02第2章质点动力学
大学物理课件第二章质点动力学
m0g N
N
a’ B mg
联立解得
(m m0 )sin m cos sin a g, a ' g 2 2 m0 m sin m0 m sin
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
B
A
F
B
m0g
A
解：隔离两物体，分别受力分析， aA-地对楔块A N sin m0a
N
F ( N cos m0 g ) 0
N
对物体B（aB地 aB A aA地 ）
B
a
B-A
a
N sin m(aB A cos a)
A-地
mg
N cos mg m(aB A sin 0)
m0 m sin
(m m0 )sin 联立解得 a m cos sin g , aB A g 2 2 m0 m sin
B
A
F A a
解：隔离两物体，分别受力分析， 对楔块A N sin m0a N cos m0 g F 物体B相对楔块A以a’加速下滑
二、牛顿第二定律 1.动量： p mv
2.力的定义： dp d (mv ) F dt dt --牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v c 物体质量为常量时：
dv F m ma dt
惯性演示实验
当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的手 不会感到有强烈的冲击；而当用一块木头取代 铁块时，木块下的手会感到明显的撞击。
大学物理课件 第2章,质点动力学
本章题头§2-1 牛顿运动定律英国物理学家, 经典物理学的奠基人.创立了经典力学的 基本体系光学，牛顿致力于光的颜色和光 的本性数学，建立了二项式定理，创立 了微积分牛顿 Issac Newton （1643－1727）天文学，发现了万有引力定律， 创制反射望远镜，初步观察到了 行星运动的规律。
一、牛顿第一定律 (Newton first law)惯性定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
意义惯性以及力的概念 1、定义了物体（质点）的惯性；2、说明了力是物体运动状态改变的原因定义了惯性参考系二、牛顿第二定律 (Newton second law)质点加速度的大小与所受合力的大小成正比 , 与质点自身的质量成反比; 加速度方向与合力方向相同。
牛顿第二定律的数学形式为 Fma 原始形式：F dPd mv dmvm dvdtdtdtdt当 v c 时，m 为常量 Fm dvmadt宏观低速运动时1、瞬时性： 之间一一对应（同生、同向、同变、同灭） n 2、力的叠加性：F F1 F2 Fi Fii =13、矢量性：具体运算时应写成分量式直角坐标系中： Fma maximay jmaz k Fxmaxmdv x dt Fyma ymdv y dt Fzmazmdvz dt 自然坐标系中： Fmam at anF mdv dtFnmv24、说明了质量是物体惯性的量度5、在一般情况下力， F是一个变力常见的几中变力形式：F F x kx常见的几中变力形式：F F t F F v kv弹性力 打击力 阻尼力6、适用对象:质点 7、成立的参考系：惯性系 8、成立的条件：宏观低速10＇T 三、牛顿第三定律(Newton third law)物体A 以力F AB 作用于物体B 时, 物体B 也必定同时以力F BA 作用于物体A , F AB 与F BA 大小相等, 方向相反, 并处于同一条直线上,（物体间相互作用规律）mmT P ＇P 地球F AB = F BA作用力与反作用力：1、它们总是成对出现。
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
大学物理第二章质点动力学PPT课件
•若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻 力将按 f v3 迅速增大。
•常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复 力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看， 都属于电磁相互作用。
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五、牛顿定律的应用
•应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：
如在直角坐标系中：
在自然坐标系中：
Fn
man
mv2
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三、牛顿第三定律
物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用
力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，
分别作用在两个物体上。
F21F12
第三定律主要表明以下几点：
（1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总 是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消 失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。
（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式 是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直 角坐标系X、Y轴上的分量式为 ：
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Fx mxamddxvtmdd22xt Fy myamddyvtmd d22yt
在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向 和法线方向上的分量式，即：
Ft
mat
mdv dt
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1983年第17届国际计量大会定义长度单位用真空中 的光速规定：
c = 299792458 m/s
因而米是光在真空中1299,792,458秒的时间间 隔内所经路程的长度。
❖其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位
如：速度 V=S/ t， 单位：米/秒（m/s）
加速度a=△V/t，单位：米/秒2（m/s2）
•摩擦力：两个相互接触的物体在 沿接触面相对运动时,或者有相对 运动趋势时,在接触面之间产生的
大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题
第2章 质点动力学一、基本要求1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法.二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。
难点:微积分方法求解变力做功. （二）知识网络结构图:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(（三）容易混淆的概念： 1。
动量和冲量动量是质点的质量与速度的乘积;冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。
2。
保守力和非保守力保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力,沿闭合路径运动一周保守力做功为0;非保守力是做功与具体路径有关的力.(四)主要内容： 1．动量、冲量 动量：p mv = 冲量：⎰⋅=21t t dt F I2．动量定理:质点动量定理：⎰∆=-=⋅=2112t t v m P P dt F I质点系动量定理：dtPd F=3．动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，即0=ex F时，或inex F F系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 14．变力做功：dr F r d F W BAB A⎰⎰=⋅=θcos （θ为)之间夹角与r d F直角坐标系中：)d d d ( z F y F x F W z y BAx ++=⎰5．动能定理：（1）质点动能定理：k1k221222121E E mv mv W -=-=(质点所受合外力做功等于质点动能增量。
）(2)质点系动能定理:∑∑==-=+ni n i E E W W1kio1ki inex(质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
质点动力学习题解答
第2章 质点动力学2-1. 如附图所示，质量均为m 的两木块A 、B 分别固定在弹簧的两端，竖直的放在水平的支持面C 上。
若突然撤去支持面C ，问在撤去支持面瞬间，木块A 和B 的加速度为多大？ 解：在撤去支持面之前，A 受重力和弹簧压力平衡，F mg =弹，B 受支持面压力向上为2mg ，与重力和弹簧压力平衡，撤去支持面后，弹簧压力不变，则A ：平衡，0A a =；B ：不平衡，22B F mg a g =⇒=合。
2-2 判断下列说法是否正确？说明理由。
（1） 质点做圆周运动时收到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不是向心力。
（2） 质点做圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。
解：（1）不正确。
不指向圆心的力的分量可为向心力。
（2）不正确。
合外力为切向和法向的合成，而圆心力只是法向分量。
2-3 如附图所示，一根绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆），有人在重力的方向上求合力，写出cos 0T G θ-=。
另有沿绳子拉力T 的方向求合力，写出cos 0T G θ-=。
显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的 ，为什么？解：cos 0T G θ-=正确，因物体在竖直方向上受力平衡，物体速度竖直分量为0，只在水平面内运动。
cos 0T G θ-=不正确，因沿T 方向，物体运动有分量，必须考虑其中的一部分提供向心力。
