概率论与数理统计第四章测试题
概率论与数理统计第四章习题及答案
概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解： 由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解 各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。
概率论与数理统计第4章练习题
第四章 随机变量的数字特征一、期望29.设二维随机向量（X，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=,,0;x y 0,1x 0,2)y ,x (f 其它且E （X ）=1，则常数x =（ ）21.已知随机变量X 的分布律为则P {X <E （X ）}=____________.20．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0;10,2)(其他x x x f 则E （|X |）=______.7．设随机变量X 服从参数为21的指数分布，则E （X ）=（ ） A.41B.2129.假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。
问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大29.设某型号电视机的使用寿命X 服从参数为1的指数分布（单位:万小时）. 求:（1）该型号电视机的使用寿命超过t （t >0）的概率; （2）该型号电视机的平均使用寿命.19．设随机变量X ～B (8，，Y=2X-5，则E (Y )=______． 求： (1)常数a ,b ; (2)X 的分布函数F (x )； (3)E (X ).二、方差，则D （X ）＝（ ）,且已知E （X ）=，试求：12F （x ）.7.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ） （X ）=，D （X ）= （X ）=，D （X ）= （X ）=2，D （X ）=4（X ）=2，D （X ）=28.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则E （Z 2）=（ ）28．设随机变量X 的概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤-=.,x ,cx x f 其他；）（0222试求：（1）常数c ；（2）E （X ），D （X ）；（3）P {|X -E （X ）| < D （X ）}.7．设随机变量X~N （1,22），Y~N （1，2），已知X 与Y 相互独立，则3X-2Y 的方差为（ ） A ．8B ．16C ．28D ．4420.设随机变量X 在区间[0，5]上服从均匀分布，则D （X ）=______________. 21．设E （X 2）=0，则E （X ）=______________.22.已知E （X ）=-1，D （X ）=3，则E （3X 2-2）=____________.E （X ）及D （X ）。
概率论与数理统计第四章测试题
概率论与数理统计第四章测试题第4章 随机变量的数字特征一、选择题1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 2．若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ） (A)X与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C)D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X和Y相互独立，且()()221122,,,XN YN μσμσ，则2Z X Y =+（ ）(A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()221212,N μμσσ++ (C) ()2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2(C) E(X 2)= E(Y 2) (D) E(X 2)+(EX)2=E(Y 2)+ (EY)25．设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学期望()E Z =（ ） (A)(B) 0(C)(D)6．设X 、Y 是相互独立且在()0,θ上服从于均匀分布的随机变量，则()min ,E X Y =⎡⎤⎣⎦（ ） (A) 2θ (B) θ (C) 3θ(D) 4θ 7．设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY 是X 和Y （ ）(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件 (B) 独立的充分条件，但不是必要条件 (C) 不相关的充分必要条件 (D) 独立的充分必要条件8．若离散型随机变量X的分布列为(){}()1121,2,2nn nP X n =-⋅==，则()E X =（）(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（A ）－1 （B ）0 （C ）21 （D ）110．设随机变量X 和Y 独立同分布，具有方差2σ>0，则随机变量U=X+Y 和V=X-Y（A ）独立 (B) 不独立 （C ） 相关 (D) 不相关11．随机变量X 的方差存在，且E(X)=μ，则对于任意常数C ，必有 。
gll07_lx0401概率论与数理统计 第四章练习题及答案
第四章测试题一、单项选择题1.设随机变量X的方差DX=2，EX2=38，则X的数学期望E（X）等于（）A.6B.C.36D.402.已知随机变量X的数学期望EX=2，方差DX=4，则EX2=（）A.9B.18C.8D.63.设随机变量X的的函数为，则数学期望（）A.3B.C.6D.14.设X服从二项分布B（n,p），则（）A.E（2X-1）=2npB.D（2X+1）=4np（1-p）+1C.E（2X+1）=4np+1D.D（2X-1）=4np（1-p）5.设随机变量X～N（1，4），则D（2X+7）=（）A.2B.6C.16D.46.设X～B（n,p），则DX-EX=（）A.np（1-p）B.np2C.np2（1-p）D.-np27.设8.若随机变量ξ的分布函数二、填空题。
1.把4个球随机地投入4个袋子中去，设X表示空袋子的个数，则E（X）为。
2.设二维连续型随机变量（X,Y）在单位圆D={（x,y）|x2+y2≤1}内服从均匀分布，则X和Y的相关系数ρXY=_______。
3.设随机变量X和Y相互独立，且X～N（1,2）,Y～N（-3，4），则Z=-2X+3Y+7的数学期望为_____，方差为______。
4.已知X～B（n,p），且E（X）=8，D（X）=4.8，则n= 。
三、计算题1.已知随机变量X～B（n,p）,EX=12，DX=8，求p和n。
2.设X为随机变量，K为任意常数，证明D（KX）=K2DX。
3.设随机变量X的分布函数为求：（1）常数A；（2）X的密度函数f（x）；（3）P{X≤1}4.某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直独立射到子弹用尽。
求：（1）耗用子弹数X的分布列；（2）EX；（3）DX。
四、综合题1.设随机变量X的密度函数求：（1）常数C；（2）X取值落入区间（0.3，0.7）内的概率；（3）X的分布函数F（x）。
2.甲、乙两台自动机床，生产同一种标准件，生产2000只所出的次品数分别用X、Y来表示，经过一段时间的考察，X、问哪一台加工的产品质量好些？答案部分一、单项选择题1.【正确答案】 A【答案解析】 DX=EX2-（EX）2，得（EX）2=EX2-DX=38-2=36，E（X）=6，因此选A。
概率论与数理统计第四章大数定理与中心极限定理习题(含答案)
其中 为标准正态分布函数.
3.设 ， ，其中 、 为常数，且 ，则 （ ）．
； ；
；
4.设某地区成年男子的身高 ，现从该地区随机选出 名男子，则这 名男子身高平均值的方差为（ ）．
； ； ； ．
二、填空题
1．已知离散型随机变量X服从参数为 的泊松分布，利用切比雪夫不等式估计概率
.
2．已知随机变量X存在数学期望 和方差 ，且数学期望 ， ，利用切比雪夫不等式估计概率 .
； ； ； ．
解：C
二、填空题
1．已知离散型随机变量X服从参数为 的泊松分布，利用切比雪夫不等式估计概率
.
解：由 知，
5．已知随机变量X存在数学期望 和方差 ，且数学期望 ， ，利用切比雪夫不等式估计概率 .
解：
6．已知随机变量X的方差为4，则由切比雪夫不等式估计概率 .
解：
7．伯努利（Bernoulli）大数定理表明：当试验次数 很大时，随机事件 在这 次试验中发生的频率 与随机事件 的概率 有较大偏差的可能性很．
解：小。
三、计算题
１．投掷一枚均匀硬币1000次，试利用切比雪夫不等式估计出现正面次数在450次~550次之间的概率.
解：
2．已知连续型随机变量X服从区间 的均匀分布，试利用切比雪夫不等式估计事件 发生的概率.
解：
3．设随机变量 和 的数学期望分别是 和 ，方差分别是 和 ，而相关系数为 ．
⑴ 求 及 ；
3．已知随机变量X的方差为4，则由切比雪夫不等式估计概率 .
4．伯努利（Bernoulli）大数定理表明：当试验次数 很大时，随机事件 在这 次试验中发生的频率 与随机事件 的概率 有较大偏差的可能性很．
概率论与数理统计第四章.试题
第四章历年试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4D.E （X ）=2，D （X ）=22.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则D （Z ）=（ ）A.1B.3C.5D.63.已知D （X ）=4，D （Y ）=25，Cov （X ，Y ）=4，则ρXY =（）A.0.004B.0.04C.0.4D.44．设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（ ） A ．D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ．D （X+C ）=D （X ）+C C ．D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ）D ．D （X-C ）=D （X ）5．设随机变量X的分布函数为F(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<;4,1;4212;2,0x x ，xx则E （X ）=（ ）A ．31B ．21C ．23D ．36．设随机变量X 与Y 相互独立，且X~B （36，61），Y~B （12，31），则D （X-Y+1）=（ ）A ．34B ．37C ．323D ．3267．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是（ ）A ．E （X ）=0.5，D （X ）=0.25B ．E （X ）=2，D （X ）=2C ．E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 D ．E （X ）=2，D （X ）=4 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B （8，31），且X ，Y 相互独立，则D （X-3Y -4）=（ ） A ．-13 B ．15C ．19D ．239．已知D （X ）=1，D （Y ）=25，ρXY =0.4，则D （X-Y ）=（ ）A ．6B ．22C ．30D ．4610.设X~B （10，31），则E （X ）=（ ）A.31 B.1 C.310D. 1011.设X~N （1，23），则下列选项中，不成立．．．的是（ ） A.E （X ）=1 B.D （X ）=3 C.P （X=1）=0D.P （X<1）=0.512．设E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y )及Cov(X,Y )均存在，则D (X-Y )=（ ） A ．D (X )+D (Y )B ．D (X )-D (Y )C ．D (X )+D (Y )-2Cov(X,Y )D ．D (X )-D (Y )+2Cov(X,Y )13．设随机变量X ～B （10，21），Y ～N （2，10），又E （XY ）=14，则X 与Y 的相关系数=XY ρ（ ）A ．-0.8B ．-0.16C ．0.16D ．0.814．已知随机变量X 的分布律为，且E (X )=1，则常数x =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．815．已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的期望为（ ）A ．-21 B ．0 C ．21D ．216．设随机变量X 和Y 相互独立，且)4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，则~3Y X Z -=（ ） A ．)21,7(N B ．)27,7(N C ．)45,7(N D ．)45,11(N17.设X~B(10, 31), 则=)X (E )X (D （ ）A.31 B.32 C.1D.31018.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--.;0x e 1x2其它则X 的均值和方差分别为（ ）A.E(X)=2, D(X)=4B.E(X)=4, D(x)=2C.E(X)=41,D(X)=21D.E(X)=21, D(X)=41二、填空题（本大题共15小题，每空2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
《概率论与数理统计》第4章作业题
补充作业
设 X 的方差为2.5, 试估计 P{ | X- E(X) | 7.5 } 的值.
