第4章 利用MATLAB绘制体系根轨迹
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5.8142 p=
-2.29830 -0.0085+1.3961i -0.0085-1.3961i 所以，要想使此闭环系统稳定，其增益范围应为 0<K<5.81。 参数根轨迹反映了闭环根与开环增益 K 的关系。我们可以编写下面的程序，通过 K 的 变化，观察对应根处阶跃响应的变化。考虑 K=0.1,0.2,…,1,2,…,5,这些增益下闭环系统 的阶跃响应曲线。可由以下 MATLAB 命令得到。 >> hold off; % 擦掉图形窗口中原有的曲线。
或者
rlocus(G)
rlocus(G，K)
以上给定命令可以在屏幕上画出根轨迹图，其中 G 为开环系统 G0(s)的对象模型,K 为
用户自己选择的增益向量。如果用户不给出 K 向量，则该命令函数会自动选择 K 向量。如
果在函数调用中需要返回参数，则调用格式将引入左端变量。如
[R，K]=rlocus(G)
1 K num 0 den
特征方程的根随参数 K 的变化而变化，即为闭环根轨迹。控制系统工具箱中提供了
rlocus()函数，可以用来绘制给定系统的根轨迹，它的调用格式有以下几种：
rlocus(num，den)
rlocus(num，den，K)
工具箱中还有一个 rlocfind()函数，该函数允许用户求取根轨迹上指定点处的开环增益值，
并将该增益下所有的闭环极点显示出来。这个函数的调用格式为：
[K，P]=rlocfind(G)
这个函数运行后，图形窗口中会出现要求用户使用鼠标定位的提示，用户可以用鼠标
左键点击所关心的根轨迹上的点。这样将返回一个 K 变量，该变量为所选择点对应的开环
第 4 章 利用 MATLAB 绘制系统根轨迹
一、 利用 MATLAB 绘制系统根轨迹相关知识
假设闭环系统中的开环传递函数可以表示为：
Gk (s)
K
s m b1s m1 bm1 bm s n a1s n1 an1s an
K
num den
K
(s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
此时屏幕上不显示图形，而生成变量 R 和 K。
R 为根轨迹各分支线上的点构成的复数矩阵，K 向量的每一个元素对应于 R 矩阵中的一
行。若需要画出根轨迹，则需要采用以下命令：
plot(R，¹¹)
plot()函数里引号内的部分用于选择所绘制曲线的类型，详细内容见表 1。控制系统
图 4-1 系统的根轨迹 t=0:0.2:15; Y=[ ]; for K=[0.1:0.1:1,2:5]
GK=feedback(K*G,1); y=step(GK,t); Y=[Y,y]; end plot(t,Y) 对于 for 循环语句，循环次数由 K 给出。系统画出的图形如图 4-2 所示。可以看出， 当 K 的值增加时，一对主导极点起作用，且响应速度变快。一旦 K 接近临界 K 值，振荡加 剧，性能变坏。
增益，同时返回的 P 变量则为该增益下所有的闭环极点位置。此外，该函数还将自动地将
该增益下所有的闭环极点直接在根轨迹曲线上显示出来。
例 4.1 已知系统的开环传递函数模型为：
Gk
(s)
s(s
K 1)(s
Leabharlann Baidu2)
KG0 (s)
利用下面的 MATLAB 命令可容易地验证出系统的根轨迹如图 4-1 所示。 >> G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);
rlocus(G); grid title(¹Root_Locus Plot of G(s)=K/[s(s+1)(s+2)]¹) xlabel(¹Real Axis¹) % 给图形中的横坐标命名。
ylabel(¹Imag Axis¹) % 给图形中的纵坐标命名。 [K,P]=rlocfind(G) 用鼠标点击根轨迹上与虚轴相交的点，在命令窗口中可发现如下结果 select_point=0.0000+1.3921i K=
KG0 (s)
则闭环特征方程为：
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线0生高不产中仅工资22艺料22高试可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料22荷试，下卷而高总且中体可资配保料置障试时23卷，23调需各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看2工且55作尽22下可2都能护1可地关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编5试求写、卷技重电保术要气护交设设装底备备4置。高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并3设试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
