《 经济数学》应用题及参考答案

《经济数学》应用题

1．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为

． 2．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) =

．

3．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)

(2++=（万元）, 求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；

（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？

4．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：

（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？

5．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求

函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润.

6．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q

（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.

7．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最

低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？

8．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q ()=++2502010

2

（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？

9．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百

台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.

10．a 已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量

为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

11．b 生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其

中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？

12．已知某产品的边际成本为34)

(-='x x C (万元/百台)，x 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.

13．c 设生产某产品的总成本函数为

x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：

(1) 利润最大时的产量；

(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

参考答案

1. 3.6

2. 45q – 0.25q 2

3．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

x x x C 625.0100)(2++=

625.0100)(++=x x

x C ，65.0)(+='x x C 所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C

5.1861025.010

100)10(=+⨯+=C ， 116105.0)10(=+⨯='C

（2）令 025.0100)(2=+-='x

x C ，得20=x （20-=x 舍去） 因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.

4．解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．

因为 q p =-100010，即p q =-100110

， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =100110

2q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =100110

2q q --(60q +2000) = 40q -110

2q -2000 且 'L q ()=(40q -110

2q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点．

所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．

5．解 C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p )

=250000-400p

R (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2

利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令

)(p L '=2400 – 8p = 0

得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.

最大利润 11000

25000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L （元）． 6．解 由已知201.014)01.014(q q q q qp R

-=-== 利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=

则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .

因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，

且最大利润为

1230

125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 7. 解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q

++ （q >0） 'C q ()=(.)05369800q q ++

'=0598002.-q 令'C q ()=0，即0598002

.-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.

所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 C ()140=05140369800140.⨯++

=176 （元/件） 8．解 （1） 因为 C q ()=C q q ()=2502010

q q ++ 'C q ()=(

)2502010q q ++'=-+250110

2q 令'C q ()=0，即-+=25011002q ，得q 1=50，q 2=-50（舍去）， q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．

所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．

9．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

⎰

+=∆64d )402(x x C =642)40(x x += 100（万元） 又

x c x x C x C x ⎰+'=00d )()(=x x x 36402++ =x x 3640++ 令 0361)(2=-='x

x C ， 解得6=x . x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.

10．解 因为边际利润

)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x

令)(x L '= 0，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.

当产量由500件增加至550件时，利润改变量为