极值法
【高中化学】化学计算方法之极值法
【高中化学】化学计算方法之极值法
“极值法”即“极端假设法”，是用数学方法解决化学问题的常用方法，一般解答有
关混合物计算时采用。
可分别假设原混合物是某一纯净物，进行计算，确定最大值、最小值，再进行分析、讨论、得出结论。
1.常温下，向20l真空容器中通amolh2s和bmolso2（a、b都是正整数，且a≤5，
b≤5），反应完全后，容器内可能达到的最大密度约是（）
（a）25.5g•l-1（b）14.4g•l-1（c）8g•l-1（d）
5.1g•l-1
解析：本题提供的思路是运用极限法来分析求解。
因为m(so2)>m(h2s)，要达到最大
密度，必然剩余so2气体，且物质的量为最多，因此极端考虑，起始时，so2物质的量取
最大（5mol），h2s物质的量取最小（1mol），故反应后剩余so2为，密度为。
所以（b）选项为本题正确答案。
请问：本题恰当选项为（b）。
2.将一定质量的mg、zn、al混合物与足量稀h2so4反应，生成h22.8l（标准状况），原混合物的质量可能是()
a.2g
b.4g
c.8g
d.10g
解析本题给出的数据不足，故不能求出每一种金属的质量，只能确定取值范围。
三种
金属中产生等量的氢气质量最大的为锌，质量最小的为铝。
故假设金属全部为锌可求的金
属质量为8.125g，假设金属全部为铝可求的金属质量为2.25g，金属实际质量应在
2.25g～8.125g之间。
故答案为b、c。
极值法,平均值法,关系式法,差量法
化学计算之极值法与平均值法极值法就是将复杂的问题假设为处于某一个或某两个极端状态，并站在极端的角度分析问题，求出一个极值，推出未知量的值，或求出两个极值，确定未知量的范围，从而使复杂的问题简单化。
其主要应用于：（1）用极值法确定混合气体的平均相对分子质量；（2）用极值法确定物质的质量；（3）用极值法确定物质的成分；（4）用极值法确定反应中反应物、生成物的取值范围；（5）用极值法确定杂质的成分。
解题一般思路：（1）根据题目给定的条件和化学反应原理，确定不确定条件的范围；（2）计算相应条件下的最大值或最小值；（3）综合分析得出正确答案例1. 铝、锌组成的混合物和足量盐酸反应，产生氢气0.25g，则混合物的质量可能为（）A．2g B．4g C．8.5g D．10g练习：将一定质量的Mg、Zn、Al混合物与足量稀H2SO4反应，生成H2质量为0.25g，原混合物的质量可能是（）A.2 gB.4 gC.8 gD.10 g例2.在密闭容器中，7.2g碳与一定量氧气恰好完全反应，生成气体的质量可能是（）A.．8.4g B．17.8g C．26.4g D．44.0g练习：镁在空气中燃烧时，发生如下两个反应：3Mg+N2=Mg3N2，2Mg+O2=2MgO则24 g镁在空气中燃烧可得产物的质量为（) A．等于33.3 g B．等于40 g C．33.3 g～40 g D．小于33.3 g或大于40 g例3.某混合物含有KCl、NaCl和Na2CO3，经分析含钠31.5％，含氯27.08％（以上均为质量分数），则混合物中Na2CO3的质量分数为（）A 25％B 50％C 80％D 无法确定练习：在一定温度下，某气体中可能含有SO3、SO2、O2中的两种或三种。
则该混合气体中硫元素的质量分数不可能是（）（A）50％（B）40％（C）25％（D）70％平均值法：混合物的平均式量、元素的质量分数、生成的某指定物质的量总是介于组分的相应量的最大值M2与最小值M1之间，表达式为M1 < M < M2，已知其中两个量，可以确定另一个量的方法，称为平均值法。
初中化学极值法
初中化学中的极值法是一种实验方法，用于确定某个化学物质的极值，即其最大或最小值。
这种方法通常涉及定量测量和数据分析。
在进行极值法实验时，以下是一般的步骤：
实验准备：准备实验所需的化学物质和仪器设备，并确保实验环境安全。
样品制备：根据实验的具体要求，制备出需要测量极值的样品。
这可能涉及到配制溶液、制备反应物等。
变量调整：在实验过程中，调整影响极值的相关变量，如浓度、温度、pH值等。
根据实验目的，逐步调整这些变量，以获得极值点。
数据记录：在每个调整变量的步骤中，记录所测得的相关数据。
这可能包括浓度的测量、反应速率的测量、溶解度的测定等。
数据分析：根据记录的数据，进行数据分析和处理。
可以使用数学方法或绘制曲线图来确定极值点的位置。
结论和讨论：根据数据分析的结果，得出关于极值的结论，并进行进一步的讨论和解释。
请注意，具体的极值法实验会因实验目的和化学物质的不同而有所差异。
在进行实验之前，应详细了解实验的具体要求和步骤，并遵循实验室安全规范。
高考物理中数学方法
处理物理问题的数学方法一、极值法1、 利用二次函数求极值：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a(其中a 、b 、c 为实常数)，当x ＝－b2a 时，有极值y m ＝4ac －b 24a (若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)．2、 利用三角函数求极值：y ＝a cos θ＋b sin θ＝a 2＋b 2(a a 2＋b 2cos θ＋ba 2＋b 2sin θ) 令sin φ＝a a 2＋b 2，cos φ＝ba 2＋b 2则有：y ＝a 2＋b 2(sin φcos θ＋cos φsin θ)＝a 2＋b 2sin (φ＋θ)3、 利用均值不等式求极值：对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝b 时，其积ab 取得极大值 p 24例题：[2013山东理综 22（15分）]如图所示，一质量m =0.4kg 的小物块，以v 0=2m/s 的初速度，在与斜面成某的角度的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t =2s 的时间物块由A 点运动到B 点，AB 两点间的距离L ＝10m.已知斜面倾角30=θ，物块与斜面之间的动摩擦因数33=μ，重力加速度g 取10m/s 2. （1）求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小。
