静电场的能量
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
工程电磁场
王泽忠
18／4／25
华北电力大学电气与电子工程学院
1
工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
8 电磁场的能量和力
18／4／25
华北电力大学电气与电子工程学院
2
工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
8.1 静电场的能量
18／4／25
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18／4／25
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11
工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
将积分区域扩展到导体以外的整个空间，
可得
We
1 2
V
DdV
+
1 2
S
D
endS
V 是导体之外的整个空间，
S 是所有导体的表面，
en 是导体表面外法线方向的单位矢量。
18／4／25
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克服电场力的外力所做的功， 叫做点电荷的自有静电能量。
18／4／25
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，S
r2
，
当 r 时，
有 D dS 0 ，所以 S0
We
=
1 2
V
D EdV
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
在线性媒质中， D E ，则上式可写成
We
1 2
V
E
2
dV
；
We
1 2
V
D2 dV
从以上各式可以看出，电场能量分布于空间，
We
V
wedV
a
4R2
2
q2
4 2
dR 0R4
q2 q2 80R a 80a
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
3．点电荷系统的静电能量
点电荷相当于带电导体球半径趋近于零。 单个点电荷产生电场的静电能量为无穷大。
这就是将电荷量 q 压紧到体积为零的点上，
能量密度为
we
=
1 2
DE
1 2
E
2
1 2
D2
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
例 如图所示，求真空中半径为 a ，
带电荷量为 q 的导体球
所产生的静电场的 静电能量。
解 根据电荷分布的球对称性，
对于 R a ，应用高斯通量定理,得
E
q 4 0 R 2
3
工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
1．静电场能量的来源
电场能量等于
电场建立过程中电场力做功的负值，
也就是克服电场力的外力做功的数值。
因此电场能量来源于
电场建立过程中外力提供的能量。
在线性媒质中，静电场能量的数值
18／4／25
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4
工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
当电荷分布为 和 时， 电位分布应为 。 当电荷分布由 和 增加到
d 和 d 时，
反抗电场力的外力所做的功应为
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
dA ddV ddS
V
S
整个过程中反抗电场力的
外力所做的功为
A
1
0
dV
V
1 2
dS
S
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工程电磁场
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对于由 n 个导体组成的静电系统，
假定空间无体电荷分布，
面电荷分布于导体表面，
每个导体表面都是等位面。有
We
n k 1
1 2
Sk
kk dSk
n k 1
1 2 k
Sk
k dSk
n
k 1
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
根据散度定理，可得
1 2
(D)dV V
1 2
D
S
dS
S 导体以外空间的闭合边界面，
在导体表面 dS 与 en 方向相反。
考虑到空间的外边界即无穷远边界面 S0 ，有
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We
=
1 2
S
D
dS
+
1 2
V
D
EdV
1 2
S
D endS
=
1 2
S
D
en
dS
S0
D
dS
+
1 2
V
D
EdV
1 2
S
D endS
=
1 2
V
D
EdV
S0
D
dS
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工程电磁场
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在无穷远边界百度文库积分项中，
1 r
，D
1 r2
ddV
1
0
ddS
V
S
1
0
d
dV
1
0
d
dS
V
S
1 2
V
dV
1 2
S
dS
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工程电磁场
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式中：V 为体电荷分布的空间，
S 是面电荷分布的曲面。
整个过程中克服电场力的外力所做的功
全部转化为电场的能量。
因此，电场能量可表示为
We
1 2
1 2
k
qk
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工程电磁场
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2．静电场能量的分布
连续分布电荷系统静电能量的表达式为
We
1 2
dV
V
1 2
S
d S
说明可以用电荷密度和电位
来计算静电场能量，
但这并不表明静电能量只存在于
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工程电磁场
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电荷的源区。在无源区域，
只要有电场，就存在对电荷的作用力，
说明凡是有电场的区域都存在静电场能量。 考虑导体表面和空间电荷分布的情况，
在有体电荷分布的空间区域有 D ，
在无体电荷的空间区域 D 0 ；
在导体表面 D en 。代入静电场能量计算式，
只取决于电场的最后状态，
与电场的建立过程无关。
为便于计算，
设静电场中最终电荷分布的体密度为 ， 面密度为 ，所产生电场的电位为 。
假定在电场的建立过程中各处的电荷密度
从零开始以相同的比例同步增长，
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工程电磁场
系数 0～1，
主 讲 人 ： 王 泽 忠
eR
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工程电磁场
（1）由导体球的电位
主 讲 人 ： 王 泽 忠
q 4 0a
,可得
We
1 2
q
q2 8 0a
（2）由静电能量密度
we
1 2
0
E
2
1 2
q2
4 2 0R4
,
体积分,得
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工程电磁场
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根据矢量恒等式 ha h a a h ，
将 h , a D 代入，得
D D D
将 E 代入上式，并代入能量计算式得
We
1 2
V
