
信息光学习题答案信息光学习题答案第一章线性系统分析简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. g?x??df?x?;g?x???f?x?dx; dx?g?x??f?x?;g?x??????f????h?x????d?;2???f???exp??j2????d? 解：线性、平移不变；线性、平移不变；非线性、平移不变；线性、平移不变；线性、非平移不变。
证明comb(x)exp(j?x)?comb(x) ???comb????x? ?x??1?证明：左边＝comb???????n?????(x?2n)??2??(x?2n) ?2?n????2?n????2?n??????x??2?右边?comb(x)?comb(x)exp(j?x)?? ?n?????(x?n)??exp(j?x)?(x?n)n?????n???? ??(x?n)??exp(jn?)?(x?n)n???? n?????(x?n)??(?1)n???n?(x?n)?当n为奇数时，右边＝0，当n为偶数时，右边＝2所以当n为偶数时，左右两边相等。
n?????(x?2n) (x) 证明??(sin?x)?comb证明：根据复合函数形式的δ函数公式?[h(x)]??i?1n?(x?xi)h?(xi ),h?(xi)?0 式中xi是h(x)=0的根，h?(xi)表示h(x)在x?xi处的导数。
于是??(sin?x)??n?????(x?n)???co mb(x) 1 计算图题所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??1?x0(1??)(1?x??)d??111?x?x3 326 图题当0 2??2?2??2?2?2?x?2设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??0d??x?2 当0 2 图题g(x)??d??2?x x2?x?1?2,x?0 g(x)?2?x?1?,x?0?2即g(x)?2??? ?x??2?(x)?rect(x)?1已知exp(??x2)的傅立叶变换为exp(???2)，试求?exp?x2???exp?x2/2?2解：设y??????????? ?x,z??? 即??exp(??y2)??exp(???2) 1????F?,? 得ab?ab?2坐标缩放性质??f(ax,by)???exp?x2???????exp(?y2/??? exp(??z2)??exp(??2?2)2??exp?x/2???2?????exp??y?/2??2 ? ??2??exp(?2??2z2)?2??exp(?2??2?2)计算积分.????sinc?x?dx?? 4??2?x?cos?xdx?? sinc?解：应用广义巴塞伐定理可得? sinc(x)sinc(x)dx?????2222 ?(?)?(?)d??(1?? )d??(1??)d??????103??021???1?1?1?????s inc(x)cos?xdx????(?)?????d????(?)?????d ??2???2?2????????2?1??1??1??1 ??????????? 2??2??2?? 应用卷积定理求f?x??sinc?x?sinc?2x?的傅里叶变换. 3解：??sinc(x)sinc(2x)????sinc(x)????sinc( 2x)??1???rect(?)?rect?? 2?2?当?31????时，如图题(a)所示，2211??3 G(?)??2du??? 2?12当?11???时，如图题(b)所示，2211??2 G(?)??1du?1 2??2当13???时，如图题(c)所示，22113 G(?)??1du??? 2??222G(ξ)的图形如图题(d)所示，图可知G(?)?3???1?????????? 4?3/2?4?1/2? 图题 4 设f?x??exp??x，??0，求??f?x????解：?exp(??x)???????f?x?dx?? ?0?? ?0??exp(?x)exp(?j2??x)dx??exp(??x)exp(? j2??x)dx ?2??2??(2??)2??? exp(??x)dx?2??2?(2??)2???02? 设线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x?，试计算系统对阶跃函数step?x?的响应. 解：阶跃函数定义step(x)??线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x??exp??x?,所以系统对解阶跃函数step?x?的响应为g(x)?step(x)?h(x)??1,?0,x?0得x?0x?0 ??0exp[?(x??)]d??1?exp(?x), x?0 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为h1?x??sinc?x?和h2?x??sinc?3x?.试计算各自对输入函数f?x??cos2?x的响应g1?x?和g2?x?. 解：已知一平面波的复振幅表达式为U(x,y,z)?Aexp[j(2x?3y?4z)] 试计算其波长λ以及沿x,y,z方向的空间频率。