应为：2cos sin T G m r θωθ-=⋅。
2-4 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2kf x=-，k 为比例常数。
设质点在x A =时的速度为零，求4Ax =处的速度的大小。
解：由牛顿第二定律：F ma =，dvF mdt=。
寻求v 与x 的关系，换元： 2k dv dx dvm m v x dx dt dx-=⋅=⋅，分离变量： 2k dx vdv m x =-⋅。
02质点动力学(守恒定律)
冲量为 I
t
0
Fdt mv4 mv0 16kg m s 1
（2）由动能定理
1 2 1 2 W mv4 mv0 176J 2 2
2. 如图所示，长为l 的细线一端固定，一质量为m的小球系在 细线的另一端，并可在竖直面内摆动。若先拉动小球使线保 持平直，并在水平位置静止，然后放手使小球下落，在线下 摆至 角时，求： （1）小球的速率v； （2）细线中的张力T。
I Fdt 25t 2dt
0 0
3
3
25 3 t 225N s 3 0
I 225 0.9m s 1 m1 250
3
由动量定理：
I m1v1 0 225 I m2 v2 0 225 v1
I 225 v2 0.45m s 1 m2 500
由质点动能定理得
1 1 1 2 2 W mv4 mv2 0.5 1625 425 300 J 2 2 2
4．一竖直悬挂的轻弹簧下系一小球，平衡时弹簧伸长量为d， 现用手将小球托住使弹簧不伸长，然后放手。不计一切摩擦， 则弹簧的最大伸长量为 (A) 2d； (B) 2d； (C) d ； (D) 条件不足无法判定。 解：由胡克定律，平衡时有
外 外
非保内
E E0 0 E E0
非保内
2. 质量m=1kg的质点，从原点处由静止开始沿Ox轴运动，所 受力为 F 3 2 x（SI），那么物体在运动到3 m时的速度为 __________ 6m s 1 。
解： W Fdx
3 2xdx 3x x
解：作图：
v0
30
高一物理章节内容课件 第二章质点动力学
地面的加速度是多少？（以竖直向上为
正）
解：以绳为参照系，设绳对地 的加速度为 a绳对地
T '
T a绳对地
人 T mg (ma绳对地) ma0 物 Mg T (Ma绳对地) M 0
Mg ♕ mg
▲ 注意：ห้องสมุดไป่ตู้于滑轮这种左右两边的情形， 左右两边的正方向应相反
3 a绳对地 g a0 方向：右向上，左向下
★ 作用于桌面的压力
N1 N m已落下部分g , 3gm已落下的部分
4. 质点系的动量定理 任意一段时间间隔内质点系所受合外力 的冲量等于在同一时间间隔内质点系内 所有质点的动量矢量和的增量。
5．动量守恒定律(Law of Conservation of Momentum) （1）※
度，是Vx
N mg CyVx2
N
CxVx2
m
dVx dt
(mg CyVx2 ) CxVx2
m dVx dx
dx dt
dx dt
(mg CyVx ) CxVx m
2
2 dVx dx
条件：Vx V0 90km/ h时，
Vx
N
0
mg
C yV02
解：★ 注意 摩此擦M力分r布F在整个圆盘上，因
第一步：在距轴为 r 处取质量元 dm ，它受到
的摩擦力为 df
df kdm g
方向：
df
r
第二步：求 df 产生的摩擦力矩 dM 大小、方向
dM rdf sin rkdm g 方向：沿轴
dm
m
R2
大物b课后题02-第二章质点动力学
习题2-1质量为0.25kg 的质点，受力为()F ti SI =r r的作用，式中t 为时间。
0t =时，该质点以102v jm s -=⋅r r的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是_____.解 因为40.25dv F ti ti dt m ===r r r r ,所以()4dv ti dt =r r ，于是有()004v t v dv ti dt =⎰⎰r r ，222v t i j =+r r r ；又因为dr v dt=r r ，所以()222dr t i j dt =+r r r ，于是有()222dr t i j dt =+⎰⎰r r r ，3223r t i tj C =++rr r ，而t=0时质点通过了原点，所以0C =，故该质点在任意时刻的位置矢量为3223r t i tj =+rr r 。
2-2一质量为10kg 的物体在力(12040)()f t i SI =+r r作用下，沿x 轴运动。
0t =时，其速度106v im s -=⋅r r，则3t s =时，其速度为（ ）A. 110im s -⋅rB. 166im s -⋅rC. 172im s -⋅rD. 14im s -⋅r解 本题正确答案为C 在x 方向，动量定理可写为()312040t dt mv mv+=-⎰，即0660mv mv -=所以 ()1066066067210v v m s m -=+=+=•。
2-3一物体质量为10kg 。
受到方向不变的力3040()F t SI =+的作用，在开始的2s 内，此力的冲量大小等于______;若物体的初速度大小为110m s -• ，方向与F同向，则在2s 末物体的速度大小等于_______.解 在开始的2s 内，此力的冲量大小为 ()23040140()I t dt N s =+=•⎰由质点的动量定理得0I mv mv =-当物体的初速度大小为110m s -•，方向与F r同向时，在2s 末物体速度的大小为101401024()10I v v m s m -=+=+=•2-4一长为l 、质量均匀的链条，放在光滑的水平桌面上。
第2章 质点动力学 习题答案
2-8. 长为l的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m的小 长为 的轻绳，一端固定，另一端系一质量为 的小 的轻绳 开始运动， 球，使小球从悬挂着的位置以水平初速度 v 0 开始运动， 求小球沿逆时针转过 解：法向方程 角度时的角速度和绳子张力。 角度时的角速度和绳子张力。 θ
T − mg cos θ = m ω 2 l m v + 2 gl (cos θ − 1) = l
r2
r
2
，求电子从 r1 运动到 r2 ( r1 > r2 )
r1
r r r2 k 1 1 f ⋅dr = − ∫ 2 dr = k − r r r1 r 2 1
2-14. 质量为 m = 2 × 10 −3 kg的子弹，在枪筒中前进时受到 的子弹， 的合力为 F = 400 − 300m/s，试计算枪筒的长度。 ，试计算枪筒的长度。 解：设枪筒的长度为
其速度是？ 其速度是？
r 2-3. 一物体质量为 一物体质量为10kg，受方向不变的力 F = 30 + 40t ，
的作用，在开始的 内 此力的冲量大小为？ 的作用，在开始的2s内，此力的冲量大小为？若物体的 方向与力同向，则在2s末物体 初速度大小为 10 m ⋅ s ，方向与力同向，则在 末物体 速度的大小等于？ 速度的大小等于？
r r 2-2. 一质量为 一质量为10kg的物体在力 f = (120t + 40) i 作用 的物体在力 r r v0 = 6i m ⋅ s −1 ，则t=3时 轴运动， 时其速度 下，沿x轴运动，t=0时其速度 轴运动 时
r r r r f (120t + 40)i = = (12t + 4) i 解：a = m 10 r r r t r t r 2 v = ∫ adt = ∫ (12t + 4) i dt =(6t + 4t ) i + v0 0 0 r = ( 6t 2 + 4t + 6) i r r v ( 3) = 72i m ⋅ s −1
大学物理第二章-质点动力学
3）忽略绳或线质量时，绳内部各处的张力都相等
4）弹（性）力：由胡克定律 f ，kkx为决定于弹簧本身结构的常数；负
号表示弹力的方向总是指向要恢复它原长的方向
3、摩擦力 相互接触的物体在沿接触面相对运动时，或有相对运动趋势时，在接触
面之间产生一对阻止相对运动的力。（静摩擦力、动摩擦力（滑动摩擦力、 滚动摩擦力等））
m m
车 u上
mv1
mv2
v1 v2
t2
Fdt
t1
mv2
mv1
地上
t
2
Fdt
t1
m(v1
m(v2
u)
u)
m (v2
m(v1
u) u) mv2
mv1
[例2]一质点受合外力作用，外力为
F 10ti 2(2 t ) j 3t 2k (SI)
求此质点从静止开始在2s内所受合外力的冲量和质点在
I z P2z P1z mv2z mv1z
说明：
1）一维问题、力作用时间很短时，
F
常引入平均冲力
F
F
t2 Fdt
t1
p2 p1
t2 t1 t2 t1
t1 t2 t
2）I的方向一般不是
F的(t方) 向，而
I
是微分冲量 的矢F量d和t 的方向。
Fdt
3）物体的动量相对于不同的惯性系是不同的，但动量定律不 变。
物体在竖直方向运动，建立坐标系oy
y
T
ar
ar
a1 m1 a2
m2
m1
o
m1g
T
m2
m2 g
(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对
地面的加速度。A的加速度为负，B的加速度为正， 根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：
第二章--质点动力学2
W W1 W2
o
r
r1 dr r2
（3）功是过程量：功总是和质点旳某个运
动过程相联络
W dW F dr F cos d r
2、重力、引力、弹性力旳功
（1）重力作功
物体m沿途径 A 过B程中重力
旳功
W
B
dW
B mg dr
y2 mgdy
W
A
mgy2A
mgy1
y1
t1
i1 若 Fi合 0
i 1 n
则 P
mivi
恒矢量
i 1
动量守恒定律：
当系统合外力为零时，系统
旳总动量保持不变。t2
nn
讨论：
Fi合dt mivi mivi0
t1
i 1
i 1
（1）合外力为零或不受外力作用系统总
动量保持不变。
（2）合外力不为零，但合力在某方向分量 为零，则系统在该方向上旳动量守恒。
W mgy2 mgy1 重力势能 Ep mgh
W
G
m'm rB
G
m'm rA
W
1 2
kx22
1 2
kx12
引力势能 弹性势能
Mm
Ep G r
Ep
1 2
kx2
所以能够得到保守力旳功与势 能旳关系式
W Ep2 Ep1 Ep
（2）势能旳讨论 势能是属于存在保守内力旳系统旳， 具有保守力才干引入势能旳概念。 势能是状态旳函数。 势能值旳相对性与势能差旳绝对性。
式
（2）直角坐标系中，定理分量式 t2
I x Fxdt px2 px1
t1 t2
I y Fydt py2 py1
第二章 质点动力学
.3.
