功和能习题解答概要

第四章 功和能

一 选择题

1. 如图所示，A 、B 两颗卫星在同一圆形轨道上运行，其质量分别为m A = 100kg, m B = 200kg, A 的速度为v A = 7.0⨯103 m ⋅ s –1，则A 和B 的动能之比为：（ ）

A. 2:1

B. 2:1

C. 1:2

D. 1:2

解：答案是D 。 简要提示：R m R GMm R m R GMm B B B A A A

2222 v v ==， 所以v A = v B ，动能之比即为质量之比m A : m B =1:2。

2. 如图所示，足够长的木条A 置于光滑水平面上，另一木块B 在A 的粗糙平面上滑动，则A 、B 组成的系统的总动能：（ ）

A. 不变

B. 增加到一定值

C. 减少到零

D. 减小到一定值后不变

解：答案是D 。

简要提示：B 在A 的粗糙平面上滑动，摩擦力最终使B 相对于A 静止下来，摩擦力是非保守内力，根据功能原理，它做的功使系统的总动能减少。当B 相对于A 不动时，摩擦力就不再做功。

3. 一辆汽车从静止出发，在平直公路上加速前进时，若发动机功率恒定，则正确的结论为：（ ）

A. 加速度不变

B. 加速度随时间减小

C. 加速度与速度成正比

D. 速度与路径成正比

解：答案是B 。

简要提示：在平直公路上，汽车所受阻力恒定，设为f 。发动机功率恒定，

则P =F v ，其中F 为牵引力。由牛顿运动定律得v

m f F =-，即：f P/m -v v = 。所以，汽车从静止开始加速，速度增加，加速度减小。

4. 一条长为L 米的均质细链条，如图所示，一半平直放在光滑的桌面上，A

B 选择题2图 地 A B 选择题1图

另一半沿桌边自由下垂，开始时是静止的，当此链条末端滑

到桌边时（桌高大于链条的长度），其速率应为： （ ）

A ．gL

B ．gL 2

C ．gL 3

D ．gL 321 解：答案是D 。

简要提示：运动过程中机械能守恒，则以桌面为零势能点，初始时机械能为MgL 81-，其中M 为链条的质量；链条末端滑到桌边时机械能为MgL M 2

1212-v 。两者相等，得：gL 32

1=v 5. 人造卫星绕地球作圆周运动，由于受到稀薄空气的摩擦阻力，人造卫星的速度和轨道半径的变化趋势应为：（ ）

A. 速度减小，半径增大

B. 速度减小，半径减小

C. 速度增大，半径增大

D. 速度增大，半径减小

解：答案是D 。

简要提示：由于阻力做负功，根据功能原理可知系统的机械能将减少。功能原理可写成

r r

GMm m r GMm m E E E d d )21(d )(d d d 22p k +=-=+==⋅v v v r f 圆周运动动力学方程为 22r

GMm r m =v ，即r GMm m =2v 。对此式两边求微分得到 r r

GMm m d d 22-=v v 利用上式，可将功能原理表示成

r r GMm r r GMm r r GMm

d 2d d 2d 222=+-=⋅r f

还可将功能原理表示成

v v v v v v d d 2d d m m m -=-=⋅r f

因为 0d <⋅r f ，所以d r < 0，d v > 0 。即人造卫星的速度和轨道半径的变化趋势应为速度增大、半径减小。

6. 一颗卫星沿椭圆轨道绕地球旋转，若卫星在远

地点A 和近地点B 的角动量与动能分别为L A 、E k A

和L B 、E k B ，则有：（ ）

选择题4图 地球

B A

选择题6图

A. L B > L A ， E k B > E k A

B. L B > L A ， E k B = E k A

C. L B = L A ， E k B > E k A

D. L B = L A ， E k B = E k A

解：答案是C 。

简要提示：由角动量守恒，得v B > v A

二 填空题

1. 一摆长为L ，摆球质量为m 的单摆，在重力作用下摆动，摆动过程中，假设可忽略空气阻力，起初最大摆角为 0，当单摆摆经竖直位置的瞬时，摆长缩短为l ，则缩短后的单摆的最大摆角 等于__________。

解：答案是 )]cos 1(1arccos[03

3

θθ--=l L 简要提示：当摆球从最大摆角处摆到竖直位置的过程中，机械能守恒，设摆球刚到达竖直位置的速率为v ，则有 )cos 1(2

102θ-=mgL m v 在竖直位置摆长由L 缩短为l 的瞬时，摆球所受到的重力和摆线的拉力均沿竖直方向，因此摆球在此瞬间对悬挂点的角动量守恒，设摆长缩短为l 时的速率为v '，则有

v v '=ml mL

当摆球以l 为摆长摆动的过程中，机械能也是守恒的，即

)cos 1(2

12θ-='mgl m v 利用前二式，可将第三式写成

)cos 1(cos 1033

θθ-=-l L

解出最大摆角

)]cos 1(1arccos[03

3θθ--=l L 2. 质量分别为m 和M 的两个粒子开始处于静止状态，且彼此相距无限远，在以后任一时刻，当它们相距为d 时，则该时刻彼此接近的相对速率为 。

解：答案是 d

m M G )(2+ 简要提示：设质量为m 和M 的两个粒子当它们相距为d 时的速率分别为v 1和v 2，显然速度的方向相反。在它们运动过程中只受到相互间的万有引力作用，因此系统的机械能和动量均守恒。根据题意，相距无限远时系统的总能量为零。因此有

021212221=-+d

GMm M m v v 21v v M m =

从以上两式解出 )

(22

1m M d GM +=v 因此两个粒子彼此接近的相对速率为

d

m M G m M d GM M m M M m M M m )(2)(22

11121+=++=+=+=+v v v v v 3. 如图所示，一质量为m 1的托盘挂在一劲度系数为k 的轻弹

簧下端，一质量为m 2的粘土块从离盘底高h 处自由落下，假定落

在盘底不回跳，则托盘离开其平衡位置的最大距离

为 。 解：答案是])(211[22g m m kh k g m +++ 简要提示：托盘在平衡位置时轻弹簧伸长：k g m x 11= 粘土块落到盘底时的速率为：gh 20=v

设托盘和粘土块在平衡位置的速率为v ，v v )(2102m m m +=

设托盘离开平衡位置的最大距离为x 2，则由机械能守恒定律

22121221221)(2121)()(21x x k kx gx m m m m +=++++v 由以上各式联立求解，得到最大距离])(211[222g

m m kh k g m x +++= 填空题3图