广州市高二上学期期末数学试卷(理科)(II)卷
广东省广州市高二上学期期末数学试卷(理科)
广东省广州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）不等式的解集为（）A .B .C .D .2. （2分）设点P是△ABC所在平面内一点，，则点P是△ABC（）A . 内心B . 外心C . 重心D . 垂心3. （2分） (2020高二下·武汉期中) 若均为实数，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）双曲线﹣ =1的焦距是（）A . 3B . 6C .D . 25. （2分）(2017·昌平模拟) 在△ABC中，已知AB=3，AC=5，A=120°，则 =（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·菏泽月考) 等差数列和的前n项和分别为与，对一切自然数n，都有，则等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二下·闵行期末) 定义：复数与的乘积为复数的“旋转复数”．设复数对应的点在曲线上，则的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）．A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·辽源期中) 已知{an}为等差数列，a3=7，a1+a7=10，Sn为其前n项和，则使得Sn 达到最大值的n等于（）A . 4B . 5C . 6D . 79. （2分）(2018·宁德模拟) 设满足约束条件若目标函数的最小值大于，则的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·芜湖期末) 在△ABC中，，则△ABC的形状是（）A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 钝角三角形D . 正三角形11. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 抛物线的焦点坐标为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·南阳月考) 已知 ,为椭圆的左右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若 , ，则椭圆C的方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·湛江月考) 已知命题；命题是增函数.若“ ”为假命题且“ ”为真命题，则实数m的取值范围为________.14. （1分）已知A、B、C三点不共线，若点M与A、B、C四点共面，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：=x+y+，其中x，y是实数，则x+y= ________15. （1分）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an2+an ，用[x]表示不超过x的最大整数，则的值等于________．16. （1分） (2019高三上·长沙月考) 已知双曲线右焦点为，直线与双曲线交于，两点，、的中点依次为，，若以线段为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为________．三、解答题： (共6题；共50分)17. （5分） (2017高二上·靖江期中) 已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：函数f（x）=lg[x2﹣2（m+1）x+m（m+1）]的定义域为R，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．18. （5分） (2019高二上·丰台期中) 已知等差数列满足 .等比数列满足 .(I)求数列的通项公式;(II)设 ,求数列的前项和 .19. （5分） (2020高一下·河西期中) 在△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝30°，b ，c＝2，解这个三角形．20. （10分） (2020高一上·林芝期末) 已知的三个顶点是，， .（1）求边的高所在直线的方程；（2）若直线过点，且、到直线的距离相等，求直线的方程.21. （15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）试在棱CC1（不包含端点）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；（3）在（2）的条件下，若AB= ，求二面角A﹣EB1﹣A1的平面角的正弦值．22. （10分） (2018高三上·荆门月考) 已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点P（0，1）作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题： (共6题；共50分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
广东省2021年数学高二上学期理数期末考试试卷(II)卷
广东省2021年数学高二上学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高二下·浙江期末) 设 ,命题若 ,则方程有实根的逆否命题是（）A . 若方程有实根，则B . 若方程有实根，则C . 若方程没有实根，则D . 若方程没有实根，则2. （2分）买4枝郁金香和5枝丁香的金额小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额和大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是（）A . 前者贵B . 后者贵C . 一样D . 不能确定3. （2分） (2016高三上·大庆期中) “φ= ”是“函数y=sin（x+2φ）是偶函数”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分又不必要条件4. （2分）(2016·太原模拟) 向量与向量的夹角为π，，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为（）A . （﹣7，8）B . （9，﹣4）C . （﹣5，10）D . （7，﹣6）5. （2分）在等比数列{an}中，a1=8，a4=a3a5 ，则a7=（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高三上·蓟县期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A .B . ﹣3C . 0D . 17. （2分） (2019高二上·上杭期中) 设等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为A .B . 4C . 4或5D . 168. （2分） (2017高二下·都匀开学考) 已知点A（x0 ， y0）是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，且它在第一象限内，焦点为F，O坐标原点，若|AF|= ，|AO|=2 ，则此抛物线的准线方程为（）A . x=﹣4B . x=﹣3C . x=﹣2D . x=﹣19. （2分） (2018高二上·宁夏月考) 设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不确定10. （2分） (2019高三上·湖南月考) 如图，已知双曲线：的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)11. （1分） (2019高一上·石门月考) 若 ,则的取值范围是________.12. （1分）(2018·邯郸模拟) 已知向量，满足，，若，则________．13. （1分） (2018高二上·石嘴山月考) 设公比为的等比数列的前项和为，若，则 ________．三、解答题 (共6题；共50分)14. （10分） (2017高二上·宜昌期末) 已知命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+1≤0的解集为∅；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆；若命题¬q为真命题，p∨q为真命题．（1）求实数a的取值范围；（2）判断方程（a+1）x2+（1﹣a）y2=（a+1）（1﹣a）所表示的曲线的形状．15. （5分）(2016·肇庆模拟) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c= ，△ABC的面积为，求△ABC的周长．16. （10分） (2020高一下·佛山月考) 已知数列是各项为正数的等比数列，且， .数列是单调递增的等差数列，且，，（1）求数列与数列的通项公式；（2）求数列的前n项和 .17. （5分） (2016高二上·宜昌期中) 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知• =2，cosB= ，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．18. （10分） (2019高一上·九台月考) 已知二次函数满足条件和．（1）求的解析式；（2）求在区间上的取值范围．19. （10分） (2019高二下·南充月考) 在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，- ），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥ ，求k的值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：14-1、答案：14-2、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：。
广东省广州高二上学期期末数学试题(解析版 (2)
一、单选题1．直线方程的一个方向向量可以是（ ）20x y m -+=dA ．B ．C ．D ．(2,1)-(2,1)(1,2)-(1,2)【答案】D【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量. 【详解】解：依题意，为直线的一个法向量，∴方向向量为， ()2,1-()1,2故选：D .2．双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，它的一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线224x y =的标准方程为（ ）A ．B ．2215418y x -=2215418x y -=C ．D ．221279y x -=221927x y -=【答案】C【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到，关系，求解即可． a b 【详解】解：抛物线的焦点：，可得，且双曲线的焦点坐标在轴上， 224x y =(0,6)6c =y 因为双曲线的渐近线的倾斜角为，60︒所以， ab=223a b =又，所以，， 22236c a b =+=227a =29b =所求双曲线方程为：．221279y x -=故选：C ．3．平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） α()2,0,1n =()1,2,1A -α()1,2,3P αA ．BCD【答案】C【分析】由点到平面距离的向量法计算． 【详解】，(2,0,2)PA =--cos ,n PA <=所以点到平面的距离为． ()1,2,3P αcos ,d PA n PA =<>==故选：C ．4．设x ，，向量，，且，，则（ ）y ∈R (),1,1a x = (1,,1)b y = (2,4,2)c =- a b ⊥ //b c ||a b +=A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据，，解得x ，y ，然后由空间向量的模公式求解.a b ⊥ //b c【详解】因为向量，，且由得，由，得(),1,1a x = (1,,1)b y = (2,4,2)c =-a b ⊥ 10x y ++=//b c 解得，所以向量，， 124y=-2,1y x =-=()1,1,1a = (1,2,1)b =- 所以，()2,1,2a b +=-所以 ||3a b +== 故选：C5．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） {}n a 564718a a a a +=3132310log log log a a a +++= A ． B ．C ．D ．101231log 5+32log 5+【答案】A【分析】计算得出，利用对数的运算性质结合等比数列的性质可求得结果. 569a a =【详解】，所以，，564756218a a a a a a +== 569a a =故． ()()553132310312103563log log log log log log 910a a a a a a a a +++==== 故选：A ．6．动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是 （ ） A 221x y +=()3,0B A ． B ． 22320x y x +++=22320x y x +-+=C ． D ．22320x y y +++=22320x y y +-+=【答案】B【分析】设连线的中点为,再表示出动点的坐标,代入圆化简即可. (,)P x y A 221x y +=【详解】设连线的中点为,则因为动点与定点连线的中点为,故(,)P x y (,)A A A x y ()3,0B (,)P x y ,又在圆上,故, 3232202A A A A x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩A 221x y +=22()(231)2x y -+=即即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=22320x y x +-+=故选B【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.7．如图已知矩形将折起，当二面角的余弦,1,ABCD AB BC ==AC ABC A B AC D --值为时，则B 与D 之间距离为（ ）13-A ．1BC D【答案】C【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化B D BE AC ⊥DF AC ⊥求解即可．【详解】解：过和分别作，，B D BE AC ⊥DF AC ⊥在矩形， ,1,ABCD AB BC ==2AC ∴=， ABC ADC S S =△△1122AB BC AC BE ∴⋅=⋅， BE DF ∴==则，即，12AE CF ==211EF =-=平面与平面所成角的余弦值为，ABC ACD 13-,， cos EB∴< 13FD >=- ，BD BE EF FD =++ ∴2222233()22212cos 44BD BE EF FD BE EF FD BE EF FD BE EF FD EB FD EB=++=+++⋅+⋅+⋅=++-⋅<，，51512(32322FD >=--=+=则， BD =即与 B D 故选：C ．8．是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，点在轴上，满足12F F ､2222:1(0)x y E a b a b+=>>M E N x ，若，则椭圆的离心率为（ ） 1260F MN F MN ∠∠== 1235MF MF MN λ+=E A ．B ．C ．D ．89562378【答案】D【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定与的关系，再利用椭圆1||MF 2||MF 定义结合余弦定理求解作答.【详解】由得，以、为一组邻边的平行四边形的以点M 为起点的1235MF MF MN λ+= 13MF25MF 对角线对应的向量与共线，MN由知，平分， 1260F MN F MN ∠=∠=︒MN 12F MF ∠因此这个平行四边形是菱形，有， 123|5|||MF MF =又，于是得， 12|||2|MF MF a =+1253|,|4||4MF a MF a ==令椭圆的半焦距为c ，在中，，E 12F MF △12120F MF ∠=由余弦定理得：，22212121212||||||2||||cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠即， 22225353494()()444416c a a a a a =++⋅=则有，解得，所以椭圆的离心率为.2224964c e a ==78e =E 78故选：D二、多选题9．已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） {}n a n n S 10a <713S S =A ．是递减数列 B ．{}n a 120a >C ．D ．最小时， 200S <n S 10n =【答案】BD【分析】根据等差数列的性质首项可得：公差且即可判断等差数列是10a <0d >11100a a =->{}n a 递增数列，进而求解.【详解】因为等差数列的前项和为，且，{}n a n n S 713S S =所以，则有，137891011121310113()0S S a a a a a a a a -=+++++=+=0111a a =-因为，所以公差，且，所以等差数列是递增数列，故选项错误；10a <0d >11100a a =->{}n a A ，故选项正确； 12110a a >>B 因为，故选项错误； 12010112020()20()022a a a a S ++===C 由可知：等差数列的前10项均为负值，所以最小时，，故选项正确， 11100a a =->{}n a n S 10n =D 故选：.BD 10．过点作圆：的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） ()2,1P O 221x y +=,A BAB ．四边形的外接圆方程为 PAOB 222x y x y +=+C ．直线方程为AB 21y x =-+D ．三角形的面积为PAB 85【答案】BCD【分析】求出，由勾股定理求解，即可判断选项；OP PA A 利用为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项；利用，求出直线的斜PO B AB OP ⊥AB 率，即可判断选项；求出直线和的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，即可判断选C PO AB 项.D【详解】对于，故A =2=选项错误；A对于，由题意知，，则为所求圆的直径，所以线段的中点为B PB OB ⊥PO PO 112（，），则所求圆的方程为，化为一般方程为，故选项正确；2215(1)()24x y -+-=222x y x y +=+B 对于，由题意，其中一个切点的坐标为，不妨设为点，则，又，所以C 0,1（）B AB OP ⊥12OP k =，所以直线的方程为，故选项正确； 2AB k =-AB 21y x =-+C 对于，因为，且直线的方程为，直线的方程为，联立方程组D AB OP ⊥OP 12y x =AB 21y x =-+，解得，所以两条直线的交点坐标为，2112y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩21(,55D==故的面积为，所以的面积为，故选项正确，PBD △1425=PAB A 85D 故选：.BCD 11．已知，曲线，下列说法正确的有（ ） ()0,πα∈22:sin cos 1C x y αα+=A ．当时，曲线C 表示一个圆 π4α=B ．当时，曲线C 表示两条平行的直线 π2α=C ．当时，曲线C 表示焦点在x 轴的双曲线π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．当时，曲线C 表示焦点在y 轴的椭圆π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】根据曲线方程的特点，结合圆、直线、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可． 【详解】对于A ，当时，曲线表示圆A 正确； π4α=22sin cos 1x y αα+=22x y +=对于B ，当时，曲线C 表示两条平行的直线，所以B 正确． π2α=1x =±对于C ，当时，曲线表示焦点在x 轴的双曲线，所以C 正确．π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22:sin cos 1C x y αα-=对于D ，当时，，曲线C 表示焦点在x 轴的椭圆，所以D 不正确．π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin cos 1αα<<<故选：ABC ．12．如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（含端点），则下列结论11111ABCD A B C D -M 1AB 正确的是（ ）A ．平面平面BCM ⊥1A AM B ．三棱锥体积最大值为1B MB C -16C ．当为中点时，直线与直线 M 1AB 1BD CM D ．直线与所成的角不可能是CM 1A D 4π【答案】ABC【分析】利用面面垂直的判定知A 正确；利用，可知三棱锥体积最大时，最大，由此可计算确定B 正确； 11B MB C C BB M V V --=1B MB C -1BB M S A 以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可知C 正确；1D 在C 中的空间直角坐标系中，假设，得到，假设所成角可以为()101AM AB λλ=≤≤ ()1,,1M λλ-，利用异面直线所成角的向量求法构造方程可求得的值，知D 错误.4πλ【详解】对于A ，，，，平面，BC AB ⊥ 1BC BB ⊥1AB BB B Ç=1,AB BB ⊂1AA M 平面，又平面，平面平面，A 正确；BC ∴⊥1AA M BC ⊂BCM ∴BCM ⊥1A AM 对于B ，，11111133B MBC C BB M BB M BB M V V S BC S --==⋅=A A 为上动点，当与重合时，取得最大值为， M 1AB ∴M A 1BB M S A 11122AB BB ⋅=，B 正确； ()1max111326B MB CV -∴=⨯=对于C ，以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，1D当为中点时，，又，，，M 1AB 111,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭()11,1,0B ()0,1,1C ()0,0,1D ，，()11,1,1B D ∴=-- 111,,22CM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，111cos ,B D CM B D CM B D CM⋅∴<>===⋅当为中点时，直线与直线C 正确；∴M 1AB 1B D CM 对于D ，如C 中所建立的空间直角坐标系，设，，()1,,M y z ()101AM AB λλ=≤≤又，，，， ()1,0,1A ()10,1,1AB ∴=- ()0,,1AM y z =-()()0,,10,,y z λλ∴-=-则，，，y λ=1z λ=-()1,,1M λλ∴-，又，()1,1,CM λλ∴=-- ()11,0,1A D =-111cos ,CM A D CM A D CM A D ⋅∴<>==⋅ 若直线与所成的角为CM 1A D 4π=解得：，2λ=[]0,1λ∈当时，直线与所成的角为，D 错误.∴2λ=(12AM AB = CM 1A D 4π故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查立体几何中的动点问题的求解，对于CD 选项中的异面直线所成角，可利用异面直线所成角的向量求法确定结论是否成立，易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成余弦值求解错误.三、填空题13．已知数列的前n 项和，则数列的前2022项和为______．