§2-1 牛顿运动定律
(Newton’s Law of Motion)
惯性定律) 一、牛顿第一定律(惯性定律 牛顿第一定律 惯性定律
如果物体没有受到力的作用， 如果物体没有受到力的作用，都将保持原有的静止 或匀速直线运动状态. 或匀速直线运动状态. 1. 定义了惯性参考系 2. 定性了物体的惯性和力 力可改变物体运动状态，而保持运动状态不需力. 力可改变物体运动状态，而保持运动状态不需力.
xm
v v
v F
v v ∫ F ⋅ dx = E末 − E初
0
1 即 ∫ − kx dx = 0 − mv 2 2 0 2 k 4 1 2mv 1 4 2 − x m = − mv ) ∴ xm = ( 4 2 k
3
x o x
m
Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
.12.
§2-3 保守力的功 势能
(The Work of Conservative Force, Potential Energy)
选参考点(势能零点 ， 选参考点 势能零点)，设 EP末 = 0 则 EP初 = A保守力 势能零点 1.重力势能 EP = mgh (常选地面为零势能 常选地面为零势能) 重力势能 常选地面为零势能 1 2 弹簧原长度为零势能) 弹簧原长度为零势能 2.弹性势能 E p = kx (弹簧原长度为零势能 弹性势能 2 mM 3.万有引力势能 E p = −G (无限远为零势能 无限远为零势能) 万有引力势能 无限远为零势能 r
.2.
第二章 质点动力学
(The Particle Dynamics)
§2-1 牛顿运动定律 §2-2 功 动能 动能定理 §2-3 保守力的功 势能 §2-4 质点系的机械能守恒定律 §2-5 冲量 动量 动量定理 §2-6 质点系动量守恒定律 §2-7 质点的角动量 §2-8 质点系对定轴的角动量
大学物理_第2章_质点动力学_习题答案
第二章 质点动力学2－1一物体从一倾角为30︒的斜面底部以初速v 0=10m·s -1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s -1,求该物体与斜面间的摩擦系数。
解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30︒物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得220112(1)22mv mv f s -=-⋅物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得2010sin 302mv f s mgh f s mgs -=-⋅-=-⋅-2(2)s ∴=把式（2）代入式（1）得，220.198u =2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。
解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得22sin (1)cos (2)t n dv F mg mdtv F T mg m Rαα=-==-=由,,1ds rd rd v dt dt dt vαα===得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有，902n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v vrv mg mg rmg αααωααα=-===+==-=-⎰⎰得则小球在点C 的角速度为＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向2－3如本题图，一倾角为θ 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两习题2－2图者间摩擦系数为μ，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a 应满足的条件。
解：如图所示()1212min max sin ,cos cos sin (1)sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin )(sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ==∴-==±==⨯+-=+--∴==++-⨯+=-+∴=得，得，)()(cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθθθθθ+=---+∴≤≤+- 2－4如本题图，A 、B 两物体质量均为m ，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A 和B 的加速度大小各为多少 。
第二章 质点动力学(功与能)
北京邮电大学理学院物理部1?第一部分力学第2章质点动力学北京邮电大学理学院物理部2结构框图重点:概念：动能，功，保守力，势能规律：动能定理，功能原理，机械能守恒定律难点：变力的功，一对力的功，势能曲线，复杂问题的分阶段求解力对空间的积累牛顿第二定律p F t =r r d d 功势能保守力动能定理功能原理机械能守恒定律能量守恒定律北京邮电大学理学院物理部31. 恒力作功A F S =⋅r r r F A rr Δ⋅=§2 功与能2.变力作功一、功力对空间累积ϕF v sv F v中学cos A F S ϕ=⋅⋅微元分析法：取微元过程以直代曲以恒代变再求和a boF r r vd s d r v r ′v θP P 北京邮电大学理学院物理部4a b o F rr v d s d r v r ′v θP P 元功：sF r F r F A d cos cos d d d θθ=⋅⋅=⋅=v vv zF y F x F r F A z y x d d d d d ++=⋅=v v 直角坐标系：ˆˆˆx y z F F i F j F k=++v ˆˆˆd d d d r xi yj zk =++r 总功：r F s F A A bab a b a vv ∫∫∫⋅===d d cos d θ()∫++=baz y x z F y F x F d d d北京邮电大学理学院物理部51）功是标量（代数量）A 总=A 1+A 2+…….A >0 力对物体做功A <0 物体反抗阻力做功A =0 力作用点无位移力与位移相互垂直讨论∫⋅=)()(b a r f A rr d 摩擦力作功一定是负的吗？正负：取决于力与位移的夹角北京邮电大学理学院物理部62）功是过程量与作用点的位移相关一个力所做的功与参考系的选择相关，是相对量。
例如图中地面系：A G ≠0；电梯系：AG =0h vmg例：2ˆˆ2(SI)F yi x j =+r 125 JOAC OA AC F dr F dr F dr ⋅=⋅+⋅=∫∫∫r r r r r r50 JOBC OB BC F dr F dr F dr ⋅=⋅+⋅=∫∫∫r r rr r r 2ˆˆˆˆ(2)()66.7 JOC OC F dr yi x j dxi dy j ⋅=+⋅+=∫∫r r北京邮电大学理学院物理部7a)质点a b s r d 1f r 2friL i i i i i s f A i L r rd ⋅=∑∫∑s f b a i i r r d ⋅=∫∑)()()(∫∑⋅==)()(b a i i s F A A r rd 合对质点:各力作功之和等于合力作的功思考：写这个等号的条件？3）功的计算中应注意的问题中学时似乎熟视无睹北京邮电大学理学院物理部8N 个质点组成的系统--研究对象b)质点系1m 2m 3m 12F r 21F r 13F r 31F r32F r 23F r外1F r外3F r外2F r内力——质点系内质点间的相互作用力∑=ii F F 外外rr 质点系内质点间的内力总是成对出现，因此必有i iF f =≡∑r r 内内注意：同一力对某一系统为外力，而对另一系统则可能为内力。
第2章_质点动力学
重点掌握变力的问题!