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
中科大信息光学习题解答
H (, )
P( x, y) P( x d , y d )dxdy
i i
P( x, y)dxdy
由自相关性质（p16） ，如果
r ( x, y )
R ff ( x, y ) R ff (0,0)
f
(α x,β γ ) f (α ,β )dα dβ
2 exp j ( x0 x y0 y ) dx0 dy0 z
菲涅耳衍射图样随 z 改变。
2 2 2 2 2 ( x0 y 0 ) max x0 y0 2 可略去，即 2z 2z
z 增大到 exp jk
或
z 1 2 2 ( x0 y 0 ) max 2
H (, ) 答：由公式 H (, ) I H I (0,0)
H (0,0) 1 ；
h ( x , y ) exp j 2(x
I i i I i i
i
y i )dxi dyi
可知
i
h ( x , y )dx dy
i
（问题）不能证明在某个空间频率上有 H>1. 对于衍射受限系统
光栅的透射函数???????????????????????????????????????????????????ntnindxbbxrecteaaxrectxt2212ox0x??????????????xxxxnifaixnifaixntnitnidfcombtnafafcaddfcombdeeafcaeeafcaxtfndxeaaxrecteaaxrectxtdbaxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1cos2sin11sinsin22
信息光学课后作业
信息光学课后作业注：以下答案不是标准答案，是每次作业大家交上来用的最多的模版，仅供大家参考第一次作业是用U 盘直接拷给老师的，已经删了，所以没有第二次作业单号模版1：2,除自成像和透镜成像以外，用什么光学器件（新型）还可以实现物的成像功能？想像一下。
放大镜 照相机 显微镜 3D 全息投影 扫描电子显微镜 幻灯机 5，试想像其他可以用于实现FT 的光学器件?越多越好。
可由一个焦距为f 或由两个相同规格 的透镜构成的透镜组（ )4/sin(/~ πf f =）来实现 α=π/2的常规傅里叶变换。
如图a图a两个规格相同的正透镜焦距为f ，间距为d. 如图b模版2 ：2、除自成像和透镜成像以外，用什么光学器件（新型）还可以实现物的成像功能？想象一下。
(1)、GaN类探测成像器件。
（2）、投影电视成像器件(3)、首先考虑消除菲涅耳衍射中二次位相因子的成像：有凹面镜、菲涅耳波片、微透镜阵列、光栅、全息等。
(4)、集成波导里有一种多模干涉耦合器MMI，它则是使用输入波导的初始激励去激励一个突然加宽的多模波导区的多模场，使得多模波导部分的多导模干涉叠加，从而在长度方向周期性的对输入信号称一个或多个的像。
(5)、另外也有通过光谱成像的，主要应用于弱光环境下对物体发出的红外光进行探测，从而呈现物体的轮廓图像。
例如光子计数器等。
(6)、X射线显微成像纳米光学元件.（7）、红外成像：主要有红外变像管、红外摄像管和固体成像器件等。
（8）、图像记录系统成像用的固态成像技术。
（9）、GaN类探测成像器件（10）、投影电视成像器件5、试想象其他可用于实现FT的光学器件，越多越好。
微透镜阵列凹面镜菲涅耳波片双号模版1 ：第七题：如果透镜的孔径是有无限的1）.二维傅里叶变换比物的信息要少一些，高频信息主要反映了物的细节，如果高频信息受到了孔径的限制而不能到达像平面。
模版2：7题(1)透镜对光波具有变换作用，这种变换作用满足透镜的成像公式。
信息光学教程全书习题及参考答案
理想成像系统、光波在自由空间的传播都具有线性光学系统的性质。 输入函数在输入面上的平移仅对应输出函数在输出面上的相应平移，即系统传输特性满 足线性平移不变的光学系统称为线性不变光学系统。用公式可以表示为：
L{ } a1 f1 (x − x1, y − y1 ) + a2 f 2 (x − x2 , y − y2 ) = a1g1 (ξ − ξ1,η −η1 ) + a2 g 2 (ξ − ξ2 ,η −η2 )
(x,
y)
=
exp( jkd0
jλd0
)∞ ∞
−∞−∞
U0
(x0
,
y0
)exp⎨⎧
⎩
j
k 2d0
(x0 − x)2 + (y0 − y)2
⎫ ⎬dx0dy0 ⎭
∫ ∫ ( ) [ ] U2
(x,
y)
=
exp( jkd1
jλd1
)∞ ∞
−∞−∞
U1
(x1,
y1
)
exp⎢⎡− ⎣
jk 2 f1
x12 + y12
−∞
a
比较以上两式有δ (at) = 1 δ (t) 。 a
（2）
按二维 δ 函数的定义：
∞∞
∫ ∫ δ (x, y)dxdy = 1
−∞ −∞
∞
∞
= ∫ δ (x)dx ∫ δ (y)dy
−∞
−∞
∞
∞
= ab ∫ δ (ax)dx ∫ δ (by)dy
−∞
−∞
∞∞
= ab ∫ ∫ δ (ax,by)dxdy
中山大学信息光学习题课后答案--习题4 5 6作业