解
利用切比雪夫不等式
P{| X E( X ) | 7.5} 2 7.5 1 22.5 0.0444.
2.5
第四章
第四章
Z 2 ~ N (80, 1525) ， Z1 ~ N (2080, 652) ，
P{X Y } 0.9793, X Y ~ N (1360, 1525) ， P{X Y 1400} 1 P{X Y 1400}
1400 1360 1 Φ 1525
X~N(720,302),Y~N(640,252), 求Z1=2X+Y, Z2=X-Y
的分布，并求概率P{X>Y},P{X+Y>1400}.
第四章
由数学期望的性质知，
1 E(Y) E(2X1 - X 2 3X 3 - X 4 ) 2
1 2E(X1 ) - E(X) 2 3E(X 3 ) - E(X 4 ) 2 1 2 1 - 2 3 3 - 4 7 2 又因为 X1 , X 2 , X3 , X 4 , 相互独立，则由方差的性质知 1 D(Y) D(2X1 - X 2 3X 3 - X 4 ) 4D(X1 ) D(X2 ) 2 1 9D(X3 ) D(X4 ) 37.25 4
12(b a)
x
3
|
b a
12
(b 2 ab a 2 )
第四章
4-22 （1）设随机变量X1, X2, X3, X4 相互独立，
且有E(Xi)=i，D(Xi)=5-i，i=1,2,3,4. 设Y=
概率论与数理统计 第四章
【分析】
E(X )
=
1
，
D( X
)
=
1 2
，所以
1
=
1 2
，解得
=
4。
( ) ( ) 4、设离散型随机变量 X 的分布律为 P
X = 2k
=2 3k
,
k = 1, 2,
，则 E X
========。
( ) ( ) 【分析】 E
X
+
= xk p xk
k =1
=
+
2k
k =1
2 3k
=
2
+ k =1
2 3
k
= 2 2 3 = 4 1−2 3
5、设 X、Y 是两个相互独立且均服从正态分布 N (0, 1 ) 的随机变量，则随机变量 X − Y 2
的数学期望 E( X − Y ) = = = = = = = = = 。
【分析】因为 X、Y 是两个相互独立且均服从正态分布 N (0, 1 ) ， 2
3、设随机变量 X
的概率密度为
(
x)
=
ax2
+
bx
+
c,
0,
0 x 1，已知 EX 其他
= 0.5，
DX = 0.15 ，则关于系数 a，b，c 的正确选项为（= A= = ） A、 a=12，b= −12，c=3 = = = = = = = = B、 a=12，b=12，c=3 = = = C、 a=-12，b=12，c=3= = = = = = = = = D、 a=-12，b= −12，c=3
k =0
k=0 k !
概率论与数理统计 4,5章自测题答案
x = r cos θ , y = r sin θ EZ = ∫ dr ∫
0 2 +∞ 0 +∞ 2π 0
π 1 − r2 r e rdθ = 2π 2
1 − r2 r e rdθ = 2 2π
2
2
2
EZ = ∫ dr ∫ DZ = 2 −
2π
0
π
2
2
5、 E ( X + Y ) 四、综合题（35 分） 1、
2、对随机变量 X 来说，如果 EX ≠ DX ，则可断定 X 不服从（ (A) 二项分布 (C) 正态分布 (B) 指数分布 (D) 泊松分布
）
3、设ξ1，ξ2，…，ξn，…为独立随机变量序列，且ξi(i=1,2,…)服从参数为λ的指数 分布，则下列选项正确的是( (A) )
lim P⎨ ⎢∑ ξ ⎩⎣
(
) = E( X
2
+ 2 XY + Y 2 ) = DX + DY + 2 EXEY = 2 ．
x 1 − 1 −4 P (Y = 300) = ∫ e dx = 1 − 1.25e 4 0 4 ; 设盈利为 Y，则 1
P (Y = 100) = 1.25e EY = 300 − 250e
2、
− 1 4
n 2 ≤ y) = ϕ ( y)
X− P(| X− P(| n 4 n
n 2 |< 0.1) ≥ 0.9
n 2 |< 0.2 n ) ≥ 0.9
ϕ (0.2 n ) ≥ 0.95
n ≥ 68
五、 （1） EX =
∫
b
a
xp( x)dx ≥ a ∫ p( x)dx = a
概率论与数理统计第四章测试题
概率论与数理统计第四章测试题第4章 随机变量的数字特征一、选择题1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 2．若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ） (A)X与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C)D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X和Y相互独立，且()()221122,,,X N Y N μσμσ::，则2Z X Y =+:（ ）(A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()221212,N μμσσ++ (C) ()2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2(C) E(X 2)= E(Y 2) (D) E(X 2)+(EX)2=E(Y 2)+ (EY)25．设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学10．设随机变量X 和Y 独立同分布，具有方差2σ>0，则随机变量U=X+Y 和V=X-Y（A ）独立 (B) 不独立 （C ） 相关 (D) 不相关11．随机变量X 的方差存在，且E(X)=μ，则对于任意常数C ，必有 。
（A ）E(X-C)2=E(X 2)-C 2 （B ）E(X-C)2=E(X-μ)2（C ）E(X-C)2< E(X-μ)2（D ）E(X-C)2≥ E(X-μ)212．设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=31, 则P(1<X<3) =（ ）（A ）0 （B ）41 （C ）31 （D ）21二、填空题1．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则()2E X =2．设一次试验成功的概率为p ，进行了100次独立重复试验，当p = 时，成功的次数的标准差的值最大，其最大值为3．设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量100010X Y X X >⎧⎪= =⎨⎪- <⎩，则Y 的方差DY=4．()4D X =，()9D Y =，0.5XYρ=，则()D X Y -=，()D X Y +=5．设随机变量X 服从于参数为λ的泊松分布，且已知()()121E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ= 6．设(X,Y)的概率分布为：则),cov(22Y X＝ 。
概率论与数理统计第四章自测题
《概率论与数理统计》第四单元自测题时间：120分钟，卷面分值：100分一、填空题：（每空2分，共12分）得分1．设随机变量X与Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相关系数ρXY=0.6，则D(3X-2Y)= 。
2．已知随机变量X~N(0, σ2)(σ>0)，Y在区间]上服从均匀分布，如果D(X-Y)=σ2，则X与Y的相关系数ρXY= 。
3．二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数ρXY=-1/2，则当a= 时，随机变量aX+Y与Y相互独立。
4．设随机变量X~N(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度函数为1210 ()200xe xf xx-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，，，，如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= ，此时X与Z的相关系数为ρXZ= 。
5．设随机变量X在区间(-1, 2)上服从均匀分布，随机变量-100010XY XX>⎧⎪==⎨⎪<⎩，，，，，，则方差D(Y)= 。
6．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{∣X-2∣≥4}≤。
二、单选题：（每题2分，共12分）得分1．随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，该条件是X与Y( )。
(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；(B)不相关的必要条件，但不是充分条件；(C)独立的必要条件，但不是充分条件；(D)独立的充分必要条件。
2．若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
(A) X与Y一定相互独立；(B) X与Y一定不相关；(C) D(XY)=D(X)D(Y)；(D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。
3．设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然( )。
概率论与数理统计第四章测试题
第4章随机变量得数字特征一、选择题1.设两个相互独立得随机变量X与Y得方差分别为4与2,则随机变量3X-2Y得方差就是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442.若随机变量与得协方差,则以下结论正确得就是( )(A) 与相互独立(B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3.设随机变量与相互独立,且,则( )(A) (B)(C) (D)4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关得充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2(C) E(X2)= E(Y2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)25.设、就是两个相互独立得随机变量且都服从于,则得数学期望( ) (A) (B) 0 (C) (D)6.设、就是相互独立且在上服从于均匀分布得随机变量,则( )(A) (B) (C) (D)7.设随机变量与得方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY就是X与Y( )(A) 不相关得充分条件,但不就是必要条件(B) 独立得充分条件,但不就是必要条件(C) 不相关得充分必要条件(D) 独立得充分必要条件8.若离散型随机变量得分布列为,则( )(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9.将一枚硬币重复掷n次,以X与Y分别表示正面向上与反面向上得次数,则X与Y得相关系数等于(A)－1 (B)0 (C) (D)110.设随机变量X与Y独立同分布,具有方差>0,则随机变量U=X+Y与V=X-Y(A)独立(B) 不独立(C) 相关(D) 不相关11.随机变量X得方差存在,且E(X)=μ,则对于任意常数C,必有。
(A)E(X-C)2=E(X2)-C2(B)E(X-C)2=E(X-μ)2(C)E(X-C)2< E(X-μ)2(D)E(X-C)2≥ E(X-μ)212.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1<X<3) =( )(A)0 (B) (C) (D)二、填空题1.设表示10次独立重复射击命中目标得次数,每次命中目标得概率为0、4,则2.设一次试验成功得概率为,进行了100次独立重复试验,当时,成功得次数得标准差得值最大,其最大值为3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则得方差DY=4.,,,则,5.设随机变量服从于参数为得泊松分布,且已知,则6.设(X,Y)得概率分布为:则＝。
概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征 练习题与答案详解