{}n a 2n S n =11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】20224045【分析】由求得，再由裂项相消法即可求出.1n n n a S S -=-21n a n =-【详解】因为，当时，，2n S n =1n =111a S ==当时，，满足， 2n ≥()221121n n n n a S S n n ---==--=11a =所以，21n a n =-所以， ()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以数列的前2022项和为. 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭1111111120221233557404340454045⎛⎫-+-+-++-= ⎪⎝⎭ 故答案为：. 2022404514．设点的坐标为，点在抛物线上移动，到直线的距离为，则A (P 28y x =P 2x =-d 的最小值为__________.d PA +【答案】4【解析】根据抛物线的定义可知，当三点共线时， 取得最小值，由此求得这个最小,,A P F d PA +值.【详解】抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可知，，所以当三点共线时，()2,0PF d =,,A P F 取得最小值，最小值为.d PA +4=故答案为：4【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15．设P 是椭圆上的任一点，EF 为圆的任一条直径，则的22:12x M y +=22:0N x y y +-=PE PF ⋅ 最大值为__________． 【答案】94【分析】设点，则且，计算得出，利用二次函(),P x y 2222x y =-11y -≤≤21924⎛⎫=-++ ⎪⎝⋅⎭ y PE PF 数的基本性质可求得的最大值.PE PF ⋅【详解】圆的圆心为，半径长为，2211:24⎛⎫+-= ⎪⎝⎭N x y 10,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭12设点，则且，(),P x y 2222x y =-11y -≤≤，，PE PN NE =+ PF PN NF PN NE =+=-所以()()22221124⎛⎫=+⋅-=-=-+- ⎪⎭⋅⎝PN NE PN N P E PN NE y E PF x ，222211192222424⎛⎫⎛⎫=-+--=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y y y y y 所以，当时，取得最大值，即. 12y =-PE PF ⋅ ()max94⋅=PE PF故答案为：. 94【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．16．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元.（取，）111.27.5=121.29=【答案】40000【分析】设一月月底小王手中有现款为元，月月底小王手中有现款为，月月底111000a =n n a 1n +小王手中有现款为，根据题意可知，整理得出，所1n a +1 1.21000n n a a +=-()15000 1.25000n n a a +-=-以数列是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，求得元，减去成本得到结{}5000n a -1250000a =果.【详解】设一月月底小王手中有现款为元，1(120%)10000100011000a =+⨯-=月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为，n n a 1n +1n a +则，即，1 1.21000n n a a +=-()15000 1.25000n n a a +-=-所以数列是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，{}5000n a -，即元.111250006000 1.2a -=⨯11126000 1.2500050000a =⨯+=年利润为元. 500001000040000-=故答案为：40000.【点睛】该题考查的是有关数列应用的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，属于简单题目.四、解答题17．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且． ABC A cos b A c =（1）求B 的大小；（2）若，求的面积． 2c a b =+=ABC A【答案】（1）； （26π【分析】（1，求得sin cos A A B =cos B =，即可求解；（2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即2233a b a -+=2a b +=1a b ==可求解.【详解】（1）因为， cos b A c =由正弦定理可得， sin cos sin B A A C =又， sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， sin cos A A B =因为，则，所以 (0,)A π∈sin 0A >cos B =因为，所以.(0,)B π∈6B π=（2）因为，6B π=c =由余弦定理可得， cos B ==2233a b a -+=又，解得， 2a b +=1a b ==所以111sin 1222ABC S ac B ==⨯=A 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．已知数列满足{}n a 111,21,.n n a a a n N *+==+∈(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； {}1n a +{}n a (2)令，求数列的前项和(1)n n b n a =+{}n b n .n T 【答案】(1)证明见解析，21nn a =-(2)1(1)2 2.n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是以为首项，2为公比的等比数列，进而求解{}1n a +2得答案；（2）根据错位相减法求和即可.【详解】（1）解：数列满足{}n a 111,21,.n n a a a n N *+==+∈，112(1)n n a a ++=+Q ∴数列是以为首项，2为公比的等比数列， {}1n a +112a +=，即；11222n n n a -∴+=⋅=21n n a =-∴21nn a =-（2）解：，(1)2nn n b n a n =+=⋅Q ，231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅ ，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，2311112(21)22222222221n nn n n n n T n n n ++++-∴-=++++-⋅=-⋅=--⋅-L1(1)2 2.n n T n +∴=-⋅+19．如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点M 为的重111ABC A B C -1160A AB A AC ∠=∠=︒ABC A 心，AM 的延长线交BC 于点N ，连接．设，，．1A M AB a =AC b = 1A A c =(1)用，，表示； a b c1A M (2)证明：． 1A M AB ⊥【答案】(1)11133A M a b c =++(2)证明见解析【分析】（1）根据空间向量的运算求得正确答案.（2）通过计算来证得.10A M AB ⋅=1A M AB ⊥【详解】（1）因为为正三角形，点M 为的重心，所以N 为BC 的中点，ABC A ABC A 所以，， 1122AN AB AC =+ 23AM AN =所以．11112111133333A M A A AM A A AN A A AB AC a b c =+=+=++=++ （2）设三棱柱的棱长为m ，则， 2222111111111033333322A M AB a b c a a a b c a m m m ⎛⎫⋅=++⋅=+⋅+⋅=+⨯-⨯= ⎪⎝⎭所以．1A M AB ⊥20．已知点，圆C ：.()2,0P 226440x y x y +-++=(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为l 的方程；(2)设直线与圆C 交于A ，B 两点，过点的直线垂直平分弦AB ，这样的实数a 10ax y -+=()2,0P 2l 是否存在，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或 3460x y +-=2x =(2)不存在，理由见解析【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；（2）过点的直线垂直平分弦AB ，则圆心在直线上，由此可得直线的斜率，然后由垂()2,0P 2l 2l 2l 直求得，由直线与圆相交求得的范围，比较可得． a a 【详解】（1）∵点，直线l 过点P ，()2,0P ∴设直线l 的斜率为k （k 存在），则方程为. ()02y k x -=-又题C 的圆心为，半径，()3,2-3r =由弦长为，解得.1d =34k =-所以直线方程为，即. ()324y x =--3460x y +-=当l 的斜率不存在时，l 的方程为，经验证也满足条件. 2x =2x =故l 的方程为或.3460x y +-=2x =（2）把直线，即.代入圆C 的方程，10ax y -+=1y ax =+消去y ，整理得.()()2216190a x a x ++-+=由于直线交圆C 于A ，B 两点，10ax y -+=故，即，解得.()()223613610a a ∆=--+>720a ->0a <设符合条件的实数a 存在，由于垂直平分弦AB ，故圆心必在上. 2l ()3,2C -2l 所以的斜率，而，所以. 2l 2PC k =-1AB PC k a k ==-12a =由于，()1,02∉-∞故不存在实数a ，使得过点的直线垂直平分弦AB .()2,0P 2l 21．如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝4，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将△ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．(1)证明：平面POB ⊥平面ABCE ；(2)若PB PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角=，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．PQ QB 【答案】(1)证明见解析(2)存在； 1PQQB =【分析】（1）根据面面垂直判定定理将问题转化为证明AE ⊥平面POB ，然后结合已知可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面角列方程可解.【详解】（1）连接BE ，在等腰梯形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝4，E 为CD 中点， ∴四边形ABED 为菱形，∴BD ⊥AE ，∴OB ⊥AE ，OD ⊥AE ，即OB ⊥AE ，OP ⊥AE ，且OB ∩OP ＝O ， OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，∴AE ⊥平面POB ， 又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ．（2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，∴AD ＝DE ＝2， 在等腰梯形ABCD 中AE ＝BC ＝2，∴△PAE 正三角形，∴ OP =OB =∵ PB =∴OP 2+OB 2＝PB 2， ∴OP ⊥OB ，由（1）可知OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，以O 为原点，分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，OE OB OP，，则 ，A （﹣1，0，0），，，E （1，0，0）， (00P ()0B ()2C∴，， ((02PB PC == ，()200AE =，，设，，()01PQ PB λλ=＜＜()AQ AP PQ AP PB λ=+=+= 设平面AEQ 的一个法向量为（x ，y ，z ），n =则，即0n AE n AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩)200x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩取x ＝0，y ＝1，得，∴(0，1，)， 1z λλ=-n =1λλ-设直线PC 与平面AEQ 所成角为，02πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅===化简得：4λ2﹣4λ+1＝0，解得， 12λ=∴存在点Q 为PB 的中点，即时，使直线PC 与平面AEQ 1PQQB =22．已知椭圆：的长轴长为6，离心率为，长轴的左，右顶点分别为A ，C ()222210x y a b a b+=>>23B ．(1)求椭圆的方程；C (2)已知过点的直线交椭圆于M 、N 两个不同的点，直线AM ，AN 分别交轴于点S 、()0,3D -l C y T ，记，（为坐标原点），当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范DS DO λ=DTDO μ=O l θλμ+围．【答案】(1)22195x y +=(2) 4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得 ，进而得椭圆方程；22,a b （2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S 、T 的坐标，再根据确定 的表达式，将根与系数的,DS DO DT DO λμ==λμ，关系式代入化简，求得结果. 【详解】（1）由题意可得：解得：，所以椭圆的方程： 2222623a c e a a b c=⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩222954a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩C 22195x y +=（2）当直线l 的倾斜角为锐角时，设， θ()()1122,,M x y N x y ，设直线，():3,0l y kx k =->由得，223195y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩22(59)54360k x kx +-+=从而，又，得， 22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>0k >23k >所以， 1212225436,9595k x x x x k k +==++又直线的方程是：，令， AM ()1133y y x x =++0x =解得，所以点S 为； 1133y y x =+1130,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭直线的方程是：，同理点T 为· AN ()2233y y x x =++2230,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭所以，()1212330,3,0,3,0,333y y DS DT DO x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭因为，所以， ,DS DO DT DO λμ== 12123333,3333y y x x λμ+=+=++所以()()()12121212121212122311833222333339kx x k x x y y kx kx x x x x x x x x λμ+-+---+=++=++=++++++++ ()222223654231181019595223654921399595k k k k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪+++⎝⎭=+=-⨯+++⎛⎫+⨯+ ⎪++⎝⎭． ()()2110101229911k k k +=-⨯+=-⨯+++∵，∴， 23k >4,23λμ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭综上，所以的范围是．λμ+4,23⎛⎫⎪⎝⎭。
2023-2024学年广东省广州市越秀区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列直线中，倾斜角小于45°的直线是（ ） A ．4x ﹣y +5＝0B ．x +4y ﹣5＝0C ．x ＝4D ．y ＝52．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)，则a 5＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则GF →=（ ）A ．13AB →−23AC →+12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→4．若椭圆x 2a 2+y 29=1(a ＞0)与双曲线x 215−y 2=1的焦点相同，则a 的值为（ ）A ．25B ．16C ．5D ．45．已知空间三点A （3，2，0），B （6，1，﹣2），C （5，﹣1，1），则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为（ ） A ．72B ．7C ．7√32D ．7√36．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率，每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数R 0＝2，平均感染周期为3天，那么感染人数由1个初始感染者增加到99人大约需要（初始感染者传染R 0个人为第一轮传染，这R 0个人每人再传染R 0个人为第二轮传染…）（参考数据：lg 2≈0.3010）（ ） A ．6天B ．15天C ．18天D ．21天7．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点E ．已知|AF |＝5，|BF |＝3，若△AEF 的面积是△BEF 面积的2倍，则抛物线C 的方程为（ ）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x8．高8m和4m的两根旗杆笔直地竖立在水平地面上，且相距6m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知双曲线C的方程为y216−x29=1，则（）A．双曲线C的焦点坐标为（0，5），（0，﹣5）B．双曲线C的渐近线方程为y=±34xC．双曲线C的离心率为5 4D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为110．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R），则（）A．直线l恒过定点（3，1）B．直线l被圆C截得的最长弦长为10C．当m＝2时，直线l被圆C截得的弦长最短D．当m＝0时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于411．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N∗，S n≥S3，则a6a5的取值可能是（）A．12B．32C．53D．9412．已知正四面体ABCD的棱长为2，点M，N分别为△ABC与△ABD的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是（）A．直线MN与BD所成角的大小为60°B．点A到直线MN的距离为√11 3C．直线MN与平面ACD间的距离为2√2 3D．若BP⊥平面ACD，则三棱锥P﹣ACD外接球的表面积为27π2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a n+2＝3a n+1+4a n，则{a n}的公比为．14．已知直线x+3y+6＝0与2x+my﹣3＝0互相平行，则这两条直线间的距离是．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水面下降0.5米后，水面宽米．16．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面ADD1A1上的动点，且PC1∥平面AEF，则点P的轨迹长为，点P到直线AF的距离的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n}的前n项和公式为S n=2n−1(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝log2a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2﹣4x+3的图象与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若经过点（1，4）的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程．19．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且AC1=2√3，如图2．（1）求证：平面ABC1⊥平面AC1D；（2）求平面BC1D与平面ABD夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动圆C经过定点F（2，0），且与定直线l：x＝﹣2相切．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A，B两点，点P在直线l上且BP∥x轴，求证：直线AP经过原点O．21．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF＝DE，BF∥DE，M是AE的中点．（1）求证：平面BDM∥平面CEF；（2）若DE⊥平面ABCD，AB＝2，BM⊥CF，点P为线段CE上一点，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|＝7|PF 2|． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为Q(1，−12)，若椭圆C 上存在点M ，满足2OA →+3OB →=4OM →，求椭圆C 的方程．2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列直线中，倾斜角小于45°的直线是（ ） A ．4x ﹣y +5＝0B ．x +4y ﹣5＝0C ．x ＝4D ．y ＝5解：当直线倾斜角小于45°时，它的斜率小于tan45°＝1，且大于等于0． 由此判断：A 项的直线4x ﹣y +5＝0，斜率k ＝4，不符合题意； B 项的直线x +4y ﹣5＝0，斜率为−14，不符合题意；C 项的直线x ＝4，倾斜角为90°，不符合题意；D 项的直线y ＝5，斜率k ＝0，符合题意． 故选：D ．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)，则a 5＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16解：数列{a n }满足a 1＝1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)， ∴a n+1a n+2a n a n+1=2n+12n=2=a n+2a n， ∴数列{a n }的奇数项成等比数列，公比为2， 则a 5＝1×22＝4， 故选：B ．3．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则GF →=（ ）A ．13AB →−23AC →+12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→解：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则GF →=GE →+EC →+CF →=13AE →+12BC →+12AA 1→ =16AB →+16AC →+12AC →−12AB →+12AA 1→=−13AB →+23AC →+12AA 1→．