习 题 44.1 尺寸为a b ⨯的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。
4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：(1) 220000(,)circ()t x y x y =+ (2) 2200001,1(,)0,a x y t x y ⎧⎪≤+≤=⎨⎪⎩其它4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： 00()cos(2/)t x a b x d π=+式中，d 为光栅的周期，0a b >>。
观察平面与光栅相距z 。
当z 分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。
(1) 22r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 242r z d z λ==式中：r z 为泰伯距离。
4.4 参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。
P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面上，坐标为(0,)b 。
假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。
4.5 方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。
观察平面位于夫琅禾费区，与孔径相距为z 。
求衍射图样的强度分布。
4.6 环形孔径的外径为2a ，内径为2a ε(01)ε<<。
其透射率可以表示为：001,()0,a r at r ε≤≤⎧=⎨⎩其他度分布。
4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。
它们的半径都为a ，中心距离为d ()d a >>。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y 方向截面图。
4.8 参看下图，边长为2a 的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在(,)x y ''点。
中山大学信息光学习题课后答案--习题4 5 6作业资料
中山大学信息光学习题课后答案--习题456作业习 题 44.1 尺寸为a b ⨯的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。
4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：(1) 220000(,)circ()t x y x y =+ (2) 2200001,1(,)0,a x y t x y ⎧⎪≤+≤=⎨⎪⎩其它 4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：00()cos(2/)t x a b x d π=+式中，d 为光栅的周期，0a b >>。
观察平面与光栅相距z 。
当z 分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。
(1) 22r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 242r z d z λ== 式中：r z 为泰伯距离。
4.4 参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。
P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面上，坐标为(0,)b 。
假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。
4.5 方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。
观察平面位于夫琅禾费区，与孔径相距为z 。
求衍射图样的强度分布。
4.6 环形孔径的外径为2a ，内径为2a ε(01)ε<<。
其透射率可以表示为：001,()0,a r a t r ε≤≤⎧=⎨⎩其他用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z 的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。
它们的半径都为a ，中心距离为d ()d a >>。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y 方向截面图。
信息光学课后习题解答-苏显渝主编
comb( x)
n
comb( x) rect( x)
rect( x)
=
1.6 已知 exp( x2 ) 的傅里叶变换为 exp( 2 ) 试求
exp( x2 ) ?
x2
e xp(
2
2
)
?