（2）拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？ 答：（1）物块加速度的大小为3m/s 2，到达B 点的速度为8m/s ； （2）拉力F 与斜面的夹角30°时，拉力F 最小，最小值是N 53 13=F min解析：（1）物体做匀加速直线运动，根据运动学公式，有：221at L =①， v=at ②联立解得； a=3m/s 2，v=8m/s （2）对物体受力分析 根据牛顿第二定律，有：水平方向：Fcosα-mgsinα-F f =ma 竖直方向：Fsinα+F N -mgcosα=0 其中：F f =μF N 联立解得：α)+sin(60 3 32ma +μcosα)+mg(sin α= sin cos ma +μcosα)+mg(sin α=F ︒+αμα故当α=30°时，拉力F 有最小值，为N 53 13=F min ； 二、几何法利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上常见的几何关系：1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径．2．依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)确定．如图1所示．图1由勾股定理得：R 2＝(R －CE )2＋EB 2解得：R ＝EB 22CE ＋CE2．例题：[2014山东理综 24（20分）]如图-2甲所示，间距为、垂直于纸面的两平行板间存在匀强磁场。
化学中的极值法原理是什么
化学中的极值法原理是什么化学中的极值法原理是一种分析化学方法，通过测定反应或化合物在特定条件下的极值（如极大值或极小值），来确定物质的含量或者性质。
极值法主要应用于定量分析和质量分析中。
在定量分析中，极值法可用于确定化合物的含量，而在质量分析中，极值法可用于确定物质的性质，如酸碱性、氢离子浓度等。
极值法的原理基于反应的平衡和特定条件下的极值原理。
在反应中，化合物或反应物的浓度和反应条件之间存在一种关系，当浓度或条件发生变化时，反应达到平衡时产生的极值也发生相应的变化。
通过测定反应物浓度或反应条件下的极值，可以推断出化合物的含量或物质的性质。
极值法可以用于测定化学反应中的平衡常数。
平衡常数是表征反应物浓度之间的比例关系的物理量，可以通过测定不同浓度下反应物的极值来确定。
例如，对于酸碱反应，通过测定酸碱溶液的电导率、电动势或酸碱指示剂的颜色变化，可以确定酸碱溶液的酸碱度，进而推导出平衡常数。
极值法还可以用于测定化合物的含量。
一种常见的极值法是滴定法，通过逐渐加入一种已知浓度的试剂，直到出现颜色或物理性质发生突变的现象，以确定反应物的含量。
滴定法的原理基于反应物和试剂之间的化学反应，在反应达到临界点时出现显著的极值。
此外，极值法还可以用于测定物质的性质。
例如，通过测定溶液的电导率、氢离子浓度或溶液的颜色变化，可以确定溶液的酸碱性；通过测定溶液的折射率和浓度之间的关系，可以推测出溶质的摩尔折射率，从而确定溶质的性质。
总之，化学中的极值法原理是通过测定反应或化合物在特定条件下的极值（如极大值或极小值），来确定物质的含量或者性质。
基于反应的平衡和特定条件下的极值原理，极值法在化学分析中起着重要的作用，为定量分析和质量分析提供了一种有效的手段。
高中化学极值法
【典题示范1】在含有ag HNO3的稀硝酸溶液中,加入bg铁粉充
分反应,铁全部溶解并生成NO,有 a g HNO3被还原,则a∶b不可
4
能为 ( )
A.2∶1
B.3∶1
C.4∶1
D.9∶2
【分析】Fe与HNO3反应时,根据铁的用量不同,反应可分为两 种极端情况。
(1)若Fe过量,发生反应:
3Fe+8HNO3(稀)====3Fe(NO3)2+2NO↑+4H2O
假设CO全部转化,则生成CO2为1 mol,此时CO2的体积分数为1 mo ÷3 mol×100%≈33.3% 因反应是可逆的,实际的CO2的体积分数必处于上述两个极端值之 间,故应选B。
【针对演练】
1.(确定物质的成分)某碱金属单质与其普通氧化物的混合物共
1.40 g,与足量水完全反应后生成1.79 g碱,此碱金属可能是
2MR+16
18
1.40 g (1.79-1.40)g
(2MR+16)∶1.40 g=18∶(1.79-1.40)g MR≈24.3
既然1.40 g物质是R和R2O的混合物,则R的相对原子质量应介 于24.3～61之间。题中已指明R是碱金属,相对原子质量介于 24.3～61之间的碱金属只有钾,其相对原子质量为39。
根据CO→CO2→CaCO3知,混合物中含氧原子的物质的量为n(O)
=0.04 mol。
(1)若固体为二氧化铅,则二氧化铅的物质的量为0.02 mol,产
生氯气体积为448 mL。
(2)若固体为四氧化三铅,则四氧化三铅的物质的量为0.01 mol, 产生氯气体积为224 mL。 根据平均值原理,224 mL<V(Cl2)<448 mL。
物理解题方法2--极值法
七、用图象法求极值
通过分析物理过程中遵循的物理规律，找到变量间 的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。
[例8]两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一匀速行驶， 速度均为V0，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停止 时，后车以前车刹车时的加速度开时刹车，已知前车在刹 车过程中行驶距离为S。在上述过程中要使两车不相撞， 则两车在匀速运动时，报持的距离至少应为：（ ）
（A）S （B）2S （C）3C （D）4S
小结：
“忘”掉具体题文；升华、归纳、牢记其思维方法。
思考题：根据你见过的题目，给上述七类型各补上 1----3道题，以增强对极值法的理解。
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
为多大？
三、分析物理过程求极值
有些问题可直接通过分析题中的物理过程及相应的 物理规律，找出极值出现时的隐含条件，从而求解。
[例4]如图，轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、B上， 质量为M的物体悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮距离相等，在轻 绳两端C、D分别施加竖直向下的拉力F=mg,先拉住物体,使绳处于 水平拉直状态,静止释放物体,在物体下落过程中,保持C、D两端拉 力F不变,求物体下落的最大速度和最大距离
物理解题方法2--极值法
一、利用配方法求极值 将所求物理量表达式化为 “y=(x-a)2+b” 的形式，从而可得出：当x=a时，y有极值b。 （二次函数求极值法）
［例１］ 一矩形线框abcd周长为L,其中通 有电流Ｉ，将它置于一匀强磁场Ｂ中，且ab 边与磁感线方向平行，该线框所受磁力矩最 大可为多少？
二、利用三角函数法求极值 如果所求物理量表达式中含有三角函数， 可利用三角函数求极值。 1．若所求物理量表达式可化为“y=A sinθ cosθ”形式（即y= sin2θ）,则在θ=45o时，y有极 值A/2。
专题极值法-高中物理八大解题方法含解析
高中物理解题方法之极值法高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。
本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。