故选：D ．4．若椭圆x 2a 2+y 29=1(a ＞0)与双曲线x 215−y 2=1的焦点相同，则a 的值为（ ） A ．25B ．16C ．5D ．4解：根据题意可得a 2﹣9＝15+1，又a ＞0，解得a ＝5． 故选：C ．5．已知空间三点A （3，2，0），B （6，1，﹣2），C （5，﹣1，1），则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为（ ） A ．72B ．7C ．7√32D ．7√3解：∵A （3，2，0），B （6，1，﹣2，），C （5，﹣1，1）， ∴AB →=（3，﹣1，﹣2），AC →=（2，﹣3，1）， ∴|AB →|=√(3)2+(−1)2+(−2)2=√14， |AC →|=√22+(−3)2+12=√14， 设AB →与AC →的夹角为θ，则cos θ=AB →⋅AC →|AB →||AC →|=−2+3+614×14=12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ=π3，即AB →与AC →的夹角为π3，即∠BAC =π3，∴△ABC 的面积S =12|AB →|⋅|AC →|⋅sin∠BAC =12×√14×√14×√32=7√32，故平行四边形的面积为7√3． 故选：D ．6．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率，每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数R0＝2，平均感染周期为3天，那么感染人数由1个初始感染者增加到99人大约需要（初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染…）（参考数据：lg2≈0.3010）（）A．6天B．15天C．18天D．21天解：设第n轮感染的人数为a n，则数列{a n}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，由1+S n=2×(1−2n)1−2+1=99，解得：2n＝50，两边取对数得：nlg2＝lg50，则nlg2=lg 1002，∴nlg2＝2﹣lg2，∴n=2−lg2lg2≈2−0.30100.3010≈5.64≈6，故需要的天数约为6×3＝18天．故选：C．7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|＝5，|BF|＝3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x解：如图，过A，B分别y轴的垂线，垂足分别为C，D，设△AEF，△BEF的面积分别为S1，S2，且S1＝2S2，所以|AE|：|BE|＝2：1，∴|AC||BD|=5−p23−p2=2，解得p＝2．则抛物线C的方程为y2＝4x．故选：B．8．高8m和4m的两根旗杆笔直地竖立在水平地面上，且相距6m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：这是空间背景下的平面动点轨迹问题，如图，AB ＝8，CD ＝4，BD ＝6，由∠APB ＝∠CPD ，得PB AB=PD CD，即PB ＝2PD ．设P （x ，y ），由PB ＝2PD 得√x 2+y 2=2√x 2+(y −6)2，方程化简后为：x 2+y 2﹣16y +48＝0，即x 2+（y ﹣8）2＝16， 即所求轨迹是以（0，8）为圆心，半径为4的圆． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知双曲线C 的方程为y 216−x 29=1，则（ ）A ．双曲线C 的焦点坐标为（0，5），（0，﹣5）B ．双曲线C 的渐近线方程为y =±34xC ．双曲线C 的离心率为54D ．双曲线C 上的点到焦点的距离的最小值为1 解：∵双曲线C 的方程为y 216−x 29=1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝5，且焦点在y 轴上，∴双曲线C 的焦点坐标为（0，±5），∴A 选项正确； ∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±43x ，∴B 选项错误；∴双曲线C 的离心率为c a =54，∴C 选项正确；∴双曲线C 上的点到焦点的距离的最小值为c ﹣a ＝1，∴D 选项正确． 故选：ACD ．10．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0（m ∈R ），则（ ）A．直线l恒过定点（3，1）B．直线l被圆C截得的最长弦长为10C．当m＝2时，直线l被圆C截得的弦长最短D．当m＝0时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于4解：直线l的方程（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，整理得（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）＝0．该方程对于任意实数m∈R成立，于是有{2x+y−7=0x+y−4=0，解得x＝3，y＝1，所以直线l恒过定点D（3，1）．所以A正确；圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，圆心C（1，2），半径为5，因为直线l恒经过圆C内的定点D，所以当直线经过圆心C时被截得的弦最长，它是圆的直径10；所以B正确．当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短．由C（1，2），D（3，1），可知k CD=−12，所以当直线l被圆C截得的弦最短时，直线l的斜率为2，于是有−2m+1m+1=2，解得m=−34．所以C不正确．当m＝0时，直线l：x+y﹣4＝0，圆心到直线的距离d=|1+2−4|√2=√22，圆的半径为5，所以圆C上恰有4个点到直线l的距离等于4．所以D不正确．故选：AB．11．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N∗，S n≥S3，则a6a5的取值可能是（）A．12B．32C．53D．94解：∵∀n∈N*，S n≥S3，∴{a1＜0d＜0，且{a3≤0a4≥0，即{a1+2d≤0a1+3d≥0，解得﹣3d≤a1≤﹣2d，若a6a5=12，则a1+5da1+4d=12，解得a1＝﹣6d，不满足条件，舍去，A错误；若a6a5=32，则a1+5da1+4d=32，解得a1＝﹣2d，满足条件，B正确；若a6a5=53，则a1+5da1+4d=53，解得a1=−52d，满足条件，C正确；若a6a5=94，则a1+5da1+4d=94，解得a1=−165d，不满足条件，D错误．故选：BC．12．已知正四面体ABCD 的棱长为2，点M ，N 分别为△ABC 与△ABD 的重心，P 为线段CN 上一点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线MN 与BD 所成角的大小为60°B ．点A 到直线MN 的距离为√113C ．直线MN 与平面ACD 间的距离为2√23D ．若BP ⊥平面ACD ，则三棱锥P ﹣ACD 外接球的表面积为27π2解：将正四面体A ﹣BCD 放入正方体DEBF ﹣GAHC 中，以点D 为原点，以DE ，DF ，DG 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图所示：因为正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，所以正方体的棱长为√2，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D （0，0，0），A(√2，0，√2)，B(√2，√2，0)，C(0，√2，√2)， 因为点M ，N 分别为△ABC 和△ABD 的重心， 所以点M 的坐标为(2√23，2√23，2√23)，点N 的坐标为(2√23，√23，√23)， 对于A ，MN →=(0，−√23，−√23)，BD →=(−√2，−√2，0)，所以|cos ＜MN →，BD →＞|=2323×2=12，所以直线MN 与BD 所成角为60°，故A 正确； 对于B ，AM →=(−√23，2√23，−√23)，MN →的单位方向向量为e →=(0，−√22，−√22)，所以点A 到直线MN 的距离d =√AM →2−(AM →⋅e →)2=√113，故B 正确；对于C ，因为MN →=(0，−√23，−√23)， 设平面ACD 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，因为DA →=(√2，0，√2)，DC →=(0，√2，√2)， 所以{√2x +√2z =0√2y +√2z =0，取x ＝1，则n →=（1，1，﹣1），因为MN →⋅n →=0，且直线MN ⊄平面ACD ， 所以直线MN ∥平面ACD ，所以点N 到平面ACD 的距离就是直线MN 到平面ACD 的距离， 则点N 到平面ACD 的距离d =|DN →⋅n →||n →|=2√23√3=2√69， 即直线MN 到平面ACD 的距离为2√69，故C 错误； 对于D ，若BP ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以BP ⊥AC ， 设NP →=λNC →（0≤λ≤1），则NP →=(−2√23λ，2√23λ，2√23λ)， 则DP →=DN →+NP →=（2√23−2√23λ，√23+2√23λ，√23+2√23λ）， BP →=BN →+NP →=(−√23−2√23λ，−2√23+2√23λ，√23+2√23λ)， 所以BP →⋅AC →=(−√23−2√23λ，−2√23+2√23λ，√23+2√23λ)•(−√2，√2，0)=0， 即23+43λ−43+43λ=0，解得λ=14，则DP →=(√22，√22，√22)，设△ACD 的重心为Q ，则Q （√23，√23，2√23）， 所以PQ →=DQ →−DP →=（√23，√23，2√23）−(√22，√22，√22)=(−√26，−√26，√26)，又DA →=(√2，0，√2)，DC →=(0，√2，√2)， 则PQ →⋅DA →=0，PQ →⋅DC →=0， 所以PQ ⊥DA ，PQ ⊥DC ，又DA ∩DC ＝C ，DA ，DC ⊂平面ACD ， 所以PQ ⊥平面ACD ，则三棱锥P ﹣ACD 外接球的球心在直线PQ 上， 又因为点Q 为等边三角形ACD 的重心，所以点Q 为等边三角形ACD 的外心，△ACD 外接圆半径为|DQ →|=√23+23+89=2√33，设三棱锥P ﹣ACD 外接球的半径为R ，则R2＝（R﹣PQ）2+DQ2，即R2=(R−√66)2+43，解得R=3√64，所以三棱锥P﹣ACD外接球的表面积为4πR2=27π2，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a n+2＝3a n+1+4a n，则{a n}的公比为4．解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a n+2＝3a n+1+4a n，∴a n•q2＝3qa n+4a n，化为q2﹣3q﹣4＝0，q＞0，解得q＝4，故答案为：4．14．已知直线x+3y+6＝0与2x+my﹣3＝0互相平行，则这两条直线间的距离是3√104．解：由两条直线平行可得：21=m3=−36，解得m＝6．所以两条直线分别为：2x+6y+12＝0，可得两条直线的距离d=|−3−12|√2+6=3√104．故答案为：3√10 4．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水面下降0.5米后，水面宽22√5米．解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A（2，﹣2）代入x2＝my，得m＝﹣2，∴x2＝﹣2y，代入B（x0，﹣2.5）得x0=√5，故水面宽为2√5m ． 故答案为：2√5．16．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面ADD 1A 1上的动点，且PC 1∥平面AEF ，则点P 的轨迹长为√22 ，点P 到直线AF 的距离的最小值为 √23． 如图，连接BC 1，FD 1，AD 1．由正方体的性质易证四边形ABC 1D 1为矩形，因为点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，所以EF ∥BC 1∥AD 1，且EF =12BC 1=12AD 1，所以平面AEF 截正方体所得截面为梯形AEFD 1， 分别取AA 1，A 1D 1 的中点M ，N ，连接MN ，MB ，C 1N ，易证MB ∥D 1F ，因为MB ⊄平面AEFD 1，D 1F ⊂平面AEFD 1，所以MB ∥平面AEFD 1， 因为MN ∥AD 1，MN ⊄平面AEFD 1，AD 1⊂平面AEFD 1，所以MN ∥平面AEFD 1． 因为MB ∩MN ＝M ，MB ，MN ⊂平面MNC 1B ，所以平面MNC 1B ∥平面AEFD 1． 因为动点P 始终满足PC 1∥平面AEF ，所以PC 1⊂平面MNC 1B ，又点P 在侧面ADD 1A 1上，所以点P 的轨迹是线段MN ，轨迹长为√A 1N 2+A 1M 2=√22；如图，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则M(1，0，12)，N(12，0，1)，A （1，0，0），F(0，1，12)，则MN →=(−12，0，12)，AM →=(0，0，12)，AF →=(−1，1，12)，令MP →=tMN →(0≤t ≤1)，则MP →=(−12t ，0，12t)，因为AP →=AM →+MP →=(−12t ，0，1+t2)，所以AP →⋅AF →=1+3t4，AP →⋅AF→|AF →|=1+3t432=12t +16， 所以点P 到直线AF 的距离d =√|AP →|2−(AP →⋅AF →|AF →|)2=√14t 2+14(t +1)2−(12t +16)2=√14t 2+13t +29，因为函数f(t)=14t 2+13t +29=14(t +23)2+19，其图象的对称轴为直线t =−23，开口向上，在[−23，+∞)上单调递增，所以当t ∈[0，1]时，f(t)min =f(0)=29，所以点P 到直线AF 的距离的最小值为√29=√23．故答案为：√22；√23．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n}的前n项和公式为S n=2n−1(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝log2a2n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2n−1(n∈N∗)，∴当n＝1时，a1=S1=21−1=1，当n⩾2时，S n−1=2n−1−1，a n=S n−S n−1=2n−1，又由n＝1时，2n﹣1＝1，综上可得：a n=2n−1(n∈N∗)；（2）∵b n＝log2a2n＝log222n﹣1＝2n﹣1，∴{b n}是等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2﹣4x+3的图象与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若经过点（1，4）的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程．解：（1）函数y＝x2﹣4x+3的图象与坐标轴的交点分别为（1，0），（3，0），（0，3），设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则{1+D+F=09+3D+F=09+3E+F=0，解得{D=−4E=−4F=3，故圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0；（2）由（1）可知，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，当直线l的斜率不存在，即x＝1时，y＝0或4，满足直线l被圆C截得的弦长为4，符合题意，当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣1），即kx﹣y+4﹣k＝0，由题意可知，√k2+1=√(√5)2−(42)2，解得k=−34，即直线l的方程为3x+4y﹣19＝0，综上所述，直线l的方程为x＝1或3x+4y﹣19＝0．19．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且AC1=2√3，如图2．（1）求证：平面ABC1⊥平面AC1D；（2）求平面BC1D与平面ABD夹角的余弦值．（1）证明：∵△ADC1中，DC1＝AB＝4，AD＝2，AC1=2√3，∴AC12+AD2=DC12=16，可得∠DAC1＝90°，即DA⊥AC1，又∵DA⊥AB，AB、AC1是平面ABC1内的相交直线，∴DA⊥平面ABC1，∵DA⊂平面AC1D，∴平面ABC1⊥平面AC1D；（2）解：过点C1作C1E⊥BD于E，过E作EF⊥BD，交AB于点F，连接C1F，则∠C1EF是二面角C1﹣BD﹣A的平面角，Rt△BC1D中，C1E=C1B⋅C1DBD=2×4√4+2=4√55，BE=BC12BD=42√5=2√55．由Rt△ABD∽Rt△EBF，得EFAD=BEAB，所以EF=AD⋅BEAB=2×2√554=√55．因为C1E⊥BD、EF⊥BD，C1E∩EF＝E，所以BD⊥平面C1EF，可得BD⊥C1F，因为DA⊥平面ABC1，且C1F⊂平面ABC1，所以DA⊥C1F，结合BD、DA是平面ABD内的相交直线，可知C1F⊥平面ABD，所以C1F⊥EF，在Rt△C1EF中，cos∠C1EF=EFEC1=√554√55=14，即平面BC1D与平面ABD夹角的余弦值等于14．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动圆C经过定点F（2，0），且与定直线l：x＝﹣2相切．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A，B两点，点P在直线l上且BP∥x轴，求证：直线AP经过原点O．（1）解：因为动圆C经过定点F（2，0），且与定直线l：x＝﹣2相切，所以圆心C到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x＝﹣2的距离相等，所以动圆的圆心C的轨迹是以定点F（2，0）为焦点，以x＝﹣2为准线的抛物线，所以动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x．（2）证明：经过点F的直线l的方程斜率不为0，设AB方程为x＝my+2，代入抛物线方程得y2﹣8my﹣16＝0，若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝﹣16，因为BP∥x轴，且点P在准线x＝﹣2上，所以点P的坐标为（﹣2，y2），即P（﹣2，−16y1），k OA=y1x1=y1y128=8y1，k OP=−16y1−2=8y1，所以k OA＝k OP，所以直线AP经过原点O．21．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF＝DE，BF∥DE，M是AE的中点．（1）求证：平面BDM∥平面CEF；（2）若DE⊥平面ABCD，AB＝2，BM⊥CF，点P为线段CE上一点，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值的最大值．（1）证明：如图，连接AC ，交BD 于点N ，则N 为AC 的中点，连接MN ， 因为M 为棱AE 的中点，则MN ∥EC ，又MN ⊄面EFC ，EC ⊂面EFC ， 所以MN ∥平面EFC ， 又BF ∥DE ，BF ＝DE ，所以四边形BDEF 为平行四边形，所以BD ∥EF ，又BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，所以BD ∥平面EFC ，又MN ∩BD ＝N ，MN ，BD ⊂平面BMD ， 所以平面BMD ∥平面EFC ；（2）解：因为ED ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，则分别以DA 、DC 、DE 所在的直线为轴、y 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设ED ＝2a （a ＞0），则B （2，2，0），M （1，0，a ），C （0，2，0），F （2，2，2a ），E （0，0，2a ），A （2，0，0）， 所以BM →=(−1，−2，a)，CF →=(2，0，2a)，因为BM ⊥CF ，则﹣1×2+a ×2a ＝0，a ＝1或a ＝﹣1（舍）， 所以EA →=(2，0，−2)，AF →=(0，2，2)，设平面EAF 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m ⋅→EA →=0m →⋅AF →=0，即{2x −2z =02y +2z =0，令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，即m →=(1，−1，1)， 因为点P 为线段CE 上一点，设EP →=λEC →=λ（0，2，﹣2）（0≤λ≤1）， 所以P （0，2λ，2﹣2λ），PM →=(1，−2λ，2λ−1)， 设直线PM 与平面AEF 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜PM →，m →＞|=|PM →⋅m →||PM →|⋅|m →|=4λ√3×√1+4λ2+(2λ−1)2=6√(1λ−1)2+3≤63=2√23， 当且仅当λ＝1时等号成立，故（sin θ）max =2√23． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|＝7|PF 2|． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为Q(1，−12)，若椭圆C 上存在点M ，满足2OA →+3OB →=4OM →，求椭圆C 的方程． 解：（1）因为PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|＝7|PF 2|， 设直线PF 2的方程为x ＝c ，代入椭圆的方程，可得y P2=b 2（1−c 2a 2）=b4a2，可得|y P |=b 2a ，即|PF 2|=b2a ，所以|PF 1|=7b2a，由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|＝2a ， 即b 2a+7b 2a=2a ，可得a 2＝4b 2，即b =12a ，所以c 2＝a 2﹣b 2＝3b 2， 所以离心率e =c a =√3b 2b =√32； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 由（1）得a 2＝4b 2，设C ：x 24b 2+y 2b 2=1，即x 2+4y 2＝4b 2，由于A ，B 在椭圆上，则x 12+4y 12=4b 2，x 22+4y 22=4b 2①，由2OA →+3OB →=4OM →，得{2x 1+3x 2=4x 02y 1+3y 2=4y 0，可得x 0=2x 1+3x 24，y 0=2y 1+3y 24，由M 在椭圆上，则x 02+4y 02=4b 2，即(2x 1+3x 24)2+4(2y 1+3y 24)2=4b 2， 即4(x 12+4y 12)+12(x 1x 2+4y 1y 2)+9(x 22+4y 22)=64b 2②，将①代入②得；x 1x 2+4y 1y 2=b 2③，线段AB 的中点为Q(1，−12)，设AB ：y =k(x −1)−12，可知{y =k(x −1)−12x 2+y 2=4b2， 消去y 整理得（1+4k 2）x 2﹣（8k 2+4k ）x +4k 2+4k ﹣4b 2+1＝0， x 1+x 2=8k 2+4k 1+4k2=2×1⇒k =12，所以x 2﹣2x +2﹣2b 2＝0，其中Δ＞0，解得b 2＞12，所以x 1⋅x 2=2−2b 2，AB 方程为y =12x −1，又y 1y 2=(12x 1−1)(12x 2−1)=14x 1x 2−12(x 1+x 2)+1=1−b22④，将④代入③得：2−2b 2+4⋅1−b 22=b 2⇒b 2=45，经检验满足b 2＞12，所以椭圆C 的方程为5x 216+5y 24=1．。
广州市高二数学上册期末试卷2套含详细答案选择填空有解析