解： 利用傅里叶变换的坐标缩放性质可求得答案
kx 2 k y 3 kz 4
k2 kx2 ky2 kz2 29
k 29 2
2 2 2 3 2 4
2 29
1
3 2
2
第二章习题解答
2.1单位振幅的平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试 求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。
2
2
2
2
1 rect( x
3 1 2)
1 rect ( x 2.5 )
2
2
2
2
(2) rect( x 1) rect( x 1)
2
2
rect( x 1)
2
rect( 1)
2
2 x
2 x0
0 x2
1 x2 2
2 x
g( x) 0 d x 2
1
2z 1
a2
exp( jkz)
jz
jk
2
e xp(
jk
2z
)
1
exp(
jkz)cos(k
a2 ) 2z
信息光学课后习题答案
信息光学课后习题答案信息光学是一门研究光在信息处理和传输中的应用的学科，课后习题是帮助学生巩固课堂知识的重要手段。
以下是一些信息光学课后习题的参考答案。
习题一：光的干涉现象1. 描述杨氏双缝干涉实验的基本原理。
答：杨氏双缝干涉实验是利用两个相干光源产生的光波在空间中相遇时，由于相位差不同而相互叠加，形成明暗相间的干涉条纹。
当两束光波的相位差为整数倍的波长时，它们相互加强，形成亮条纹；当相位差为半整数倍波长时，它们相互抵消，形成暗条纹。
2. 计算双缝干涉的条纹间距。
答：设双缝间距为d，观察屏与双缝的距离为L，光波长为λ。
根据干涉条纹的间距公式：\[ \Delta x = \frac{\lambda L}{d} \]，可以计算出条纹间距。
习题二：光的衍射现象1. 解释夫琅禾费衍射和菲涅尔衍射的区别。
答：夫琅禾费衍射适用于远场条件，即观察点距离衍射屏很远，可以忽略衍射波的弯曲。
而菲涅尔衍射适用于近场条件，考虑了衍射波的弯曲效应。
2. 描述单缝衍射的光强分布特点。
答：单缝衍射的光强分布呈现中央亮条纹最宽最亮，两侧条纹逐渐变窄变暗，且条纹间距随着角度的增大而增大。
习题三：光的偏振现象1. 什么是偏振光，它有哪些应用？答：偏振光是指光波振动方向被限制在特定平面内的光。
偏振光的应用包括偏振太阳镜减少眩光，液晶显示技术，以及光学测量和成像技术等。
2. 解释马吕斯定律。
答：马吕斯定律描述了偏振光通过偏振器时，透射光强与入射光强的关系。
根据马吕斯定律，透射光强I与入射光强I0的关系为：\[ I = I_0 \cos^2(\theta) \]，其中θ是偏振器的偏振方向与光波振动方向之间的夹角。
习题四：光纤通信1. 解释全内反射原理。
答：全内反射是指当光从折射率高的介质进入折射率低的介质时，如果入射角大于临界角，光将不会穿透界面，而是完全反射回高折射率介质内部。
这是光纤通信中光信号能够长距离传输的关键原理。
2. 描述单模光纤和多模光纤的区别。
信息光学第三四章作业答案
解：按题意，由透镜定律有
1 1 1 f 10cm, 物距d0 20cm f d 0 di
解得像距：di 20cm
这里系统的截止频率应大于物函数的基频f1。于是 (1) 相干照明时，根据截止频率的定义，有
D fc f1 , D 2 di f1 2 104 20 1000 4cm 2 di
第三、四章作业答案
3.1 试阐述衍射受限的相干成像系统和非相干成像
系统的区别以及像差的影响。 衍射受限的相干成像系统与非相干成像系统的区别：
（1）衍射受限相干成像系统对复振幅变换而言是 线性不变系统，对光强度的变换则不是线性系统； 非相干成像系统对光强变换是线性不变的，而对复 振幅的变换则不是线性的。 （2）截止频率不同：相干系统截止频率是确定像 的复振幅的最高频率分量，而非相干系统截止频率 是对像强度的最高频率分量而言。非相干衍射受限 系统的OTF，其截止频率扩展到相干系统CTF的截 止频率的两倍处。
源中心对两观测点的张角有关。
[4-4] 在杨氏干涉实验中，如果光源的宽度是光源 的极限宽度的1/3，试问干涉条纹的对比度是多少？
解：条纹对比度V sin
2bt ， 其中 = 。当光源宽度为 ls
极限宽度时， =1。因此当光源宽度为极限宽度的1/3时，
=1/3，于是相应的干涉条纹对比度
变化情况。
由相干时间或相干长度来表征。光源的时间相干性
取决于光源的频谱宽度或中心波长0和波长宽度 等。
[4-3] 什么叫光源的空间相干性？由什么物理量
来表征？与哪些因素有关？
答：空间相干性是指在波面上固定两空间点的位 相差随时间的变化情况。它描述在同一时刻波面
上两点之间光场的相干性。