概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征练习题与答案详解（答案在最后）1.假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，求三个人中生日在第一季度的人数的平均．2.100个产品中有5个次品，任取10个，求次品个数的数学期望与方差．3.设随机变量X 的概率密度为)(,e 21)(∞<<-∞=-x x p x试求数学期望EX 及方差DX .4.已知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤=，，，，，，4140400)(x x x x x F 试求X 的数学期望EX 方差DX .5.对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[]b a ,内，求圆面积的数学期望．6.设随机变量X 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，，，020cos )(πx x x f X试求随机变量DY X Y 的方差2=.7.设随机变量ξ只取非负整数值，其概率为{}0)1(1>+==+a a a k P k k，ξ是常数， 试求ξE 及ξD .8.设独立试验序列中，首次成功所需要的次数ξ服从的分布列为：其中q =9.若事件A 在第i 次试验中出现的概率为，i p 设μ是事件A 在起初n 次独立试验中的出现次数，试求μE 及μD .10.随机变量n ξξξ,,,21 独立，并服从同一分布，数学期望为,μ方差为2σ，求这些随机变量的算术平均值∑==ni i n 11ξξ的数学期望与方差．11.设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中,)(p A P =再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD .12.设随机变数ξ之概率分布如下：求: (1) ； ]]1[2[2+ξE (2) ])[(2ξξE E -.13.随机变量，)(~x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=其它，，，，，，021210)(x x x x x f试计算n EX n (为正整数)．14.随机变量aX Y p n B X e ),,(~=，求随机变量Y 的期望和方差. 15.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有8.0个疵点．规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值为8元，4个以上者为废品，求：)1( 产品的废品率；)2( 产品的平均价值．16.一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为25,20,15,10,5厘米，假定射击时弹着点的位置为Z Y Z ，),(为弹着点到靶心的距离，且),(Y Z 服从二维正态分布，其密度为200222001),(y x ey x f +-=π，现规定弹着点落入最小的圆域为5分，落入其他各圆域（从小到大）的得分依次为4分，3分，2分，1分，求：)1( 一次射击的平均得分；)2( 弹着点到靶心的平均距离．17.若ξ的密度函数是偶函数，且∞<2ξE ，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立．18.若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立．答案详解1．每个生日在第一季度的概率是41=p ．设X 表示三个人中生日在第一季度的人数，则X 服从二项分布，，⎪⎭⎫⎝⎛B 413从而X 的平均为43413)(=⨯=X E2．5.0=EX ，11045=DX3．x -e 21为偶函数，⋅x x-e 21为奇函数，所以，由积分性质知0d e 21=⋅=-∞∞-⎰x x EX x（奇函数在对称区间上的积分值为零）=DX x x P X E x X d )()]([2⎰∞∞--=⨯=-∞∞-⎰x x xd e 212x x x d e 02-∞⎰)(d )(202x x x x --∞-=-=⎰ x x x d e 200⎰∞-+∞2d e 20==⎰∞-x x x 4．342==DX EX ，5．设圆的直径为随机变量X ，圆的面积为随机变量，Y 则24)(X X f Y π==，随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，，，01)(b x a ab x p X ， 于是)(12112 d 14d )()())(()(2232b ab a a b x ab x ab x x x p x f X f E Y E b aX ++=⋅-⋅=-⋅===⎰⎰∞∞-πππ6．2220π-=DY7．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⋅=∑∑∞=∞=+101)1(11)1(k k k k k a a k a a a k E ξ， 令，且，则10)1(<<=+p p a a ，211)1()1()(p p p p p p p kp k k kk -='-='=∑∑∞=∞= 故a aa a aaE =+-+⋅+=2)11(111ξ．采用同样的方法并利用a E =ξ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∞=k k a a k a E )1(11122ξ[]k k p k k a ∑∞=+-+=11)1(11 ∑∑∞=∞=-+++=11)1(1111k k k k p k k a kp a ，2322122)1(21)1(1)(1a a p a p a p p a p a p a p a k k +=-⋅++="⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=''++=∑∞=故)1()2()(2222a a a a a D +=-+=E -E =ξξξ 8．21pqD pE ==ξξ，9．设,21n μμμμ+++= 其中⎩⎨⎧=出现次试验若第出现次试验若第A i A i i ,0,1μ，则∑∑===E =ni i ni i p E 11μμ，由试验独立得诸i μ相互独立，从而知=μD )1(11i ni i ni i p p D -=∑∑==μ10．nD E 2,σξμξ== 11．事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则．，++=++=---3331122200n n n n n n n n q p C pq C b q p C q p C a 利用，，n n p q b a q p b a )(1)(-=-=+=+可解得事件A 出现奇数次的概率为 n n p p q b )21(2121])(1[21--=--=，顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n p a )21(2121-+=．η服从两点分布，由此得，{}{}===出现奇数次事件A P P 1ηn p )21(2121--， {}{}===出现偶数次事件A P P 0ηn p )21(2121-+， 所以，=ηE n p )21(2121--，=ηD ][)21(2121[n p --])21(2121n p -+n p 2)21(4141--=．12．(1) 117； (2) 46513．x x f x EX n n d )(⎰∞∞-=x x x x x x n n d )2(d 2110-⋅+⋅=⎰⎰12)212(012212+-+⋅++=+++n x n x n x n n n)21122212(2122+++-+-+++=++n n n n n n n )2)(1(222++-=+n n n 14．n a n a n a p q p q DY p q EY 22)e ()e ()e (+-+=+=， 15．(1) 0.0014； (2) 9.616．(1) 007.3； (2) π2517．设)(x f 是ξ的密度函数，则)()(x f x f =-，由)(x xf 是奇函数可得，0=ξE 从而0=ξξE E ．又由于)(x f x x 是奇函数及,2∞<ξE 得ξξξξE E x x f x x E ===⎰∞∞-0d )(，故ξ与ξ不相关．由于ξ的密度函数是偶函数，故可选0>c 使得当{}10<<P <c ξ时，也有{}10<<P <c ξ，从而可得 {}{}{}{}c c P c P c P c P <<=<≠<<ξξξξξ,，其中等式成立是由于{}{}c c <⊂<ξξ，由此得不独立与ξξ．18．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2,1, , 1q p d c p b a q ：，：ηξ．作两个随机变量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=**2211,0, ,0, q p d c d q p b a b ：，：ηηξξ， 由ξ与η不相关即ηξξηE E E ⋅=得)(bd d b E E +--=**ξηξηηξbd dE bE E E +--=ξηηξ**=--=ηξηξE E d E b E ))((，而，，，}{)(}{)(} {))((d c P d c b a P b a E E d c b a P d c b a E -=-⋅-=-=-=-=--=********ηξηξηξηξ由上两式值相等，再由0))((≠--d c b a 得，，}{}{}{d c P b a P d c b a P -=-==-=-=****ηξηξ 即}{}{}{c P a P c a P =⋅====ηξηξ，． 同理可证}{}{}{d P a P d a P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{c P b P c b P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{d P b P d b P =⋅====ηξηξ，，从而ξ与η独立．。
陈国华等主编概率论与数理统计第四章习题答案
( A) 1；
( B) −1 ；
(C )
( D) ρ XY < 1 ．
） ．
4．若随机变量 X 和 Y 的协方差等于 0，则以下结论正确的是（
( A) X 和 Y 相互独立；
(C ) D( X − Y ) = D( X ) − D(Y ) ；
( B) D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) ；
则Z = ⎨
⎧1000 X + 500(Y − X ), X ≤ Y 1 ， f ( x) = f ( y ) = ,10 ≤ X , Y ≤ 20 Y≤X 10 ⎩ 1000Y ,
E (Z ) =
20
10≤ x , y ≤ 20
20
∫∫
Z
20 x 20 y 1 dxdy = ∫ ∫ 10 ydydx + ∫ ∫ 5( x + y ) dydy 0 0 0 0 100
答案： fY ( y ) =
试求 E ( X | Y = y )
∫
1
0
f ( x, y )dx =
1 f ( x, y ) 2( x + y ) + y (0 < y < 1), f X |Y ( x | y ) = = 2 1+ 2 y fY ( y )
1 0
E ( X | Y = y) = ∫
+∞
的单位数（1 单位等于 1000 千克） ，它在[200，400]上服从均匀分布，又设每卖出一个单位， 而因卖不出去油失效每单位将损失 1000 元， 问工厂在每年开工前 工厂可获得 3000 元利润， 应决定生产多少单位的润滑油，才能使期望利润最大？ 答案：解：设 X 表示该厂一年内卖出润滑油的单位数，Y 表示利润，且工厂在每年开工前 应决定生产 a 单位的润滑油，才能使期望利润最大.则
概率论与数理统计 第四章 随堂测验_详细答案
第四章 随堂测验答案1.(,),2.4, 1.44,____,_____.X b n p EX DX n p ==== 则答：n =6, p =0.4因为(,)X b n p ，所以EX =np =2.4, DX =npq =np (1-p )=1.44.所以() 1.440.6,2.(1)41DX p p E n p np X -====-从而 2.40.4, 6.0.4EX p n p ==== 2.(),[(1)(2)]1____.,X P E X X λλ-=-= 则答：1,λ=解法同习题课例题1.23.1,()______.X X E X e -+=设服从参数为的指数分布则答：4/3.根据期望的性质可知，22()(),X X E X e EX E e --+=+其中因为X 服从参数为1的指数分布(1λ=)，所以,(,)000x x x e f x ->⎧=⎨≤⎩且EX =1，DX =1.另外，根据随机变量函数的期望的定义，可知2223300011().(3)3X x x x x x f x dx e d E e e e e dx e x +∞+∞+∞+∞-------∞====-=⎰⎰⎰ 故221()()1.334X X E X e EX E e --+=+=+=224.,0.5,0,2,X Y EX EY E EY X ====已知的相关系数为2[()]_____.E X Y +=则 答：6.因为2220,,EX EY EX EY ====所以DX=DY=2.又22222[()]22()E X Y E X XY Y EX E XY EY ⎡⎤+=++=++⎣⎦，其中已知222E E Y X ==，而()Cov(,)XY E XY X Y EX E Y EY XE ρ=+=0.5001=⨯=， 于是2[()]21.226E X Y ⨯++=+=2125.,,...,,(),(),n i i X X X E X a D X b ==设随机变量是相互独立的且1,2,...,,i n =1,()_____,()____1_.ni i X X X E D X n ====∑记则 答：a, b 2/n.11222211111;11())1(.n n i i i i n n i i i i X na a n n n b D X nb n n E E X n EX D n X DX ====⎛⎫=== ⎪⎝⎭⨯==⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑6.,,,1,1,X Y Z EX EY EZ ===-已知三个随机变量中1,DX DY DZ === 0,0.5,0.5,XY XZ YZ ρρρ===-()_____,()_____.E X Y Z D X Y Z ++=++=则 答：1, 3.()1111E X Y Z E X E Y E Z ++=++=+-=[][][]()()()2Cov(,)2Cov(,)2Cov(X,Z)Cov(Y,Z)2Cov(X,Y)+2Cov(X,Z)+2Cov(Y,Z)111201120.5112(0.5)12321.XZ YZ D X Y Z D X Y Z D X Y DZ X Y Z DX DY X Y DZ DX DY DZ DX DY DZ ρρρ++=++=++++=+++++=+++=+=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯=++7.(),[,,,]E XY EXEY C G H I =选择题：若则（可多选）(A)(),(B)()(C)(),(D),(E),,(F),(G),(H)0,(I)Cov(,)0.XY D XY DXDY D X Y DX DY D X Y DX DY X Y X Y X Y X Y X Y ρ=-=-+=+==独立不独立相关，不相关，。
