北理工自控实验三

实验3 根轨迹分析
一、实验目的
1. 学习和掌握利用MATLAB 绘制根轨迹图的方法。

2. 学习和掌握利用系统根轨迹图分析系统的性能。

二、实验原理
1. 根轨迹分析的 MATLAB 实现
根轨迹是指系统某一参数变化时，闭环特征根在s 平面上运动的轨迹。

在MATLAB 中，提供了用于根轨迹分析的专门函数。

1）rlocus 函数
该函数的使用方法如下：
rlocus(sys) 绘制单输入单输出LTI 系统的根轨迹图。

rlocus(sys,k) 使用用户指定的根轨迹增益k 来绘制系统的根轨迹图。

[r,k] = rlocus(sys) 返回根轨迹增益值和闭环极点值，不绘制根轨迹图 2）rlocfind 函数
该函数的使用方法如下：
[k,poles]=rlocfind(sys) 计算鼠标选取点处的根轨迹增益值和闭环极点值，可在图形窗口根轨迹图中显示出十字光标，当用户选择其中一点时，相应的增益值和极点值记录在k 和poles 中。

[k,poles]=rlocfind(sys,p) 计算最靠近给定闭环极点p 处的根轨迹增益。

3）sgrid 函数
该函数的使用方法如下：
sgrid 可在连续系统根轨迹或零极点图上绘制出栅格线，栅格线由等阻尼系数和等自然频率线构成。

sgrid(’new’) 先清除当前的图形，然后绘制出栅格线，并将坐标轴属性设置成hold on 。

sgrid(z,Wn) 指定阻尼系数z 和自然频率Wn 。

sgrid(z,Wn,’new’) 指定阻尼系数z 和自然频率Wn ，在绘制栅格线之前清除当前的图形并将坐标轴属性设置成hold on 。

三、实验内容
1. 已知系统开环传递函数为
(s 5)
(s)(s 1)(s 3)(s 12)
K G +=
+++
（1）使用MATLAB 绘制系统的根轨迹图。

（2）求根轨迹的两条分支离开实轴时的K 值，并确定该K 值对应的所有闭环极点。

（3）以区间[-40，-5]之间的值替代s = −12处的极点，重新绘制根轨迹图，观察其对根轨迹图的影响。

（1）实验代码： z=[-5];
p=[-1 -3 -12];
k=[1];
G=zpk(z,p,k); rlocus(G);
[k,poles]=rlocfind(G); 实验结果：
（2）
-14
-12-10-8-6-4-202
-30-20
-10
10
20
30
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1
)
K=3.38 P1=-2.12 P2=-12
（3）实验代码：
z=[-5];
for i=-40:1:-5 p=[-1 -3 i]; k=[1];
sys=zpk(z,p,k); rlocus(sys) hold on; end
实验结果：
随着s 的变大，根轨迹中分离点逐渐靠近s=-1,并且对于s=-5会有包围逐渐的变成不包围。

会使的根轨迹中的汇合点逐渐靠近s=-5，最后会消失，消失的同时会使对于s=-5变成不包围。

2. 已知系统开环传递函数为
2(s 8)
(s)(s 2)(s 8s 32)
K G s +=+++
（1）使用MATLAB 绘制系统的根轨迹图。

（2）计算两条分支进入右半平面和两条分支复数极点出发在实轴相交处的K 值。

（3）以区间[-20，-1]之间的值替代零点的位置，重新绘制根轨迹图，观察其对根轨迹图的影响。

（1）与（2）实验代码：
z=[-8];
p=[0,-2,-4+4*j,-4-4*j];
k=[1];
sys=zpk(z,p,k);
rlocus(sys)
实验结果：
进入右半平面的K值：K1=50.8 两条分支复数极点出发在实轴相交处K 值:K2=2.07*103
（3）实验代码：
p=[0,-2,-4+4*j,-4-4*j];
for i=-20:2:-1
z=[i];
k=[1];
sys=zpk(z,p,k);
rlocus(sys)
hold on;
end
实验结果：
随着零点的变大，使得根轨迹的汇合点逐渐的向原点靠近。

3. 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
2
(s)(s 4s 5)
K G s =
++
（1）使用MATLAB 绘制系统的根轨迹图。

（2）分析使系统稳定的K 值范围和使系统无超调的K 值范围，并通过观察系统的单位阶跃响应曲线加以验证。

（1）实验代码： num=[1];
den=[1 4 5 0]; G=tf(num,den);
rlocus(G); 实验结果：
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-4
-3
-2-10
12
3
4Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)
（2）
根轨迹进入右半平面的时候与虚轴的交点对应的K值为K=20,所以当K=20的时候，系统是临界稳定的。

所以当0<k<20的时候系统是稳定的。

根轨迹在实轴上的分离点所对应的K值是K=2。

所以当K=2的时候，系统是
x=，当0<k<=2阻尼比是大于等于1的，所以是有两个重实根，所以阻尼比1
过阻尼振荡，不会产生超调。

验证实验代码：
den=[1 4 5 0];
t=0:0.1:50;
for k1=20:5:50
num1=[k1];
G1=tf(num1,den);
sys1=feedback(G1,1);
step(sys1,t);
hold on;
end
den=[1 4 5 0];
t=0:0.1:50;
for k2=1:2:20
num2=[k2];
G2=tf(num2,den);
sys2=feedback(G2,1);
step(sys2,t);
hold on;
end
den=[1 4 5 0];
t=0:0.1:50;
for k3=0.1:0.1:1
num3=[k3];
G3=tf(num3,den); sys3=feedback(G3,1); step(sys3,t);
hold on;
end
分析：
K>19，系统不稳定
K>1，系统有超调
K<1，系统无超调
四、实验心得
在这次实验中，实验的是开环系统的特征方程的特征根随开环放大系数的变化而变化。

针对不同的开环放大系数对于系统的性能的影响。

在实验的时候对于《自动控制原理》这门理论课上的一些系统的知识不是很熟悉和理解，所以在做实验的时候就有一些犯糊涂。

尤其是对于根的理解。

对于出现共轭复根的时候是对应的什么阻尼比，这样的阻尼比会使系统的的根是怎样的。

对于分离点和汇合点，我们是可以从根轨迹上直接的找出来。

分离点和汇合点是系统的阻尼比为1，也就是系统产生震荡，处于临界稳定的状态。

所以我们在根轨迹上找出无超调的最大的开环放大系数的点。

对于系统稳定性的判断，则是需要理论上的临界稳定的知识储备。

系统的极点全部在频域的左半平面，那么系统就是稳定，那么特征方程的特征根在虚轴上，那么此时的开环放大系数就是使系统处于系统临界稳定的K值。

所以在根轨迹与虚轴的交点就是我们需要的临界状态。

并且通过对于零点和极点的位置改变来观察对于系统的根轨迹的影响。

通过图像生动形象的展示出极点和零点的影响。

通过实验，自己更好的掌握了根轨迹的画法，并且能够很好的利用根轨迹去分析系统的动态性能指标和稳定指标。

通过根轨迹去很好的理解系统，分析系统和掌握系统的特点。