驻波

)
2 y ( 2 A cos x ) cos 2π t


（驻波方程）
驻波的振幅与位置有关
各质点都在作同 频率的简谐运动
表明：表示各点都在作同频率简谐振动，与原来波的 3 频率相同。但各点振幅随位置的不同而不同。
驻波方程仅仅表示介质中各个质元都在作振 幅不等的简谐振动。 x 振幅项 2 A cos 2 只与位置 有关，而与时间无关。
23
三 波源与观察者同时相对介质运动
( vs , v o )
u vo v o 观察者向波源运动 + ，远离 . ' u vs vs 波源向观察者运动 ，远离 + .
若波源与观察源自文库者不沿二者连线运 动
u v'o ' u v's
v 's
vs
vo
v 'o
3）ＯＰ之间波幅和波节的位置 波腹处： sin( x ) 1 波节处： sin( x) 0
x 2k

2 k 0,1,2,3, 6.
,
x波节 0,1,2,3,6m
2 k 0,1,2,3, 5. 1 3 5 7 9 11 x波 腹 ， ， ， ， ，15 m 2 2 2 2 2 2
13
y反P 0.2 cos 200 t ) （ 6 x y反 0.2 cos[200（t ) )] 200 x x 0.2 cos[200（t ) 5 )] 0.2 cos[200（t ) )] 14
200 200
例：如图所示，有一沿X轴正向传 y1 播的平面简谐波，其波函数为： x O y1 0.2 cos[200 ( t )](SI ) y2 P x(m) 200 此波在d=6.0m的Ｐ处受到波密介质平面的反射（设反 射时波的强度不变）。求：1）反射波的波动方程； 2）驻波方程；3）ＯＰ之间波腹和波节的位置。 6 解: 1) y入P 0.2 cos[200 ( t )] 200 0.2 cos 200 t 6 ) 0.2 cos 200 t ) （ （
5
4
2、各点的相位
x cos 2 π 0 x cos 2 π 0
x y 2 A cos 2 π cos 2 π t x y 2 A cos 2 π cos 2π t
x y 2 A cos2 π cos(2 π t π)
y
相邻两波节之间质 点振动同相位，任一波 节两侧振动相位相反， 驻波好像是分段振动着 的。（与行波不同，无 相位的传播）。
1） 解
u 330 m/s, vsA 0, vsB 60 m/s
330-30 ' 500Hz 454.5 Hz 330
26
u vo ' u vs
例1 A、B 为两个汽笛，其频率皆为50Hz，A 静 止，B 以60m/s 的速率向右运动. 在两个汽笛之间有一 观察者O，以30m/s 的速度也向右运动. 已知空气中的 声速为330m/s，求： v sB vO 2）观察者听到来自B 的频率 3）观察者听到的拍频 A O B
9-6多普勒效应 讨论 人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？
接收频率——单位时间内观测者接收到的振动次 数或完整波数.
发射频率 s
s ?
接收频率
20
只有波源与观察者相对静止时才相等.
一 波源不动，观察者相对介质以速度
vo 运动
观察 者接 收的 频率
u vo ' 观察者向波源运动 u u vo ' 观察者远离波源 u
16
两端固定的弦线形成驻波时，波长
u 应满足 L n ， nn n 1,2, 由此频率 2L 2 决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式。
这些频率叫弦的本征频率，n=1对应的频率叫 17 基频，其它的叫谐频。 ☆


和弦线长 L
例如弦乐器（如胡琴、提琴）是使有一定张力 的琴弦作振动并通过琴箱而发声。用手指按琴弦的 不同的地方就等于限定了弦的长度，限定了弦振动 的固有频率。此外，管乐器（如笛、萧）是利用气 柱中形成的驻波而发声，而锣、鼓等乐器也都是波 在板或膜上传播形成了驻波而发声的。 驻波在涉及波动现象的各个科学技术领域中都 有表现与应用。例如在设计激光谐振腔和用微观粒 子的波粒二象性解释玻尔量子化条件时都要用到驻 波的概念。
2 x0 u
x 2 x0 可得： y反 A cos[ ( t )] u u
12
例：已知入射波的波函数为： y 试求：反射波的波函数。
A cos (t x u)
y p反 Acos[(t x0 u) ]
反射波传播 l 距离至 x 处， 滞后 l/u 时间
9.5 驻波 驻波是特定条件下的波的干涉。 一、驻波的形成
振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在 同一直线上沿相反方向传播时，叠加而形成的一种特 殊的干涉现象。
当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠 加可产生驻波。
1
弦线驻波实验示意图
驻波的形成
驻波的特点： 介质中各质点都作稳定的振动。波形并没有传播。
解
330 30 500Hz 461.5 Hz 2） 330 60
3） 观察者听到的拍频
7 Hz
27
另解：x0处反射时相位产生π突变，所以反射波在 x0处的振动方程为：
入射 反射
波 密
x0
x0 l y反 A cos[ ( t ) ] u u x0 x0 x A cos[ ( t )] u u x 2 x0 A cos[ ( t )] u u
x ( 2k 1)