信息光学第二章习题答案
自由空间传输只是附加了空间频率相关的相位，相
对振幅分布不变。
当
时， f
2 x
fy2
1 2
H
fx, fy
0 。这说明该系统是一个低
通滤波器。
其截止频率为：0
f
2 x
fy2
1
2.6、光场从入射面经自由空间传输至某一距 离后，在观测面上某点得到零强度分布。现 在入射面上先后放置两互补衍射屏，试问在 观测点处先后所得的强度有什么关系？说明 理由。
x0 z
y0
z
2
解：用单位振幅的单色平面波垂直照明模块，其 透射光场为：
Ut x, y t1 xt2 y
夫琅和费衍射远场光场分布为：
U (x0,
y0 )
1
i z
e e ikz
i
k 2z
[
x02
y02
]
{Ut (x,
y)}
1
i z
e e ikz
1 2
t20t1' 0
e e i2 fxx i2 fxx
1 4
t1'0t2' 0
ei2
f x x 2
fy y
ei2
f x x 2
fy y
ei2
f x x 2
f y y
ei2
f x x 2
f y y
2.4、试阐述傅里叶自成像与一般几何成像 的不同。
x02
y02
)
i z
Xf x
信息光学 课后习题答案
信息光学课后习题答案信息光学课后习题答案在信息时代，光学技术的应用越来越广泛。
信息光学是一门研究光的传播、控制和处理的学科，它涉及到光的物理性质、光学仪器和光学系统的设计等方面。
在信息光学的学习过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固理论知识，提高问题解决能力。
下面是一些信息光学课后习题的答案，希望能对你的学习有所帮助。
1. 什么是光的干涉？请简要描述干涉的条件和干涉的类型。
答：光的干涉是指两束或多束光波相互叠加产生干涉现象的现象。
干涉的条件包括：光源的相干性、光波的波长、光波的振幅和相位等。
根据光波的相位关系和干涉光波的振幅分布，干涉可以分为构成干涉的光波相位差为定值的相干干涉和相位差随空间位置而变化的非相干干涉。
2. 什么是光的衍射？请简要描述衍射的条件和衍射的类型。
答：光的衍射是指光波通过物体的边缘或孔径时发生偏折和扩散的现象。
衍射的条件包括：波长与物体尺寸的比值、入射光波的方向和物体的形状等。
根据物体的形状和光波的传播方式，衍射可以分为菲涅尔衍射和菲拉格衍射。
3. 什么是光的偏振？请简要描述光的偏振现象和偏振的方法。
答：光的偏振是指光波中的电矢量在特定方向上振动的现象。
偏振可以通过特定的方法将非偏振光转化为偏振光，常用的偏振方法包括：偏振片的使用、布儒斯特角的利用和波片的调整等。
4. 什么是光的散射？请简要描述散射的条件和散射的类型。
答：光的散射是指光波与物质相互作用后改变传播方向的现象。
散射的条件包括：光波与物质的相互作用力、物质的尺寸和光波的波长等。
根据散射物体的尺寸和光波的波长，散射可以分为瑞利散射、米氏散射和光学散射等。
5. 什么是光的吸收？请简要描述吸收的条件和吸收的影响因素。
答：光的吸收是指光波在物质中被吸收转化为其他形式的能量的现象。
吸收的条件包括：光波与物质的相互作用力、物质的性质和光波的波长等。
吸收的影响因素包括：物质的吸收系数、光波的强度和入射角度等。
以上是对一些信息光学课后习题的简要解答。
信息光学习题解答
解: h( x) exp( x)step( x) exp( x) g( x) step( x) h( x) f (x) h( x)
x0 x0
f (x)
1, x 0 0, 其它
h( x)
1
h( x )
ex , x 0 0, 其它
f (x)
1
x 01
x 0
（1）、将f (x)和h (x)变为f ( )和h ( ), 并画出相应的曲线
4如图所示的等腰直角三角形孔径放在透镜的前焦平面上, 以单位 振幅的单色平面波垂直照明, 试求透镜后焦面上的夫琅和费衍射 图样的复振幅分布。
y0 y0 x0
U(x, y)
1
jf
exp(
jkf
) e xp
j
k 2f
(x2
y
2
)
45 0 45
x0 a
x0
2
U0( x0 ,
y0 ) exp
0
其它
1.5 计算下列一维卷积
(1) (2 x 3) rect( x 1)
2
(2) rect( x 1) rect( x 1)
2
2
(3) com b( x) rect( x)
解（1）
(1) (2 x 3) rect( x 1) 1 ( x 3 ) rect( x 1)
n
(1)n ( x n)
n
comb( x)exp( j x ) comb( x) (1)n ( x n) ( x n)
n
n
0 n为奇数
2 ( x 2n)
n
1.4 计算下面两个函数的一维卷积