概率论与数理统计第4章题库
第4章数字特征填空题1. 设随机变量X只取-1，0，1三个值，且相应的概率之比1：2：3，则()E X=_________.答案：1 3知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望参考页:P87学习目标:1难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：123 {1},{0},{1}666 P X P X P X=-=====1231()(1)016663E X=-⋅+⋅+⋅=.2. 设随机变量X的分布律为下表，则DX=_______.答案：23 16知识点：4.10 方差的概念参考页:P87学习目标:1难度系数: 1提示一：4.10 离散型随机变量方差的定义提示二：无提示三：无提示四（同题解） 题型：填空题 题解：34EX =,2223()16DX EX EX =-=. 3．设X 表示2次独立重复射击命中目标的得次数，每次命中目标的概率为0.4，则EX =_____. 答案：0.8知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望 参考页: P88 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：()2,0.4X B ~，0.8EX = 4. 设随机变量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p pX 110~，10<<p ，当____=p 时，)(X D 取得最大值. 答案：2316知识点：4.11 常见随机变量的方差 参考页: P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.11 两点分布的方差 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：()(1)D X p p =-，12p =时，)(X D 取得最大值.5．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，若每次命中目标的概率是0.4，则2()E X =_____.答案：18.4知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：由()10,0.4X B ~得()100.44E X np ==⨯=，()()1100.40.6 2.4D X np p =-=⨯⨯=，()()()22 2.41618.4E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦6. 设X 表示10次独立射击中命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2(1)X +的期望为_________. 答案：27.4知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：~(10,0.4)X B ，22(1)(1)[(1)]E X D X E X +=+++22.4527.4=+=.7. 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且12EX =，8DX =，则n =_____， p =_____.答案：36,13知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：()12E X np ==, ()()18D X np p =-=，解得13p =，36n = 8. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2()P X E X == .答案：112e - 知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望 提示二：4.11 泊松分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：~(1)X P ，22()()[()]2E X D X E X =+=，{}{}2()2P X E X P X ===112e -=. 9. 设随机变量X 的概率分布为{} (0,1,2,)!CP X k k k ===L , 则2()E X =_________. 答案：2知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1难度系数: 2提示一：2.1离散型随机变量的分布律的性质 提示二：4.2 泊松分布的数学期望 提示三：4.11 泊松分布的方差 提示四（同题解） 题型：填空题题解：001!!k k C C Ce k k ∞∞====∑∑，故1C e =.1{}!e P X k k -==，~(1)X P ， 22()()[()]112E X D X E X =+=+=.10. 设X 在[1,1]-上服从均匀分布，则E X = _________；12E X ⎛⎫=⎪+⎝⎭_________；12D X ⎛⎫= ⎪+⎝⎭_________.答案：12，1ln 32，3ln 41312- 知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 参考页: P91 学习目标: 3 难度系数: 2提示一：2.12 均匀分布的概率密度 提示二：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 提示三：4.10 方差的概念 提示四（同题解） 题型：填空题题解：X 的概率密度为 111()2 0 x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，，E X 111011()22x f x dx x dx xdx +∞-∞-====⎰⎰⎰，12E X ⎛⎫=⎪+⎝⎭11111111()l n (2)2222f x d x d x x x x +∞--∞-=⋅=+=++⎰⎰， 212E X ⎛⎫= ⎪+⎝⎭221111111111()222223f x dx dx x x x +∞--∞-⎛⎫⎛⎫=⋅=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎰⎰， 22111222D E E X X X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ln 41312-.11. 设X 服从参数为λ的指数分布，且22()9E X =，则λ=_________. 答案：3知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 指数分布的数学期望 提示二：4.11 指数分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：由已知222222112()()()9E X D X E X λλλ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭由0λ>知3λ=.12. 随机变量X 与Y 独立，且~(1,2)X N ，~(2,5)Y N -，则234~X Y -+_______. 答案：(12,53)N知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 正态分布的数学期望 提示二：4.11 正态分布的方差 提示三：4.9数学期望的性质提示四：4.13方差的性质 题型：填空题题解： (234)2()3()412E X Y E X E Y -+=-+=，(234)4()9()53D X Y D X D Y -+=+=234~(12,53)X Y N -+13. 随机变量X 与Y 相互独立且都服从正态分布1(,)2N μ，如果1{1}2P X Y +≤=，则μ= .答案：12知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 正态分布的数学期望，方差 提示二： 4.9数学期望的性质 提示三： 4.13方差的性质提示四： 2.14 正态分布概率密度的性质 题型：填空题题解： ()()()2E X Y E X E Y μ+=+=，()()()1D X Y D X D Y +=+= 由1{1}2P X Y +≤=知21μ=，所以12μ= 14. 设随机变量X 的概率密度为221() ()xx f x x-+-=-∞<<+∞则()E X = _________ ，()D X =_________.答案：112， 知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.14 正态分布概率密度提示二： 4.5 正态分布的数学期望 提示三： 4.11 正态分布的方差 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：22(1)122121()1x xx f x e--⋅-+-==，()1E X =，1()2D X =. 15．已知1,1,9,16,EX EY DX DY ====X 与Y 独立，则(32)E X Y += ，(32)D X Y -= ．答案：5, 145知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 4.13方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：(32)3()2()5E X Y E X E Y +=+=，(32)9()4()145D X Y D X D Y -=+=16．已知(2)X P ~，[1 2]Y U ~，，且X 与Y 独立，则()E XY =____________， ()4E X Y -= ()12D X Y -=答案：3, 4, 14-知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 2提示一： 4.9数学期望的性质提示二： 4.13方差的性质提示三： 4.2 泊松分布的数学期望，方差 提示四： 4.5 均匀分布的数学期望，方差 题型：填空题题解：3()()()232E XY E X E Y ==⋅=，()34()4()2442E X Y E X E Y -=-=-⋅=- ()112()144()21441412D X Y D X D Y -=+=+⋅=17. 若(,)X Y 的联合概率密度22253()321650251(,)32x xy y f x y eπ--+=，则(,)X Y 服从____________分布，且()E X =______，()E Y =______，()D X =______，()D Y =______，, X Y ρ=______. 答案：30, 0, 16, 25,5知识点：4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 3.11二维正态分布联合概率密度 提示二： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：2213(2)545454251(,)42455x xy y f x y eπ--⋅+⋅⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⋅⋅⋅,(,)X Y 服从二维正态分布()E X =()0E Y =, ()16D X =,()25D Y =,, 35X Y ρ=. 18. 设二维随机变量(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ，则2()E XY =________. 答案：22()μσμ+知识点：4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布相关系数的含义 提示二： 4.9数学期望的性质提示三： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：22222()()()()[()]()E XY E X E Y E X D Y E Y μσμ==+=+.19. 设(,)~(0,0,0.5,0.50)X Y N ，，Y X Z -=，则方差=)(Z D . 答案：21π-知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P91, P107 学习目标: 3，4 难度系数: 3提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示二： 4.6 连续型随机变量函数的数学期望 提示三： 4.10 方差的概念 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：~(0,1)Z X Y N =-，()E Z =22z dz +∞--∞=⎰2202202z z dz +∞--+∞===⎰()()()22 D Z E Z E Z =-()22E Z π=-()222()1D Z E Z ππ=+-=-20. 随机变量(,)X Y 的联合概率分布为下表，则X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 为_______.答案：9-知识点：4.14 协方差的概念 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.14 协方差的概念提示二： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题 题解：141016,,999EX EY EXY ===，124(,)9Cov X Y =- 21. 随机变量(,)X Y 的联合概率分布为下表，则X 与Y 的相关系数XY ρ为_______.