《高等数学偏导数》PPT课件

一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
的偏导数， 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
记为 z y
， f x x0 y
，zy
x x0
或 x x0
y y0
f y ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
如果函数z f ( x, y)在区域D内任一点
( x, y)处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数
函数导数的定义进行的：
z x
( x0 , y0 )
lim x0
f (x0 x ,
y0 ) x
f (x0 ,
y0 )
实质上是
d
f (x , y0 ) dx
x x0
多元函数的偏导数的计算方法, 没有任何技术性的新东西.
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
第二节 偏导数
1. 偏导数的定义及其计算法 2. 偏导数存在与连续的关系 3. 高阶偏导数 4. 小结、作业
我们已经知道一元函数的导数是一个很重要 的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点 处函数随自变量变化的快慢程度。
对于多元函数，同样需要讨论它的变化率问 题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问 题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑 函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化 率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数 概念。
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x的
偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y
y
(
x,
y).
fy(x,
y)

lim
h0
f
(x,
y

h) h

f
(x,
y)
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x,
y, z)

lim
x0
f
(x

x,
y,z)
x
f
(x,
y, z) ,
f y ( x,
y, z)

lim
y0

lim 0 0 x0 x
0
y( y2 x2 )

f x ( x,
y)


(
x
2

y2 )2
0
由对称性， 得
就是 x、 y的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量 x的偏导数，
记作 z x
，f x
，
z
x
或
f
x
(
x,
y).
fx(x,
y)

lim
h0
f
(x

h,
y) h
f
(x,
y)
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y的偏
导数，记作
z y
，
f y
，
z
y
或
f
dz( x,2) dx
x1 ( x2 6x 4) x1 8 .
解法三 (先求偏导函数再代函数值）
z x
( x, y )(1,2)
( x2 3xy y2 )x
( x, y)(1,2)
视 y为常数
(2x 3 y) ( x, y)(1,2)
8.
f
(x,
y

y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)

lim
z0
f
(x,
y, z

z) z
f
(x,
y, z) .
一般地 设 w f ( x1, x2 ,, xn )
w lim f ( x1,, xi xi ,, xn ) f ( x1,, xi ,, xn )
xi xi 0
xi
(i 1,2,,n)
下面讨论 偏导数的计算方法
z lim f (x x , y) f (x , y)
x x0
x
可以看出: 定义 z 时, 变量 y 是不变的, 实际上, x
是对函数 f (x , y) , 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元
解 将 y 看成常数时, 是对幂函数求导.
z y x y1 x
(xa ) a xa1
将 x 看成常数时, 是对指数函数求导.
z xy ln x y
(ax ) ax ln a
例 求 u exxy2z3 的偏导数.
解
u exxy2 z3 (1 y2 ) ;
x
u exxy2 z3 2x y ; y
u exxy2 z3 (3z 2 ) . z
例
xy
设
f
( x,
y)


x2

y2
( x, y) (0,0)
0
( x, y) (0,0)
求 f ( x, y)的 偏 导 （ 函 ） 数.
解 当( x, y) (0,0)时,

f x ( x, y)

x
2
xy
y
2

x
视
y
为

常
量
y(
x
2 (x
y2 ) 2 y2
2x )2

xy
当( x,
y) (0,0)时，

y( y2 x2 ) (x2 y2 )2 ,
fx (0, 0)
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm
x0
f
(0 x, 0) x
f
(0, 0)
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 .
例 求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2

lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
z x
( x, y )(1,2)
例 求 z arctan x 的偏导数.
y
1
解
将 y 看成常数
y


z x
1 1 x
2


x y
x

x2
y
y2
,
y
将 x 看成常数

x y2


z y

1

1 x

2

x y
y


x2
x
y2
.
y
例 求 z x y (x 0) 的偏导数.