一、 二次函数求极值二次函数a ac b a b x a c bx ax y 44)2(222--+=++=，当ab x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。
例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。
设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。
第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。
碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。
假使这四个速度都在一条直线上。
根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。
碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+vm v m v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。
回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。
高考复习专题四—求极值的六种方法(解析版)
微讲座(四)——求极值的六种方法从近几年高考物理试题来看，考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐．下面介绍极值问题的六种求解方法．一、临界条件法对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组求解，这是高中物理中最常用的方法．某高速公路同一直线车道上有同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v 1＝30 m/s ，v 2＝10 m/s ，轿车在与货车距离x 0＝25 m 时才发现前方有货车，此时轿车只是立即刹车，两车可视为质点．试通过计算分析回答下列问题：(1)若轿车刹车时货车以v 2匀速行驶，要使两车不相撞，轿车刹车的加速度大小至少为多少？(2)若该轿车刹车的最大加速度为a 1＝6 m/s 2，轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t 0＝2 s 收到信号并立即以加速度大小a 2＝2 m/s 2加速前进，两车会不会相撞？[解析] (1)两车恰好不相撞的条件是轿车追上货车时两车速度相等，即 v 1－at 1＝v 2①v 1t 1－12at 21＝v 2t 1＋x 0②联立①②代入数据解得：a ＝8 m/s 2. (2)假设经过时间t 后，两车的速度相等 即v 1－a 1t ＝v 2＋a 2(t －t 0)此时轿车前进的距离x 1＝v 1t －12a 1t 2货车前进的距离x 2＝v 2t 0＋v 2(t －t 0)＋12a 2(t －t 0)2代入数据解得：x 1＝63 m ，x 2＝31 m 因为：x 1－x 2＝32 m>x 0，两车会相撞． [答案] (1)8 m/s 2 (2)会相撞 二、二次函数极值法 对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a ＞0时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a，当a ＜0时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a.也可以采取配方法求解．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s 2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v 自＝6 m/s 的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？[解析] 设汽车在追上自行车之前经过时间t 两车相距最远，则 自行车的位移：x 自＝v 自t汽车的位移：x 汽＝12at 2则t 时刻两车的距离Δx ＝v 自t －12at 2代入数据得：Δx ＝－32t 2＋6t当t ＝－62×⎝⎛⎭⎫－32 s ＝2 s 时，Δx 有最大值Δx max ＝0－624×⎝⎛⎭⎫－32 m ＝6 m对Δx ＝－32t 2＋6t 也可以用配方法求解：Δx ＝6－32(t －2)2显然，当t ＝2 s 时，Δx 最大为6 m. (说明：此题也可用临界法求解) [答案] 见解析 三、三角函数法某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2.(1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？[解析] (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得：L ＝v 0t ＋12at 2①v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据解得：a ＝3 m/s 2，v ＝8 m/s.(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面之间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得：F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ③F sin α＋F N －mg cos θ＝0④ 又F f ＝μF N ⑤联立③④⑤解得：F ＝mg （sin θ＋μcos θ）＋macos α＋μsin α⑥由数学知识得：cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑦ 由⑥⑦式可知对应的F 最小值与斜面的夹角α＝30°⑧ 联立⑥⑧式，代入数据得F 的最小值为：F min ＝1335N. [答案] (1)3 m/s 2 8 m/s(2)夹角为30°时，拉力最小，为1335N四、图解法此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．质量为m 的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，用图解法求维持物体做匀速运动的最小拉力．[解析] 由F fF N ＝μ知，不论F f 、F N 为何值，其比值恒定由图知F fF N＝μ＝tan α，即F ′的方向是确定的．由平衡条件推论可知：mg 、F ′、F 构成闭合三角形．显然，当F ⊥F ′时，F 最小．F min ＝mg sin α＝mg tan α1＋tan 2 α＝μmg1＋μ2.(说明：此题也可用三角函数法求解．) 物体受力分析如图． 