,
四、 两端固定的弦线（如琴弦）上的驻波
由于弦线两端为波节，所以，应满足下列关系
Ln
则

2
( n 1, 2, 3, )
2L n n
两端固定的弦中激起 的驻波，其波长不是任意 的。必须满足上述条件。 由于 n 是自然数，能在弦上形成驻波的波长是 不连续的，为一系列分立值。 ——波长量子化
9
三、半波损失（相位突变）
u
较 小
波 疏 介 质
u
较 大
波 密 介 质
当波从波疏介质垂直入射到波密介质界面上反射时， 有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。
10
当波从波密介质垂直入射到波疏介质，在界面上 反射时，无半波损失，界面处出现波腹。
11
例：已知入射波的波函数为： y 试求：反射波的波函数。
2
二、驻波方程
设有两列相干波，分别沿X轴正、负方 向传播，选初相位均为零的表达式为：
正向： y1 A cos 2π(t
x
其合成波称为驻波，其表达式： x x y y1 y2 A cos 2π( t ) A cos 2π( t )
x 负向： y2 A cos 2π(t )
2
o
2
x
6
3、驻波的能量 位移最大时
波 节
波 腹 A B C
x x
平衡位置时
y 2 dEp ( ) x
y 2 dEk ( ) t
波节处的质点动能为零，相对形变最大，只有势能； 波腹处的质点相对形变最小，势能最小（为零）， 只有动能。
7
3、驻波的能量
各质点同时到达最大位移时，动能为零，势能不为 零，波节处形变最大，基本上势能集中在波节附近。 当各质点同时回到平衡位置时，全部势能为零， 动能最大，波腹处质点速度最大，基本上动能集中 在波腹附近。 其它时刻，则是动能和势能并存。 驻波与行波不同，没有能量的定向传播。它只是 介质的一种特殊的振动状态。
8
三、半波损失（相位突变）
如图:在绳与墙壁固定B处， 为波节位置。
B
波节 波腹
这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在 该点各自引起的两个振动相位相反，两相位相差为， 相当于波程相差/2。 入射波在反射时反射波相位突变了，相当于波 程损失了半个波长的现象称为半波损失。 什么情况下波在两种介质界面上反射时,反射波 有半波损失?如何判断?

x 0,
2

x k
即：
2
波腹的
2 位置为： k 0, 1, 2, 3,...
x k


x ( 2k 1)

2
,
波节的 x ( 2k 1) , 4 位置为：k 0, 1, 2, 3,...

2

相邻波腹(或波节)的间距
相邻波腹和波节间距

21
二 观察者不动，波源相对介质以速度
vs 运动
22

s
v sT
u
s'
vsT
T u A
b
T '

b
u
u 1 u ' T ' vsT u vs
波源向观察者运动
观察 者接 收的 频率
u ' u vs u ' u vs
波源远离观察者
24
当 vs u 时，所有波 前将聚集在一个圆锥面上， 波的能量高度集中形成冲击 波或激波，如核爆炸、超音 速飞行等. 多普勒效应的应用
1）交通上测量车速； 2）医学上用于测量血流速度；
ut
P1
P2
vs t
3）天文学家利用电磁波红移说明大爆炸理论； 4）用于贵重物品、机密室的防盗系统； 5）卫星跟踪系统等.
18
讨论
如图二胡弦长 l 0.3 m ，张力 T 9.4N . 密度 4 3.8 10 kg m . 求弦所发的声音的基频和谐频.
解 ：弦两端为固定点，是波节.
ln
千斤

2
n 1,2,
波速 u
nu 频率 2l
u
T

l
码子
1 T 基频 n 1 1 262 Hz 2l n T 谐频 n 1 n 2l 19
2）驻波方程
y y入 y反
x x ) )] 0.2 cos[200 ( t )] 0.2 cos[200（t 200 200 x x 0.2 cos[200 ( t )] 0.2 cos[200 t （ )] 200 200 0.4 sin( x )sin( 200 t )
A cos (t x u)
解：入射波传播到x0点产生的振动为：
y p入 A cos (t x0 u)
设反射波方程为：
入射 反射
波 密
y反 A cos[(t x u) ]
因 x0 处入、反射波的相位差为：
x0
[ (t x0 u) ] [ (t x0 u)] 2x0 u
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例1 A、B 为两个汽笛，其频率皆为50Hz，A 静 止，B 以60m/s 的速率向右运动. 在两个汽笛之间有一 观察者O，以30m/s 的速度也向右运动. 已知空气中的 声速为330m/s，求： 1）观察者听到来自A 的频率 v sB vO 2）观察者听到来自B 的频率 A O B 3）观察者听到的拍频
振幅最大的点称为波腹， 振幅为零的点称为波节，
波 腹
波 节
1、波节和波腹 2 x cos 2 π t 驻波方程： y 2 A cos
4 由驻波方程中的振幅项可以求出波腹和波节的位置。
波 腹
波 节
波腹，振幅值最大为2A。 对应于 即：
cos 2
波节，振幅为零。 对应于 cos

x 1,
2