目录第一套：广东省广州市南沙区2018-2019学年高二上学期期末教学质量监测理科数学试题第二套：广东省广州市白云区2018-2019学年高二上学期期末数学试卷（理科）广东省广州市南沙区2018-2019学年高二上学期期末教学质量监测理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡一并交回.一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项正确）1．（5分）设集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．[0，）B．（﹣，1] C．[﹣1，）D．（﹣，0]2．（5分）2cos2﹣1=（）A． B．﹣C．D．﹣3．（5分）已知等比数列{a n}的通项公式为a n=3n+2（n∈N*），则该数列的公比是（）A． B．9 C． D．34．（5分）“a＜b”是“log2a＜log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A．B．21cm2C．D．24cm26．（5分）圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0与圆x2+y2+2y﹣3=0的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．外离7．（5分）下列有关命题的叙述错误的是（）A．对于命题P：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则￢P为：∀x∈R，x2+x ﹣1≥0B．若“P且Q”为假命题，则P，Q均为假命题C．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”8．（5分）若实数x，y满足不等式组，则y﹣x的最大值为（）A． 1 B．0 C．﹣1 D．﹣39．（5分）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，则A，B之间的距离为（）A．7 B．10C．6 D．8 10．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷相应位置.）11．（5分）如图所示，向量，，在由单位长度为1的正方形组成的网格中，则•（）=．12．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．14．（5分）已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5．若存在两项a m ，a n 使得=2a 1，则+的最小值为．。
广东省广州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版)
白云中学2022学年度上学期期末测试2023.1.9高二数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在选择题答题卡上；3．第Ⅰ卷的答案必须答在选择题答题卡上；第Ⅱ卷用黑色字迹的钢笔或签字笔按各题要求答在答卷相应位置上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知直线l 的倾斜角为，则直线l 的斜率为（ ） 120︒A. B.C. 0D. 11-【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角和斜率的定义即可求得结果. 【详解】由斜率的定义可知，直线l 的斜率,tan120tan(18060)tan 60k ==-=-=即直线l 的斜率为. 故选：A.2. 已知圆，则圆心坐标、圆的半径分别是（ ） 224240x y x y +-+-=A. ，3 B. ，3 C. ，3D. ，9()2,1-()2,1-()2,1--()2,1-【答案】A 【解析】【分析】将圆的一般式化为标准式，写出圆心和半径.【详解】变形为，224240x y x y +-+-=()()22219x y -++=故圆心为，半径为3. ()2,1-故选：A3. 已知为等差数列，，则（ ） {}n a 54a =46a a +=A. 4 B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】由等差数列性质，，求出式子的值. 4652a a a +=【详解】因为是等差数列，所以. {}n a 4652248a a a +==⨯=故选：C.4. 已知直线，若，则实数的值为（ ） 12:320,:310l x y l x ay -+=--=12l l ⊥a A. 1 B.C. D.1212-1-【答案】D 【解析】【分析】对进行分类讨论，代入求解即可. a 121k k =-g【详解】当时，直线的斜率， 0a =1:320l x y -+=113k =直线的斜率不存在，此时两条直线不垂直； 2:310l x ay --=当时，直线的斜率， 0a ≠1:320l x y -+=113k =直线的斜率， 2:310l x ay --=23k a=因为，所以， 12l l ⊥121k k =-g所以，解得：. 13113a a⨯==-1a =-故选：D.5. 已知圆与圆的位置关系是（ ）221:4470C x y x y ++-+=()()222:2516C x y -+-=A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切【答案】B 【解析】【分析】先将圆转化成标准形式，分析两圆的圆心和半径，求出圆心距，然后利用圆与圆的位置关系1C 进行判断即可【详解】根据题意，圆 ， 即 ，其圆心为 221:4470C x y x y ++-+=22(2)(2)1x y ++-=()2,2- ， 半径 ，1R =圆 ，其圆心为 ，半径，222:(2)(5)16C x y -+-=(2,5)4r =两圆的圆心距 ，有 ，则两圆外切， 125C C ==12C C R r =+故选：B.6. 四棱锥中，设，，，.则（ ）P ABCD -BA a = BC b =BP c =13PE PD = BE =A.B.112333a b c ++ 211323a b c +-C.D.112333a cb +- 212323a b c ++ 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量基本定理，先表示出，可得，进而根据PD a b c =+-111333PE a b c =+- ，即可得出结果.BE BP PE =+【详解】，PD PB BA AD BA BC BP a b c =++=+-=+-所以.11113333PE PD a b c ==+- 所以.111112333333B a c E BP P b c a b c E ++-=+=+=+ 故选：A.7. 已知，是异面直线，，，，，且，，则与a b ,A B a ∈,C D b ∈AC b ⊥BD b ⊥2AB =1CD =a b 所成的角是（ ） A. B.C.D.30 45 60 90 【答案】C 【解析】【分析】先计算出 ,再根据计算夹角的余弦值，即可写出答案 AB CD ⋅cos =AB CD AB CDθ⋅【详解】设 ，,AB CD θ=由，可得：，， AC b ⊥BD b ⊥AC CD ⊥BD CD ⊥故可得：，，0AC CD ⋅= 0BD CD ⋅=，22()1AB CD AC CD DB CD AC CD CD DB CD CD ⋅=++⋅=⋅++⋅== 又 ， ，1cos =2AB CD AB CD θ⋅∴= [0,180]θ︒︒∈=60θ︒∴故与所成的角是. a b 60 故选：C.8. 设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则1F 2F C 2213y x -=O P C 2OP =的面积为（ ）12PF F △A.B. 3C.D. 21252【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，，由得出点在以()120F -，()220F ，12122OP F F ==P 12F F 为直径的圆上，根据勾股定理和双曲线的定义可得，结合三角形面积公式计算即可.126PF PF =【详解】由已知，不妨设，，因为， ()120F -，()220F ，12122OP F F ==所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角三角形， P 12F F 12F F P P 故，即，又，2221212PF PF F F +=221216PF PF +=1222PF PF a -==所以，2221212121242162PF PF PF PF PF PF PF PF =-=+-=-解得，所以， 126PF PF =1212132F F P S PF PF ==△故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列命题中，正确的命题有（ ）A. 是，共线的充要条件a b a b +=- a bB. 若，则存在唯一的实数，使得//a b λa b λ= C. 对空间中任意一点和不共线的三点 ，，，若，则，，，O A B C 243OP OA OB OC =-+P A B C 四点共面D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底{},,a b c {},2,3a b b c c a +++【答案】CD 【解析】【分析】对A ，向量、同向时不成立；a ba b a b +=- 对B ， 为零向量时不成立；b对C ，根据空间向量共面的条件判定； 对D ，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A ，向量、同向时，，只满足充分性，不满足必要性，A 错误； a ba b a b +≠- ∴∴对B ，应该为非零向量，故B 错误；b对C ，由于得，，243OP OA OB OC =-+1324PB PA PC =+ 若共线，则三向量共线，故，，三点共线，与已知矛盾，,PA PC ,,PA PC PBA B C 故不共线，由向量共面的充要条件知共面，而过同一点 ，所以，,PA PC,PB PA PC ,,PB PA PC ,P P ，，四点共面，故C 正确；A B C 对D ，若为空间的一个基底，则，，不共面，{},,a b c a b c假设，，共面，设，a b + 2b c + 3c a + ()()23a b x b c y c a +=+++ 所以 ，无解，故，，不共面， 13102yx x y =⎧⎪=⎨⎪=+⎩a b + 2b c + 3c a + 则构成空间的另一个基底，故D 正确．{},2,3a b b c c a +++ 故选： CD ．10. 关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A. 若数列的前项和（为常数）则数列为等差数列 {}n a n 2n S an bn c =++,,a b c {}n a B. 若数列的前项和，则数列为等差数列{}n a n 122n n S +=-{}n a C. 数列是等差数列，为前项和，则仍为等差数列 {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯D. 数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列． {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，结合等差数列、等比数列通项公式和前项和的性质，逐项判定，即可求解. n 【详解】根据题意，结合等差数列、等比数列的性质依次分析：对于A 中，若数列的前项和，{}n a n 2n S an bn c =++当时，由等差数列的性质，可得数列为等差数列； 0c ={}n a 当时，则数列从第二项其为等差数列，所以A 不正确；0c ≠{}n a 对于B 中，若数列的前项和，{}n a n 122n n S +=-可得，则成等比数列，112213322,4,8a S a S S a S S ===-==-=123,,a a a则数列不是等差数列，所以B 不正确；{}n a 对于C 中，数列是等差数列，为前项和，则 {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯即为 ，1212221223,,,n n n n n n n a a a a a a a a a +++++++++++++ 可得（常数），仍为等差数列，所以C 正确；22322n n n n n n S S S S S S n d --=--== 对于D 中，数列是等比数列，为前项和，{}n a n S n 当时，若为偶数时，均为，不是等比数列， 1q =-n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯0所以是等比数列，为前项和，则不一定为等比数列． {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯故选：ABD.11. 下列选项正确的有（ ）A.表示过点，且斜率为2的直线 02-=-x x y y ()00,P x y B. 是直线的一个方向向量()2,1a =240x y --=C. 以，为直径的圆的方程为 ()4,1A ()1,2B -()()()()41120--+-+=x x y y D. 直线恒过点 ()()()121140R m x m y m m ++---=∈()2,1【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线和圆的性质，逐个判断每个选项. 【详解】A 选项：方程，，点不在直线上，A 选项错误； 02-=-x x y y 0y y ≠()00,P x y B 选项：因为直线的斜率为， 所以是直线的一个方向向量，B 240x y --=12(2,1)a =240x y --=选项正确；C 选项：设是所求圆上任意一点，则 ， ()M x y ，AM BM ⊥因为，，()41AM x y =-- ，()12BM x y =-+，所以 ，()(4)(1)(1)20AM BM x x y y ⋅=--+-+=即所求圆的方程为，C 选项正确； ()(4)(1)(1)20x x y y --+-+=D 选项：直线方程化为， ())R (2410m x y x y m +-+--=∈由 ， 解得 ，所以直线恒过定点，D 选项正确. 24010x y x y +-=⎧⎨--=⎩21x y =⎧⎨=⎩()2,1故选：BCD12. 已知曲线C 的方程为，则（ ）()221R 13x y m m m+=∈+-A. 当时，曲线C 为圆1m =B. 当时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为 5m=y x =C. 当时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆 1m >D. 不存在实数m 使得曲线C【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的方程，利用选项中的条件计算判断A ，B ，C ；否定结论，导出矛盾判断D 作答.【详解】在曲线C 的方程中，且，()221R 13x y m m m+=∈+-1m ≠-3m ≠对于A ，当时，曲线C 的方程为，曲线C为半径的圆，A 正确；1m =222x y +=对于B ，当时，曲线C 的方程为，曲线C 是双曲线，其渐近线方程为，B5m =22162x y -=y =正确；对于C ，由选项B 知，当时，曲线C ：是双曲线，C 不正确；51m =>22162x y -=对于D ，假定存在实数m 使得曲线C ， 则有，且，显然无解，(1)(3)0m m +-<|1||3|m m +=-所以不存在实数m 使得曲线C ，D 正确. 故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点是点在坐标平面内的射影，则____________．M ()3,4,5A Oyz OM =【解析】【分析】根据射影坐标的特征可得点坐标，由向量模长坐标运算可求得结果.M 【详解】由题意知：，，. ()0,4,5M ()0,4,5OM ∴=OM ∴== .14. 已知在数列中，，，则等于____________． {}n a 11a =11112n n a a +=+10a 【答案】211【解析】【分析】根据题意可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12得解．【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，为公差的等11112n n a a +=+11112n n a a +-=1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =12差数列， 则，故，所以．()1111111222n n n a a =+-⨯=+101111110222a =⨯+=10211a =故答案为：． 21115. 已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则__________． F 2:4C y x =()03,P y C PF =【答案】 4【解析】【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线，所以, 2:4C y x =12p=因为是抛物线的焦点，点在抛物线上， F 2:4C y x =()03,P y C 由抛物线的定义可得：. 33142pPF =+=+=故答案为：.416. 直线与双曲线：（，）的一条渐近线平行，过抛物线：的焦lE 22221x y a b-=0a >0b >l C 24y x=点，交于，两点，若，则的离心率为______. C A B 5AB =E 【解析】【分析】首先根据抛物线的焦点弦长求出直线的斜率，从而得出双曲线渐近线的斜率，再利用l ba即可求出双曲线的离心率. c e a ====【详解】∵抛物线的方程为：，∴的焦点为，C 24y x =C ()1,0F ∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴直线的斜率存在， l E l 设直线的斜率为，则直线的方程为：，l k l ()1y k x =-由，消去，化简得（），()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩y ()2222240k x k x k -++=Δ0>设，，，到抛物线准线的距离分别为，，()11,A x y ()22,B x y A B A d B d 则，，，， 212224k x x k++=121=x x 1112A p d x x =+=+2212B p d x x =+=+由抛物线的定义，，解得， 212224225A B k AB AF BF d d x x k+=+=+=++=+=2k =±又∵双曲线：（，）渐近线方程为，E 22221x y a b-=0a >0b >b y x a =±∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴， l E 2ba=∴双曲线的离心率为. c e a ======.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知直线l ：与x 轴的交点为A ，圆O ：经过点A ．240x y -+=()2220x y r r +=>（1）求r 的值；（2）若点B 为圆O 上一点，且直线垂直于直线l ，求弦长． AB ||AB【答案】（1）2； （2. 【解析】【分析】（1）求出，代入圆的方程即可求解；()2,0A -O （2）根据直线垂直于直线l ，可求直线的斜率，根据点斜式可求直线的方程，再利用垂径定AB AB AB 理即可求解. 【小问1详解】在中，令，得，故. 240x y -+=0y =2x =-()2,0A -因为圆O ：经过点A ，所以，解得.()2220x y r r +=>()()222200r r -+=>2r =【小问2详解】直线l 的斜率为2，因为直线垂直于直线l ，所以直线的斜率为. AB AB 12-所以直线的方程为，即. AB ()1022y x -=-+220x y ++=圆心到直线， O AB =所以. AB ==18. 在等比数列{}中，． n a 122554a a a +==（1）求{}的通项公式； n a （2）求数列{}的前n 项和S n ． 3214n a n +-【答案】（1）； 114n n a -=（2）. 2114n n -+【解析】【分析】（1）由已知得，，再求出公比，进而写出通项公式； 11a =214a =（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n 项和公式求S n ． 33212144n n a n n +-=+-【小问1详解】由题设，，则的公比， 11a =214a ={}n a 2114a q a ==所以. 114n n a -=【小问2详解】 由（1）知：， 33212144n n a n n +-=+-所以.211(1)111(1)443(...)2(12...)321444214n n n n n S n n n -+=⨯++++⨯+++-=⨯+⨯--2114n n =-+19. 如图，在正三棱柱中，点为的中点，．111ABC A BC -D 1AB 1AA ==（1）证明：平面；BC ∥1AC D （2）求直线到平面的距离．BC 1AC D 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】(1)根据线面平行判定定理证明即可.(2)把到平面的距离转化为到平面的距离,应用空间向量法求解即可.BC 1AC D C 1AC D 【小问1详解】连接交于点，点为的中点,点为的中点1AC 1AC E E 1AC D 1A B∵是的中位线，DE 1A BC ∴，平面,平面.BC DE ∥BC ⊄1AC D DE ⊂1AC D ∴平面．BC ∥1AC D 【小问2详解】如图建立空间直角坐标系由（1）得，直线到平面的距离即为点C 到平面的距离d ，BC 1AC D 1AC D因为，，，， ()0,1,0A -()0,1,0C 12D -(10,1,C 所以， ()0,2,0AC = 且，，(10,2,AC =12AD = 设平面的法向量为， 1AC D (),,n x y z =r 由于可得，100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧+=⎪++=故取，()1n =-得，AC n d n ⋅== 因此直线到平面． BC 1AC D 20. 已知数列中，，且满足.{}n a 18a =1523n n n a a +=-⋅（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； {}3n n a -{}n a （2）若，求数列的前项和.()3n n n b n a =-{}n b n n S 【答案】（1）证明见解析；35n n n a =+（2） ()1541516n n n S ++-⨯=【解析】【分析】（1）等号两边同时减去，用定义即可证明；13n +（2）用错位相减法即可求解.【小问1详解】，1523n n n a a +=-⋅∴()11355353n n n n n n a a a ++-=-⋅=-数列是以为首项，以5为公比的等比数列.∴{}3n n a -1135a -=，∴13555n n n n a --=⨯= ∴35n n n a =+【小问2详解】35n n n a =+，∴()35n n n n b n a n =-=⨯ ∴123n n S b b b b =++++ 即①，1231525355nn S n =⨯+⨯+⨯++⨯ ②， ∴234151525355n n S n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 由①②得：-，12314151515155n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ ， ()15154515n n n S n +--=-⨯-化简得：. ()1541516n n n S ++-⨯=21. 平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折PAC △ABC AC PAC △ABC AC 叠使得平面平面，为斜边的中点.PAC ⊥ABC M AB（1）求证：.AC PM ⊥（2）求与平面所成角的正弦值.PC PAB （3）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，PB N CNM ⊥PAB PN PB 说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2； （3）存在，. 