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例：一根长为L，质量为M的柔软的链条，开始时链条 静止，长为L－l 的一段放在光滑的桌面上,长为l 的一段 铅直下垂。(1)求整个链条刚离开桌面时的速度；(2)求 链条由刚开始运动到完全离开桌面所需要的时间。 M dv dv dx dv xg 解： F xg Ma , a v L dt dt dx L dx
（1） F合 ma （2） a a a0
在加速平动参照系中： F惯 ma0 此时，F F惯 ma （4）
（4）式就在形式上与牛顿第二定律保持一致。
18
在加速平动参照系中：F惯 ma0
惯性力大小： 运动质点的质量m与非惯性系加速度 a的乘积。
*2.1.4 非惯性系 惯性力 非惯性系：相对于惯性系做加速运动的参考系。
在非惯性系内牛顿定律不成立。 1.平动加速系
设有一质点质量为m，相对于某一惯性系S，根据 牛顿第二定律，有： （1） F ma
合
设有另一参照系S/，相对于惯性系S以加速度
动，在S/参照系中，质点的加速度为
由运动的相对性，有：a a a0
2
牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得的加 速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成 反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
数学形式：F ma 或 F m dv dt
在直角坐标系Oxyz中： 在自然坐标系中 ：
Fix max Fiy ma y Fiz maz
在匀角速转动参考系中应用牛顿定律， 必须设想物体又受到另外一个与拉力大小相 等但方向相反的惯性力的作用，
2 Fi mω r
大学物理第2章质点动力学章节总结及练习题
第2章 质点和质点系动力学（复习指南）一、基本要求掌握牛顿三定律及其适用条件，牛顿第二定律的微分形式和惯性系的概念；掌握万有引力（含重力）、弹性力、摩擦力的相关公式，能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题.掌握功的概念和直线运动情况下变力做功的计算方法；掌握势能的概念，会计算重力、弹性力势能；理解保守力做功的特点.二、基本内容1．力、常见力力是物体间的相互作用.力是物体改变运动状态的原因. 常见力有万有引力、重力、弹性力、摩擦力. （1）万有引力、重力万有引力指存在于任何两个物质（质点）之间的吸引力.其数学表达式为r e rm m G F221 2211kg m N 1067.6 G引力的特点为：方向已知，大小与质点间的距离的平方成反比.重力为地球表面附近物体受地球的引力（忽略地球自转的影响）.重力的特点为：大小已知，方向竖直向下指向地心.g m P 222EE kg m N 80.9 R Gmg（2）弹性力发生形变的物体，由于要恢复形变而对与它接触的物体产生的力叫弹力.弹力的表现形式有很多种，常见的有正压力、绳中张力、绳对物体的拉力、弹簧的弹力等.弹性力的特点为：方向已知，大小与运动状态有关.弹簧弹力：kx F ，x 为弹簧伸长量，弹力方向指向弹簧原长位置. （3）摩擦力两物体沿相互接触面方向有相对滑动或相对运动趋势时作用于接触面上阻碍物体相对运动的力为摩擦力，摩擦力分滑动摩擦力和静摩擦力.滑动摩擦力在相对滑动的速度不是太大或太小时，其大小与滑动速度无关，而和正压力N成正比，N f，f 的方向与相对滑动方向相反.静摩擦力为变力，其值介于0和最大静摩擦力之间，即max 000f f最大静摩擦力指两个有接触面的物体，沿接触面方向即将产生相对滑动时，通过接触面作用于两物体的摩擦力.在此以前两物体间的相互作用静摩擦力大小可以变化.对物体受力分析的顺序为：重力、弹力、摩擦力.在常见力分析中要特别注意静摩擦力. 2．惯性参考系（惯性系）惯性参考系就是用牛顿第一定律定义的参考系.牛顿定律只有在惯性参考系中才成立.惯性参考系有一个重要性质：相对于惯性参考系作匀速直线运动的任何其它参考系也一定是惯性参考系. 3．基本规律 ﹙1﹚牛顿第一定律第一定律明确了力是改变物体运动状态的原因，并反映出物体有保持原来运动状态不变的特性——惯性，第一定律定义了惯性系.﹙2﹚牛顿第二定律第二定律定量描述了外力作用与所产生的效果的关系，即力的作用与物体状态变化的定量关系.对第二定律应用需注意：①适用于惯性系.②适用于质点.③合外力与物体产生的加速度之间为一瞬时关系，合外力沿加速度方向.④第二定律为一矢量式，应用时常在坐标系中分解.在直角坐标系中有：z iz y iy x x ma F ma F ma F i ，，﹙3﹚牛顿第三定律牛顿第三定律指出力是物体间的相互作用.物体间有相互作用便存在相互作用力.应用第三定律需注意：①作用力，反作用力分别作用在相互作用的物体上，不是平衡力.②作用力、反作用力一定属于同种性质的力，同时产生，同时消失.③不论相互作用的两物体是运动还是静止，第三定律总成立. 4．功功是力的空间累积量：r F Wd d .功等于力和力的作用点位移的点积.功是标量，是一个代数量.当力的作用点没有位移或力与其作用点的位移相互垂直时，此力不做功.保守力做功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关.非保守力做功与路径有关. 5．势能物体间存在保守力相互作用才能引入相关势能.如地球对地面附近物体间存在重力作用，重力为保守力，引入重力势能.因为势能与物体间相对位置相关，所以，一方面势能属于存在保守力相互作用的系统，另一方面物体的位置描述是相对的，所以势能具有相对性.只有选定势能零点后，系统才有确定的势能值.例如一质量为m 的质点处于地面上h 高度，在没明确势能零点前不能确定m 和地球系统的势能大小，而且重力势能可正、可负、可以为零.但任意两个状态之间系统的势能差是确定的，与势能零点选取无关.势能是状态函数.在讨论涉及势能的功能问题时，必须：①选系统.②选势能零点[弹力势能（原长位置）、万有引力（无穷远）势能零点是确定的].③确定并描述初末状态的能量状态.弹簧弹性势能2k 21kx E ，k 为弹簧倔强系数，x 为相对原长位置（势能零点）的位移.三、例题详解2-1、质量为m 的子弹以速度0v 竖直射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为K ，忽略子弹的重力，求：子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式．解：取竖直向下为y 轴正向．子弹进入沙土后受力为v K ，由牛顿定律t mK d d v v ∴vvd d t m K ， v v v v 0d d 0t t m K ∴m Kt /0e v v2-2、物体沿x 轴作直线运动，所受合外力2610x F （SI ）．试求该物体运动到m 4 x 处时外力做作的功解：J 168210d )610(d 3424x x x x x F W2-3、一人从10m 深的井中提水．起始时桶中装有10kg 的水，桶的质量为1kg ，由于水桶漏水，每升高1m 要漏去的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功．解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为原点． 