由平衡条件得：F ·cos θ＝F f ①F ·sin θ＋F N ＝mg ② 又F f ＝μF N ③联立①②③得：F ＝μmgcos θ＋μsin θ令sin α＝11＋μ2，cos α＝μ1＋μ2 则F ＝μmg1＋μ2 sin （α＋θ）当sin(α＋θ)＝1时，F min ＝μmg1＋μ2.[答案] μmg1＋μ2五、均值不等式法任意两个正整数a 、b ，若a ＋b ＝恒量，当a ＝b 时，其乘积a ·b 最大；若a ·b ＝恒量，当a ＝b 时，其和a ＋b 最小．在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中．设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节(取g ＝10 m/s 2)．(1)求运动员到达B 点的速度与高度h 的关系．(2)运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离x max 为多少？(3)若图中H ＝4 m ，L ＝5 m ，动摩擦因数μ＝0.2，则水平运动距离要达到7 m ，h 值应为多少？[解析] (1)设斜面长度为L 1，斜面倾角为α，根据动能定理得mg (H －h )－μmgL 1cos α＝12m v 20①即mg (H －h )＝μmgL ＋12m v 20②v 0＝2g （H －h －μL ）.③ (2)根据平抛运动公式 x ＝v 0t ④ h ＝12gt 2⑤ 由③④⑤式得x ＝2（H －μL －h ）h ⑥由⑥式可得，当h ＝12(H －μL )时水平距离最大x max ＝L ＋H －μL .(3)在⑥式中令x ＝2 m ，H ＝4 m ，L ＝5 m ，μ＝0.2 则可得到－h 2＋3 h －1＝0 求得h 1＝3＋52m ＝2.62 m ；h 2＝3－52m ＝0.38 m.[答案] 见解析 六、判别式法一元二次方程的判别式Δ＝b 2－4ac ≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．(原创题)如图所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B ，现有质量为m ，带电量为－q 的小球，沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径．[解析] 小球受力如图，设小球做圆周运动的速率为v ，轨道半径为R . 由牛顿第二定律得：水平方向：q v B －F N cos θ＝m v 2R竖直方向：F N sin θ－mg ＝0 两式联立得：m v 2R－q v B ＋mg cot θ＝0 因为速率v 为实数，故Δ≥0 即(qB )2－4⎝⎛⎭⎫m R mg cot θ≥0 解得：R ≥4m 2g cot θq 2B 2故最小半径为：R min ＝4m 2g cot θq 2B 2.[答案] 4m 2g cot θq 2B 21.(单选)(2016·广州模拟)如图所示，船在A 处开出后沿直线AB 到达对岸，若AB 与河岸成37°角，水流速度为4 m/s ，则船从A 点开出的最小速度为( )A ．2 m/sB ．2.4 m/sC ．3 m/sD ．3.5 m/s 解析：选B.AB 方向为合速度方向，由图可知，当v 船⊥AB 时最小，即v 船＝v 水·sin 37°＝2.4 m/s ，B 正确．2．(单选)如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处放置一光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC 所成角度为α，一小物块自A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为( )A ．α＝θB ．α＝θ2C ．α＝θ3D ．α＝2θ解析：选B.如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切于D 点．由等时圆知识可知，由A 沿木板滑到D 所用时间比由A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝θ2.3．(2016·宝鸡检测)如图所示，质量为m 的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F 的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)这一临界角θ0的大小．解析：(1)斜面倾角为30°时，物体恰能匀速下滑，满足 mg sin 30°＝μmg cos 30° 解得μ＝33.(2)设斜面倾角为α，受力情况如图，由匀速直线运动的条件： F cos α＝mg sin α＋F f F N ＝mg cos α＋F sin α F f ＝μF N解得：F ＝mg sin α＋μmg cos αcos α－μsin α当cos α－μsin α＝0，即cot α＝μ时，F →∞ 即“不论水平恒力F 多大”，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角θ0＝α＝60°. 答案：(1)33(2)60°4．如图所示，质量为m ＝0.1 kg 的小球C 和两根细绳相连，两绳分别固定在细杆的A 、B 两点，其中AC 绳长l A ＝2 m ，当两绳都拉直时，AC 、BC 两绳和细杆的夹角分别为θ1＝30°、θ2＝45°，g ＝10 m/s 2.问：细杆转动的角速度大小在什么范围内，AC 、BC 两绳始终张紧？解析：设两细绳都拉直时，AC 、BC 绳的拉力分别为F TA 、F TB ，由牛顿第二定律可知： 当BC 绳中恰无拉力时，F T A sin θ1＝mω21l A sin θ1① F TA cos θ1＝mg ②由①②解得ω1＝1033rad/s. 当AC 绳中恰无拉力时，F TB sin θ2＝mω22l A sin θ1③ F TB cos θ2＝mg ④ 由③④解得ω2＝10 rad/s.所以，两绳始终有张力时细杆转动的角速度的范围是 1033rad/s ＜ω＜10 rad/s. 答案： 1033rad/s ＜ω＜10 rad/s 5.(原创题)一人在距公路垂直距离为h 的B 点(垂足为A )，公路上有一辆以速度v 1匀速行驶的汽车向A 点行驶，当汽车距A 点距离为L 时，人立即匀速跑向公路拦截汽车，求人能拦截住汽车的最小速度．解析：法一：设人以速度v 2沿图示方向恰好在C 点拦住汽车，用时为t .则L ＋h tan α＝v 1t ① hcos α＝v 2t ② 联立①②两式得：v 2＝h v 1L cos α＋h sin α＝h v 1L 2＋h 2⎝ ⎛⎭⎪⎫L L 2＋h 2cos α＋h L 2＋h 2sin α由数学知识知：v 2min ＝h v 1L 2＋h 2 .法二：选取汽车为参照物．人正对汽车运动即可拦住汽车，即人的合速度方向指向汽车．