h( x) 1 x
f (x) 1 x
中山大学《光信息处理与技术》第01章习题解答
(2) 首 先 将 梳 状 函 数 comb( x) comb( x) 按傅里叶级展开为： comb( x)
式中： Cn
1/2
n
( x n) 看 作 周 期 函 数 ， 且 周 期 T 1 ， 因 此 可 把
n
Ce
n
i2 πnx
1/ 2
comb( x)e i2 πnx dx
0 r l/2 1 由圆柱函数的定义可知： circ(r / l ) 1/ 2 r l / 2 。不失一般性的，可以只考虑余弦 0 r l/2
函数在 0 ~ 2 π 范围内的情况。由于 r 的取值为 0 r l / 2 取值为 1，只需考虑这个范围的 r 的 值，这样： 当 0 ar 2 π / 2 ，即 0 l r f (r ) circ l 这时半径为 0 R
4
形沿 x 轴整体向右平移了一个单位。
1
0.8
0.6 f(x) 0.4 0.2 0 -3 -2 -1 0 x 1 2 3
(2) f ( x) sgn( x) rect( x 1) rect( x 1) 。函数图形如下图所示，与 f ( x) 的图形相比，图
形在 x 轴的负半轴进行了反转。
2 2 N N 2 πx2 1 1 e lim N e N πx ( x) N | a | N |a| |a|
1 ( x) 。所以有： |b| 1 ( x, y ) | ab |
(axቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ by )
(4) 由梳状函数的定义式(1.3.117)， comb( x)
6
(2) 利用梳状函数的定义，且 a 0 ，有
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习 题 44.1 尺寸为a b ⨯的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。
4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：(1) 00(,)t x y = (2) 001,(,)0,a t x y ⎧⎪≤=⎨⎪⎩其它4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： 00()cos(2/)t x a b x d π=+式中，d 为光栅的周期，0a b >>。
观察平面与光栅相距z 。
当z 分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。
(1) 22r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 242r z d z λ==式中：r z 为泰伯距离。
4.4 参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。
P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面上，坐标为(0,)b 。
假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。
4.5 方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。
观察平面位于夫琅禾费区，与孔径相距为z 。
求衍射图样的强度分布。
4.6 环形孔径的外径为2a ，内径为2a ε(01)ε<<。
其透射率可以表示为：001,()0,a r at r ε≤≤⎧=⎨⎩其他度分布。
4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。
它们的半径都为a ，中心距离为d ()d a >>。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y 方向截面图。
4.8 参看下图，边长为2a 的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在(,)x y ''点。
采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。
画出0x y ''==时，孔径频谱在x 方向上的截面图。
4.9 下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a ，长度为b ，中心相距d 。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