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量 即：y gy mg ky P P F 96.18.1072.00 （SI ）人的拉力所做的功为：J 980d )96.18.107(d d 10y y y F W W H2-4、一个弹簧下端挂质量为0.1kg 的砝码时长度为0.07m ，挂0.2kg 的砝码时长度为．现在把此弹簧平放在光滑桌面上，并要沿水平方向从长度m 10.01 l 缓慢拉长到m 14.02 l ，外力需做功多少解：设弹簧的原长为0l ，弹簧的劲度系数为k ，根据胡克定律： )(0.071.00l k g ，)(0.092.00l k g 解得：m 05.00 l ，N/m 49 k拉力所做的功等于弹性势能的增量：J 14.0)(21)(21201202p1p2l l k l l k E E W 四、习题精选2-1、一质点在力)25(5t m F （SI ）的作用下，0 t 时从静止开始作直线运动，式中m 为质点的质量，t 为时间，则当s 5 t 时，质点的速率为（提示：变加速度运动，牛II 定律分离变量积分tmF d d v ） （A ）50m·s -1． （B ）25m·s -1． （C ）0． （D ）-50m·s -1．［ ］2-2、已知水星的半径是地球半径的倍，质量为地球的倍．设在地球上的重力加速度为g ，则水星表面上的重力加速度为：（提示：2EER GM g） ［ ］ （A ）g 1.0 （B ）g 25.0 （C ）g 5.2 （D ）g 42-3、质量分别为1m 和2m 的两滑块A 和B 通过一轻弹簧水平连接后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为 ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度A a 和B a 分别为（提示：注意加速度的瞬时性）［ ］（A ）0B A a a （B ）0A a ，0B a （C ）0A a ，0B a （D ）0A a ，0B a2-4、如图所示，质量为m 的物体用细绳水平拉住，静止在倾角为 的固定的光滑斜面上，则斜面给物体的支持力为（提示：画受力分析图）［ ］（A ） cos mg . （B ） sin mg . （C ）cos mg . （D ）sin mg. 2-5、一物体挂在一弹簧下面，平衡位置在O 点，现用手向下拉物体，第一次把物体由O 点拉到M 点，第二次由O 点拉到N 点，再由N 点送回M 点．则在这两个过程中（A ）弹性力做的功相等，重力做的功不相等． （B ）弹性力做的功相等，重力做的功也相等． （C ）弹性力做的功不相等，重力做的功相等． （D ）弹性力做的功不相等，重力做的功也不相等．（提示：弹力和重力都是保守力，做功只与始末位置有关，与路径无关）[ ］2-6、沿水平方向的外力F 将物体A 压在竖直墙上，由于物体与墙之间有摩擦力，此时物体保持静止，并设其所受静摩擦力为0f ，若外力增至F 2，则此时物体所受静摩擦力为_________．（提示：静摩擦力是变力，大小从受力平衡角度分析）2-7、如果一个箱子与货车底板之间的静摩擦系数为0 ，当这货车爬一与水平方向成 角的平缓山坡时，要不使箱子在车底板上滑动，车的最大加速度max a ＝______________________．（提示：以箱子为对象受力分析，最大加速度时摩擦力方向应沿斜面向上） 2-8、如图，在光滑水平桌面上，有两个物体A 和B 紧靠在一起．它们的质量分别为kg 2 A m ，kg 1 B m ．今用一水平力N 3 F 推物体B ，则B 推A 的力等于_____．如用同样大小的水平力从右边推A ，则A 推B 的力等于__________．（提示：先整体，后部分，分析受力和加速度）2-9、质量kg 1 m 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为x F 23 （SI ），那么，物体在开始运动的3m 内，合力所做的功W ＝_______．（提示：变力做功，用元功定义，再积分）2-10、设作用在质量为1kg 的物体上的力36 t F （SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，求：在0到的时间间隔内，这个力对物体做功的大小__________．（提示：力是时间函数，参考教学例题，t F x F W d d d v ，v d d m t F ）。
大学物理(上)课件-第02章质点动力学3-2
(
)
50
� � � dL � 质点系角动量定理： M = ∑ ri × Fi = dt
质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等 于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。 质点系角动量定理的积分式：
∫
t2
t1
� � � Mdt = L2 − L1
作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时 间内的角动量的增量 。
例6 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为ρ。如 果质量为mo的飞船以初速vo穿过尘埃，由于尘埃粘在 飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其 在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积 为S的圆柱体） 解： 某时刻飞船速度： v，质量：m 动量守恒： 质量增量：
m0v0 = mv
dm = ρ Sv dt
2.质点系的动量定理：
∫
t
t0
� � � � ∑ Fi dt = p − p0 = ∆p
� � dp ∑ Fi = dt
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。 微分式：
注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。
31
设 有n个质点构成一个系统 第i个质点： 质量
� � 内力 F 外力 Fi 内i
O
y
48
3. 质点的角动量定理
� � dL MO = dt
质点对某一参考点的角动量随时间的变化率等于 质点所受的合外力对同一参考点的力矩。 角动量定理的积分式：
∫
t2
t1
� � � M O dt = L2 − L1
∫
t2
t1
� M O dt
称为“冲量矩”
49
n � n � � � 质点系的角动量： L = ∑ Li = ∑ ( ri × pi ) i =1 i =1
《大学物理》第二章《质点动力学》课件
相对论中的质点动力学
相对论简介
01
相对论是由爱因斯坦提出的理论，包括特殊相对论和广义相对
论，对经典力学和电动力学进行了修正和发展。
质点动力学
02
在相对论中，质点的运动遵循质点动力学规律，需要考虑相对
论效应。
实际应用
03
相对论中的质点动力学在粒子物理、宇宙学和天文学等领域具
有重要意义，如解释宇宙射线、黑洞和宇宙膨胀等现象。
牛顿运动定律的应用
通过牛顿第二定律分析质点在各种力作用下的运动规律。
弹性碰撞和非弹性碰撞
碰撞的定义
两个物体在极短时间内相互作用的过 程。
弹性碰撞
两个物体碰撞后，动能没有损失，只 发生形状和速度方向的改变。
非弹性碰撞
两个物体碰撞后，动能有一定损失， 不仅发生形状和速度方向的改变，还 可能有物质交换。
01
运动分析
火箭发射过程中，需要分析火箭的加速 度、速度和位移等运动参数，以确定最 佳发射时间和条件。
02
03
实际应用