其中一分速度大小为v 1，另一分速度为v 2，当v 2与合速度v 垂直时，v 2最小，由相似三角形知识可得：v 2v 1＝h L 2＋h2 v 2＝h v 1L 2＋h 2 .答案：h v 1L 2＋h 26．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34d ，重力加速度为g .忽略手的运动半径和空气阻力．(1)求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小v 2. (2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？解析：(1)设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有竖直方向14d ＝12gt 2，水平方向d ＝v 1t解得v 1＝2gd .由机械能守恒定律有12m v 22＝12m v 21＋mg ⎝⎛⎭⎫d －34d 得v 2＝52gd . (2)设绳能承受的最大拉力大小为F T ，这也是球受到绳的最大拉力大小，即球运动到最低点时球所受到的拉力．球做圆周运动的半径为R ＝34d由圆周运动向心力公式，有F T －mg ＝m v 21R得F T ＝113mg .(3)设绳长为l ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，有F T －mg ＝m v 23l 得v 3＝83gl 绳断后球做平抛运动，竖直位移为d －l ，水平位移为x ，时间为t 1，竖直方向有d －l ＝12gt 21，水平方向x ＝v 3t 1 得x ＝4l （d －l ）3当l ＝d 2时，x 有最大值，x max ＝233d .答案：见解析 7．(原创题)如图所示，电动势为E 、内阻为r 的电源给一可变电阻供电，已知可变电阻变化范围为0～R m ，且R m >r .当R 为何值时功率最大，最大功率为多少？解析：设可变电阻为R ，则I ＝ER ＋rP ＝I 2R ＝E 2（R ＋r ）2·R ①法一：(配方法)P ＝E 2（R －r ）2R ＋4r显然，当R ＝r 时，功率最大，P max ＝E 24r.法二：(判别式法)将①式整理成关于R 的二次方程 PR 2＋(2Pr －E 2)R ＋Pr 2＝0 由于R 为实数，故Δ≥0 即(2Pr －E 2)2－4P 2r 2≥0 解得：P ≤E 24r最大值为P max ＝E 24r ，代入①式得R ＝r .答案：见解析 8.质量分别为M 、m 的斜面体A 、B 叠放在光滑水平面上，斜面体倾角为α，两者之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan α)，今用水平外力F 推B ，使两者不发生滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求F 的取值范围．(已知：m ＝3 kg ，M ＝8 kg ，μ＝0.5，α＝37°.)解析：B 恰好不向下滑动时，所需F 最小，此时B 受到最大静摩擦力沿斜面向上．如图甲所示．设两者共同的加速度为a 1，对整体有： F min ＝(M ＋m )a 1 对B 有：F min ＋F f1cos α－F N1sin α＝ma 1 F f1sin α＋F N1cos α＝mg F f1＝μ·F N1联立以上各式解得：F min ＝m （M ＋m ）（sin α－μcos α）M （cos α＋μsin α）g ＝7.5 N甲乙B恰好不上滑时所需F最大，此时B受最大静摩擦力沿斜面向下．如图乙所示．设共同加速度为a2，对整体有：F max＝(M＋m)a2对B有：F max－F f2cos α－F N2sin α＝ma2F N2cos α＝mg＋F f2sin αF f2＝μF N2联立以上各式解得：F max＝m（M＋m）（sin α＋μcos α）M（cos α－μsin α）g＝82.5 N故取值范围为7.5 N≤F≤82.5 N.答案：7.5 N≤F≤82.5 N。
高中物理-求极值的六种方法
高中物理-求极值的六种方法一、临界条件法对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组求解，这是高中物理中最常用的方法．(2014·高考安徽卷)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s2.则ω的最大值是( )A. 5 rad/sB. 3 rad/s C ．1.0 rad/s D ．0.5 rad/s[解析] 当物体转到最低点时，恰好不滑动的临界条件为：物体受到静摩擦力达到最大值，即F f ＝F fm ，此时转盘的角速度最大，受力如图所示(其中O 为对称轴位置)．由沿斜面的合力提供向心力，有F fm －mg sin 30°＝mω2R由题意知：F fm ＝F f ＝μmg cos 30° 解得：ω＝g4R＝1.0 rad/s ，C 正确． [答案] C二、二次函数极值法 对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a >0时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a ，当a <0时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a.也可以采取配方法求解．(2016·临沂模拟)如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m ＝0.5 kg 的小物块，它与水平台阶表面的动摩擦因数μ＝0.5，且与台阶边缘O 点的距离s ＝5 m ．在台阶右侧固定了一个1/4圆弧挡板，圆弧半径R ＝1 m ，圆弧的圆心也在O 点．今以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系，现用F ＝5 N 的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板．(1)若小物块恰能击中挡板上的P 点(OP 与水平方向的夹角为37°)，求其离开O 点时的速度大小；(2)为使小物块击中挡板，求拉力F 作用的最短时间；(3)改变拉力F 的作用时间，使小物块击中挡板的不同位置，求击中挡板时小物块动能的最小值． [解析] (1)小物块从O 点运动到P 点，做平抛运动 水平方向：R cos 37°＝v 0t ，竖直方向：R sin 37°＝12gt 2解得：v 0＝433 m/s.(2)为使小物块击中挡板，小物块必须能运动到O 点 小物块在水平台阶表面上运动，由动能定理得：Fx 0－μmgs ＝ΔE k ＝0， 解得：x 0＝2.5 m由牛顿第二定律得：F －μmg ＝ma ，解得：a ＝5 m/s 2 由运动学公式得：x 0＝12at 2，解得：t ＝1 s.