matlab结题报告(电偶极子的辐射场)

matlab结题报告(电偶极子的辐射场)
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电偶极子的辐射场
背景与意义：
对于一个带电体来说，如果正负电荷呈电偶分布，正、负电荷的重心不重合，那么讨论这种带电体的电场时，可以把它模拟成两个相距很近的等量异号的点电荷+q 和−q ，这样的带电系统称为电偶极子。

实际生活中电偶极子的例子随处可见，例如，在研究电解质极化时，采用重心模型描述后电解质分子可等效为电偶极子；在电磁波的发射和吸收中电子做周期性运动形成振荡电偶极子；生物体所有的功能和活动都以生物电的形式涉及到电偶极子的电场等，当天线长度l 远小于波长时，它的辐射就是电偶极辐射。

因此，研究电偶极子在空间激发的电场问题具有重要意义。

我们主要讨论宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。

基本内容介绍：
1. 计算辐射场的一般公式
A B ⨯∇= (1)
B k
ic E ⨯∇= （2） 其中
(3)
若电流J 是一定频率的交变电流，有
(4) 代入（3）式得
， （5）
式中 为波数。

令
有 ')'(π4μ)(0dV r
e x J x A V ikr ⎰= （6） 2. 失势的展开
在失势公式（6）中，存在三个线度：电荷分布区域的线度l ，它决定积分区 的大小；波长 以及电荷到场点的距离r 。

我们研究分布于一个小区域的电流所产生的辐射。

所谓小区域是指它的线度远小于波长 以及观察距离r ，即
λ<<l r l <<
这种情况下，可以讲失势做展开得
(7) 3. 电偶极辐射
我们研究展开式的第一项 ')'(πR 4μ)(0dV x J e x A V ikR
⎰= （8）
先看电流密度体积分的意义。

电流是有运动的带电粒子组成的。

设单位体积内有 个带电荷为 ,速度为 的粒子，则它们各自对电流密度的贡献为 ，因此
∑=i i
i i v q n J
其中求和符号表示对各类带电粒子求和。

上式也等于对单位体积内的所有带电粒子的qv 求和。

因此
∑⎰=v q dV x J V '')(
式中求和符号表示对区域内所有带电粒子求和。

但 p dt
p d x q dt d v q ===∑∑ 式中
是电荷系统的电偶极矩。

因此 p dV x J V =⎰'')(
如右图所示，当两个相距为 的导体球组成，两个
导体之间由导线连接。

当导线上有交变电流I 时，两导体上的电荷 就交替变化，形成一个振荡电偶极子。

这系统的电偶极矩为 l Q p ∆=
当导线上有电流I 时，Q 的变化率为 I dt
dQ = 因而体系的电偶极矩变化率为 '')(dV x J l I l Q dt d dt p d p V ⎰=∆=∆== （9）
由此可得，（8）式代表振荡电偶极矩产生的辐射 p e x A ikR πR
4μ)(0= （10） 在计算电磁场时，需要对
作用算符 。

我们只保留1/R 低次项，因而算符 不需作用到分母的R 上，而仅需作用到因子 上，作用结果相当于代换
R
e ik →∇
ωi t -→∂∂ 由此得辐射场
R ikR R ikR e p e R c p e e R k i A B ⨯=⨯=⨯∇=200414πεπμ (11) R R ikR R e e p R c e e B c B k ic E ⨯⨯=⨯=⨯∇=)(420πε （12） 写成分量形式得
3
)/()]sin()[cos(cos 2kr kr t kr kr t A E r ---=ωωθ （13） 322)/()]sin()cos()1[(sin kr kr t kr kr t r k A E ----=ωωθθ (14) 0
=φE
(15)
编程实现：
要实现电场的可视化操作，首先要得出电场线的方程
由电场个分量之间关系可得出
(16) 由式中K 为积分常数，K 取不同的值则得到不同的电力线。

