二次函数轨迹问题

二次函数轨迹问题

模块一点的轨迹问题

例1某校数学兴趣小组在研究二次函数及其图像问题时，发现了两个现象：

（1）抛物线y=ax2+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线l1上；求直线l1的解析式；

（2）抛物线y=x2+bx+3（a≠0），当实数b变化时，它的顶点都在某条直线C1上；求直线C1的解析式；

练习：

如图，已知直线AB：y=k x+2k+4与抛物线C1：如图，已知直线AB：y=k x+2k+4与抛物线y= 1

x2交于A，B两点．

2

（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；

（2）若k=-2，点D在直线AB上，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点E，P是线段DE的中点，设点D在直线AB上运动时，P的运动轨迹为抛物线C2，求抛物线C2的解析式。

例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y =ax 2-4a +4（a ＜0）经过第一象限内的定点P ．

（1）求出点P 的坐标；

（2）若a =-1，点M 坐标为（2，0）是x 轴上的点，N 为抛物线C 1上的点，Q 为线段MN 的中点．设点N 在抛物线C 1上运动时，C 1的运动轨迹为抛物线C 2，求抛物线C 2的解析式．

模块二 焦点准线问题 知识导航

抛物线的几何性质（定义）

平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线

如图所示：点F 为定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直平分线n 交MH

于点

M ，拖动点H ，M 的轨迹是一条直线。

2.常见结论：

y =ax 2的焦点为F ⎪⎭

⎫ ⎝⎛a 410，，准线l 为y=14a -

点P 是抛物线y =ax 2上任意一点

证明：点P 是抛物线y =ax 2上任意一点，则可设P 点坐标为（m,am 2）

21=4am a +

而点P 到直线l 的距离为d=2

211()44am am a a

--

=+ ∴PF =d

3、y =ax 2+k 的焦点准线

思路;用平移的思路去做，抛物线的平移和对应的焦点。准线的平移一致。 完成下表：

例3（2016七一周练）如图1，P （m ,n ）是抛物线上2

14

y x =

-任意一点，l 是过点（0，-2）且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l 于点H 。 【探究】

（1）填空：当m =0时，OP =______，PH =______；当m =4时，OP =______，PH =______； 【证明】

（2）对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．

【应用】

（3）如图2，已知线段AB =6，端点A ，B 在抛物线2

114

y x =-上滑动，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．

例4 已知如图1，在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线y ＝

4

1x 2

＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，连接AC ，AO ＝2CO ，直线l 过点G (0，t)且平行于x 轴，t ＜－1.

(1) 求抛物线对应的二次函数的解析式； (2) 若D 为抛物线y ＝

4

1x 2

＋bx ＋c 上一动点，是否存在直线l 使得点D 到直线l 的距离与OD 的长恒相等，若存在，求出此时t 的值；

(3) 如图2，若E 、F 为上述抛物线上的两个动点，且EF ＝8，线段EF 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值.

例5 将抛物线C 1：y =

4

1

(x -4)2+3先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线C 2

（1）直接写出抛物线C 2的解析式；

（2）如图1，y 轴上是否存在定点F ，使得抛物线C 2上任意一点P 到x 轴的距离与PF 的长总相等？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由。

（3）如图2，D 为抛物线C 1的顶点，P 为抛物线C 2上任意一点，作PH ⊥x 轴于点H ，连接DP ，求PH +PD 的最小值及此时点P 的坐标。

例6 如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx +b 与抛物线y =4

1x 2

交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）

（1）求x 1·x 2的值；

（2）分别过M 、N 作直线l ：y =-1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论。

例7 如图1，直线y =kx -k 2(k ＞0)与抛物线y =ax 2有唯一公共点 （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点A （0,1）直线l :y =-1

①如图2，P 是抛物线上一个动点，PB ⊥l 于B 点，连P A 、PB ，求证：AB 平分∠OAP ； ②如图3，过A 点的任意一条直线分别交抛物线于C 、D 两点，求证：以CD 为直径的⊙M 与直线l 相切。

例8 已知直线l ：y =kx +5k （k ≠0）与x 轴交于A 点，抛物线的解析式为y =

4

1x 2+1 （1）直接写出A 点坐标；

（2）P 为抛物线上任一点，过P 作PQ ⊥x 轴，Q 为垂足，以P 为圆心，PQ 为半径作圆，圆总会经过y 轴一定点D ，求D 到直线L 的距离的最大值。

第4讲

本讲课后作业

A

基础巩固

（2016年江汉区九上期中）

1、已知抛物线y ＝ax 2－2anx ＋an 2＋n ＋3的顶点P 在一条定直线l 上，则直线l 的解析式为_________．

（2016年青山区九上期中）

2、抛物线C 3：y ＝(x －m )2＋(x －m )＋2m ＋1经过点P (m ，n )，则n ＝_________（用含m 的式子表示）；点P 一定在定直线l 上运动，则直线l 的解析式为_______________．

（2016年江夏区九上期中）