(3)设小物块击中挡板任意点的坐标为(x ，y )，则 x ＝vt ，y ＝12gt 2再由动能定理得：mgy ＝E k －12mv 2又1/4圆弧挡板方程为：x 2＋y 2＝R 2 化简得：E k ＝mgR 24y ＋3mgy4当mgR 24y ＝3mgy 4，即y ＝33R 时，动能E k 取最小值，E kmin ＝523 J. [答案] (1)43 3 m/s (2)1 s (3)52 3 J三、三角函数法某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值．如图甲所示，一物体以一定的速度v 0沿足够长斜面向上运动，此物体在斜面上的最大位移与斜面倾角的关系如图乙中的曲线所示．运动过程中物体的动摩擦因数不变，g ＝10m/s 2.(1)求物体的初速度大小和物体与斜面之间的动摩擦因数；(2)若物体的质量为m ，初速度大小为v ，当斜面倾角为α时，物体上滑位移为s ，求物体上滑过程中克服摩擦力做的功；(3)θ为多大时，x 值最小，最小值为多少？[解析] (1)当斜面倾角θ为90°时，物体做竖直上抛运动，v 20＝2gh ，由题图乙可知，上升的最大位移h ＝54 m解得：v 0＝5 m/s ①当斜面倾角θ为0°时，物体沿水平面运动，运动的位移x 0＝54 3 m ，则物体运动中必受到摩擦阻力的作用，设动摩擦因数为μ，此时摩擦力大小为f ＝μmg由牛顿第二定律得，f ＝ma 加速度大小为a ＝μg ②对物体在水平面的运动，由运动学方程：v 20＝2ax 0③ 联立①②③，解得：μ＝33. (2)当斜面倾角为α时，设物体上滑过程中克服摩擦力做的功为W f ，由动能定理得， －mgs sin α－W f ＝0－12mv 2解得：W f ＝12mv 2－mgs sin α.(3)对于斜面倾角θ为任意一角度，利用动能定理可得 －mgx sin θ－μmgx cos θ＝0－12mv 20.解得：x ＝v 202g (sin θ＋μcos θ)＝h sin θ＋μcos θ.设μ＝tan φ，上式可化为：x ＝h1＋μ2sin(θ＋φ)当θ＝90°－φ＝90°－arctan 33＝60°时，x 为最小值 最小值：x ＝h 1＋μ2＝32h ＝1.08 m. [答案] (1)5 m/s 33 (2)12mv 2－mgs sin α (3)60° 1.08 m四、图解法此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题、运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．质量为m 的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，用图解法求维持物体做匀速运动的最小拉力．[解析] 由F fF N ＝μ知，不论F f 、F N 为何值，其比值恒定由图知F fF N＝μ＝tan α，即F ′的方向是确定的．由平衡条件推论可知：mg 、F ′、F 构成闭合三角形． 显然，当F ⊥F ′时，F 最小．F min ＝mg sin α＝mg tan α1＋tan 2 α＝μmg 1＋μ2.(说明：此题也可用三角函数法求解．)物体受力分析如图． 由平衡条件得： F ·cos θ＝F f ① F ·sin θ＋F N ＝mg ② 又F f ＝μF N ③联立①②③得：F ＝μmgcos θ＋μsin θ令sin α＝11＋μ2，cos α＝μ1＋μ2 则F ＝μmg1＋μ2 sin(α＋θ)当sin(α＋θ)＝1时，F min ＝μmg1＋μ2.[答案] μmg1＋μ2 五、均值不等式法任意两个正整数a 、b ，若a ＋b ＝恒量，当a ＝b 时，其乘积 a ·b 最大；若a ·b ＝恒量，当a ＝b 时，其和a＋b 最小．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34d ，重力加速度为g .忽略手的运动半径和空气阻力． (1)求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小v 2；(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？[解析] (1)设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有竖直方向14d ＝12gt 2，水平方向d ＝v 1t解得v 1＝2gd由机械能守恒定律有12mv 22＝12mv 21＋mg ⎝⎛⎭⎫d －34d 得v 2＝52gd . (2)设绳能承受的最大拉力大小为F T ，这也是球受到绳的最大拉力大小 球做圆周运动的半径为R ＝34d由圆周运动向心力公式，有F T －mg ＝mv 21R得F T ＝113mg .(3)设绳长为l ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，有F T －mg ＝m v 23l 得v 3＝83gl 绳断后球做平抛运动，竖直位移为d －l ，水平位移为x ，时间为t 1有d －l ＝12gt 21，x ＝v 3t 1得x ＝4l (d －l )3当l＝d 2时，x 有最大值，x max ＝233 d.[答案] 见解析六、判别式法一元二次方程的判别式Δ＝b 2－4ac ≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．(原创题)如图所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B ，现有质量为m 、带电量为－q 的小球，沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径．[解析] 小球受力如图，设小球做圆周运动的速率为v ，轨道半径为R . 由牛顿第二定律得：水平方向：qvB －F N cos θ＝mv 2R竖直方向：F N sin θ－mg ＝0 两式联立得： mv 2R－qvB ＋mg cot θ＝0 因为速率v 为实数，故Δ≥0 即(qB )2－4⎝⎛⎭⎫m R mg cot θ≥0 解得：R ≥4m 2g cot θq 2B 2故最小半径为：R min ＝4m 2g cot θq 2B 2.[答案] 4m 2g cot θq 2B 21.(2016·广州模拟)如图所示，船在A 处开出后沿直线AB 到达对岸，若AB 与河岸成37°角，水流速度为4 m/s ，则船从A 点开出的最小速度为( )A ．2 m/sB ．2.4 m/sC ．3 m/sD ．3.5 m/s解析：选B.AB 方向为合速度方向，由图可知，当v 船⊥AB 时最小，即v 船＝v 水·sin 37°＝2.4 m/s ，B 正确．2．(原创题)如图，有几个底边长度均为L 、倾角不同的光滑斜面，将一物体从斜面顶端由静止释放滑到底端，当倾角α为多少时用时最短？最短时间为多少？解析：斜面长度为s ＝Lcos α.物体的加速度为a ＝g sin α. 