13PN PB =【解析】 【分析】（1）取中点，连接，可由线面垂直证明线线垂直得证；AC D ,MD PD （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角；（3）求出平面CNM 的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为0求解即可.【小问1详解】取中点，连接，如图，AC D ,MD PD又为的中点，M AB ，由，则，//MD BC ∴AC BC ⊥MD AC ⊥又为等腰直角三角形，，,PAC △PA PC ⊥PA PC =，又，平面，PD AC ∴⊥MD PD D ⋂=,MD PD ⊂PMD 平面，又平面，AC ∴⊥PMD PM ⊂PMD.M AC P ∴⊥【小问2详解】由（1）知，，又平面平面，是交线，平面， PD AC ⊥PAC ⊥ABC AC PD ⊂PAC 所以平面，即两两互相垂直，故以为原点，为x 、y 、z 轴正PD ⊥ABC ,,PD AC DM D ,,DA DM DP 方向建立空间直角坐标系，如图，设，则， 2AC =(1,0,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1)P A B C --，，，(1,0,1)CP ∴= (1,0,1)AP =- (1,2,1)BP =- 设为平面的一个法向量，(,,)n x y z = PAB 则，令，即， 020AP n x z BP n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1z =(1,1,1)n = 设与平面所成角为， PC PAB θ，sin cos ,CP n CP n CP nθ⋅∴==== 即与平面. PC PAB 【小问3详解】若存在N 使得平面平面，且，， CNM ⊥PAB PN PBλ=01λ≤≤则，解得 ，又， (1,2,1)PN PB λλ→→==--(,2,1)N λλλ--(0,1,0)M 则，，(1,2,1)CN λλλ=-- (1,1,0)CM = 设是平面CNM 的一个法向量，(,,)m a b c = 则，令b =l ，则， (1)2(1)00CN m a b c CM m a b λλλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 13(1,1,)1m λλ-=-- ，解得， 131101m n λλ-∴⋅=-++=- 13λ=故存在N 使得平面平面，此时. CNM ⊥PAB 13PN PB =22. 已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切. 1F 2240x y x ++=2F 224120x y x +--=1F 2F （1）求动圆圆心的轨迹方程；M （2）设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交M C 1l 2l 2F 1l C M N 2l 圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.1F P Q PQM PQN V 【答案】（1） 2213y x -=（2）[12,)+∞【解析】【分析】（1）根据动圆圆心到两定点距离的关系可以判断其为双曲线；（2）分两种情况讨论，每一种情况中计算、，从而求得面积的表达式，再求范围即可.||MN ||PQ 【小问1详解】由：，得，可知，其半径为， 1F 2240x y x ++=22(2)4x y ++=1(2,0)F -2由：，得，可知，其半径为. 2F 224120x y x +--=22(2)16x y -+=2(2,0)F 4设动圆半径为，动圆圆心到的距离为，到的距离为，则有r 1F n 2F m 或，即，得， 224n r n m m r +=⎧⇒-=⎨+=⎩224n r m n m r +=⎧⇒-=⎨+=⎩||22n m a -==1a =又，21||422a F F c ==>所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，由，可得，M 1F 2F 222c a b =+23b =所以动圆圆心的轨迹方程为； M 2213y x -=【小问2详解】①当直线的斜率存在时，由题意，，设：，与双曲线联立1l 0k ≠1l 2y kx k =-， 2222222(3)443013y kx k k x k x k y x =-⎧⎪⇒-+--=⎨-=⎪⎩由于其于双曲线有两个不同的交点，所以，得且， 2422230Δ164(3)(4+3)=36+360k k k k k ⎧-≠⎨=+->⎩23k ≠20k ≠且，226(1)||3k MN k +==-设：，即， 2l 12y x k k=-+20x ky +-=设圆到直线的距离为，则，1F 2ld d ==因为交圆于，两点，故，得.2l 1F P Q 2d <23k >且，||PQ ==由题意可知，MN PQ ⊥所以12PQM PQN S S PQ MN +=⨯⨯== 因为，可得.23k >12PQM PQN S S +>V V ②当直线的斜率不存在时，，，1l ||4PQ =||6MN =所以， 146122PQM PQN S S +=⨯⨯=V V 综上. 12PQM PQN S S +≥V V。
2023-2024学年广东省广州市六区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若抛物线的焦点坐标为（0，2），则抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．x 2＝8y2．已知空间向量m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →，则x 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3D ．﹣43．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为（1，k ），则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．−√22C ．√22D ．14．椭圆x 225+y 216=1与椭圆x 225−k +y 216−k=1(k ＜16)的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等5．若两条平行直线3x ﹣4y +m ＝0（m ＜0）与3x +ny +6＝0之间的距离是3，则m +n ＝（ ） A ．﹣13B ．﹣9C ．17D ．216．过直线l ：√3x +y −4=0上一点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ．若∠APB =π3，则点P 的坐标为（ ） A ．(4√33，0) B ．(2√3，−2)或（0，4）C ．(√3，1)D ．(√3+√15，1−3√5)或(√3−√15，1+3√5)7．已知双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2为其左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线右支相交于A ，B 两点，且∠F 1AB =π2，tan ∠ABF 1=512，则双曲线的离心率为（ ）A ．√213B ．√21C ．√293D ．√298．数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =2n −1，前12项和为158，则a 1的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2−n ，则（ ） A ．S 3，S 6，S 9成等差数列B ．a 3，a 6，a 9成等差数列C ．数列{a n }是递增数列D ．数列{S n }是递增数列10．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，直线l ：（1+3λ）x +（1+λ）y ﹣2﹣4λ＝0（λ∈R ），则（ ） A ．直线l 恒过定点（1，2） B ．直线l 与圆C 相交C ．直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的方程为x +y ﹣2＝0D ．圆C 上不存在三个点到直线l 的距离等于2−√2 11．设A ，B 为双曲线x 2−y 24=1上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A ．（2，0）B ．（﹣2，4）C ．（1，4）D ．（﹣1，1）12．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1与BAA 1B 1是边长为2的正方形，平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，M ，N 分别在BC 1和AB 1上，且BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，则（ ）A ．直线MN ∥平面ABCB ．当a ＝1时，线段MN 的长最小C ．当a =√22时，直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13D ．当a =√2时，平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知△ABC 的三个顶点是A （5，﹣1），B （1，1），C （2，3），则边AB 上的高所在直线的方程为 ． 14．正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，则a →⋅(a →+b →+c →)= ． 15．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，则{a n }的通项公式a n ＝ ．16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=−12x ，一条平行于x 轴的光线m 射向抛物线C 上的点A （不同于点O ），反射后经过抛物线C 上另一点B ，再从点B 处沿直线n 射出．若直线OA 的倾斜角为3π4，则入射光线m 所在直线的方程为 ；反射光线n 所在直线的方程为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，a 1＝b 1＝1，a 2+b 2＝4，S 3＝6． （1）求{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列{1S n}的前n 项和T n ．18．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝4，E ，F 分别为线段AB ，AA 1的中点．（1）求直线A 1C 与EF 所成角的余弦值； （2）求点B 1到平面CEF 的距离．19．（12分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0． （1）求m 的取值范围；（2）当m ＝1时，求圆O ：x 2+y 2﹣4＝0与圆C 的公共弦的长．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，AD ＝2DC ＝2CB ＝2，E 为PD 的中点． （1）证明：CE ∥平面P AB ；（2）若∠P AB ＝60°，求平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1a n﹣2a n+1＝0，n∈N*．（1）求证：数列{1a n−1}为等差数列；（2）设c n=1a n−1，记集合{n|k≤c n≤2k，k∈N∗}中元素的个数为b k，求使b1+b2+⋯+b k＞2024成立的最小正整数k的值．22．（12分）如图，在圆O：x2+y2＝1上任取一点p，过点p作y轴的垂线段PD，D为垂足，点M在DP 的延长线上，且|DM|＝2|DP|，当点p在圆O上运动时，记点M的轨迹为曲线C（当点P经过圆与y轴的交点时，规定点M与点p重合）．（1）求曲线C的方程；（2）过点T（t，0）作圆O：x2+y2＝1的切线l交曲线C于A，B两点，将|AB|表示成t的函数，并求|AB|的最大值．2023-2024学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若抛物线的焦点坐标为（0，2），则抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．x 2＝8y解：抛物线的焦点坐标为（0，2），可得p ＝4，则抛物线的标准方程是：x 2＝8y ． 故选：D ．2．已知空间向量m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →，则x 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3D ．﹣4解：因为m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →， 所以m →⋅n →=（﹣2）×4+1×（﹣1）+（﹣3）×x ＝0，解得x ＝﹣3． 故选：C ．3．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为（1，k ），则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．−√22C ．√22D ．1解：由题意直线的斜率k ＝tan π4=1．故选：D ．4．椭圆x 225+y 216=1与椭圆x 225−k +y 216−k=1(k ＜16)的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解：第一个椭圆的a 1＝5，b 1＝4，则焦距为2√25−16=6， 且长轴长为10，短轴长为4，离心率为35，第二个椭圆的a2=√25−k ，b 2=√16−k ，则焦距为2√(25−k)−(16−k)=6，且长轴长为2√25−k ，短轴长为2√16−k ，离心率为√25−k，所以A ，B ，C 错误，D 正确，故选：D ．5．若两条平行直线3x ﹣4y +m ＝0（m ＜0）与3x +ny +6＝0之间的距离是3，则m +n ＝（ ） A ．﹣13B ．﹣9C ．17D ．21解：因为直线l1：3x﹣4y+m＝0（m＜0）与l2：3x+ny+6＝0平行，所以3n＝﹣4×3，解得n＝﹣4，所以l2：3x﹣4y+6＝0，又两平行线之间的距离d=|m−6|√3+(−4)=|m−6|5=3，所以|m﹣6|＝15，即m﹣6＝15或m﹣6＝﹣15，解得m＝21或m＝﹣9，因为m＜0，所以m＝﹣9，所以m+n＝﹣13．故选：A．6．过直线l：√3x+y−4=0上一点P作圆O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B．若∠APB=π3，则点P的坐标为（）A．(4√33，0)B．(2√3，−2)或（0，4）C．(√3，1)D．(√3+√15，1−3√5)或(√3−√15，1+3√5)解：因为点P在直线l：√3x+y−4=0上，可设P(√3a，4−3a)，又P A，PB是圆的两条切线，且∠APB=π3，所以OA⊥PA，∠OPA=π6，|OA|=2，所以|OP|＝4，即√3a2+(4−3a)2=4，化为a2﹣2a＝0，解得a＝0或a＝2，所以点P坐标为(0，4)，(2√3，−2)．故选：B．7．已知双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，过F2的直线l与双曲线右支相交于A，B两点，且∠F1AB=π2，tan∠ABF1=512，则双曲线的离心率为（）A．√213B．√21C．√293D．√29解：如图，由题意，设|AF1|＝5x，则|AB|＝12x，|BF1|＝13x，设|AF2|＝y，则|BF2|＝12x﹣y，因为A，B都在双曲线上，所以|AF1|﹣|AF2|＝|BF1|﹣|BF2|＝2a，即5x﹣y＝13x﹣（12x﹣y）＝2a，解得x=2a3，y=4a3，又|F1F2|=2c=√|AF1|2+|AF2|2=√(10a3)2+(4a3)2=2√293a，所以c=√293a，则离心率e=ca=√293．故选：C．8．数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=2n−1，前12项和为158，则a1的值为（）A．4B．5C．6D．7解：当n为奇数时，a n+2﹣a n＝2n﹣1，可得a2n﹣1＝a1+（n﹣1）+12（n﹣1）（n﹣2）×4＝a1+（n﹣1）（2n﹣3），则a1+a3+a5+a7+a9+a11＝6a1+1+6+15+28+45＝6a1+95，而a2+a4＝3，a6+a8＝11，a10+a12＝19，则前12项和为6a1+95+33＝158，解得a1＝5．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，则（）A．S3，S6，S9成等差数列B．a3，a6，a9成等差数列C．数列{a n}是递增数列D．数列{S n}是递增数列解：数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，对于A，S3＝32﹣3＝6，S6＝62﹣6＝30，S9=92−9=72，∵2S6≠S3+S9，∴S3，S6，S9不成等差数列，故A错误；对于B，a3＝S3﹣S2＝（32﹣3）﹣（22﹣2）＝4，a6＝S6﹣S5＝（62﹣6）﹣（52﹣5）＝10，a9＝S9﹣S8＝（92﹣9）﹣（82﹣8）＝16，∵2a6＝a3+a9，∴a3，a6，a9成等差数列，故B正确；对于C，数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]＝2n﹣2，∴数列{a n }是递增数列，故C 正确；对于D ，∵数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2−n =n （n ﹣1）， ∴数列{S n }是递增数列，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，直线l ：（1+3λ）x +（1+λ）y ﹣2﹣4λ＝0（λ∈R ），则（ ） A ．直线l 恒过定点（1，2） B ．直线l 与圆C 相交C ．直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的方程为x +y ﹣2＝0D ．圆C 上不存在三个点到直线l 的距离等于2−√2解：对于A ，直线l 的方程可化为：x +y ﹣2+λ （3x +y ﹣4）＝0，由{x +y −2=03x +y −4=0，解得{x =1y =1，∴直线l 恒过定点（1，1），故A 错误； 对于 B ，∵（1﹣2）2+（1﹣2）2＝2＜4，∴点 （1，1）在圆C 的内部，∴直线l 与圆C 相交，故B 正确；对于C ，由圆的性质可知，当直线l 被圆C 截得的弦最短时，圆心C （2，2）到直线l 的距离d 最大， 而当直线l 与直线y ＝x 垂直时，圆心C 到直线l 的距离d =2√2最大， 此时直线l 的方程为x +y ﹣2＝0，故C 正确；对于D ，圆C 的半径r ＝2，且直线l 恒过定点（1，1），且点（1，1）在圆C 的内部． 圆C 上存在三个点到直线l 的距离等于2−√2，故D 错误． 故选：BC ．11．设A ，B 为双曲线x 2−y 24=1上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A ．（2，0）B ．（﹣2，4）C ．（1，4）D ．（﹣1，1）解：根据题意可得双曲线的渐近线为y ＝±2x ， 点（2，0）在抛物线右支开口内，∴A 选项满足； 点（﹣2，4）在渐近线y ＝2x 上，∴B 选项不满足； 点（1，4）在两渐近线所夹上方区域，∴C 选项满足； 点（﹣1，1）在两渐近线所夹左方区域，∴D 选项不满足． 故选：AC ．12．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1与BAA 1B 1是边长为2的正方形，平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，M ，N 分别在BC 1和AB 1上，且BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，则（ ）A ．直线MN ∥平面ABCB ．当a ＝1时，线段MN 的长最小C ．当a =√22时，直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13D ．当a =√2时，平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13解：由题意BB 1⊥BC ，BB 1⊥BA ，BC ∩BA ＝B ，则BB 1⊥平面ABC ， 平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，平面BCC 1B 1∩平面BAA 1B 1＝BB 1， AB ⊂平面ABB 1A 1，AB ⊥BB 1，所以AB ⊥平面BCC 1B 1，又BC ⊂平面BCC 1B 1，故AB ⊥BC ， 以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则B （0，0，0），A （0，2，0），C （2，0，0）， B 1（0，0，2），C 1（2，0，2），所以BC →1=(2，0，2)，AB →1=(0，−2，2)， 因为BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，设AN →=λAB →1，BM →=λBC →1，(0＜λ＜1，且λ=a22)， 所以M （2λ，0，2λ），N （0，2﹣2λ，2λ）， 所以MN →=(−2λ，2−2λ，0)，易知平面ABC 的一个法向量为BB 1→=(0，0，2)，因为MN →⋅BB 1→=0，且MN ⊄平面ABC ， 所以直线MN ∥平面ABC ，故A 正确；由|MN →|=√(−2λ)2+(2−2λ)2=√8λ2−8λ+4=√8(λ−12)2+2，当λ=12，即a =√2时，线段MN 有最小值为√2，故B 不正确；当a =√22时，λ=14，此时MN →=(−12，32，0)，不妨取平面BAA 1B 1的一个法向量为BC →=(2，0，0)， 则|cos ＜MN →，BC →＞|=|MN →⋅BC →|MN →||BC →||=2×√14+94=√1010，所以直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正弦值为√1010， 故直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的余弦值为√1−(√1010)2=3√1010， 所以直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13，故C 正确；取MN 的中点O ，连接BO ，B 1O ，BN ，B 1M ， 因为三角形MNB 与三角形MNB 1都是等边三角形， 所以∠BOB 1为二面角的平面角， 又BB 1=2，BO =B 1O =√62，根据余弦定理可得cos ∠BOB 1=−13， 所以平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知△ABC 的三个顶点是A （5，﹣1），B （1，1），C （2，3），则边AB 上的高所在直线的方程为 2x ﹣y ﹣1＝0 ．解：A （5，﹣1），B （1，1），则k AB =−1−15−1=−12，故边AB 上的高所在直线的斜率为2， 所求直线过点C （2，3），故边AB 上的高所在直线的方程为y ﹣3＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：2x ﹣y ﹣1＝0．14．正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，则a →⋅(a →+b →+c →)= 8 ． 解：∵正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，∴|a →|=|b →|=|c →|=2，a →⋅b →=a →⋅c →=2×2×cos60°＝2，∴a →⋅(a →+b →+c →)=a →⋅a →+a →⋅b →+a →⋅c →=4+2+2＝8．故答案为：8．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，则{a n }的通项公式a n ＝ n •2n ﹣1 ． 解：∵数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，∴a n +1=2(n+1)n ×a n =2(n+1)n ×2n n−1×.....×2×21×a 1＝2n •（n +1）， 故a n ＝n •2n ﹣1，（当n ＝1时，a 1＝1也满足）．故答案为：n •2n ﹣1． 16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=−12x ，一条平行于x 轴的光线m 射向抛物线C 上的点A （不同于点O ），反射后经过抛物线C 上另一点B ，再从点B 处沿直线n 射出．