因此由(16)式可绘制出电偶极子的电力线族。

在绘图时，需要将球坐标还原成直角坐标：
22212221; cos (/); tan (/)r x y z z x y z y x θφ--=++=++=
由于电场分布与φ角无关，故电场分布关于z 轴对称，因此可以只考虑某个过z 轴的平面(如xoz 平面)上电力线图，对于xoz 平面，y=0，因此(4)式中球坐标 ; (17)
且x 、z 的取值范围均为[,]r r -。

显然，(16)式可以写成 (,)u x z K =的形式，这其实是标量函数u(x,z)的等值线方程，因此电偶极子的电力线方程就是函数u(x,z)的等值线方程。

MATLAB 提供了一个专门的函数用于绘制标量函数u 的等值线(或称等高线)图：
[c, h] = contour (X, Z, U, V)
其中，X,Z,U 为同维的矩阵，X ，Z 指定平面上点的x 、z 坐标，可由meshgrid 命
令取得，在本例中：
x=–r:0.1:r; z=-r:0.1:r; [X,Z]=meshgrid(x, z);
k是函数u(x,z)在坐标X,Z上的值，V 是向量，指定各条等高线的高度值（例如(16)式中的K值）。

h 是返回的句柄值。

1. 以影片动画的方式仿真电偶极子辐射过程
要模拟电偶极子辐射场的动态过程，首先要绘制各个时刻的电力线图，即使用contour函数在ωt取不同值的情况下绘制电力线方程式。

绘制电力线图时应注意下面几个环节：
①适当选取每个画面上电力线的根数，太多连成一片，太少没有真实感。

有2
个参数控制电力线的根数，一为K值，K每取一个值代表一条电力线（环形线，见附图），K的值越多则电力线越多，一组K值对应一套电力线(族)；另一个是波数k，k越大，电力系将越密，每幅画面将包含更多的电力线数。

②每个周期内，画面的个数，即适当选取ωt以及∆ωt的值，应以感觉画面连续
为准。

③最大辐射半径r max的选取，即x、z的范围。

r max越大，x、z的范围越大，所
画电力线也越多。

其值的选取应以感觉向无限远处传播出去为宜。

根据经验，上述参数可参照下列值：
K=[-2.0,-1.5,-0.8,-0.4,-0.2,0.2,0.4,0.8,1.5,2.0];
k=1；
rmax=10*pi;
ωt=n*pi/N，N=50，n=0,1,2,...,N-1，即∆ωt=π/24。

N实际就是“拍照”次数，也是帧结构体的长度，N越小，动画速度越快。

2. 以实时动画的方式仿真电偶极子辐射过程
由于实时动画以实时擦除的方式实现动画效果，故画面不宜太复杂，否则效果不好。

因此电力线数目不宜过多，上述参数需要重新调整。

4.matlab编程模拟
程序如下：
clear
filename='a.gif'
syms x y z k w t K r mabide
for n=1:500
r=7*pi;
k=1;
K=[-2.0,-1.5,-0.8,-0.4,-0.2,0.2,0.4,0.8,1.5,2.0];
N=50;
wt=(n-1)*pi/N;
x=-r:0.1:r;
z=-r:0.1:r;
[X,Z]=meshgrid(x,z);
r=sqrt(X.^2+Z.^2);
a=acos(Z./r);
mabide=sin(a).^2.*(cos(wt-k.*r)-k.*r.*sin(wt-k.*r))./ (k.*r);
[c,h]=contour(X, Z, mabide, K);
f = getframe(gcf);
imind = frame2im(f);
[imind,cm] = rgb2ind(imind,256);
if n==1
imwrite(imind,cm,filename,'gif',
'Loopcount',inf,'DelayTime',0.1);
else
imwrite(imind,cm,filename,'gif','WriteMode','append','Del ayTime',0.1);
end
end
动画模拟结果为：动画.gif
继续在不同频率下的模拟图像如下：
四、思考题
请根据仿真结果，尝试找出电偶极子的辐射有何特点？
1.高度空间对称性，在空间上是同时关于z轴和xoy平面对称的；
2.随着交变电流频率增大，辐射波长也相应变化；
3.在高频和超高频条件下的辐射需要进一步研究。