火箭发射的运动分析对于航天工程、 军事和商业发射等领域具有重要意义。Fra bibliotek球自转的角动量守恒
1 2
地球自转
地球绕自身轴线旋转，具有角动量。
角动量守恒
在没有外力矩作用的情况下，地球自转的角动量 保持不变。
相对论和量子力学
随着科学技术的不断发展，相对论和量子力学逐 渐兴起，对质点动力学产生了深远的影响。相对 论提出了新的时空观念和质能关系，而量子力学 则揭示了微观世界的奇特性质。
牛顿时代
牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了三大运 动定律和万有引力定律，奠定了经典力学的基础 。
现代
现代物理学在继承经典理论的基础上，不断探索 新的理论框架和实验手段，推动质点动力学的发 展和完善。
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第2章 质点动力学2.1 结构要点一、知识结构本章的学习任务，是研究物体间的相互作用以及由这些相互作用引起的物体的运动状态的变化规律．重力势能弹力势能万有引力势能万有引力保守力势能重力弹性力几种常见的力摩擦力牛顿运动定律牛顿第一定律牛顿第二定律牛顿第三定律力的瞬时作用规律：力对时间的累积力对空间的累积势能动能定理动量定理功能原理动量守恒定律保守力做功机械能守恒定律二、基本要求1. 掌握牛顿运动定律的内容和意义，理解力和质量的概念；2．熟练掌握对物体进行受力分析及运用牛顿定律解题的方法、步骤；3. 理解功的含义，掌握变力做功的计算方法；4．熟练掌握动能定理解题的方法步骤；5．理解保守力做功与势能的关系，能够利用功能原理和机械能守恒定律解题；6.理解动量、冲量的概念；熟练运用动量定理和动量守恒定律解决问题；7. 理解碰撞的定义，掌握碰撞的特点及几种碰撞规律，会求解简单的碰撞问题．2.2 学习指南一、牛顿运动定律1．牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其它物体所作用的力迫使它改变这种状态为止，也称惯性定律．任何物体都具有保持它原来运动状态的属性，即惯性；牛顿第一定律成立的参考系（静止或匀速直线运动的物体），称为惯性参考系．2．牛顿第二定律：（2-1）当为常量时，有：．牛顿第二定律揭示了力的作用效果，力是改变物体运动状态的原因；确定了、、之间的定量关系；质量是物体惯性大小的量度，牛顿第二定律中的质量称为惯性质量．适用范围：惯性参考系；质点的低速运动（v<<c）．3．牛顿第三定律：两物体间的相互作用力与反作用力满足：牛顿第三定律指出了物体间的作用力具有相互性．作用力与反作用力总是同时产生、同时存在、同时消失，并属于同一性质的力．作用力与反作用力分别作用于两个物体上，不是平衡力，不能相互抵消．力的作用与参照系无关，两个相互作用的物体，无论静止或运动，牛顿定律都成立．二、力学中常见的几种力1.万有引力：任何两个质点之间都存在的一种相互吸引的力：OO'图2－1（2-2）2. 重力：是地面上的物体所受到的地球引力的一个分力．如图2－1所示，地球对物体引力的一个分力充当了物体随地球自转所需要的向心力．另一个分力称为重力，重力的方向并非严格指向地心．重力通常也称为物体的重量．重力使物体产生重力加速度，在同一地点，物体重力正比于物体的质量，．重力随纬度的增大而增大；重力随物体相对于地面的高度而略有变化，在地表附近，认为是常量．3. 弹簧的弹力：弹簧受力形变时，有恢复原状的趋势以抵抗外力，把这种力图恢复原状的抵抗外力的力称为弹性力，简称弹力．在弹性限度内，弹簧的弹力与位移成正比，为弹簧的劲度系数；为弹簧形变时偏离平衡位置的位移；负号表示弹力的方向总是与位移方向相反．在实际相接触、产生这种简单形变的物体之间也存在这种弹力，通常称为支持力．支持力的方向垂直于接触点处的公切面，如图2－2所示．图2－24. 摩擦力滑动摩擦力：当两固体相接触且有相对运动时，在接触面间产生的阻碍物体相对运动的力，称滑动摩擦力，（2-3）式中为滑动摩擦系数，与物体的材料、表面粗糙程度、物体间相对运动速度等因素有关．当速度变化不大时，可当作常量处理．静摩擦力：两个相互接触的物体有相对运动趋势却相对静止时，在两个物体接触面间产生的反抗相对运动趋势的力．静摩擦力随外力的变化而变化，它总是与产生“运动趋势”的外力大小相等、方向相反．当外力增大到一定值时，物体被推动不再静止．这时的静摩擦力称为最大静摩擦力，，式中为静摩擦系数．*5．非惯性系和惯性力：相对于惯性系作变速运动的参照物称非惯性参考系．在非惯性系中牛顿运动定律变为，其中，是非惯性系相对于惯性系的加速度，是物体相对于非惯性系的加速度．为了使牛顿定律保持原来的形式，人为地引入，称为惯性力，负号表示惯性力的方向与的方向相反．引入惯性力后，非惯性系中牛顿第二定律能保持它原来的形式，即：．惯性力是假想力，它没有施力物体，也没有与之对应的反作用力．三、功和能1．功：作用在物体上的力对空间的累积，（2-4）恒力时，．在直角坐标系中，力可分解成各轴向分量：；位移也可分解成各轴向分量：．所以求某力做功时，可分别求出各轴向的分力功，最后再求代数和：．合力功：有几个力同时作用于物体上时，合力功等于各分力对物体作功的总和：（2-5）功率：描述力对物体作功快慢的物理量．平均功率：；瞬时功率：瞬时功率和速度的关系：（2-6）2．动能：，动能是非负标量，动能是相对量(与参照系有关)．3．质点的动能定理：合外力对质点所作的功等于质点动能的增量：（2-7）动能定理反映了力对空间的积累效果．合外力做正功时，质点的动能增加；合外力做负功时，质点的动能减少；合外力做功为零时，质点的动能不变(守恒）．功是过程量，动能是状态量．动能定理把这两个量联系在一起，即：过程量等于状态量的改变量．4．质点系的动能定理：合外力的功与内力功的总和等于系统动能的增量，．计算外力做功和内力做功时，应先计算每一个力对质点所做的功，然后求和．5．保守力与势能（位能）(1) 保守力：做功与路径无关，只决定于物体始末的位置，这样的力称为保守力．(2) 势能：质点在某位置的势能等于将质点从该位置移到零势能点的过程中保守力做的功，（2-8）势能属于系统共有；势能是相对量，与零势能点的选取有关．通常，取弹簧的自然长为弹性势能零点；无穷远处为引力势能零点；重力势能零点可以任意选取．重力势能：；弹力势能：；万有引力势能：．保守力作的功等于系统势能增量的负值，即： （2-9）6．质点系的功能原理：合外力做功与非保守内力做功的代数和等于系统机械能的增量，(2-10)内力、外力没有定论．只有系统确定后才能分析内力、外力，不同的研究系统，内力、外力的情况不同．对于内力要分清保守内力和非保守内力．7．机械能守恒定律：若：，；则： (2-11)机械能守恒与系统的选择有关，即某些物体为系统的机械能守恒，选另一些物体为系统时的机械能不一定守恒．四、动量和冲量1．动量：描述物体（质点）运动量大小和方向的物理量，．动量是矢量，其方向与速度相同．计算时，可将其分解成各轴向的分量形式．2．冲量：描述力对时间积累效果的物理量，．由于力作用在物体上要持续一段时间，所以冲量是一个过程量．恒力的冲量:：冲量是矢量，可进行分量式运算，最后再矢量合成，，，，若物体同时受几个力的作用时，合力的冲量等于各力冲量的矢量和．(2-12)3．动量定理：作用于质点（物体）上合外力在一段时间内的冲量，等于质点在该段时间内动量的增量，(2-13)动量定理反映的是力对时间的积累效果：动量的改变由合外力和力的作用时间两个因素决定．指质点所受的合外力；合外力冲量的方向就是动量增量的方向．定理提供了求冲量或求平均冲力的途径．是过程量．一般积分较难，但是始末两个状态量之差，容易求出．实际应用中可通过求动量的增量求冲量；利用动量定理求平均冲力的计算式为：动量定理适用范围：质点系统、惯性参考系．