答案：0知识点：4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念提示二： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题 题解：()22222242,,33399EX EX DX EX EX ===-=-= 220,,3EY EY ==()2223DY EY EY =-=, 0EXY =所以，(,)0Cov X Y =，0XY ρ=22．设随机变量,X Y 有()1E X =，()2E Y =, (,)2Cov X Y =，则()E XY =______. 答案：4知识点：4.14 协方差的概念 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.14 协方差的概念 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：()(,)()()224E XY Cov X Y E X E Y =+=+= 23．设4,9,0.5XY DX DY ρ===，则(2)D X Y -=________.答案：13知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：(2)4()()4(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-4()()4D X D Y ρ=+-16940.52313=+-⨯⨯⨯=24．设两个随机变量Y X ,，已知25.0,9,16===XY DY DX ρ，则)(Y X D += _. 答案：31知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()2ρ=++XY D X D Y 16920.254331=++⨯⨯⨯=25．设,X Y 为随机变量，且()7D X Y +=，4DX =, 1DY =，则XY ρ= . 答案：12知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：7()()()2D X Y D X D Y ρ=+=++5227XY ρ+⨯=，解得12XY ρ=. 26．设两个随机变量,X Y ，已知16,9,()31DX DY D X Y ==+=，试计算：XY ρ=____________，()D X Y -=____________.答案：1, 194知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：31()()()2D X Y D X D Y ρ=+=++即2524331XY ρ+⨯⨯=，解得14XY ρ=()()()2D X Y D X D Y ρ-=+-125243194=-⨯⨯⨯=27.设随机变量X 与Y 的相关系数为0.9，若,4.0-=X Z ，则Z Y 与的相关系数为 . 答案：0.9知识点：4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念与性质 提示二： 4.15 协方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题 题解：,Y Z ρ===, 0.9X Y ρ==选择题1. 现有10张奖券，其中8张为2元券，2张为5元券，某人从中随机地无放回地抽取了3张，则此人得奖金额的数学期望为（ ）.（A ）6； （B ）12； （C ）7.8； （D ）9. 答案：（C ）知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.1 离散型随机变量的数学期望 提示二： 无 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：X 为得奖金额，383107{6}15C P X C ===，21823107{9}15C C P X C ===， 12823101{12}15C C P X C ===，771()69127.8151515E X =⨯+⨯+⨯=，选（C ）.2. 设~(,)X B n p ，且() 2.4E X =， 1.44DX =（），则,n p 分别为（ ）. （A ）4,0.6n p ==； （B ）6,0.4n p ==； （C ）8,0.3n p ==； （D ）24,0.1n p ==. 答案：（B ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：~(,)X B n p ,2.4=()E X np =,1.44=(1)D X np p =-（）,解得0.4, 6p n ==，选（B ）.3．设X 服从参数为2的泊松分布，即22{}k P X k e k -==！, 则X 的数学期望和方差分别为（ ） (A)12和12; (B) 2和4; (C) 12和14; (D) 2和2. 答案：（D ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望 提示二：4.11 泊松分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由X 服从参数为2的泊松分布知，()()2E X D X ==，选（D ）.4. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，若[(1)(2)]1E X X --=，则参数λ=（ ） （A ）3 ; (B) -1 ; (C) 1 ; (D) 2 . 答案：（C ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望 提示二：4.11 泊松分布的方差 提示三：4.9 数学期望的性质题型：选择题题解：221[(1)(2)]()3()2()()3()2E X X E X E X D X E X E X =--=-+=+-+2210λλ-+= λ=1，选（C ）.5. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则()E X =( ) (A) 2; （B ）4; （C ）12; （D ）14. 答案：（C ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望 参考页: P90 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 指数分布的数学期望 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由X 服从参数为2的指数分布知1()2E X =，选（C ）. 6. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，若2()72E X =，则参数λ=（ ）(A) 6 ; (B) 4 ; (C) 13 ; (D) 16. 答案：（D ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 指数分布的数学期望 提示二：4.11 指数分布的方差 提示三：无题型：选择题题解：~()X E λ 211(),()E X D X λλ==2272()()()E X D X E X ==+解得 16λ=，选（D ）. 7. 设随机变量X 的分布函数为21 0() 0 0x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩，，且μ=)(X Eσ=，则μ与σ的关系为（ ）.（A ）μ=σ； （B ）μ=2σ； （C ）2μ=σ； （D ）μ=1σ.答案：（A ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：2.10 连续型随机变量的概率密度与分布函数之间的关系 提示二：4.5 指数分布的数学期望 提示三：4.11 指数分布的方差 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由已知X 的概率密度为22 0() 0 0x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩，，，1()2E X =12=，选（A ）.8. 设随机变量,X Y 相互独立，其中X 在[1,7]上服从均匀分布，Y 服从参数为4的泊松分布，记2U X Y =-，则(),E U ()D U 等于（ ）.（A ）4,19-； （B ）4,13-； （C ）12,19； （D ）12,10. 答案：（A ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 均匀分布的数学期望与方差 提示二：4.2 泊松分布的数学期望与方差 提示三：4.9 数学期望的性质 提示四：4.13 方差的性质 题型：选择题题解：由X 在[1,7]上服从均匀分布知，()4E X =，()3D X = 由Y 服从参数为4的泊松分布知，()4E X =，()4D X =()()2()424E U E X E Y =-=-⨯=-，()()4()34419D U D X D Y =+=+⨯=，选（A ）.9．设X 服从正态分布)2,4(N ，则32Y X =+服从哪个分布（ ）(A) )18,12(N ; (B) )20,14(N ; (C) )18,14(N ; (D) )8,12(N . 答案：（C ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 正态分布的数学期望 提示二：4.11 正态分布的方差 提示三：4.9 数学期望的性质 提示四：4.13 方差的性质 题型：选择题题解：()3()214E Y E X =+=，()9()18D Y D X ==，~(14,18)Y N ，选（C ）. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立，~(1,1)X N ，~(2,1)Y N -，则(2)D X Y -=（ ） （A ）3； （B ）5； （C ）4； （D ）1. 答案：（B ）知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.11 正态分布的方差 提示二： 4.13 方差的性质 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：(2)4()()5D X Y D X D Y -=+=，选（B ）.11. 对任意随机变量X ，若()E X 存在，则[()]E E EX 等于（ ）. （A ）0; （B ）X ; （C ） 3()EX ; （D ）()E X . 答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质 参考页: P94 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 4.9 数学期望的性质 提示二： 无 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：由期望性质知[()]()E E EX E X =，选（D ）.12. 设随机变量X 与Y 相互独立，方差分别为4和2，则32X Y -的方差是( ). (A) 8; (B) 44; (C) 28; (D) 16. 答案：（B ）知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.13 方差的性质 提示二：无 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：(32)9()4()44D X Y D X D Y -=+=，选（B ）.13.设()2,()1,()1,()2,E X D X E Y D Y ====且Y X ,相互独立，则32X Y +的数学期望与方差分别为（ ）(A) 8和7; (B)8和17; (C) 7和8; (D)17和7. 答案：（B ）知识点：4.9 数学期望的性质 4.13 方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.9 数学期望的性质 提示二：4.13 方差的性质 提示三：无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：(32)3()2()8E X Y E X E Y +=+=(32)9()4()17D X Y D X D Y +=+=，选（B ）.14．设X 为随机变量，,0)(≥X E 2)121(2=-X E ,21)121(=-X D ，则()E X =（ ） (A)22;(B) 1; (C) 0; (D) 2.答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质 4.13 方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.9 数学期望的性质 提示二：4.13 方差的性质 提示三：无 提示四：（同题解） 题型：选择题 题解：由2)121(2=-X E 知，2()6E X =，由11(1)22D X -=知，()2D X =22()()()D X E X E X =-，即26()2E X -=，由()0E X ≥知，()2E X =. 选（D ）. 15. 随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ） （A ）{}211P Y X =--=;(B) {}211P Y X =-=;(C) {}211P Y X =-+=; (D) {}211P Y X =+=.答案：（D ）知识点：4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.16 相关系数的性质 提示二： 4.5 正态分布的数学期望 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：(21)1EY E X =+=，选（D ）.16. 若二维随机变量(,)X Y 满足()()()E XY E X E Y =，则X 与Y （ ） （A ）相关； （B ）独立； （C ）不相关； （D ）不独立. 