-2.29830 -0.0085+1.3961i -0.0085-1.3961i 所以，要想使此闭环系统稳定，其增益范围应为 0<K<5.81。 参数根轨迹反映了闭环根与开环增益 K 的关系。我们可以编写下面的程序，通过 K 的 变化，观察对应根处阶跃响应的变化。考虑 K=0.1,0.2,…,1,2,…,5,这些增益下闭环系统 的阶跃响应曲线。可由以下 MATLAB 命令得到。 >> hold off; % 擦掉图形窗口中原有的曲线。
或者
rlocus(G)
rlocus(G，K)
以上给定命令可以在屏幕上画出根轨迹图，其中 G 为开环系统 G0(s)的对象模型,K 为
用户自己选择的增益向量。如果用户不给出 K 向量，则该命令函数会自动选择 K 向量。如
果在函数调用中需要返回参数，则调用格式将引入左端变量。如
[R，K]=rlocus(G)
1 K num 0 den
特征方程的根随参数 K 的变化而变化，即为闭环根轨迹。控制系统工具箱中提供了
rlocus()函数，可以用来绘制给定系统的根轨迹，它的调用格式有以下几种：
rlocus(num，den)
rlocus(num，den，K)
工具箱中还有一个 rlocfind()函数，该函数允许用户求取根轨迹上指定点处的开环增益值，
并将该增益下所有的闭环极点显示出来。这个函数的调用格式为：
[K，P]=rlocfind(G)
这个函数运行后，图形窗口中会出现要求用户使用鼠标定位的提示，用户可以用鼠标
左键点击所关心的根轨迹上的点。这样将返回一个 K 变量，该变量为所选择点对应的开环
第 4 章 利用 MATLAB 绘制系统根轨迹
一、 利用 MATLAB 绘制系统根轨迹相关知识
假设闭环系统中的开环传递函数可以表示为：
Gk (s)
K
s m b1s m1 bm1 bm s n a1s n1 an1s an
K
num den
K
(s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
此时屏幕上不显示图形，而生成变量 R 和 K。
R 为根轨迹各分支线上的点构成的复数矩阵，K 向量的每一个元素对应于 R 矩阵中的一
行。若需要画出根轨迹，则需要采用以下命令：
plot(R，¹¹)
plot()函数里引号内的部分用于选择所绘制曲线的类型，详细内容见表 1。控制系统
图 4-1 系统的根轨迹 t=0:0.2:15; Y=[ ]; for K=[0.1:0.1:1,2:5]
GK=feedback(K*G,1); y=step(GK,t); Y=[Y,y]; end plot(t,Y) 对于 for 循环语句，循环次数由 K 给出。系统画出的图形如图 4-2 所示。可以看出， 当 K 的值增加时，一对主导极点起作用，且响应速度变快。一旦 K 接近临界 K 值，振荡加 剧，性能变坏。
增益，同时返回的 P 变量则为该增益下所有的闭环极点位置。此外，该函数还将自动地将
该增益下所有的闭环极点直接在根轨迹曲线上显示出来。
例 4.1 已知系统的开环传递函数模型为：
Gk
(s)
s(s
K 1)(s
Leabharlann Baidu2)
KG0 (s)
利用下面的 MATLAB 命令可容易地验证出系统的根轨迹如图 4-1 所示。 >> G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);
rlocus(G); grid title(¹Root_Locus Plot of G(s)=K/[s(s+1)(s+2)]¹) xlabel(¹Real Axis¹) % 给图形中的横坐标命名。
ylabel(¹Imag Axis¹) % 给图形中的纵坐标命名。 [K,P]=rlocfind(G) 用鼠标点击根轨迹上与虚轴相交的点，在命令窗口中可发现如下结果 select_point=0.0000+1.3921i K=
KG0 (s)
则闭环特征方程为：
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线0生高不产中仅工资22艺料22高试可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料22荷试，下卷而高总且中体可资配保料置障试时23卷，23调需各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看2工且55作尽22下可2都能护1可地关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编5试求写、卷技重电保术要气护交设设装底备备4置。高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并3设试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。