若直线OA 的倾斜角为3π4，则入射光线m 所在直线的方程为 y =12 ；反射光线n 所在直线的方程为 y =−18 ．解：抛物线C ：y 2=−12x 的焦点为F(−18，0)， 因为直线OA 的倾斜角为3π4，所以直线OA 的方程为y ＝﹣x ， 由{y =−x y 2=−12x ，解得{x =0y =0或{x =−12y =12，所以A(−12，12)， 则入射光线m 所在直线的方程为y =12； 则k AF =12−12−(−18)=−43，所以直线AF 的方程为y =−43(x +18)， 由{y =−43(x +18)y 2=−12x ，解得{x =−132y =−18或{x =−12y =12，所以B(−132，−18)， 则反射光线n 所在直线的方程为y =−18．故答案为：y=12；y=−18．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，a1＝b1＝1，a2+b2＝4，S3＝6．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{1S n}的前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝b1＝1，a2+b2＝4，S3＝6，可得1+d+q＝4，3+3d＝6，即d+q＝3，d＝1，q＝2，则a n＝1+n﹣1＝n，b n＝2n﹣1；（2）S n=12n（n+1），可得1S n=2n(n+1)=2（1n−1n+1），则T n＝2（1−12+12−13+...+1n−1n+1）＝2（1−1n+1）=2nn+1．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，E，F分别为线段AB，AA1的中点．（1）求直线A1C与EF所成角的余弦值；（2）求点B1到平面CEF的距离．解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（2，0，4），C （0，2，0），E （2，1，0），F （2，0，2），所以A 1C →=（﹣2，2，﹣4），EF →=（0，﹣1，2），所以cos ＜A 1C →，EF →＞=A 1C →⋅EF →|A 1C →|⋅|EF →|=−2−8√4+4+16×√1+4=−√306， 因为异面直线夹角的取值范围为（0，π2]， 所以直线A 1C 与EF 所成角的余弦值为√306． （2）由（1）知，B 1（2，2，4），C （0，2，0），E （2，1，0），F （2，0，2），所以CE →=（2，﹣1，0），CF →=（2，﹣2，2），CB 1→=（2，0，4），设平面CEF 的的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CE →=0n →⋅CF →=0，即{2x −y =02x −2y +2z =0， 取x ＝1，则y ＝2，z ＝1，所以n →=（1，2，1），所以点B 1到平面CEF 的距离为|CB 1→⋅n →||n →|=√6=√6．19．（12分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0．（1）求m 的取值范围；（2）当m ＝1时，求圆O ：x 2+y 2﹣4＝0与圆C 的公共弦的长．解：（1）由x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0，可得（x ﹣2）2+（y +m ）2＝2m ﹣m 2+3，则2m ﹣m 2+3＞0，解得﹣1＜m ＜3，即m 的取值范围是（﹣1，3）：（2）当m ＝1时，圆C 为x 2+y 2﹣4x +2y +1＝0，联立{x 2+y 2=4x 2+y 2−4x +2y +1=0，可得两圆的公共弦所在的直线方程为4x ﹣2y ﹣5＝0， 由圆O 的圆心（0，0）到直线4x ﹣2y ﹣5＝0的距离为d =|0−0−5|√16+4=√52， 则公共弦的长为2√4−54=√11． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，AD ＝2DC ＝2CB ＝2，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ∥平面P AB ；（2）若∠P AB ＝60°，求平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值．（1）证明：如图，设P A 中点为F ，连接EF ，FB ，因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且EF =12AD ， 又因为BC ∥AD ，BC =12AD ， 所以EF ∥BC 且EF ＝BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，所以CE ∥平面P AB ；（2）解：如图，设AD 的中点为O ，连接PO ，BO ，因为△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，则PO ⊥AD ，又AD ＝2DC ＝2CB ＝2，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，所以PO ＝OB ＝1，AB =√2，P A =√2，又∠P AB ＝60°，所以△P AB 是正三角形，则PB =√2，所以PO 2+OB 2＝PB 2，即PO ⊥BO ，又PO ⊥AD ，OB ⊥OD ，则以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （1，0，0），C （1，1，0），所以PA →=(0，−1，−1)，PB →=(1，0，−1)，PC →=(1，1，−1)，设平面P AB 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅PA →=0n →⋅PB →=0，即{−y −z =0x −z =0，令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，即n →=(1，−1，1)， 设平面P AB 的法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅PC →=0m →⋅PB →=0，即{a +b −c =0a −c =0，令a ＝1，则b ＝0，c ＝1，即m →=(1，0，1)， 设平面P AB 与平面PBC 的夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜n →，m →＞|=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=23×2=√63． 即平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值为√63． 21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1a n ﹣2a n +1＝0，n ∈N *．（1）求证：数列{1a n −1}为等差数列； （2）设c n =1a n −1，记集合{n|k ≤c n ≤2k ，k ∈N ∗}中元素的个数为b k ，求使b 1+b 2+⋯+b k ＞2024成立的最小正整数k 的值．解：（1）证明：由题意可知a n +1a n ＝2a n ﹣1，所以1a n+1−1−1a n −1=(a n −1)−(a n+1−1)(a n+1−1)(a n −1) =a n −a n+1a n+1a n −(a n+1+a n )+1 =a n+1−a n 2a n −1−(a n+1+a n )+1=1， 所以数列{1a n −1}是首项为1a 1−1=1，公差为1的等差数列； （2）由（1）可知c n =1a n −1=1+(n −1)×1=n ， 所以集合{n |k ≤n ≤2k ，k ∈N *}中元素的个数为2k ﹣k +1，即b k =2k −k +1，所以b 1+b 2+b 3+…+b k ＝（21+22+23+…+2k ）﹣（1+2+3+…+k ）+k=2(1−2k)1−2−k(1+k)2+k =2k +1﹣2−12k 2+12k ， 由指数函数的图象和性质可得b k =2k −k +1＞0 恒成立，所以b 1+b 2+⋯+b k 单调递增，因为b 1+b 2+⋯+b 10=210+1−2−12×102+12×10=2001， b 1+b 2+⋯+b 11=211+1−2−12×112+12×11=4039， 所以使b 1+b 2+⋯+b k ＞2024成立的最小正整数k 为11．22．（12分）如图，在圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点p ，过点p 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |，当点p 在圆O 上运动时，记点M 的轨迹为曲线C （当点P 经过圆与y 轴的交点时，规定点M 与点p 重合）．（1）求曲线C 的方程；（2）过点T （t ，0）作圆O ：x 2+y 2＝1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，将|AB |表示成t 的函数，并求|AB |的最大值．解：（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），则D （0，y 0），因为|DM |＝2|DP |，所以点P 是线段PM 的中点，所以x 0=x 2，y 0＝y ， 因为点P 在圆x 2+y 2＝1上，所以x 02+y 02=1，所以x 24+y 2=1，所以动点M 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1；（2）当﹣1＜t ＜1时点T （t ，0）在圆内，此时过点T （t ，0）不能得到圆O 的切线，故弦AB 不存在，当t ＝1（t ＝﹣1）时切线方程为x ＝1（x ＝﹣1），对于x 24+y 2=1，令x ＝1，解得y =±√32，所以|AB|=√3，当|t |＞1时切线l 的斜率存在，设斜率为k ，则切线l 的方程为y ＝k （x ﹣t ）（|t |＞1），所以22=1，所以k 2=1t 2−1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =k(x −t)x 24+y 2=1，消去y 整理得（1+4k 2）x 2﹣8tk 2x +4k 2t 2﹣4＝0， 将k 2=1t 2−1 代入得（t 2+3）x 2﹣8tx +4＝0， 所以Δ＝48t 2﹣48＞0，所以x 1+x 2=8t t 2+3，x 1x 2=4t 2+3， 所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√48t 2(t 2+3)2=4√3|t|t 2+3， 综上所述，|AB |={√3，t =±14√3|t|t 2+3，|t|＞1， 又当|t |＞1时，|AB |=4√3|t|t 2+3=4√3|t|+3|t|≤√32√|t|⋅3|t|=2，当且仅当|t|=√3时取等号， 所以|AB |max ＝2．。
2023-2024学年广东省广州市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学试题一、单选题1．已知()A 3,5，()1,7B ，则直线AB 的倾斜角大小是（）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【正确答案】D【分析】设出直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出tan 1α=-，进而求出倾斜角.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则75tan 113α-==--，因为[)0,πα∈，所以135α=︒.故选：D2．抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据抛物线的定义解题即可.【详解】设()00,P x y ，因为24y x =，所以2p =，所以0232x +=，解得02x =故选：B ．3．过点()1,2P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（）A ．3270x y +-=B ．250x y +-=C ．3270x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或250x y +-=【正确答案】C【分析】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，分情况讨论即可求解.【详解】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，因为()2,3A ，()4,5B -，所以53442AB k --==--，所以过点()1,2P 且与AB 平行的直线为：()241y x -=--即460x y +-=，因为()2,3A ，()4,5B -，所以线段AB 的中点为()3,1-，所以过点()1,2P 与线段AB 的中点为()3,1-的直线的方程为：()122131y x ---=⨯--，即3270x y +-=，所以这条直线的方程是：3270x y +-=或460x y +-=，故选.C4．设{}n a 是等差数列，若723,13a a ==，则数列{}n a 前8项的和为A ．128B ．80C ．64D ．56【正确答案】C【分析】由等差数列的求和公式以及角标之和的性质求解即可.【详解】()()87128886422a a a a S ⨯+⨯+===故选：C本题主要考查了等差数列的求和公式以及角标之和的性质，属于基础题.5．在直三棱柱111ABC A B C -中，1190,,BCA D F ∠=︒分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（）A．10B ．12C．10D．15【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得11BD AF 与所成角的余弦值，从而求得所求.【详解】根据题意易知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设12BC AC CC ===，则()()()()112,0,0,1,0,2,0,2,0,1,1,2,A F B D 故()11,1,2BD =- ，()11,0,2AF =-，设11BD AF 与所成角为α，090α︒≤≤︒，则11cos AF BD AF BD α⋅==⋅所以sin 10α=，即1BD 与1AF所成角的正弦值是10故选：C.6．已知直线l ：310mx y m --+=恒过点P ，过点P 作直线与圆C ：22(1)(2)25x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A ．45B ．2C ．4D ．25【正确答案】A【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定AB 最小时直线与直线CP 的位置关系，即可得结果.【详解】由(3)10m x y --+=恒过(3,1)P ，又22(31)(12)525-+-=<，即P 在圆C 内，要使AB 最小，只需圆心(1,2)C 与P 的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由||5CP =5，所以22555AB =-故选：A7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）A ．3B ．12C ．2D ．4【正确答案】A【分析】根据等差数列的通项得出第1、5、17项，根据等比中项得出12a d =，即可根据等比数列公比求法得出答案.【详解】数列{}n a 是公差为0d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，则514a a d =+，17116a a d =+，第1、5、17项顺次成等比数列，则()()2111416a d a a d +=+，解得12a d =，则这个等比数列的公比511111433a a d a q a a a +====，故选：A.8．已知()4,0A ，()0,4B ，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A．B ．6C．D．【正确答案】C【分析】求出P 关于直线AB 的对称点Q 和它关于y 轴的对称点T ，则QT 的长就是所求路程．【详解】由题意直线AB 方程为4x y +=，设P 关于直线AB 的对称点(,)Q a b ，则122422ba ab ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，即(4,2)Q ，又P 关于y 轴的对称点为(2,0)T -，QT ==故选：C二、多选题9．已知直线1l 的方程为()258x m y ++=，直线2l 的方程为()345m x y ++=，若12//l l ，则m =（）A ．1-B ．7-C ．1D ．3-【正确答案】AB【分析】根据两直线平行可得12211221A B A B AC A C =⎧⎨≠⎩，解之即可【详解】因为()1258l x m y ++=：即()2580x m y ++-=，()2345m x l y ++=：即()3450m x y ++-=，且12//l l ，所以()()()()53242583m m m ⎧++=⨯⎪⎨⨯-≠-+⎪⎩，解得1m =-或7-．故选：AB10．已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±,则下列结论正确的是（）A．直线10x -=与C 有两个公共点B ．CC ．C 的方程为2213x y -=D ．曲线2e 1x y -=-经过C 的一个焦点【正确答案】CD【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程,将点(代入即可得双曲线方程,因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,所以A 错误;根据双曲线方程可求出,,a b c ,进而判断选项B,C 的正误;写出焦点坐标,代入2e 1x y -=-中,即可判断选项D 正误.【详解】解:因为双曲线C渐近线方程为y =,不妨设双曲线方程为:223x y λ-=,将点(代入,可得3λ=,所以双曲线方程为:2213x y -=,故选项C 正确;因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,故选项A 错误;因为双曲线方程为:2213x y -=,所以1,2a b c ===,所以离心率为c a =故选项B 错误;因为双曲线的焦点坐标为()()2,0,2,0-,将()2,0代入2e 1x y -=-知，该焦点在曲线上,将()2,0-代入2e 1x y -=-知，该焦点不在曲线上,所以选项D 正确.故选:CD11．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F 、2F 在x 轴上，短轴长等于2，焦距为过焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的方程为2214x y +=B ．椭圆C C ．12PQ =D ．272PF =【正确答案】AD【分析】求出a 、b 、c 的值，可判断AB 选项的正误；设点1F 为椭圆C 的左焦点，将x =入椭圆方程，可求得PQ 的长，可判断C 选项的正误；利用椭圆的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于椭圆C ，由已知可得222bc =⎧⎪⎨=⎪⎩1b =，c =2a ==.对于A 选项，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为2214xy +=，A 对；对于B 选项，椭圆C 的离心率为2c e a ==，B 错；对于C 选项，设点1F 为椭圆C 的左焦点，易知点()1F ，将x =12y =±，故1PQ =，C 错；对于D 选项，11122PF PQ ==，故21722PF a PF =-=，D 对.故选：AD.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为2，则（）A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为5B ．在棱AB 上不存在一点F ，使得1//C F 平面BDE C ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍D ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小【正确答案】CD【分析】建立空间直角坐标系，根据二面角C AB E --的正切值求出点E 的位置，利用空间向量与线面之间的关系可列式得出A 、B 、D 选项；利用等体积法即可求出1B 到平面ABE 的距离和C 到平面ABE 的距离，即可判断出选项 C.【详解】如图建立直角坐标系，设正方体边长为2因为二面角C AB E --2，所以二面角C AB E --设平面ABC 的法向量为()10,0,1n = ，设平面ABE 的法向量为()2,,n x y z =u u r()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,E λ，()0,2,0AB =，()2,0,BE λ=- 222020AB n y BE n x z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，设1x =，解得221,0,n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1212122cos ,3n n n n n n ⋅==⋅，解得λ=AE =，2AD =，DE222cos 25AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅⋅，A 错误；()2,2,0B，(0,E ，()0,0,0D ，()2,2,0DB =，(0,DE = 设平面BDE 法向量为()3,,n x y z =3322020DB n x y DE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，设1x =，解得(31,n =- ()10,2,2C ，()2,,0F y ，()12,2,2C F y =--若1//C F 平面BDE，则31220n C F y ⋅=-+-=，解得42y =-<故在棱AB上存在一点F，使得1//C F平面BDE，B错误；设1B到平面ABE的距离为1h，C到平面ABE的距离为2h，其中ABES=111112233B ABE E ABBV V h--==⨯=⨯⨯，解得13h=211233C ABE E ABCV V h--==⨯=⨯，解得23h=，12h=，C正确；(BE=-，平面11BDD B的法向量为()2,2,0AC=-()cos,3BE ACBE ACBE AC⋅==⋅，直线BE与平面11BDD B，D正确.故选：CD三、填空题13．过点()1,0，且斜率为2的直线方程是______．【正确答案】220x y--=【分析】由题意写出直线的点斜式方程，再化为一般式方程．【详解】过点()1,0，且斜率为2的直线方程是()021y x-=-，化为一般式方程为220x y--=．故答案为220x y--=．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．14．椭圆221259x y+=的左焦点为1F，M为椭圆上的一点，N是1MF的中点，O为原点，若3ON=，则1MF=______．【正确答案】4【分析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案.【详解】椭圆221259x y+=的左焦点为1F,如图，设右焦点为2F,则5a=，由N是1MF的中点，O为12F F得中点，3ON=,故2||2||6MF ON==,又12||||210MF MF a+==，所以1||4MF =，故415．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________.【正确答案】2n n+【分析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解.【详解】因为2n a n ==，所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =，所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+.故2n n+本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.16．