D dV
1 2
V
D
EdV
+ 1
2
S
D
endS
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8 电磁场的能量和力
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8.1 静电场的能量
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将积分区域扩展到导体以外的整个空间，
可得
We
1 2
V
DdV
+
1 2
S
D
endS
V 是导体之外的整个空间，
S 是所有导体的表面，
en 是导体表面外法线方向的单位矢量。
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克服电场力的外力所做的功， 叫做点电荷的自有静电能量。
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，S
r2
，
当 r 时，
有 D dS 0 ，所以 S0
We
=
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V
D EdV
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在线性媒质中， D E ，则上式可写成
We
1 2
V
E
2
dV
；
We
1 2
V
D2 dV
从以上各式可以看出，电场能量分布于空间，
We
V
wedV
a
4R2
2
q2
4 2
dR 0R4
q2 q2 80R a 80a
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3．点电荷系统的静电能量
点电荷相当于带电导体球半径趋近于零。 单个点电荷产生电场的静电能量为无穷大。
这就是将电荷量 q 压紧到体积为零的点上，
能量密度为
we
=
1 2
DE
1 2
E
2
1 2
D2
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例 如图所示，求真空中半径为 a ，
带电荷量为 q 的导体球
所产生的静电场的 静电能量。
解 根据电荷分布的球对称性，
对于 R a ，应用高斯通量定理,得
E
q 4 0 R 2
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
1．静电场能量的来源
电场能量等于
电场建立过程中电场力做功的负值，
也就是克服电场力的外力做功的数值。
因此电场能量来源于
电场建立过程中外力提供的能量。
在线性媒质中，静电场能量的数值
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当电荷分布为 和 时， 电位分布应为 。 当电荷分布由 和 增加到
d 和 d 时，
反抗电场力的外力所做的功应为
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dA ddV ddS
V
S
整个过程中反抗电场力的
外力所做的功为
A
1
0
dV
V
1 2
dS
S
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对于由 n 个导体组成的静电系统，
假定空间无体电荷分布，
面电荷分布于导体表面，
每个导体表面都是等位面。有
We
n k 1
1 2
Sk
kk dSk
n k 1
1 2 k
Sk
k dSk
n
k 1
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根据散度定理，可得
1 2
(D)dV V
1 2
D
S
dS
S 导体以外空间的闭合边界面，
在导体表面 dS 与 en 方向相反。
考虑到空间的外边界即无穷远边界面 S0 ，有
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We
=
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S
D
dS
+
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V
D
EdV
1 2
S
D endS
=
1 2
S
D
en
dS
S0
D
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+
1 2
V
D
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1 2
S
D endS
=
1 2
V
D
EdV
S0
D
dS
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在无穷远边界百度文库积分项中，
1 r
，D
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1
0
ddS
V
S
1
0
d
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1
0
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V
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式中：V 为体电荷分布的空间，
S 是面电荷分布的曲面。
整个过程中克服电场力的外力所做的功
全部转化为电场的能量。
因此，电场能量可表示为
We
1 2
1 2
k
qk
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2．静电场能量的分布
连续分布电荷系统静电能量的表达式为
We
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dV
V
1 2
S
d S
说明可以用电荷密度和电位
来计算静电场能量，
但这并不表明静电能量只存在于
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电荷的源区。在无源区域，
只要有电场，就存在对电荷的作用力，
说明凡是有电场的区域都存在静电场能量。 考虑导体表面和空间电荷分布的情况，
在有体电荷分布的空间区域有 D ，
在无体电荷的空间区域 D 0 ；
在导体表面 D en 。代入静电场能量计算式，
只取决于电场的最后状态，
与电场的建立过程无关。
为便于计算，
设静电场中最终电荷分布的体密度为 ， 面密度为 ，所产生电场的电位为 。
假定在电场的建立过程中各处的电荷密度
从零开始以相同的比例同步增长，
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系数 0～1，
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eR
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（1）由导体球的电位
主 讲 人 ： 王 泽 忠
q 4 0a
,可得
We
1 2
q
q2 8 0a
（2）由静电能量密度
we
1 2
0
E
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1 2
q2
4 2 0R4
,
体积分,得
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根据矢量恒等式 ha h a a h ，
将 h , a D 代入，得
D D D
将 E 代入上式，并代入能量计算式得
We
1 2
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D dV
1 2
V
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+ 1
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