答案：（C ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4难度系数: 1提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：由()()()E XY E X E Y =知，(,)0Cov X Y =，所以X 与Y 不相关，选（C ）. 17．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =，则（ ）（A ）()()()D XY D X D Y =⋅； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+； （C ） X 与Y 相互独立； （D ）X 与Y 互斥. 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.13 方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：由()()()E XY E X E Y =知，(,)0Cov X Y =，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()D X D Y =+，选（B ）.18．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y =. 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.13 方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()D X D Y =+，选（B ）. 19. 若随机变量,X Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则必有（ ）（A ）X 与Y 相互独立；（B ）X 与Y 不相关; （C ）()0D X =； (D) ()()0D X D Y = 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.13 方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+- 所以(,)0Cov X Y =，即X 与Y 不相关. 选（B ）. 20. 下列命题正确的是（ ）（A ）若Y X ,不相关，则()()()D X Y D X D Y +=+； （B ）若()E XY EX EY =⋅，则Y X ,相互独立； （C ）若()()()D X Y D X D Y +=+，则Y X ,相互独立；（D ）若Y X ,不相关，则Y X ,的联合概率密度(,)()()X Y f x y f x f y =⋅； 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.9 数学期望的性质 提示三： 4.13 方差的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：若Y X ,不相关，则(,)0Cov X Y =.()()()2(,D X Y D X D Y C o v X Y +=++()()D X D Y =+，选（A ）.21．下列结论正确的是（ ）（A ）X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关； （B ）X 与Y 不独立，则X 与Y 相关； （C ）X 与Y 不相关，则X 与Y 相互独立； （D ）X 与Y 相关，则X 与Y 相互独立. 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.9 数学期望的性质 提示二： 4.15 协方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：X 与Y 相互独立，有()E XY EX EY =⋅，即(,)0C o v X Y =，所以X 与Y 不相关，选（A ）.22. 若两个随机变量X 和Y 相互独立，则以下结论不一定成立的是( ). (A) ()D XY DX DY =⋅; (B) ()D X Y DX DY +=+; (C) (,)0Cov X Y =; (D) ()E XY EX EY =⋅. 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.9 数学期望的性质 提示三： 4.13 方差的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：X 与Y 相互独立，有()E XY EX EY =⋅，即(,)0Cov X Y =，()()()2(,D X Y DX D Y C o v X Y +=++()()D X D Y =+， 选项（B ）（C ）（D ）均成立，故选（A ）.23. 随机变量X 和Y 相互独立，则等式 ①()()()E X Y E X E Y -=-②()()()E XY E X E Y =g ③()D X Y DX DY -=- ④()()()D XY D X D Y =g 中成立的为（ ）（A ）①③； （B ）②④； （C ）①④； （D ）①②. 答案：（D ）知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 4.13方差的性质 提示三： 无提示四：（同题解） 题型：选择题题解：由期望的性质()E X Y EX EY -=-，X 与Y 相互独立时，有()E XY EX EY =⋅，选（D ）. 24. 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记max(,),U X Y =min(,)V X Y =，则()E UV 等于（ ）.(A) ()()E U E V ； (B) ()()E X E Y ； (C) ()()E U E Y ； (D) ()()E X E V . 答案：（B ）知识点：4.9数学期望的性质 参考页: P94 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()()()E UV E XY E X E Y ==，选（B ）.25. 设连续型随机变量1X 与2X 相互独立，且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度1121()[()()]2Y f y f y f y =+，随机变量2121()2Y X X =+，则（ ）(A) 1212,EY EY DY DY >>； (B) 1212,EY EY DY DY ==； (C) 1212,EY EY DY DY =<； (D) 1212,EY EY DY DY =>. 答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103学习目标: 1 难度系数: 3提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 4.13方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：特值法，设12,X X 均服从标准正态分布()0,1N ，相互独立22212221()]2y y y Y f y e e e ---=，()1~0,1Y N ，2121()02E Y E X E X =+=, 21211()42DY DX DX =+=， 1212,EY EY DY DY =>，故选（D ）.26. 设随机变量X 的分布函数为1()0.3()0.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则()E X =（ ）. （A ）0；(B) 0.3；(C) 0.7；(D) 1.答案：（C ）知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 参考页: P90 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.10 连续型随机变量概率密度与分布函数的关系 提示二： 4.4 连续型随机变量的数学期望的定义 提示三： 2.14 正态概率密度的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解1： 11()()0.3()0.722x f x F x x ϕϕ-⎛⎫'==+⋅⎪⎝⎭1()()0.3()0.352x E X xf x dx x x dx x dx ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰120.352(21)()0.7()0.7x t t t dt t dt ϕϕ-=+∞+∞-∞-∞⋅+===⎰⎰，选（C ）.题解2：1()()0.3()0.352x E X xf x dx x x dx x dx ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2221()(1)22220.350.352x x dx x dx ---+∞+∞-⋅-∞-∞==⎰⎰2(1)220.70.7x x dx --+∞⋅-∞==⎰，选（C ）.27. 设二维随机变量()()221212,,,,,X Y N μμσσρ~，则下列结论错误的是（ ）.（A ）()()221122,,,X N Y N μσμσ~~； （B ） X 与Y 相互独立的充要条件是0ρ=；（C ）()12E X Y μμ+=+； （D ）()2212D X Y σσ+=+.答案：（D ）知识点： 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示二： 4.9 数学期望的性质 提示三： 4.13 方差的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()221212,,,,,X Y N μμσσρ~，则()()221122,,,X N Y N μσμσ~~()12E X Y μμ+=+，X 与Y 相互独立的充要条件是0ρ=()221212()()22XY XY D X Y D X D Y ρσσρσσ+=++=++，选（D ）28. 设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为（ ） (A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D) ()()X Y f x f y . 答案：（A ）知识点： 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示二： 3.10 连续型随机变量的条件概率密度 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：对于二维正态分布，X 与Y 不相关，则X Y 与相互独立(,)()()X Y f x y f x f y =，/(,)()()X Y Y f x y f x y f y =()X f x =，选（A ）.29. 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（ ）（A ） 1-； (B) 0； (C) 12； (D) 1. 答案：（ A ）知识点： 4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念与性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：Y n X =-，11~(,),~(,)22X B n Y B n (,)()()C o v X n X D X D Y -=-=-，1XY ρ=-，选（A ）.计算题1. 设离散型随机变量X 的分布律如下表所示求()E X ，2()E X ，2(35)E X +. 答案：0.2, 2.8, 13.4-知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P87，P89 学习目标: 1，3 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：()20.400.320.3E X =-⨯+⨯+⨯2.0-=，2222()(2)0.400.320.3E X =-⨯+⨯+⨯8.2=， 22(35)3()5E X E X +=+222(3(2)5)0.4(305)0.3(325)0.3=⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯4.13=.2. 某射手有3发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射出，否则一直独立射到子弹用尽. 求(),()E X D X .答案：139，3881知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P87，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：123~2121133333X ⎛⎫⎪ ⎪⋅⎝⎭,9139********)(=⨯+⨯+⨯=X E 923913922321)(2222=⨯+⨯+⨯=X E ,8138)()()(22=-=X E X E X D .3．设一汽车在开往目的地的道路上需要经过三组信号灯，每组信号灯以12的概率允许或禁止汽车通过. 以X 表示汽车首次停下时它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的数学期望和方差. 答案：78，7164知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P87，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：1()234888E X =+⨯+⨯= 22211115()()(),()494888D X E X EX E X =-=+⨯+⨯=所以22215771()()()()8864D X E X EX =-=-= 4. 