由s ＝12at 2得：t ＝2Lg sin αcos α＝4Lg sin 2α当α＝45°时，t 最小， t min ＝2L g. 答案：45° 2L g3.一质量为m 的小球在光滑的水平面上以速度v 0匀速运动，从t ＝0时刻开始小球受到恒力F 作用，F 与v 0之间的夹角如图所示．求：(1)小球速度的最小值；(2)小球速度最小时的位移的大小．解析：(1)如图，将v 0分解为平行于F 方向的v 0sin θ和垂直于F 方向的v 0cos θ，因小球在垂直于F 方向的速度不变，当平行于F 方向的分速度为0时v 最小，则v min ＝v 0cos θ.(2)小球从t ＝0时刻到速度达到最小值的过程可看做初速度为v 0cos θ的反方向的类平抛运动过程，则小球的加速度大小为a ＝Fm所用时间t ＝v 0sin θa小球在垂直于F 方向的位移为x ＝v 0cos θ·t 平行于F 方向的位移为y ＝12at 2故总位移为l ＝x 2＋y 2解得l ＝mv 20sin θ3cos 2θ＋12F.答案：见解析4.(原创题)一人在距公路垂直距离为h 的B 点(垂足为A )，公路上有一辆以速度v 1匀速行驶的汽车向A 点行驶，当汽车距A 点距离为L 时，人立即匀速跑向公路拦截汽车，求人能拦截住汽车的最小速度．解析：法一：设人以速度v 2沿图示方向恰好在C 点拦住汽车，用时为t .则L ＋h tan α＝v 1t ① hcos α＝v 2t ② 整理得：v 2＝hv 1L cos α＋h sin α＝hv 1L 2＋h 2⎝ ⎛⎭⎪⎫L L 2＋h 2cos α＋h L 2＋h 2sin α由数学知识知：v 2min ＝hv 1L 2＋h 2. 法二：选取汽车为参照物．人正对汽车运动即可拦住汽车，即人的合速度方向指向汽车．其中一分速度大小为v 1，另一分速度为v 2，当v 2与合速度v 垂直时，v 2最小，由相似三角形知识可得： v 2v 1＝hL 2＋h 2 v 2＝hv 1L 2＋h 2. 答案：hv 1L 2＋h 25．甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L 1＝11 m 处，乙车速度v 乙＝60 m/s ，甲车速度v 甲＝50 m/s ，此时乙车离终点线尚有L 2＝600 m ，如图所示．若甲车加速运动，加速度a ＝2 m/s 2，乙车速度不变，不计车长．求：(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？ (2)到达终点时甲车能否超过乙车？解析：(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大， 即v 甲＋at 1＝v 乙，得t 1＝v 乙－v 甲a ＝60－502 s ＝5 s甲车位移x 甲＝v 甲t 1＋12at 21＝275 m乙车位移x 乙＝v 乙t 1＝60×5 m ＝300 m 此时两车间距离Δx ＝x 乙＋L 1－x 甲＝36 m. (2)甲车追上乙车时，位移关系x ′甲＝x ′乙＋L 1 甲车位移x ′甲＝v 甲t 2＋12at 22，乙车位移x ′乙＝v 乙t 2，将x ′甲、x ′乙代入位移关系， 得v 甲t 2＋12at 22＝v 乙t 2＋L 1，代入数值并整理得t 22－10t 2－11＝0， 解得t 2＝－1 s(舍去)或t 2＝11 s ， 此时乙车位移x ′乙＝v 乙t 2＝660 m ＞L 2 故到达终点时甲车不能超过乙车． 答案：见解析6．(原创题)如图所示，电动势为E 、内阻为r 的电源给一可变电阻供电，已知可变电阻变化范围为0～R m ，且R m >r .当R 为何值时功率最大，最大功率为多少？解析：设可变电阻为R ， 则I ＝ER ＋rP ＝I 2R ＝E 2(R ＋r )2·R ① 配方法：P ＝E 2(R －r )2R＋4r显然，当R ＝r 时，功率最大，P max ＝E 24r .判别式法：将①式整理成关于R 的二次方程 PR 2＋(2Pr －E 2)R ＋Pr 2＝0 由于R 为实数，故Δ≥0 即(2Pr －E 2)2－4P 2r 2≥0 解得：P ≤E 24r最大值为P max ＝E 24r，代入①式得R ＝r .答案：见解析7.质量分别为M 、m 的斜面体A 、B 叠放在光滑水平面上，斜面体倾角为α，两者之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan α)，今用水平外力F 推B ，使两者不发生滑动，求F 的取值范围，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．(已知：m ＝3 kg ，M ＝8 kg ，μ＝0.5，α＝37°)解析：B 恰好不向下滑动时，所需F 最小，此时B 受到最大静摩擦力沿斜面向上．如图甲所示． 设两者共同的加速度为a 1，对整体有： F min ＝(M ＋m )a 1① 对B 有：⎩⎪⎨⎪⎧F min ＋F f1cos α－F N1sin α＝ma 1F f1sin α＋F N1cos α＝mg F f1＝μ·F N1②③④联立解得： F min ＝m (M ＋m )(sin α－μcos α)M (cos α＋μsin α)g ＝7.5 NB 恰好不上滑时所需F 最大，此时B 受最大静摩擦力沿斜面向下．如图乙所示． 设共同加速度为a 2，对整体有： F max ＝(M ＋m )a 2⑤ 对B 有：⎩⎪⎨⎪⎧F max －F f2cos α－F N2sin α＝ma 2F N2cos α＝mg ＋F f2sin αF f2＝μF N2⑥⑦⑧ 联立解得： F max ＝m (M ＋m )(sin α＋μcos α)M (cos α－μsin α)g ＝82.5 N故取值范围为7.5 N ≤F ≤82.5 N. 答案：7.5 N ≤F ≤82.5 N。
极值的判定方法详解
极值的判定方法详解极值在数学中是一个重要的概念，它指的是函数在某一点上取得的最大值或最小值。
在求解数学问题或优化实际情况时，常常需要确定函数的极值点。
本文将详细介绍极值的判定方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、极值的定义在数学中，函数在某一点上取得的最大值或最小值称为极值。
极值分为最大值和最小值两种情况。
最大值是指函数在该点附近的函数值都不大于该点的函数值，最小值则相反，即函数在该点附近的函数值都不小于该点的函数值。
二、极值的判定方法1. 导数法导数法是判定函数极值最常用的方法之一。
具体步骤如下：（1）求函数的导数；（2）令导数等于零，解方程得到临界点；（3）将临界点代入原函数，求得对应的函数值；（4）比较临界点处的函数值和相邻点处的函数值，确定极值点。
2. 二阶导数法二阶导数法是判定函数极值的另一种方法，通过函数的二阶导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：（1）求函数的一阶导数和二阶导数；（2）令一阶导数等于零，解方程得到临界点；（3）求出临界点处的二阶导数；（4）根据二阶导数的正负性来判断函数的极值情况。
