二次函数-存在相似问题

4、如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6）。

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；

（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由.

5、直线y=-

1

x+1分别交x轴y轴交于点A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转

3

△90°后得到COD。抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点。

（1）写出点A、B、C、D的坐标；

（2）求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

（3）在直线BG上是否存点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由.

2、如图，在矩形OABC中，AD=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B 落在OA边上的点E处，分别以OC、OA所在的直线为x轴y轴建立平面直角坐标系，抛物

线y=ax2+bx+c经过O、D、C三点。

（1）求AD的长及抛物线的解析式；

（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从C 出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？

3、已知：如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点与y轴交于点C，直线y=x-2经过A、C两点，且AB=2.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴，线段BC于点E、D.同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动。（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间

为t秒：设s=

ED+OP

ED•OP,当t为何值时，s有最小值，并求出最小值。

（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求t值；若不存在，请说明理由.

图1图2

.拓展3：如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE。已知tan∠CBE=

1

3，A（3，0）、D（-1，0）、E（0，3）。

（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

（2）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以E、D、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由。

练习反馈：

1、如图1，已知菱形ABCD的边长为23，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点，点D 的坐标为（-3，3），抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点。

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B 作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF。设菱形ABCD平移的时间为t秒（0

3、如图矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N同时从点B出发，分别在BC、BA上运动，

若点M的运动速度为2个单位长度，且是N运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，

停止一切运动，以MN为对称轴作△MNB的对称图形△MNB’.

（1）点B’恰好在AD的时间为秒；

（△2）在整个运动过程中，求MNB’与矩形ABCD重叠部分的面积及最大值。

4、如图，在△ABC中，AB=AC。∠BAC=90°，△CED是直角三角形，∠D=60°，且点B、C、

D在一条直线上，CD=AC=AB=2。

（1）以点C为旋转中心，顺时针旋转△ABC，使旋转后的△A’B’C’的顶点A’恰好咋DE上（点C与点C’重合），求此时旋转角的大小。

（2）在（1）的情况下，将△A’B’C’沿CD向右平移t（0

一、函数图像中相似三角形存在性问题

例1：如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（x≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点。（1）.求抛物线解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m 的值及点D的坐标；

（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（△2）的条件下，求出所有满足POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）.

例2：如图，直线AB交x轴于点B（0，4），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半

轴于点M交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°

（1）直接写出直线AB的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E连接CE，是否存在点△P，使得BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

例3、如图1，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴正半轴，y轴正半轴于点M、N，且OM=6，∠OMN=30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好在线段MN上，如图△2，将等边ABC从图1的位置沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB、AC分别于线段MN交于点E、△F，在ABC平移的同时，点P从△ABC 的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折现B→A→C运动，当点P到达点C时，点P 停止运动，△ABC也随之停止平移，设△ABC平移时间为t（△s），PEF的面积为S.

（△1）求等边ABC的长；

（2）当点P在线段BA上运动时求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形，若存在，求出此时t值；若不存在，求说明理由。

4、如图，△ABC为等边三角形，以AC中点O为坐标原点，AC边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示），点A的坐标为（2，0）.动点P从O出发，以2个单位长度每秒的速度沿y轴正半轴运动，设运动时间为t秒。

（1）求点B的坐标。

（2）连接△CP，把BCP绕点B逆时针旋转，使BC与BA重合，得到△ABD。求A、O、P、D四点围成的图形面积S与t之间函数关系式。

图1备用图