4．质点系的动量定理：质点系所受合外力的冲量等于质点系总动量的增量．即5．动量守恒定律：若系统受合外力为零，则系统总动量守恒，即：若，则 (2-14)虽然系统的合外力不为零，但在某一方向的受力为零时，则系统在这一方向的动量守恒．内力不会改变系统动量．因此，当时，可近似认为系统动量守恒，例如爆炸、碰撞问题．动量定理以及动量守恒定律是一个比牛顿运动定律更普遍的规律，在微观粒子领域，牛顿定律不适用，但动量及动量守恒定律却仍然适用．6．动量与动能的区别动量和动能都是描述物体运动的状态量，但二者是有区别的．动量是物体在机械运动范围内“运动量”转化的量度．动能则是机械运动转化为其它运动形式的能的一种量度．动能可以转化为其它物体的动能、势能或热能、电磁能等．另外，动量是矢量，动能是非负标量．五、碰撞问题1．碰撞的定义：两个以上物体相遇，在短时间内发生相互作用，使它们的运动状态发生显著变化，甚至发生形变和质变（如转化为其它粒子），物体间的这种作用过程称为碰撞．“相遇”并不一定要相互接触．例如，一个正离子突然飞过另一正离子旁边，它们并未接触，但相互有斥力作用，使运动状态发生了变化．碰撞是一个很短时间内的物理过程．因为作用时间极短，它们相互作用的内力比其它物体作用的外力大得多，外力可以忽略不计，所以碰撞过程中动量守恒．并认为碰撞过程中物体没有发生位移，认为碰撞过程发生于相遇的原地．2．碰撞的种类(1) 完全弹性弹性碰撞：碰撞中物体发生弹性形变，碰撞后形变能够完全恢复．其特点是动量守恒、机械能守恒．设两物体质量分别为m1、m2，碰撞前的速度分别为、，碰撞后速度分别为、，由两个守恒特点可得出碰撞方程为： （2-15） （2-16）对于常见的对心正碰来说，两物体的碰前、碰后速度都沿一直线，解题时先要选定一维坐标的正方向后，方程（2-15）中各项的正负才能确定．两种特例：若，则碰撞后两球交换速度，即，．若且碰前静止，则碰后仍静止，被反弹回，．(2) 完全非弹性碰撞：碰后两物体的形变完全不能恢复而粘在一起，以共同的速度运动．该过程能量有损失，只有动量守恒，．碰撞造成的机械能损失为：(2) 非弹性碰撞：碰撞后物体的形变不能完全恢复，有部分形变残留，机械能不守恒，动量守恒．此过程满足：，称恢复系数，为碰后两物体的分离速度，为碰前两物体的接近速度．2.3 解题指导动力学问题的一般解题思路为：1．确定研究对象；2．采用隔离法对研究对象进行受力分析，画出受力图；3．选取参照系，明确研究对象的运动特点和始末状态；4．建立坐标系，选择适合的定理、定律列方程；5．求解，进行必要的分析、讨论．正确选用物理规律解题很重要．涉及求力和加速度时，选用牛顿运动定律比较方便；涉及作用时间比较短的过程（碰撞、打击、爆炸、反冲现象等）时，常采用动量定理或动量守恒定律；涉及做功的问题时，常用动能定理、功能原理或机械能守恒定律．解题过程还会有一些技巧问题．需具备以下几个基本条件：物理概念清楚、受力分析准确、力的作用规律熟悉、微积分运算熟练．一、利用牛顿定律解题例2.1 一摩托车运动员以20m/s的恒定速率在起伏的山路ABCDE上行驶，如图(2-3)所示，已知ABC段的曲率半径为R1=90m，CDE段的曲率半径为R2=1500m．运动员和摩托车的质量为m=120kg，求摩托车在ABC段的最高点B以及CDE段的最低点D分别对路面的压力．分析：质点平面曲线运动时，常采用自然坐标系中的分量式：，．由速度求出法向加速度，进而求支持力，进一步可求压力．解：取摩托车和人一起为研究对象，并视为质点．ABCDE图2－3D图2－5B图2－4（1）车在B点受到重力和路面支持力两个力作用．受力图如图2-4所示．车作匀速率圆周运动，重力支持力合力充当向心力，使车只有法向加速度．选取自然坐标如图，根据牛顿第二定律列方程：及，联立上两式解得，方向竖直向上．根据牛顿第三定律，车对路面的压力为，方向竖直向下．（2）车在D点仍然只受重力G、路面支持力两个力作用，如图2-5所示．因在D点仍然作匀速率圆周运动，只有法向加速度．选取自然坐标如图，根据牛顿第二定律列方程：得： ，方向竖直向上．根据牛顿第三定律，车对路面压力为，方向竖直向下．例2.2 质量为m的质点沿x轴运动，设质点通过坐标为x的位置时速率等于kx（k为比例系数）．求：（1）求作用于质点上的力；（2）质点从x1运动到x2位置所需要的时间．分析：这是由运动求受力的问题．不能直接利用牛顿定律．可以利用运动学规律，由速度求导得到加速度，再用牛顿定律求出力．然后，从速度入手，利用分离变量积分的方法求时间．解：（1）取质点为研究对象，由题意得 根据牛顿第二定律可得 即质点所受的力为，方向为x轴正方向．（2）由得 ，两边取积分， 即得 ∴ 即质点由运动到位置所需时间为．例2.3 木块A放在木块B上，木块B放在光滑水平桌面上，如图2－6，已知木块A质量为，木块B质量为，两木块之间的滑动摩擦系数为μ，静摩擦系数为，现在要把木块B从木块A下抽出，求作用在木块B上的力至少应为多大？AB图2－6分析：对于复杂的问题，应寻找问题关键点．本题题的关键：把木块B从木块A下抽出．该过程应该满足：．F不够大时，A在摩擦力作用下与B一起运动，F增大到一定值时，静摩擦力达到最大静摩擦力限度，A的加速度达到最大值，这时再增大F，使增大，当时，B块才可抽出．图2－7解：分别取木块A、B为研究对象．木块A受到重力、支持力及静摩擦力共3个力的作用；木块B受到重力、支持力、正压力、水平拉力及摩擦力等5个力作用．受力图如图2－7．设B加速度为；A加速度为，当静摩擦力达到最大值时，达最大值，即的增大有一定限度；当时，即B木块相对于A木块有较大的加速度运动时，才有可能从A块下抽出．建一维坐标ox如图，取B块运动方向为x轴正方向．根据牛顿第二定律列方程：对A木块有， 解得： 对B木块有，解得： 令 即，解得 即当B木块上的拉力时，才可能将B块从A块下抽出．在实际问题中，常常遇到类似这种关键点的语言，例如：“物体刚好离开圆弧轨道”，“弹簧恰好处于自然长状态”，“缓慢地提离地面”等等，其中隐含着某些物理意义，往往是解题的关键．二、计算变力做功对于变力作功的问题，要用积分计算．求变力的功的主要步骤：1. 对研究对象进行受力分析和运动状态分析，写出变力函数式．2. 取位移元写元功．图2－83. 确定积分限，用积分求出变力所作的总功．例2.4 一劲度系数为的轻质弹簧竖直放置，下端与一质量为的小球相连接，小球放在地面上，弹簧处于自然长状态，今将弹簧缓慢地提起，直到小球刚好提离地面，求此过程中外力作的功．分析：关键点是“球刚好提离地面”，有两层意思：一是球在此过程中没有发生位移，作用于球上的弹力和重力不作功；二是支持力为零，有，从而得弹簧伸长的最大限度为．解：取弹簧为研究对象，弹簧只受到外力作用，受力如图2－8，外力，在提起过程中，对弹簧作功为：小球刚提离地面时，地面对球支持力为零，有∴ ，代入求功式中得三、利用动能定理、功能原理、机械能守恒定律解题的方法步骤利用这三个规律解题，解决方法可以一题多解．单个质点可以用动能定理；系统问题一般采用功能原理；当系统符合机械能守恒条件时，采用机械能守恒定律更简单．解题思路与牛顿定律一致，需要注意的是：1．分析系统受力情况时，正确区分内力和外力，对系统内力还要把保守内力和非保守内力分别对待；功能原理中系统保守内力所做功已计入势能的增量，不再考虑；计算势能时注意势能零点的选取．2．明确研究对象在初、末两个位置的运动状态对应的动能或机械能；并判断可以采用的定理、原理、定律，并列方程计算．例2.5 如图2－9所示，劲度系数为k=800N/m的轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m=2kg的物体相接触但不连接，物体置于水平面上，用力推物体将弹簧压缩x0=6.010-1m后释放，使物体在水平面上运动了l=2.0m 后静止下来．