已知等比数列{}n a 的首项为1，且()64312a a a a +=+，则1237a a a a = __________.【正确答案】128【分析】先由等比数列的通项公式得到364312a a q a a +==+，进而得到3412a a q =⋅=，再根据等比数列的性质得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为()64312a a a a +=+，根据等比数列的通项公式的计算得到：364312a a q a a +==+，所以3412a a q =⋅=.由等比数列的性质得到.77123742128a a a a a === 故答案为128.这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础.对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.四、解答题17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【正确答案】(1)()*4n a n n N =∈；(2)2(1)n n T n =+【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d ，代入等差数列的通项公式即可得解；（2）求出等差数列{}n a 的前n 项和，再由裂项相消法求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【详解】（1）因为4a 是2a 与8a 的等比中项，所以2428a a a =，即()()()221113740a d a d a d d d +=++⇒-=，解得4d =或0d =，又0d >，所以4d =，数列{}n a 的通项公式为()*1(1)4n a a n d n n N =+-=∈；（2）()1n 2n n a a S 2n 2n 2+==+ ，2n 111112n 2n 2n n 1S ⎛⎫∴== ⎪++⎝⎭则n 12n111T S S S =++⋯+111111111122231212(1)n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题考查等差数列通项公式及前n 项和公式，裂项相消法求和，属于基础题.18．已知圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，且圆心C 在直线l ：30x y --=上.(1)求圆C 的方程；(2)若从点()4,1M -发出的光线经过x 轴反射，反射光线1l 刚好经过圆心C ，求反射光线1l 的方程.【正确答案】(1)()()226313x y -+-=；(2)2530x y -+=【分析】(1)根据题意设圆心(,3)C a a -，利用两点坐标公式求距离公式表示出CA CB =，解出a ，确定圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程；(2)根据点关于坐标轴对称的点的特征可得()14,1M --，利用直线的两点式方程即可得出结果.【详解】（1）圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，因为圆心C 在直线：l ：30x y --=上，设圆心(,3)C a a -，又圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，所以CA CB =解得6a =，所以()6,3C ，所以r CA ==故圆C 的方程为C ：()()226313x y -+-=；（2）点()4,1M -关于x 轴的对称点()14,1M --，则反射光线1l 必经过点1M 和点C ，由直线的两点式方程可得113446y x +--=+--，即1l .2530x y -+=19．四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的大小．【正确答案】(1)证明见解析(2)45︒【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量法证得平面AEC ⊥平面PDB .（2）结合向量法求得直线AE 与平面PDB 所成角的余弦值，进而求得所成角的大小.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设,AB a PD h ==，()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,A a B a a C a P h ，(),,0AC a a =- ，所以220,0AC DP AC DB a a ⋅=⋅=-+= ，所以,AC DP AC DB ⊥⊥，由于DP DB D ⋂=，所以AC ⊥平面PDB ，由于AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面PDB .（2）当PD =且E 为PB中点时，()11,,,222P E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设AC BD O = ，则11,,022O a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EO ，则//EO DP ，EO ⊥平面ABCD ，EO AO ⊥.由（1）知AC ⊥平面PDB ，所以AEO ∠是AE 与平面PDB所成角，11,,,0,0,2222EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos EO AEO EA ∠= 由于[]0,90AEO ∠∈︒︒，所以45AEO ∠=︒.20．已知等差数列n {a }的前n 项和为n S ，公差为0d >，且231440,13a a a a =+=，公比为(01)q q <<等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭(1)求数列n {a }，n {b }的通项公式,n n a b ；(2)若数列n {c }满足n n n c a b =+，求数列n {c }的前n 项和n T .【正确答案】(1)3 1.n a n =-2112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)()31211234n n n +⎛⎫+- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式即可求解.（2）利用等差数列前n 项和公式与等比数列的前n 项和公式以及分组求和法即可求解.【详解】(1)由题意可得：等差数列n {a }，1111()(2)40,2,2313.3a d a d a a d d ++==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩3 1.n a n =-因为等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，(01)q q <<，所以123111,,.2832b b b ===12111,1112•1242.4n n n b b q --⎧=⎪⎪⎛⎫⎛⎫⇒==⎨ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩.(2)n n n c a b =+=31n -2112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.()111242311214nn n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦∴=+-()31211234n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭本题主要考查等差等比数列的通项公式、求和公式以及分组求和，需熟记公式，考查学生的计算能力，属于基础题.21．如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值．【正确答案】（1）见解析；（2【分析】（1）利用三角形中位线和11//AD 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF ；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点M E ∴为1B BC ∆的中位线1//M E BC ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//AD BC 1//ND BC ∴且112ND B C =//M E ∴∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O = ，11111A CB D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD四边形ABCD 为菱形AC BD∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)3,0,0A ，()0,1,2M ，)13,0,4A ，D （0，-1,0）31,,222N ⎫-⎪⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则31,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形DF AB∴⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD1D F A A ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA DF ∴ 为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ⎫=⎪⎪⎝⎭设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =r ，又)13,1,2MA =- ，33,,022MN ⎫=-⎪⎪⎝⎭132033022n MA y z n MN x y ⎧⋅-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩ ，令3x =1y =，1z =-)3,1,1n ∴=- 15cos ,515DF n DF n DF n ⋅∴<>===⋅ 10sin ,5DF n ∴<>= ∴二面角1A M A N --的正弦值为：105本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.22．设抛物线2:4C y x =，直线:20l x my --=与C 交于A ，B 两点．()1若||AB =l 的方程；()2点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ．求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．【正确答案】(1)20x y --=或20x y +-=，(2)见证明【分析】(1)联立直线与抛物线消去x 得到关于y 的一元二次方程，利用弦长公式AB ==.(2)设M 的坐标为(),OH OH x y ，由于MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，可利用·0PM PN = 找出一关系式，从而求出定点.【详解】()1由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理可得2480y my --=，显然216320m =+> ，设()()1122,,,A x y B x y ，124y y m ∴+=，128y y =-AB ∴===21m ∴=，即1m =±，直线方程为20x y --=或20x y +-=，()2证明：设AB 的中点M 的坐标为(),OH OH x y ，则()12122OH y y y m =+=，2=222OH OH x my m ∴+=+，()222,2M m m ∴+，由题意可得()0,2N m ，设MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，()20022,2PM m x m y ∴=+-- ，()00,2PN x m y =-- ，由题意可得·0PM PN = ，即()2220000042420x m y m x y x --++-=，由题意可得002200042040,20x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩解得002,0x y ==，定点()2,0即为所求本题主要考查直线与抛物线的位置关系，圆的相关性质，定点问题，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.。
广东省广州市高二上学期期末数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．与向量平行，且经过点的直线方程为（ ）21,7a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()4,4-A ． B ．23677y x =-22077y x =--C ． D ．7182y x =-7102y x =-+【答案】A【分析】利用点斜式求得直线方程.【详解】依题意可知，所求直线的斜率为， 27所以所求直线方程为，即.()2447y x +=-23677y x =-故选：A2．已知等边三角形的一个顶点在椭圆E 上，另两个顶点位于E 的两个焦点处，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C D 1312【答案】B【分析】根据已知条件求得的关系式，从而求得椭圆的离心率. ,a c【详解】依题意可知，b =所以.222222114,,42c c a b c c a a =+===故选：B3．如图，在平行六面体中，（ ）1111ABCD A B C D -1AB AD CC +-=A ．B ．C ．D ．1AC u u u r 1AC 1D B1DB 【答案】B【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．【详解】连接，可得，又，1、AC A C AB AD AC +=11=CC AA 所以． 111+-=-=AB AD CC AC AA A C 故选：B.4．已知，，，则（ ） 0.32=a 0.43b =0.2log 0.3c =A ． B ． a b c >>b c a >>C ． D ．c b a >>b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小 0,1【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a => 0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有： b a c >>故选：D5．如图，在三棱柱中，E ，F 分别是BC ，的中点，，则（ ） 111ABC A B C -1CC 2AG GE = GF =A ． 1121332AB AC AA -+ B ．1121332AB AC AA ++C ．1211332AB AC AA -+-D ．1121332AB AC AA -++【答案】D【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可. 【详解】23GF AF AG AC CF AE =-=+- ，()11121121232332AC AA AB AC AB AC AA =+-⨯+=-++故选：D ．6．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） ()1,2P ()2,3A ()4,5B -A ．B ．240x y +-=250x y +-=C ．或 D ．或240x y +-=250x y +-=3270x y +-=460x y +-=【答案】D【分析】就直线与平行或过的中点可求直线的方程. AB AB 【详解】若过的直线与平行，因为， P AB 3(5)424AB k --==--故直线的方程为：即.l ()241y x -=--460x y +-=若过的直线过的中点，因为的中点为，此时， P AB AB ()3,1-2(1)3132AB k --==--故直线的方程为：即. l ()3212y x -=--3270x y +-=故选：D.7．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为2y x =(2,A ．B ．2214x y -=2214y x -=C ．D ．2214y x -=2214x y -=【答案】B【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，且过点，符合题意.对于C 选项，双曲线的渐近线为，但不过点2y x =±(2,2y x =±(2,，不符合题意.对于D 选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B.12y x =±【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.8．P 为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q ，使得22:11713x y C +=1F 2F 1F P ，则动点Q 的轨迹方程为（ ）2PQ PF =A ．B ． ()22234x y ++=()22268x y ++=C ． D ．()22234x y -+=()22268x y -+=【答案】B【解析】由椭圆的，，所以122PF PF a +==2PQ PF =112PF PQ FQ a +===动点Q 的轨迹为以为圆心，为半径的圆，即可求得动点Q 的轨迹方程.()12,0F -【详解】由可得：，2211713x y +=a =因为，，122PF PF a +==2PQ PF =所以 112PF PQ FQ a +===所以动点Q 的轨迹为以为圆心， ()12,0F -故动点Q 的轨迹方程为.()22268x y ++=故选：B.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程； ,x y （2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.二、多选题9．已知直线：，：，则下列结论正确的有（ ） 1l 0x y m -+=2l 210x my +-=A ．若，则 12//l l 2m =-B ．若，则12l l ⊥2m =C ．若，在x 轴上的截距相等则 1l 2l 1m =D ．的倾斜角不可能是倾斜角的2倍 2l 1l 【答案】AB【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB 选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD 选项的正确性. 【详解】若，则，得，选项A 正确； 12//l l 2111m m-=≠-2m =-若，则，得，选项B 正确； 12l l ⊥120m ⨯-=2m =若，在x 轴上的截距相等，则，解得，选项C 错误；1l 2l 12m -=12m =-当时，的倾斜角恰好是的倾斜角的2倍，选项D 错误． 0m =2l π21l π4故选：AB【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在性.10．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭4x π=A ．函数为偶函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．函数在上单调递增()f x ,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若，则的最小值为()()122f x f x -=12x x -3πD ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+【答案】BC【分析】根据函数的图象关于直线对称，由()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭4x π=求得函数的解析式，再逐项判断.3,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈【详解】因为函数的图象关于直线对称，()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭4x π=所以，即，3,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈,4k k Z πϕπ=-∈又因为，则，22ππϕ-<<4πϕ=-所以，()sin(3)4f x x π=-A.函数为奇函数，故错误；si 121n(3)sin 423f x x x πππ⎛⎫⎛⎫++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 因为，则，又 在上递增，所以函数在上,126x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦30,44x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin y x =0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π()f x ,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故正确； C. 因为，则 分别为函数的最大值和最小值，则的最23T π=()()122f x f x -=()()12,f x f x 12x x -小值为，故正确； 23T π=D.将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故错误；()f x 13sin(9)4y x π=-故选：BC11．下列说法正确的是（ ）A ．设是两个空间向量，则一定共面 ,a b,a bB ．设是三个空间向量，则一定不共面,,a b c ,,a b cC ．设是两个空间向量，则,a ba b b a ⋅=⋅ D ．设是三个空间向量，则,,a b c ()()a b c a b c ⋅=⋅【答案】AC【分析】直接利用空间向量的定义、数量积的定义，空间向量的应用逐一判断A 、B 、C 、D 的结论即可．【详解】对于A ：因为是两个空间向量，则一定共面，故A 正确； ,a b,a b对于B ：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，故B 错误； ,,a b c ,,a b c对于C ：因为是两个空间向量，则，故C 正确；,a ba b b a ⋅=⋅ 对于D ：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D 错误．,,a b c ()a b c ⋅ a()a b c ⋅ c 故选：AC ．12．已知双曲线C ：，则（ ）2213y x -=A ．双曲线C 与圆有3个公共点22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭B ．双曲线C 的离心率与椭圆的离心率的乘积为122143x y +=C ．双曲线C 与双曲线有相同的渐近线2213y x -=D ．双曲线C 的一个焦点与抛物线的焦点相同 28y x =【答案】BCD【分析】由圆锥曲线的几何性质直接可得.【详解】解：作图可知A 不正确；由已知得双曲线C 中，，，所以1a =b =2c ==双曲线C 的焦点为，顶点为，渐近线方程为， ()2,0±()1,0±by x a=±=离心率为，易知选项BCD 正确． 2ca=故选：BCD13．已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线()()22:114M x y -+-=:20l x y ++=P l P M 、，切点为、，则下列结论正确的是（ ）PA PB A B A ．四边形面积的最小值为 MAPB 4B ．四边形面积的最大值为 MAPB 8C ．当最大时，APB ∠PA =D ．