假定4b a =及 1.5d a =，画出沿x 和y 方向上强度分布的截面图。
4.10 下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即： 00()step()t x x =样的复振幅分布。
画出沿x 方向的振幅分布曲线。
4.11 下图所示为宽度为a 的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差π。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。
画出沿x 方向的截面图。
4.12 线光栅的缝宽为a ，光栅常数为d ，光栅整体孔径是边长L 的正方形。
试对下述条件，分别确定a 和d 之间的关系：(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。
(2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。
4.13 衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为： 000000(,)c o m b (/)c o m b (/)c o m b [(0.1)/)]c o m b (/)t x y x a y b x a a y b =+- 采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
画出沿x 方向的截面图。
4.14 如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。
其折射率为n ，齿宽为a ，齿形角为α，光栅的整体孔径为边长为L 的正方形。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距光栅为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大，α角应如何选择？4.15 衍射零是由m n ⨯个圆孔构成的方形列阵，它们的半径都为a ，其中心在0x 方向间距为x d ，在0y 方向间距为y d ，采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z 的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
4.16 在透明玻璃板上有大量(N )无规则分布的不透明小圆颗粒，它们的半径都是a 。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
习 题 55.1 下图所示楔形薄透镜，楔角为α，折射率n ，底边厚度为0∆。
求其位相变换函数，并利用它来确定平行光束小角度入射时产生的偏向角δ。
5.2 见下图，点光源S 与楔形薄透镜距离为0z ，它发出倾角为θ的傍轴球面波照棱镜，棱镜楔角为α，折射率n 。
求透射光波的特征和S 点虚像的位置。
5.3 采用如下光路对某一维物体作傅里叶分析。
它所包含的最低空间频率为20/mm ，最高空间频率为200/mm 。
照明光的波长λ为0.6μm 。
若希望谱面上最低频率成分与最高频率成分之间与最高频率之间间隔50/mm ，透镜的焦距应取多大？5.4 对于下图所示的变换光路，为了消除在物体频谱上附加的位相弯曲，可在紧靠输出平面之前放置一个透镜。
问这个透镜的类型以及焦距如何选取？5.5 参看下图，单色点光源S 通过一个会聚透镜在光轴上'S 位置。
物体(透明片)位于透镜后方，相距'S 的距离为d ，波完全相同。
求证物体的频谱出现在点光源的像平面上。
5.6 如下图所示，透明片111(,)t x y 和222(,)t x y 分别紧贴在焦距为122,f a f a ==的两个透镜之前。
透镜12,L L 和观察屏三者间隔相等，都等于2a 。
如果用单位振幅单色平面波垂直照明，求观察零上的复振幅分布。
5.7 一个被直径为d 的圆形孔径的物函数0U ，把它放在直径为D 的圆形会聚透镜的前焦面上，测量透镜后焦面上的强度分布。
假定D d >。
(1) 写出所测强度准确代表物体功率谱的最大空间频率的表达式，并计算6D =cm ，2.5d =cm ，焦距50f =cm 以及0.6λμ=m 时，这个频率的数值(单位：/mm)(2) 在多大的频率以上测得的频谱为零？尽管物体可以在更高的频率上有不为零的频率分量。
