股票指数几何布朗运动模拟及实证分析

现代经济信息

一、股价几何布朗运动模型及实证方法

影响股票价格变化的因素主要有股票价格随时间上涨的趋势和

股票价格的平均波动率。前者对股票价格增长的贡献取决于时间的

长短；后者只取决于布朗运动造成的随机波动。如果用s表示股票价

格，μ表示股票预期收益率，σ表示波动率，且μ、σ均为常数，t

代表时间，z为标准布朗运动，则有：

，其中，。如果，由伊

藤公式，满足。

离散化， [1]

于是 [2]

[1]式可用于模拟股票在未来某时的价格及未来价格的可能分布。

[2]式用于检验日收益率是否服从正态分布。

在股票价格呈对数正态分布的假设下，我们用股票价格的历史数

据估计股票收益对数的均值μ和波动性σ。

因为故由有 [3]

由有[4]

由[3][4]式，μ和σ的计算公式为：；

二、实例

已知上证综指(000001)2008 年11 月28 日的收盘指数S0为1871.2，

现模拟接下来244个交易日的上证综指走势。选择2008年12月1日到

2009年11月30日(一年244个交易日)的日收盘价进行估计,得指数收益

对数的均值μ为0.53512，标准差σ为0.30758。

下图为第一次随机模拟的股价走势和实际走势的对比：

实线轨迹代表上证综指的实际运动过程，虚线轨迹是模拟布朗

运动的走势。两组数据的相关系数为0.9152。一年后股指平均重复

多次模拟的均值为2489.3，标准差为457.8；实际股票价格的均值为

2645.8，标准差为461.25。

从相关系数等指标看，股价走势非常接近几何布朗运动，且股

指一年后的模拟期望回报和标准差与实际数据非常接近，这也在一定

程度说明将股价服从几何布朗运动假设作为期权定价的基础是可行

的——即用模拟出的期望回报和标准差估计实际值的代表性较好。但股

价的实际波动是否严格服从几何布朗运动？以下作进一步的严格检验。

三、正态性检验及改进

1.正态性检验

样本数据仍采用2008.12.1—2009.11.30 区间的实际日收益率(对

数收益率)。剔除无交易日，共得到日收益率数据244个，计算过程在

matlab上实现。基本统计结果如下：

由上表可见，上证综指收益分布曲线向负轴方向倾斜；收益峰度

>0,比正态分布的高峰更加陡峭。这说明存在一些大幅度偏离均值的

异常值。

此处对指标m=作Kolmogorov-Smirnov正态

性检验。将样本与标准正态分布进行对比，不符合正态分布返回1，

否则返回0。在0.05的显著性水平下，用matlab检验得：H=1，

P=0.0182。即0.05显著性水平下，我国上证综指的收益率分布不服从

正态分布。

2. Scaled-t分布拟合优度实证

黄德龙、杨晓光[1]指出，Scaled-t分布和混合正态分布能够较好地

模拟股指收益。Scaled-t分布的密度函数可以写成：

其中，Γ(.)表示伽玛函数,μ(-∞<μ<∞)是位置参数，(>0)

是离散化参数, v是自由度。如果股指收益Rt满足scaled-t分布且v>2，

则E(Rt )=μ，Var(Rt)=。

(1)参数估计(最小二乘法)

此处做如下简化：将对数收益率数据分为26组，分属于区间

(-∞，-0.060)，[-0.06，-0.055)，…，[0.06，+∞)，统计落入上述第i个

区间的数据个数v i。用每组的中间数作为组平均数，近似代表每组各

不同取值；而每个区间的数据分布频率p i=v i/244。若用组距与密度之

积近似概率值，每个取值x i就对应了一个scaled-t分布概率密度函数上

的近似密度值y i=p i/0.005。

以黄德龙，杨晓光所计算u=0.08033151193264，=1.90485855781027，

v=2.72896067775779]作为初始估计值用matlab的非线性拟合lsqcurvefit

函数进行参数估计，可得最优值为：

u=0.00536196105651408；=1.29737411045449；

v=2.00020722267159

(2)拟合优度检验

考察的统计量为V=，根据概率和频率的关系，

和越接近，拟合效果越好，V是用来刻画和接近程度的量。

计算得，正态分布下V为279.9，Scaled—T分布下V为35.903，表明

Scaled—t分布比正态分布能更好地反映股价对数收益率的变动。

四、结论

以上分析说明，尽管我国的股指走势在很多方面表现出几何布朗

运动的特征，股价的实际波动并不严格服从几何布朗运动，股价的对

数收益率表现出了尖锋、厚尾和负偏的特性。经实证检验，Scaled—t

分布比正态分布能更好地反映股价对数收益率的变动。随着融资融券

的推出、股指期货被提上议事日程，相信我国的股市在不久之后可以

变得更加成熟。

参考文献：

[1] 黄德龙,杨晓光.中国证券市场股指收益分布的实证分析[J].管理

科学学报,2008,11(1):68-77.

[2] 李洪宇,李述山,蔺香运.股票市场价格波动的实证分析[J].山东科

技大学学报( 自然科学版),2001,20(4):79-81.

[3] 冯鸣. 模拟股票价格与实证分析[J].中国科技信息,2005,24:11,19.

注：本文使用数据来源于CSMAR中国股票市场交易数据库。

股票指数几何布朗运动模拟及实证分析

高璐 西南财经大学金融学院 四川成都 611130