数列知识点总结及例题讲解

人教版数学必修五
第二章 数列 重难点解析
第二章 课文目录 2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列 2．3 等差数列的前 n 项和 2．4 等比数列 2．5 等比数列前 n 项和
【重点】 1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。 2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。 3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应 用。 4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。 5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。 6、等比数列的前 n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式
an f (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数 y=f(x),如果 f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一 个数列 f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，… 6．数列的分类： 1）根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2）根据数列项的大小分： 递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 7．数列的表示方法 （1）通项公式法
可以是 an
1 (1)n1 2
，也可以是 an
| cos
n 1 2
|.
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的 一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列 便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系： 数列可以看成以正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数
间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为： a1 3, a2 5, an an1 an2 (3 n 8)
4、列表法
．简记为 ．
பைடு நூலகம்
典型例题：
例 1：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
∴ an ＝(－1) n1 n(n＋1)
例
2：设数列
a
n
满足
an
a1 1 1
1 (n an1
写出这个数列的前五项。
1).
分析：题中已给出an 的第
1 项即 a1
1，递推公式： an
1
1 an1
解：据题意可知： a1
1, a2
1
1 a1
2, a3
1
1 a2
2 3
，
a4
1
1 a3
5 3
,
a5
一、数列的概念与简单表示法 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序 不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或 首项），第 2 项，…，第 n 项，…. ⒊数列的一般形式：
【难点】 1、根据数列的前 n 项观察、归纳数列的一个通项公式。 2、理解递推公式与通项公式的关系。 3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题。 5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
8 5
例 3：已知 a1 2 ， an1 2an 写出前 5 项，并猜想 an ．
解：法一： a1 2 a2 2 2 22 a3 2 22 23 ，观察可得 an 2n
法二：由 an1 2an
∴ an 2an1
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；
(2) 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ……； 3 15 35 63 99
(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
如果数列 an 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫
做这个数列的通项公式。
如数列
的通项公式为
；
的通项公式为
；
的通项公式为
；
（2）图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的
项 为纵坐标，即以
为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列
a1, a2 , a3 ,, an ,，或简记为an ，其中 an 是数列的第 n 项
⒋ 数列的通项公式：如果数列 an 的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那
么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式
为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐
标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以 直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （3）递推公式法
如果已知数列 an 的第 1 项（或前几项），且任一项 an 与它的前一项 an1 （或前 n 项）
解：(1) an ＝2n＋1；
(2)
an
＝
(2n
2n 1)(2n
1)
；
(3)
a
n
＝
1
(1) 2
n
；
(4) 将数列变形为 1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
∴
a
n
＝n＋
1
(1) 2
n
；
(5) 将数列变形为 1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，