求物体与水平面间的滑动系数．图2－9图2－10解：取物块为研究对象．物块受到重力、弹力、地面支持力和水平面的摩擦力等4个力的作用，如图2－10，其中重力、地面支持力不作功，弹力对物体作正功，摩擦力对物体作负功．在弹簧恢复自然长后，弹力消失，只有摩擦力继续对物体作负功，直到物体静止．合外力的功为物块释放前初动能E k1=0，运动静止时末动能E k2=0由动能定理列方程解得例2.6 如图2－11所示，通过定滑轮用不可伸长的细绳连接两个物块m1、m2．m2处于水平桌面上，且与桌面间的滑动摩擦系数为，m1与劲度系数为k的轻质弹簧连接于D点，为保证m1作铅直运动，m1被套在竖起固定的光滑细杆上，弹簧的自然长度等于水平距离BD.调整装置系统，使m1静止于A点，AB=BD=h，细绳张直，弹簧被拉成AD长度，然后释放．求m1由A点下落到B点时的速率．分析：此题属于多个质点，宜采用功能原理．系统受力复杂：外力、保守内力和非保守内力都存在，需要分清哪些力做正功，哪些力做负功．解：取m1、m2、弹簧和地球组成的系统为研究对象，并视为质点系．其中m1、m2受力如图2－12所示．ABD图2－11图2－12桌面作用于m2上的摩擦力属于外力，它作负功绳与m1及m2间的拉力是非保守内力，但这一对力作功代数和为零．取B点为重力势能零点和弹性势能零点(弹簧原长处)．初状态：系统具有重力势能为；弹性势能为，从而得初状态的机械能为．末状态：系统只具有动能，为，其中为题所求．根据功能原理列方程：解得：四、动量定理及动量守恒定律的应用短暂的问题如碰撞、打击、爆炸等应用动量守恒定律很方便．即使力作用时间较长，只要满足动量守恒条件，同样可以用该定律解题．动量定理解题时应学会动量定理的分量式解题，．例2.7 一质量为m=0.0025kg的乒乓球以v1=10m/s的速率飞来，用球拍推挡后以v2=20m/s的速率飞出，假设推挡前后球的运动方向与拍面的夹角分别为45°和60°，如图2－13，(1)求球受到外力的冲量；(2)若碰撞时间，求球受到的平均冲力．45º60º图2－13解：(1)选乒乓球为研究对象,并视为质点.乒乓球受重力和平均冲力作用,因重力与平均冲力相比非常小，此时重力可忽略不计．建立如图所示的坐标系，以击球点为原点，沿拍面方向建立x轴，垂直拍面方向为y轴．假设平均冲力乒乓球初态的动量为末态的动量为 据动量定理得乒乓球受到外力的冲量为 (2) 对以上矢量在轴投影可得，；，所以，在0.01s内球受到的平均冲力为：五、解质点动力学综合问题的思路综合问题，是指一个问题中包含两个或两个以上物理过程．这类题的关键在于分清各个物理过程．解题的一般步骤为：(1) 明确题中的各个物理过程，画出草图．(2) 找出联系各个物理过程之间的物理量或关系式．(3) 对每个物理过程分别进行分析处理，列出有关方程．(3) 解联立方程，作必要的分析讨论．O图2－14例2.8 质量为的物块，在平板上方高度处自由下落，打在平板上，平板装置在劲度系数为的弹簧上，如图2－14所示，设平板的质量也为，且物体与平板作完全非弹性碰撞，试求碰撞后弹簧被进一步压缩的长度．解：本题包含三个物理过程：①物块下落过程，②物块与平板作完全非弹性碰撞过程，③弹簧被进一步压缩过程．物块下落过程：设为物块下落时的末速度，有物块与平板作完全非弹性碰撞过程：设碰撞后物块与平板一起运动的速度为v1，在碰撞中动量守恒，有，解得：弹簧被进一步压缩过程：碰后物块和平板以共同速度v1继续压缩弹簧，只有保守力做功，系统机械能守恒．建立如图一维坐标，设x0为弹簧原长，x1处为平板的平衡位置，x2处为弹簧最后被压缩成的长度．选x0处为弹簧弹性势能零点，选x2处为重力势能零点，有碰后弹簧被进一步压缩的长度为：A点处机械能为： B点处机械能为： 据机械能守恒定律得：化简得： 解得： 2.4 检测练习（一）一、选择题1．如图2-15，质量分别为和的A、B两物块叠放在一起，置于光滑水平面上，A、B间的静摩擦系数为，滑动摩擦系数为．今用一水平F作用于A块上，要使A、B不发生相对滑动，则应有（ ）AB图2－15A． C．B． D． 2．质量为20g的子弹沿x轴正方向以的速率射入一木块后，与木块一起仍沿x轴正方向以的速率前进，此过程中木块所受的冲量为（ ）A． B． C． D． 3．如图2-16，一质量为M的弹簧振子放置在光滑的水平面上，处于平衡位置．一质量为m的子弹以水平速度射入振子中，并随振子一起运动．则弹簧振子系统可获得最大势能是（ ）图2－16A． B．C． D．4．一质量为的物体在力作用下，沿x轴运动．t＝0时，其速度，则t ＝3s时，其速度为：（ ）A． B． C． D． 二、填空题1．如图2-17，在光滑水平桌面上，有两个物体A和B紧靠在一起，它们的质量分别为，，今用一水平力F＝3N推物体B，则B推A的力等于 ，如用同样大小的水平力从右推A，则A推B的力等于 ．图2－17AB2．机枪每分钟可射出质量为20g的子弹900颗，子弹射出的速率为，则射击时平均反冲力的大小为 ．3．质量为0.25kg的质点，受力的作用，式中为时间，时，该质点以的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是 ．4．一质量为5kg的物体（视为质点）在平面上运动，其运动方程为，则物体所受合外力的大小为 ，其方向为 ．5．一作直线运动的物体，其速度与时间的关系曲线如图2-18所示，设时刻到间外力作功为；时刻到间外力作功为；时刻到间外力作功为，则为 ，为 ，为 ．图2－186．如图2-19，质量为的小球，速度为，与一个以速度作的挡板作垂直的完全弹性碰撞（设挡板质量），则碰撞后小球的速度＝ ，挡板对小球的冲量＝ ．图2－197．一物体质量为10kg，受到方向不变的力的作用，在开始的两秒内，此力的冲量大小等于 ；若物体的初速度大小为，方向与同向，则在2s末物体速度的大小等于 ．三、计算题1．如图2－20，一质量为M、角度为θ的劈形斜面A，放在粗糙的水平面上，斜面上有一质量为m的物体B，沿斜面下滑．若A、B之间的滑动摩擦系数为，且B下滑时A保持不动，求斜面A对地面的压力和摩擦力各有多大？图2－20BAACBDOθ图2－212．如图2－21所示，光滑水平面与半径为R竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块A、B质量均为，弹簧的劲度系数为，其一端固定在C点，另一端与滑块A接触．开始时滑块B静止于半圆环轨道的底端．今用外力推滑块A，使弹簧压缩一段距离再释放，滑块A脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞，碰后B将沿半圆环轨道上升，升到D点与轨道脱离．OD与竖直方向夹角，求弹簧被压缩的距离．3．湖面上有一质量为M的小船静止在水面上，从岸上以水平速度将一质量为的砂袋抛到船上，使船和砂袋一起运动，船运动中受到的阻力与速率成正比，比例系数为，设砂袋与船的作用时间极短，求：（1）砂袋抛到船上后，与船一起开始运动的速度；（2）船由开始运动直到静止所经过的路程．检测练习（二）一、选择题1．一质点受三个处于同一平面上的力作用：，，，设时，质点的速度，则质点将：（ ）A．处于静止状态 B．匀速直线运动 C．加速运动 D．减速运动2．一长为、质量均匀的链条，放在光滑的水平桌面上，若使其长度的一半悬于桌边下，由静止释放，则刚好链条全部离开桌面时的速度为（ ）A． B． C． D． 3．某物体在水平方向的变力作用下，由静止开始作无摩擦的直线运动，若力的变化规律如图2-22所示，则在4－10s内此力的冲量为（ ）A．0 B． C． D． 。