数学的美

鹦鹉螺的贝壳菊的种子排列植物的生长

蜘蛛网的构造旋涡星系

4.方程

极坐标的形式为：r=a*e^(kθ), a,k是常数.r是极径,θ是极角。

用几何画板作图如下：

二、雪花曲线

1.定义

设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。他的名字叫科克曲线，因为瑞典数学家科克在1904年第一次描述了这种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线。

2.科克曲线的一些性质：

a.它是一条连续的回线，永远不会自我相交。

b.它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。

c.曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。

d.它拥有自相似性，即将它放大之后会看到一个小的科克雪花。

作图步骤：

美丽的雪花用几何画板做出的雪花图形

三、蜂巢

1.历史

蜂巢，蜂群生活和繁殖后代的处所，由巢脾构成。蜂巢是严格的六角柱形体。它的一端是六角形开口，另一端则是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成。18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸，令他感到十分惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是109°28′，所有的锐角都是70°32′。后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度。从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”。蜂巢具有节约材料体积大、体轻、容量大、易出入的特点。

自然界的蜂蜂巢用几何画板做出的蜂巢

2.生活中的应用

a.蜂窝网络被广泛采用的原因是源于一个数学结论，即以相同半径的圆形覆盖平面, 当圆心处于正六边形网格的各正六边形中心，也就是当圆心处于正三角网格的格点时所用圆的数量最少。虽然使用最少个结点可以覆盖最大面积的图形即使要求结点在一个如同晶格般有平移特性的网格上也仍是有待求解的未知问题，但在通讯中，使用圆形来表述实践要求通常是合理的，因此出于节约设备构建成本的考虑，正三角网格或者也称为简单六角网格是最好的选择。这样形成的网络覆盖在一起，形状非常象蜂窝，因此被称作蜂窝网络。

b. 蜂窝城市雄罗非鱼的地盘是六边形的泥裂

四、分形树

1.定义

分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形（Fractal）一词，是芒德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。1973年，芒德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形的设想。

2.性质

a.从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。

b.在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

3.自然界中的树

4.用几何画板做出的分形树

五、蝴蝶曲线

1.定义

蝴蝶曲线是美国南密西西比大学坎普尔·费伊(Temple H·Fay)发现的可用极坐标函数表示的蝴蝶型曲线，主要应用于数学及个人计算机领域。蝴蝶曲线是一种很美的平面上代数曲线，通过一个特定的极坐标公式可以表达。用很多代数曲线和超越曲线可以表达自然界很多现象，蝴蝶曲线就是一种，变量Θ的调整可以改变曲线形状及其方向。

2.自然界的蝴蝶

3.用几何画板做出的蝴蝶曲线

六、心形线

1.定义

心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其

2.数学表达

a.极坐标方程

水平方向： r=a(1-cosθ) 或 r=a(1+cosθ) (a>0)

垂直方向： r=a(1-sinθ) 或 r=a(1+sinθ) (a>0)

b.直角坐标方程

心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和

x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

c.参数方程

x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))

y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))

所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a

3.用几何画板做的心形线

七、玫瑰线

1.定义

玫瑰线的说法源于欧洲海图。在中世纪的航海地图上，并没有经纬线，有的只是一些从中心有序地向外辐射的互相交叉的直线方向线。此线也称罗盘线，希腊神话里的各路风神被精心描绘在这些线上，作为方向的记号。葡萄牙水手则称他们的罗盘盘面为风的玫瑰（rosedosventor）。水手们根据太阳的位置估计风向，再与“风玫瑰”对比找出航向。玫瑰线，即指引方向的线。

八、阿基米德螺线

1.定义

阿基米德螺线（阿基米德曲线），亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，该射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。其首次由阿基米德在著作《论螺线》中给出了定义。

2.数学表达

a.极坐标方程式

它的极坐标方程为：r = aθ

这种螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。