一盒中有4个球，球上分别标有号码0，1，1，2从盒中有放回的抽取2个球，设X 为被观察到的球上号码的乘积，求()E X . 答案：1知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：分别用12X X ，表示第一次和第二次摸到的球的标号. X 表示两次摸球标号的乘积 则X 的所有可能取值有0，1，2，412{0}{(0)(0)}P X P X X ===+=1212{0}{0}{0,0}P X P X P X X ==+=-==11117444416=+-⋅= 12{1}{1,1}P X P X X ====111224=⋅= 1212{2}{1,2}{2,1}P X P X X P X X ====+==1111124424=⋅+⋅= 12{4}{2,2}P X P X X ====1114416⋅=1112414416EX =+⨯+⨯=.5. 对某一目标进行射击，直至击中目标为止. 如果每次击中目标的概率均为(01)p p <<, 求: (1) 射击次数为偶数的概率; (2) 射击次数的数学期望. 答案：（1）12p p -- （2）1p知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：2.1离散型随机变量取值的概率 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：记射击次数为X ，显然X 的分布律如下 1{}(1)k P X k p p -==-， k =1, 2, … （1）所求概率为2111{2}(1)k k k P X k p p +∞+∞-====-∑∑2)1(1)1(p p p ---=p p --=21. （2）1(){}k E X k P X k +∞==⋅=∑11(1)k k kp p +∞-==-∑p1=（ 注意：级数11(1)k k kx x +∞-=-∑x1=，)2,0(∈x ）. 6. 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，求kXY e =的数学期望.答案：((1))kne p p +-知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示二： 2.3 二项分布的分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：~(,)X B n p ， {}(1)l ln l n P X l C p p -==- , 0, 1, 2,,.l n =⋯故 ()()kXE Y E e =0(1)nk lllnln l e C p p -==-∑0()(1)nl k l n ln l C e p p -==-∑n k p p e ))1((-+=. 7. 设随机变量X 服从参数为0.5的泊松分布，求随机变量1=1Y X+的数学期望. 答案：0.52(1)e --知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示二： 2.3 泊松分布的分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解： 0.5=0110.5()=1+1!k k E Y E e Xk k ∞-⎛⎫=⋅⎪+⎝⎭∑0.51=00.5=0.5(1)!k k ek -+∞+∑ 0.50.50.50.5=00.5=21=2(1)2(1)!k k ee e e k ∞---⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦∑. 8. 设离散型随机变量X 的分布律如下表所示.求随机变量2XY =的数学期望和标准差. 答案：2.4, 1.41参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示二： 4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：()(2)X E Y E =423.021.022.022101⨯+⨯+⨯+⨯=-4.2=. 2()(4)X E Y E =443.041.042.042101⨯+⨯+⨯+⨯=-75.7=，22()()[()]D Y E Y E Y =-99.14.275.72=-=，1.41=≈.9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生两次故障所获利润为0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少？ 答案：5.209知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示二： 2.3 二项分布的分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：设Z 表示一周内发生故障次数（五天工作日，每天发生0或1次故障）~(5,0.2)Z B ，55{}0.20.8k k k P Z k C -== (k =0, 1, 2, 3, 4, 5)(())E C Z=10×0.3277+5×0.4096+0×0.2048-2 (0.0512+0.0064+0.00032)=3.277+2.048-0.11584=5.209(万元)10. 设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量100010XY XX>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若，若，若求Y的方差.答案：8 9知识点：4.10 方差的概念参考页:P97学习目标:1难度系数:2提示一：4.3离散型随机变量函数的数学期望提示二：4.10 方差的概念提示三：2.12 均匀分布提示四（同题解）题型：计算题题解：由已知2{1}{0}3P Y P X==>=，1{1}{0}3P Y P X=-=<= Y的分布律为1()3E Y=，2()1E Y=，2218()()[()]199D YE Y E Y=-=-=.11. 设X 的概率密度为,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 , 求)(X E ，()D X .答案：1，16知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.4 连续型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：12201()()(2)E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞==+-⎰⎰⎰122323101111141(81)13333x x x =+-=+---=12223201()()(2)E X x f x dx x dx x x dx +∞-∞==+-⎰⎰⎰122434101121434x x x =+-12177154346=+⋅-⋅= 22)]([)()(X E X E X D -=71166=-=. 12．设X 的概率密度为110()1010x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩，，，其他，求()E X ，()D X . 答案：0，16知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.4 连续型随机变量的数学期望的定义提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：()()E X xf x dx +∞-∞=⎰011(1)(1)x x dx x x dx -=++-⎰⎰2030213111111102323x x x x --=++-=，22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰01221(1)(1)x x dx x x dx -=++-⎰⎰34034111111()()3434x x x x -=++-16=， 从而221()()[()]6D XE X E X =-= .13. 设连续型随机变量X 的概率密度为1,02()0,kx x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他 求 (1)系数k ; (2) X 的分布函数()F x ; (3)计算{1.5 2.5}P X << (4)求期望()E X ，方差()D X .答案：（1）12- （2）20, 01(), 0241, 2x F x x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩ （3）0.0625 （4）2, 03知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.10连续型随机变量的概率密度的性质提示二：2.10连续型随机变量的概率密度与分布函数的关系 提示三：4.4 连续型随机变量数学期望的定义 提示四：4.10 方差的概念 题型：计算题 题解：(1)2(1)1kx dx +=⎰，12k =-(2)(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，0x <时，()0F x =，2x ≥时，()1F x =.02x ≤<时，2011()(1)24xF x t dt x x =-+=-+⎰20, 01(), 0241, 2x F x x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩(3){1.5 2.5}(2.5)(1.5)0.0625P X F F <<=-= (4) ()()E X xf x dx +∞-∞=⎰20(1)2x x dx =-+⎰32220011122323x x =-⋅+= 22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰220(1)2x x dx =-+⎰42320011122433x x =-⋅+=， 从而22()()[()]0D X E X E X =-= .14. 设连续型随机变量X 的概率密度为：()0102a +bx ,<x <f x =,⎧⎨⎩其他，已知数学期望3()5E X =.求：（1）常数a,b 的值；（2）()XE e . 答案：（1）36, 55（2）935e -知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 参考页: P91 学习目标: 3 难度系数: 2提示一：2.10连续型随机变量的概率密度的性质 提示二：4.4 连续型随机变量数学期望的定义 提示三：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 提示四（同题解） 题型：计算题题解：（1）10113+2-=f(x)dx =(a +bx )dx =a +b ∞∞⎰⎰33a b ⇒+= 2311()()524E X xf(x)dx x a bx dx a b +∞-∞==+=+⎰⎰10=解得：36,55a b ==.（2）9()()35X x E e e f x dx e +∞-∞==-⎰。
《概率论与数理统计》习题及答案第四章
《概率论与数理统计》习题及答案第 四 章1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解(,)X Y 的分布列为其中(1,1)(1)(1|1)0P X Y P X P Y X =======余者类推。
2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。
解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2X B 331()(),0,1,2,32k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为01013818i p ⋅其中(0,1)(0)(1|0)0P X Y P X P Y X =======，13313(1,1)(1)(1|1)()128P X Y P X P Y X C =======⨯=，余者类推。
3．设(,)X Y 的概率密度为又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。
求{(,)}P X Y D ∈ 解（1）1321{(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈=--⎰=321(6)8x x y dxdy --- =)落在圆222()x y r r R +≤<内的概率. 解（1）22223201(R x y R CR dxdy C R C r drd ππθ+≤==-⎰⎰⎰⎰333233R R C R C πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦， ∴33C R π=.（2）设222{(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为322323232133r r r Rr R R R πππ⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为 求X 和Y 的联合分布函数.解1设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则解2由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为 边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:0D x <<求边缘概率密度。
概率论与数理统计(第三版)第四章习题
