1.11几个可以用图论解决的范例

(2) 计算在各点 vi 设立服务设施的最大服务 距离 S(vi)
S (vi ) max {d ij }，i = 1, 2, …, v
1 j
有：S(v1) = 10，S(v2) = 7，S(v3) = 6，S(v4) = 8.5， S(v5) = 7，S(v6) = 7，S(v7) = 8.5。 (3) 求出顶点 vk，使 S (v k ) min{S (vi )} ，则 vk 1 i 就是要求的建立消防站的地点。因为 S(v3) = 6 最小，故应将消防站设在 v3 处。此点称为图的 中心点。
6.2.2 重心问题：有些设施（例如一些非紧 急型的公共服务设施，如邮局、学校等）的选 址，要求设施到所有服务对象点的距离总和最 小。一般要考虑人口密度问题，要使全体被服 务对象来往的平均路程最短。例如，某矿区有 七个矿点，如下图所示。已知各矿点每天的产 矿量q(vj)（标在图的各顶点上），现要从这七 个矿点选一个来建造矿厂，问应选在哪个矿点， 才能使各矿点所产的矿运到选矿厂所在地的总 运力（千吨公里）最小。
6.2.1 中心问题：有些公共服务设施（例如一
些紧急服务型设施如急救中心、消防战等）的选址， 要求网络中最远的被服务点距离服务设施的距离尽 可能小。例如：某城市要建立一个消防站，为该市 所属的七个区服务，如下图所示。问应设在那个区， 才能使它至最远区的路径最短。
图6.3
解：(1) 用 Floyd 算法求出距离矩阵 D = (dij)vv：
第i年初 购置费（万元） 使用年限 1 2.5 1 2 2.6 2 3 2.8 3 4 3.1 4
每年的维修与运行费（万元）
1
1.5
2
4
又如果已知不同役龄机器年末的处理价格 如下表所示，那末在这计划期内机器的最优更 新计划又会怎样？
年度 机器处理价（万元） 第1年末 2.0 第2年末 1.6 第3年末 1.3 第4年末 1.1
0.89 0.14 2 9 1 5 6 1 3 4 1 5 7 1
边
边权
1 4 8
0.87 0.67 0.75 7 8 0 7 9 1 8 9 1
边
边权
0.75
用 Kruskal 算法可求出最小生成树，如下图。
图6.5
将最小生成树中最大权的两条边去掉，得到三 个分离树，它们的顶点集合分别为：{3, 9}，{1, 2, 5}，{4, 6, 7, 8}，这也就是机器的分组。
边
1 2
1 3 1 2 8 1 4 9 1
1 4
1 5
1 6 1 3 5 1 5 8 1
1 7 1 3 6 1 5 9 1
1 8 1 3 7 1 6 7 1
1 9 1 3 8 1 6 8 1
2 3 1 3 9 0.5 6 9 1
2 4 1 4 5
2 5 0.62 4 6
2 6 1 4 7
边权
0.5 2 7
解：关于第一问，把该问题看成一个最短路问题。 设 v1 和 v5 分别表示计划期的始点和终点（x5 可理解为 第4年年末）。图中各边 (vi , vj) 表示在第 i 年初购进的 机器使用到第 j 年初（即第 j 1 年底），边旁的数字 由表中的数据得到。
图6.1
关于第二问，Baidu Nhomakorabea似于第一问，可转化为求下 图中从 v1 到 v5 的最短路问题。
以机 器 为 顶 点 ， 作 一 个 完 全 图 ， 每条边 (i, j) 被赋予权 w(i, j)。这个图的最小生成树是由 那些相异度最小的边构成的连通图，或看成是 去掉了相异度相对比较大的边后余下的连通图。 如果希望把机器分成 k 个组，就继续删去最小 生成树上权最大的 k1条边。于是得到 k 个分 离的子树，每棵树的顶点就构成各机器组。 (2) 模型求解 对前面表中给出的数据，按 照上述建模方式构造加权图，边权矩阵如下表 所示。
其中“”表示对称差，分子即为在机器 i 但不在机器 j 上加工，或在机器 j 但不在机器 i 上加工的零件数。 分母为在机器 i 或在机器 j 上加工的零件数。显然，0 w 1，w(i, j) = 0 表示机器 i 与机器 j 加工的零件完 全相同；w(i, j) = 1 表示机器 i 与机器 j 加工的零件没 有一个相同。w 表达了两台不同机器加工零件的相异 程度。
6.3 分组技术
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分组技术是设计制造系统的一种方法，它把生产零件的机器 分组，相应地把需生产的零件分类，使零件跨组加工的情形尽 量少，最理想的情况是使每个零件的加工都在组内完成。
机器
1
2
3
4
5
6
7
8
9
加工的 零件
2，3， 2，7， 7，8， 8，11， 1，6 9，12， 12 13
3，7， 3，5， 8，9， 10 12， 13
六、几个可以用图论解决的范例
6.1 设备更新问题 6.2 选址问题 6.3 分组技术问题
6.1设备更新问题
某工厂的某台机器可连续工作4年，决策者每年年初都要决定机 器是否需要更新。若购置新的，就要支付一定的购置费用；若 继续使用，则要支付一定的维修与运行费用，而且随着机器使 用年限的增加费用逐年增多。计划期（4 年）中每年年初的购 置价格及各个年限内维修与运行费用由下表给出，试制订今后 4 年的机器更新计划，使总的支付费用最少。
5
4，10
4，10
6
假设有 13 种零件，需在 9 台机器上加工。在各台机器上加 工的零件号在下表中给出。 将这 9 台机器分为 3 组，使零件跨组加工的情形尽量少。
解：(1) 建模 设用 Mi 表示需由机器 i 加工的零件 集合。对任意两台机器 i，j，定义 i 与 j的相异度：
w(i, j ) | Mi M j | | Mi M j |
图6.2
按照最短路算法可得最短路 {v1, v2, v3, v5}，即计划 期内机器更新最优计划为第 1 年、第 3 年初各购进 一台新机器，4 年总的支付费用为 6.8万元。
6.2 选址问题
选址问题是指为一个或几个服务设施在一定区 域内选定它的位置，使某一指标达到最优值。选址 问题的数学模型依赖于设施可能的区域和评判位置 优劣的标准，有许多不同类型的选址问题。比较简 单的两类选址问题是中心问题和重心问题。
图6.4
解：(1) 用 Floyd 算法求出距离矩阵 D = (dij)vv： (2) 计算各顶点作为选矿厂的总运力 m(vi)
m(vi ) q(v j ) dij , i 1, 2, , v
j 1

(3) 求 vk 使 m(vk ) min{m(vi )} ，则 vk 就是选矿厂应设 1i 之矿点。此点称为图的重心或中位点。
3 5 10 7 0 0 2 7 4 3 5 2 0 5 2 D 10 7 5 0 3 7 4 2 3 0 5 .5 2 .5 4 .5 7 4 4 6 8 . 5 5. 5 7 5. 5 2. 5 4. 5 7 4 0 1. 5 7 4 6 8 .5 5 .5 1 .5 0