当最大时，直线的方程为 APB ∠AB 0x y +=【答案】AD【分析】分析可知当时，四边形面积最小，且最大，利用三角形的面积公式MP l ⊥MAPB APB ∠可判断AB 选项，分析出四边形为正方形，利用正方形的几何性质可判断CD 选项. MAPB 【详解】如下图所示：由圆的几何性质可得，，MA PA ⊥MB PB ⊥由切线长定理可得，又因为，，所以，， PA PB =MA MB =MP MP =PAM PBM △≌△所以，， 22PAM MAPB S S PA AM PA ==⋅=△四边形时，取最小值，MP l ⊥MP且的面积的最小值为，A 对；min MP MAPB 24=因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，B 错； MP PA MAPB 因为为锐角，，且， APM ∠2APB APM ∠=∠2sin AM APM MP MP∠==故当最小时，最大，此时最大，此时，C 错； MP APM ∠APB ∠2PA =由上可知，当最大时，且， APB ∠2PA PB MA MB ====90PAM ∠= 故四边形为正方形，且有，则的方程为，MAPB MP l ⊥MP y x =联立，可得，即点，20y x x y =⎧⎨++=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩()1,1P --由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，D AB MP ()0,0O AB y x =-对. 故选：AD.三、填空题14．命题“，”的否定为__________． x ∀∈R 2240x x -+≤【答案】2,240x R x x ∃∈-+>【详解】根据全称命题的否定是特称命题可知，原命题的否定为“”2,240x R x x ∃∈-+>15．设向量，，，则实数________. ()1,2,4AB = (),1,1CD m = AB CD ⊥m =【答案】6-【解析】利用向量数量积坐标计算公式直接求解. 【详解】因为，AB CD ⊥所以， 240AB CD m ⋅=++=解得. 6m =-故答案为：.6-【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 16．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________. 【答案】27π【分析】求出底面半径，代入公式即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆， 6所以圆锥的母线长为，6l =设圆锥的底面半径为，则，所以， r 26r ππ=⨯3r =所以圆锥的表面积为. 227S r rl πππ=+=故答案为：.27π17．一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹221():31Q x y ++=222:()381Q x y +=-方程为：______.【答案】2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为，半径为R ，根据动圆与圆外切，与圆(),Q x y 221():31Q x y ++=内切，得到，两式相加得到222:()381Q x y +=-121,9QQ R QQ R =+=-，再根据椭圆的定义求解.1212106QQ QQ Q Q +=>=【详解】设动圆的圆心为，半径为R ，(),Q x y 因为动圆与圆外切，与圆内切，221():31Q x y ++=222:()381Q x y +=-所以， 121,9QQ R QQ R =+=-所以，1212106QQ QQ Q Q +=>=所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆， 12,Q Q 所以，2210,5,3,16a a c b ====所以动圆圆心的轨迹方程为，2212516x y +=故答案为：2212516x y +=【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四、解答题18．已知圆D 经过点A （-1，0），B （3，0），C （1，2）. (1)求圆D 的标准方程；(2)若直线l ：与圆D 交于M 、N 两点，求线段MN 的长度. 3420x y +=-【答案】(1) ()2214x y -+=(2)【分析】（1）设圆D 的标准方程，利用待定系数法即可得出答案； 222()()x a y b r -+-=（2）利用圆的弦长公式即可得出答案.【详解】（1）解：设圆D 的标准方程，222()()x a y b r -+-=由题意可得，解得，222222222(1)(0)(3)(0)(1)(2)a b r a b r a b r ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以圆D 的标准方程为； 22(1)4x y -+=（2）解：由（1）可知圆心，半径， ()1,0D 2r =所以圆心D （1，0）到直线l ：的距离，3420x y +=-d 所以||MN ==19．已知抛物线上的点M （5，m ）到焦点F 的距离为6. 2:2(0)C y px p =>(1)求抛物线C 的方程；(2)过点作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 方程. ()2,1P -【答案】(1) 24y x =(2) 230x y +-=【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程. 562p+=（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k ，即可得直:(1)2l x k y =++线l 方程．【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为， 2px =-∴抛物线定义知：可得，故 562p+=2p =2:4C y x =（2）由题设，直线l 的斜率存在且不为0，设(1)2x k y =++联立方程，得， 2(1)24x k y y x =++⎧⎨=⎩24(1)8y k y =++整理得，则.24480y ky k ---=4A B y y k +=又P 是线段AB 的中点，∴，即42k =-12k =-故l 230x y +-=：20．如图，平面平面，，，，.ACEF ⊥ABC AF AC ⊥//AF CE 23AF CE =2BD DE =（1）求证：平面； //DF ABC （2）求证：.DF CE ⊥【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)过点分别作、的平行线，交点为、，利用平行关系和线段长度关系证明D BC CE G M 四边形为平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理证明平面AFDM DF //AM //DF ABC ；(2)利用面面垂直的性质得到平面，从而，又由，得. CE ⊥ABC CE AM ⊥DF //AM CE DF ⊥【详解】(1) 证明：过点作的平行线，交于点，连接. D BC CE G FG 过点作的平行线交于点，连接. D EC BC M AM 则四边形为平行四边形，有平行且等于. CMDG DM CG 因为，所以. 2BD DE =12ED BD =因为，所以， //DG BC 12FG ED CG BD ==故，所以，2CG EG =23CG CE AF ==又，所以四边形为平行四边形，有平行且等于，AF CG //AFGC AF CG所以平行且等于，四边形为平行四边形，有. AF DM AFDM DF //AM 又平面，平面，所以平面. DF ⊄ABC AM ⊂ABC //DF ABC (2)证明：因为，，所以.AF AC ⊥//AF CE CE AC ⊥因为平面与平面垂直，且交线为，又平面， ACEF ABC AC CE ⊂ACEF 所以平面，又平面，所以. CE ⊥ABC AM ⊂ABC CE AM ⊥又由(1)知，所以.DF //AM CE DF ⊥21．已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P 在椭圆上，，1C 222:1305x y C +=1F 2F 1C 12PF PF ⊥______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆1C ()1C 1C (1)求椭圆的标准方程； 1C (2)求的面积．12PF F △【答案】(1)2215025x y +=(2) 25【分析】（1）设椭圆C 的方程为（），，由题意可得.22221x y a b +=0a b >>222+=a b c 225c =选①：可得②：可得即可求解椭圆方程；选③：可得a =5b =c a =即可求解椭圆方程；（2）根据椭圆的定义，结合勾股定理可得，再求解面积即可.1250PF PF ⋅=【详解】（1）设椭圆C 的方程为（），，则椭圆与椭圆22221x y a b+=0a b >>222+=a b c 1C 具有共同的焦点，则．222:1305x y C +=225c =选①，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．a =225b =1C 2215025x y +=选②，由已知可得，则，所以椭圆的方程为． 5b =250a =1C 2215025x y +=选②，由已知可得，所以，椭圆的方程为．c a =250a =225b =1C 2215025x y +=（2）由椭圆的定义知① 122PF PF a +==又因为，所以，②12PF PF ⊥222124100PF PF c +==由①②可得，解得，因此2212121221002200PF PF PF PF PF PF ++⋅=+⋅=1250PF PF ⋅=． 12121252PF F S PF PF =⋅=A22．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD ，侧棱ABCD 为P ABCD -PAD ⊥PA PD ==直角梯形，其中，，，．//BC AD AB AD ⊥222AD AB BC ===12PF FD =(1)求证：平面ACF ；//PB(2)在线段PB 上是否存在一点H ，使得CH 与平面ACF PH 的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在，. PH【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.//PB ACF （2）设，求出，根据与平面所成角的正弦值列方程，由此求得，进而求PH tPB =CH CH ACF t 得的长.PH【详解】（1）依题意，在四棱锥中，侧面底面ABCD ，侧棱P ABCD -PAD ⊥PA PD ==底面ABCD 为直角梯形，其中，，，，//BC AD AB AD ⊥222AD AB BC ===12PF FD =以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，A，，()()()420,1,1,1,0,0,1,1,0,0,,33P B C F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,1PB =--设平面的法向量为，ACF (),,n x y z = 则，故可设，420330n AF y z n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ()1,1,2n =-- 由于， 1120n PB ⋅=--+=所以平面. //PB ACF （2）存在，理由如下：设，， ()()1,1,1,,PH tPB t t t t ==--=--01t ≤≤， ()()()0,1,1,,,1,1AH AP PH t t t t t t =+=+--=--，()()(),1,11,1,01,,1CH AH AC t t t t t t =-=---=---依题意与平面CH ACF=，解得或.1=1t =13t=，即与平面PH CH ACF23．已知点，圆，点Q 在圆上运动，的垂直平分线交于点P . ()11,0F -()22218F x y -+=：2F 1QF 2QF (1)求动点P 的轨迹的方程；C (2)过点的动直线l 交曲线C 于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；2212x y +=(2)存在，T (0，1)﹒【分析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨12221222PF PF PQ PF QF F F +=+==>=迹方程；(2)假设存在T (0，t )，设AB 方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出13y kx =-TA TB ⋅ 定点T .【详解】（1）由题可知，，1PF PQ =则，12221222PF PF PQ PF QF F F +=+==>=由椭圆定义知P的轨迹是以F 1、为焦点，且长轴长为 2F ∴，∴，1a c ==2221b a c =-=∴P 的轨迹方程为C ：；2212x y +=（2）假设存在T (0，t )满足题意，易得AB 的斜率一定存在，否则不会存在T 满足题意，设直线AB的方程为，()()1122,1,3,y kx A x y B x y =-,联立，化为，易知恒成立，221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2241612039k x kx +--=0∆>∴(*)()()121222416312912k x x x x k k +==-++，由题可知， 11221212(,)(,)()()TA TB x y t x y t x x y t y t ⋅=-⋅-=+--u u r u u r()2121212112333x x kx kx t k x x t ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+---+-+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()22121211210393k x x k tk x x t t ⎛⎫=+-+++++= ⎪⎝⎭，将(*)代入可得：()()()222216114120393912312k k k kt t tkk +⎛⎫--+⨯+++=⎪++⎝⎭，即 ()()222181896150t t k t t -++-=，∴，解， 221818096150t t t ⎧-=⎨+-=⎩1t =∴在y 轴上存在定点T (0，1)，使以AB 为直径的圆恒过这个点T .。
广东省2021版高二上学期期末数学试卷(理科)(II)卷
广东省2021版高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）抛物线的焦点到准线的距离是（）A .B . 5C .D . 102. （2分）(2017·衡阳模拟) 已知定义在R上的函数f（x）周期为T（常数），则命题“∀x∈R，f（x）=f （x+T）”的否定是（）A . ∃x∈R，f（x）≠f（x+T）B . ∀x∈R，f（x）≠f（x+T）C . ∀x∈R，f（x）=f（x+T）D . ∃x∈R，f（x）=f（x+T）3. （2分）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，为A1C1的中点，若=a，，，则下列向量与相等的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·钦州期末) 抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件，则的对立事件是（）A . 至多抽到2件次品B . 至多抽到2件正品C . 至少抽到2件正品D . 至多抽到一件次品5. （2分）随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是（）A . 甲班同学身高的方差较大B . 甲班同学身高的平均值较大C . 甲班同学身高的中位数较大D . 甲班同学身高在175以上的人数较多6. （2分） (2016高二上·台州期中) 已知平面α内有一点M（1，﹣1，2），平面α的一个法向量 =（2，﹣1，2），则下列点P在平面α内的是（）A . （﹣4，4，0）B . （2，0，1）C . （2，3，3）D . （3，﹣3，4）7. （2分）(2020·新课标Ⅰ·文) 执行下面的程序框图，则输出的n=（）A . 17B . 19C . 21D . 238. （2分）给出下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为假命题；②命题：任意,都有，则“非”：存在，使；③“”是“函数为偶函数”的充要条件；④命题：存在，使；命题：△ABC中，，那么命题“‘非’且”为真命题．其中正确的个数是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·正定期末) 过双曲线（，）的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点，若，则的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分）已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是A . 若，垂直于同一平面，则与平行B . 若m，n平行于同一平面，则m与n平行C . 若，不平行，则在内不存在与平行的直线D . 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）已知点P在双曲线=1（a＞0，b＞0）上，F1 ， F2是这条双曲线上的两个焦点，=0，且△F1PF2的三条边的长度成等差数列，则此双曲线的离心率的值为________12. （1分） (2017高二下·汪清期末) 某校有老师200名，男生1200名，女生1000名，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则从女生中抽取的人数为________。
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（Ⅱ）设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若 =λ ，求实数λ的取值范围．
21. （10分） (2017·长沙模拟) 已知在梯形ABCD中，∠ADC= ，AB∥CD，PC⊥平面ABCD，CP=AB=2DC=2DA，点E在BΒιβλιοθήκη 上，且EB=2PE．A .
B .
C .
D .
7. （2分） 若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是（ ）
A . p且q
B . p或q
C . 非p
D . 以上都不对
8. （2分） (2017高二上·湖南月考) 已知点 是抛物线 的焦点， 是抛物线上两点， ，则 中点的横坐标为（ ）
A .
B .
C .
三、 解答题 (共4题；共35分)
19. （10分） (2018高二上·榆林期末) 已知命题 ；命题 ：函数 在区间 上为减函数.
（1） 若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（2） 若命题“ 或 ”为真命题，且“ 且 ”为假命题，求实数 的取值范围.
20. （5分） (2016高二上·重庆期中) 已知双曲线C： 的离心率是 ，其一条准线方程为x= ．
A . 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为
B . 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为
C . 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为
D . 不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上
11. （2分） 正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为（ ）
A . 随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值
B . 随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值
C . 随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大
D . 随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小
6. （2分） (2017高二下·黄陵开学考) 正四面体ABCD的体积为V，M是正四面体ABCD内部的点，若“ ”的事件为X，则概率P（X）为（ ）
A . 45
B . 50
C . 55
D . 60
4. （2分） (2015高三上·舟山期中) 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ）
A . 2x±y=0
B . x±2y=0
C . 4x±3y=0
D . 3x±4y=0
5. （2分） (2016高二上·绍兴期中) 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0， ），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1 ， 以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2 ， 则（ ）
D .
9. （2分） (2018高二上·浙江月考) 过双曲线 的左顶点 作斜率为2的直线 ，若 与双曲线 的两条渐近线分别相交于点 ，且 ，则双曲线 的离心率是（ ）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） 一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为 ， 二面角D-AC-B的余弦值为 ， 则下列论断正确的是
A .
B .
C .
D . 2
3. （2分） (2016高二上·鹤岗期中) 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：
y
30
40
p
50
70
m
2
4
5
6
8
经测算，年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程 =6.5m+17.5，则p的值为（ ）
14. （1分） (2017高三上·泰州开学考) p：x≠2或y≠4是q：x+y≠6的________条件．（四个选一个填空：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）
15. （1分） (2016高二上·阜宁期中) 抛物线x2=8y的准线方程为________．
16. （1分） 如图若某算法框图如图所示，则输出的结果为________
A .
B .
C .
D .
12. （2分） 过双曲线 左焦点 且平行于双曲线一渐近线的直线与双曲线的左支交于点 ， 为原点，若 ， 则 的离心率为（ ）
A .
B . 2
C .
D .
二、 填空题 (共6题；共6分)
13. （1分） 某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如图所示，若（130，140]分数段的人数为90人，则（90，100]分数段的人数为________
17. （1分） (2017·铜仁模拟) 已知双曲线C： ﹣ =1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2 = ，则双曲线的离心率________．
18. （1分） (2019·湖州模拟) 已知椭圆 的两个顶点 ， ，过 ， 分别作 的垂线交该椭圆于不同于的 ， 两点，若 ，则椭圆的离心率是________．
广州市高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 选择题： (共12题；共24分)
1. （2分） 一组数据的方差为S2 ， 将这组数据中的每个数都乘以2，所得的一组新数据的标准差为（ ）
A .
B . 2S
C . S
D . 4S
2. （2分） (2015高二上·淄川期末) 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（ ）
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共6题；共6分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、 解答题 (共4题；共35分)
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
（1） 求证：DP∥平面ACE；
（2） 求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．
22. （10分） (2018高二上·武邑月考) 已知椭圆 的左,右焦点分别为 ,且 ,直线 与椭圆交于 两点．
（1） 若 的周长为16,求椭圆的标准方程.
（2） 若 ,且 ,求椭圆离心率 的值；
参考答案
一、 选择题： (共12题；共24分)