0 2 xe 2 x dx 0 4 xe4 x dx 0 xd (e 2 x ) 0 xd (e 4 x ) 1 2 x 1 4 x 1 1 3 2 x 4 x 2 x 4 x xe 0 0 e dx xe 0 0 e dx e 0 e 0 2 4 2 4 4 1 2)=2E(X )-3E(X 2) E(2X1-3X2 2 3 x 2 f 2 ( x )dx 1 2 2 t 4 x 3 2 t 2 3 3 5 4 x 1 30 x 4e dx 1 2 0 t e dt 1 ( 3) 1 2! 16 16 8 4 (2)E(X1X2) x1 x2 f1 ( x1 ) f 2 ( x2 )dx1dx2 x1 f1 ( x1 )dx1 x2 f 2 ( x2 )dx2 1 1 1 2 x1 4 x2 0 2 x1e dx1 0 4 x2e dx2 2 4 8
1448 676 964 D( A) E ( A ) [ E ( A)] 21.42( m 2 ) 15 9 45
2 2
法二:利用已知均匀分布的数学期望和方差的结果和性质求解
0 2 ( 2 0) 2 1 E( X ) 1, D( X ) , 2 12 3
13. 设随机变量X1,X2的概率密度分别为
2e 2 x , x 0 4e 4 x , x 0 f1 ( x ) f2 ( x) x0 x0 0, 0, (1)求E(X1+X2),E(2X1-3X22); (2)又设X1,X2相互独立,求E(X1X2). 解 法一:利用已知概率密度计算积分 (1) E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) xf1 ( x )dx xf2 ( x )dx
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第4章 随机变量的数字特征一、选择题1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442．若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ）(A) X 与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X 和Y 相互独立，且()()221122,,,XN Y N μσμσ，则2Z X Y =+（ ） (A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()221212,N μμσσ++(C) ()2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2(C) E(X 2)= E(Y 2)(D) E(X 2)+(EX)2= E(Y 2)+ (EY)25．设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学 期望()E Z =（ ） (A)(B) 0 (C) (D) 6．设X 、Y 是相互独立且在()0,θ上服从于均匀分布的随机变量，则()min ,E X Y =⎡⎤⎣⎦（ ）(A)2θ (B) θ (C) 3θ (D) 4θ7．设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY 是X 和Y （ ）(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件 (B) 独立的充分条件，但不是必要条件 (C) 不相关的充分必要条件 (D) 独立的充分必要条件 8．若离散型随机变量X 的分布列为(){}()1121,2,2nnnP X n =-⋅==，则()E X =（ ） (A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（A ）－1 （B ）0 （C ）21 （D ）110．设随机变量X 和Y 独立同分布，具有方差2σ>0，则随机变量U=X+Y 和V=X-Y （A ）独立 (B) 不独立 （C ） 相关 (D) 不相关11．随机变量X 的方差存在，且E(X)=μ，则对于任意常数C ，必有 。
（A ）E(X-C)2=E(X 2)-C 2（B ）E(X-C)2=E(X-μ)2（C ）E(X-C)2< E(X-μ)2（D ）E(X-C)2≥ E(X-μ)212．设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=31, 则P(1<X<3) =（ ） （A ）0 （B ）41 （C ）31 （D ）21二、填空题1．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则()2E X =2．设一次试验成功的概率为p ，进行了100次独立重复试验，当p = 时，成功的次数的标准差的值最大，其最大值为3．设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量100010X Y X X >⎧⎪= =⎨⎪- <⎩，则Y 的方差DY=4．()4D X =，()9D Y =，0.5XY ρ=，则()D X Y -= ，()D X Y += 5．设随机变量X 服从于参数为λ的泊松分布，且已知()()121E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ=6．设(X,Y)的概率分布为：则),cov(22Y X ＝ 。
7．已知)3,2,1(,)(===k kak X P , 则E(X)= 。
8．X~N （μ ，σ2），Y~N （μ，σ2），X 与Y 相互独立, 则Cov(X+Y , X-Y) =________。
9．随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,且都服从均匀分布U(0,2), 令X=3X 1-X 2+2X 3 ,则 E(X)=___________，D(X)＝ 。
10．设ρXY =0.9，Z=X-0.4，则Y 与Z 的相关系数为 。
11．设随机变量X ij 独立同分布，EX ij =2，则行列式nnn n nnX X X X X X X X X Y212222111211=的数学期望EY= 。
三、简答题1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5。
设X 为同种遇到红灯的次数，求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望。
2．已知随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 分别服从正态分布2(1,3)N 与2(0,4)N ，它们的相关系数12XY ρ=-，令32X YZ =+，⑴求Z 的数学期望EZ 与方差DZ(2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ。
3．已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。
从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求（1）乙箱中次品数X 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
4．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。
假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层候梯处，且X 在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间Y 的数学期望。
5．一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对某种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。
商店没售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了供货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。
6．两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。
试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度f(t)、数学期望和方差。
7．某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格品时即停机检修。
设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求X 的数学期望和方差。
8．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0;0,2cos 21)(他其πx x x f 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y的数学期望。
9．设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差。
10．假设二维随机变量(X, Y)在矩形G={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1}上服从均匀分布。
记⎩⎨⎧>≤=,,1;,0Y X Y X U ⎩⎨⎧>≤=,2,1;2,0Y X Y X V 。
（1）求(U, V)的概率分布；（2）求U 和V 的相关系数r 。
11.假设随机变量U 在区间[-2,2]上服从均匀分布，随机变量⎩⎨⎧-≤-->=1,1;1,1U U X ⎩⎨⎧≤->=,1,1;1,1U U Y试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D(X+Y)。
12．设A ，B 是两个随机事件；随机变量⎩⎨⎧-=,,1;,1不出现若出现若A A X ⎩⎨⎧-=,,1;,1不出现若出现若B B Y 试证明随机变量X 和Y 不相关的充要条件是A 与B 相互独立。
参 考 答 案一、选择题1．D 2．B 3．C 4．B 5．C 6．C 7．C 8．D 9．A 10．D 11．D 12．D 二、填空题1．18.4 2．1/2，5 3．8/9 4．7，19 5．1 6．-0.02 7．18/11 8．0 9．4，14/3 10．0.9 11．0 三、简答题1．解：X 服从二项分布)2,3(B ，其分布律为其分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.3,1,32,125/117,21,125/81,10,125/27,0,0)(x x x x x x FX 的数学期望为.56523=⨯=EX2．解：⑴因221(1,3),(0,4),2XY X N Y N ρ=-,32X Y Z =+,故有111323EZ EX EY =+=,()1cov ,3462XY X Y ==-⨯⨯=-，221111314()2cov(,)2(6)3329324964X Y DZ D DX X Y DY =+=+⨯⨯+=+⨯⨯-+=(2)()21131cov ,cov(,)cov(,)(6)0,0323232XZ X Y X Z X DX X Y ρ=+=+=+⨯-== 3．解：（1）由题意知，X 服从超几何分布，故23633=⨯=EX ； （2）又全概率公式，可得416162633613233613233633=⨯⨯+⨯⨯+⨯=C C C C C C C C p 。
4．解：有题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-≤<-≤<-==.6055,560,5525,55,255,25,50,5)(X X X X X X X X X g Y因此⎰⎰===∞∞-600)(601)()()(dx x g dx x f x g X Eg EY 67.11))65()55()25()5((601605555252555=-+-+-+-=⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x dx x 。
5．解：设Z 表示商店每周所得的利润，则⎩⎨⎧>+=-+≤==,),(500)(5001000,,1000),(X Y Y X X Y X X Y Y Y X g Z 所以 ⎰⎰∞∞-∞∞-==dxdy y x f y x g Y X Eg EZ ),(),(),(67.141661001)(50010011000201010201020=⨯++⨯=⎰⎰⎰⎰y ydxdy y x dxdy y 。
6．解：以X 和Y 表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则T=X+Y ，从而有⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-=----∞∞-⎰⎰,0,0,0,2525)()()(50)(55t t te dx e e dx x t f x f t f t t x t x Y X由已知，251,51====DY DX EY EX ，从而有：252,52=+==+=DY DX DT EY EX ET 。
7．解：X 服从几何分布，P(X=i)=q i-1p ，i=1,2,…p q q p q p q p p iqEX i i i ii i 1)1()()(1111='-='='==∑∑∑∞=∞=∞=-； 2221111112221221)())1((p pp p p p q pq iqqi i p p qi EX i i i i i i i i -=+-=+''=+-==∑∑∑∑∞=∞=-∞=-∞=-； 2221)(ppEX EX DX -=-=. 8．解：设A 表示X 的观察值大于3π，故212cos 21)3()(3/==>=⎰πππdx x X P A P ；由题意可知，Y~B(4,1/2)；故5)214(21214)(222=⨯+⨯⨯=+=EY DY EY 。