5.8 一个衍射屏具有下述圆对称的复振幅透过率函数(见下图)：2001(0)[1cos()]circ(/)2t r ar r l =+(1) 这个屏的作用类似于透镜，为什么？(2) 给出此屏的焦距表达式？(3) 这种屏作成像元件它会受到什么性质的限制(特别对于多色物体成像)？5.9 下图所示为菲涅尔波带片的复振幅透过率2001(0)[1sgn(cos )]circ(/)2t r ar r l =+证明它的作用相当于一个有多重焦距的透镜。
确定这些焦距的大小。
5.10 单位振幅的单色平面波垂直照射一个直径为5cm 、焦距为80cm 的透镜。
在透镜后面20cm的地方，以光轴为中心放置一个余弦型振幅光栅，其复振幅透过率为：0000001(,)(1c o s 2)r e c t (/)r e c t (/)2t x y f x x Ly L π=+ 假定1L =cm ，0100f =/mm 。
画出焦平面上沿f x 轴强度分布。
标出各衍射分量之间距离和各个分量(第一个零点之间)的宽度的数值。
习 题66.1 下图所示为两个相干成像系统。
所用透镜的焦距都相同。
单透镜系统中光阑直径为D ，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径l 应等于多大(相对于D )写出关系式。
6.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为：0001(,)(1c o s 2)2t x y f x π=+放在下图所示成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波传播方向在0x z 平面内，与z 轴夹角为θ。
透镜焦距为f ，孔径为l 。
(1) 求物体透射光场的频谱。
(2) 使像平面出现条纹的最大θ等于多少？求此时像面强度分布。
(3) 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与0θ=时截止频率比较，结论如何？6.3 下图所示相干成像系统中，物体复振幅透过率为：1(,)[1c o s ()]2a b t x y f xf y =++ 为了使像面能得到它的像，问： (1) 若采用圆开光阑，直径应大于多少？ (2) 若采用矩形光阑，各边边长就大于多少？6.4 当点扩散函数(,)I i i h x y 成点对称时，证明OTF 为实函数，即等于调制传递函数。
6.5 一个非相干成像系统，出瞳由两个正方形孔构成。
如下图所示，正方形孔的边长1a =cm ，两孔中心距3b =cm 。
若光波波长0.5λμ=m ，出瞳与像面距离10i d =cm ，求系统的OTF ，画出沿x f 和y f 轴的截面图。
6.6 物体的复振幅透过率可以用矩形波表示，它的基频是50/mm 。
通过圆形光瞳的透镜成像。
透镜焦距为10cm ，物距为20cm ，照明波长为0.6λμ=m 。
为了使像面出现条纹，在相干照明和非相干照明的条件下，分别确定透镜的最小直径应为多少？ 6.7 若余弦光栅的透过率为： (,)c o s 2t x y ab f xπ=+ 式中，0a b >>。
用相干成像系统对它成像。
设光栅频率f 足够低，可以通过系统。
忽略放大和系统总体衰减，并不考虑像差。
求像面的强度分布，并证明同样的强度分布出现在无穷多个离焦的像平面上。
6.8 物体的复幅透过率为 1()c o s (2/)t x x b π= 通过光学系统成像。
系统的出瞳是半径为a 的圆孔径，且2/i i d a d b λλ<<。
i d 为出瞳到像面的距离，λ为波长。
问对该物体成像，采用相干照明和非相干照明，哪一种方式更好？ 6.9 在上题中，如果物体换为 1()c o s (2/)t x x b π= 结论如何？6.10 利用施瓦兹不等式证明OFT 的性质：|(,)||(0,0)|H H ξη≤。
6.11 一个非相干成像系统，出瞳为宽为2a 的狭缝，它到像面的距离为i d 。
物体的强度分布为：()c o s 2g x f x αβπ=+ 条纹的方向与狭缝平行。
假定物体可以通过系统成像，忽略总体衰减，求像面光强分布(照明光波长为λ)。
6.12 下图所示成像系统，光阑为双缝，缝宽为a ，中心间隔为d ，照明光波长为λ。
求下述情况下系统的脉冲面积响应和传递函数，画出它们的截面图。
(1) 相干照明；(2) 非相干照明。
6.13 下图所示非相干成像系统，光瞳为边长l 的正方形。
透镜焦距50f =mm ，光波长30.610λ-=⨯mm ，若物面光分布为：1()1c o s (600)2I x x π=+ 希望像面光强分布为：1()[1c o s (600)]4i I x C x π=+式中，C 为总体衰减系数。