3. 边界法边界法适用于在一定范围内寻找函数的极值点，通常用于优化问题中。
具体步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出定义域的边界点；（3）将边界点和内部临界点代入函数，比较函数值，确定极值点。
4. 参数法参数法适用于含有参数的函数的极值判定。
具体步骤如下：（1）将参数表示的函数转化为不含参数的函数；（2）按照导数法或二阶导数法求解极值点。
5. 条件极值法条件极值法适用于带有约束条件的优化问题，通过引入拉格朗日乘数法来求解函数的极值点。
三、极值的应用极值在数学中有着广泛的应用，特别是在优化问题中。
例如，在经济学中，通过求解函数的极值点可以确定最大化利润或最小化成本的方案；在物理学中，通过求解函数的极值点可以确定物体的最大位移、最小时间等问题；在工程学中，通过求解函数的极值点可以确定最优设计方案等。
极值公差分布概率
极值公差分布概率
极值公差分布概率有两种计算方式：
1.极值法：极值法不考虑零件实际尺寸的分布状态，直接对闭环公差进行分配计算。
公式为T0为封闭环公差，ξi为各组成环传递系数。
2.概率法：概率法是以封闭环满足正态分布为前提，选择一定的置信水平（不同的置信水平对应不同的k0）为依据，根据各组成环尺寸的分布状态（ki），按统计公差公式对封闭环公差进行分配计算。
公式中k0为封闭环相对分布系数，ki为组成环相对分布系数，表示组成环分布曲线分散性的系数。
通常封闭环趋近正态分布。
极值法化学
极值法化学
极值法是一种化学实验常用的定量分析方法，它能够准确地测量
分析物的含量。
该方法主要是基于极值点定理，即对于一个函数而言，如果自变量在某一点处取得极值，那么函数的导数在该点处必须为零。
在化学实验中，极值法一般用于测定含量较低的物质。
该方法的
基本原理是通过测量反应溶液的光学性质或电学性质来确定分析物的
含量。
在具体实验操作过程中，需要先测定样品中的分析物所对应的极
值点。
有时候需要进行多次实验，确定一个比较明显的极值点，以保
证实验结果的稳定性和准确性。
在实验过程中还需要注意去除干扰物
质的影响以及对反应溶液进行适当的前处理，以确保反应在极值点处
进行。
另外，测量设备的精度也直接影响到实验结果的准确性，因此
需要根据实验要求选用合适的测量设备。
具体来说，极值法在化学分析中应用广泛。
例如，在测定硝酸钠
的含量时，可以利用硝酸钠在酸性条件下与酸化重铬酸钾发生反应，
在硝酸钠浓度为一定值时反应体系的光吸收率达到最大值，利用该最
大值计算硝酸钠的质量浓度。
又如，在测定葡萄糖的含量时，可以利用葡萄糖在酸性条件下与菲林试剂发生呈橙色化学计量反应，当必要条件满足时，反应溶液的吸光度（或荧光强度）在单一的波长处取得最大值，并可用该值计算葡萄糖含量。
总之，极值法是化学实验中一种简便而准确的定量分析方法。
它不仅适用于许多物质的测量，而且可以在不同的条件下实现，具有很高的客观性和灵活性，使其在实际应用中具有广泛的应用前景。
初中语文计算极值法
初中语文计算极值法1. 引言初中语文计算极值法是一种应用数学原理和统计方法来进行文本分析和评估的方法。
通过计算文本中的极值，我们可以获取一些有关文本内容和文本质量的重要信息。
本文将介绍初中语文计算极值法的基本原理和应用。
2. 基本原理初中语文计算极值法的基本原理是通过对文本中的关键词进行频次统计，然后计算关键词的极值，从而获取关键词在文本中的重要程度。
常用的计算极值方法有TF-IDF（词频-逆文档频率）和TF-ICF（词频-信息增益）等。
2.1 TF-IDFTF-IDF是一种常用的计算极值方法，它通过计算词频和文档频率来评估一个词的重要性。
TF（词频）表示某个词在文本中出现的频率，IDF（逆文档频率）表示该词在所有文档中的普遍程度。
计算公式如下：TF-IDF = TF * IDF其中，TF = (某个词在文本中出现的次数) / (文本的总词数)，IDF = log(文档总数 / (包含该词的文档数 + 1))2.2 TF-ICFTF-ICF是另一种常用的计算极值方法，它结合了词频和信息增益来评估一个词的重要性。
TF-ICF首先计算词频，然后根据信息增益来调整词频。
信息增益是一种衡量词与类别之间关联程度的指标，在文本分析中常用于特征选择和关键词提取。
计算公式如下：TF-ICF = TF * ICF其中，TF = (某个词在文本中出现的次数) / (文本的总词数)，ICF = log(类别总数 / (包含该词的类别数 + 1))3. 应用初中语文计算极值法可以应用于基于文本内容进行自动评估和分析的场景中。
比如，可以用于学生作文的评分，通过计算作文中关键词的极值来评估作文的质量，从而帮助教师作出更准确的评分。
4. 结论初中语文计算极值法是一种有效的文本分析和评估方法，通过计算关键词的极值，可以获取文本内容和质量的重要信息。
该方法可以应用于学生作文评分等场景，帮助教师作出更准确的评价。
值得进一步研究和应用。
极值法
1 (2)要使力 F 做功最少，确定 x 的取值，由 WF＝2mgR＋ mvC2 的取值， 要使力 做功最少， ＋2 点速度最小， 就最小． 知，只要小球在 C 点速度最小，则 WF 就最小．若小球恰好能 通过 C 点，设其在 C 点的速度最小为 v mv2 由牛顿第二定律有：mg＝ v＝ 由牛顿第二定律有：mg＝ R ，则 v＝ Rg x ③⑥有 由③⑥有： 2 解得： ＝ ， 解得：x＝2R， 5 最小， 即当 x＝2R 时，WF 最小，最小的功为 WF＝2mgR. ＝ g R＝ Rg ⑦ ⑧ ⑥
[解析 (1)小球从半圆形轨道的最高点 C 处做平抛运动又回 解析] 解析 小球从半圆形轨道的最高点 到 A 点，设小球在 C 点的速度为 vC，小球从 C 点运动到 A 点所用的时间为 t 在水平方向： ＝ 在水平方向：x＝vCt ① 1 2 在竖直方向： ＝ ② 在竖直方向：2R＝2gt x g 联立①②式得 vC＝ 联立①②式得 ③ ①② R 2 由动能定理有： 对小球从 A 点到 C 点，由动能定理有： 1 WF－mg·2R＝ mvC2 ＝ ④ 2 mg(16R2＋x2) ( . ⑤ 解得：WF＝ 解得： 8R
2．判别式法，即方程 ax2＋bx＋c＝0 有实根时，∆＝b2－ ．判别式法， ＋ ＝ 有实根时， ＝ 4ac≥0. ≥ b 3． 二次函数法， ＝ ． 二次函数法， y＝ax ＋bx＋c， a>0， 即 ＋ ， 若 ， 则当 x＝－ 时， ＝－ 2a
2
b 有 ymin＝(4ac－b )/(4a)；若 a<0，则当 x＝－2a时，有 ymax － ； ， ＝－
mg(16R2＋x2) ( (3)由⑤式 WF＝ 由 及 WF＝Fx 8R 1 16R x 得：条件是： x ＝R，即 x＝4R 有最小值的条件是： ＝ ⑨⑩解得最小推力为 解得最小推力为： ＝ 由⑨⑩解得最小推力为：F＝mg.
高中化学 极值法 极限分析法
两种金属混合物粉末15g，与足量盐酸反应时生成标准状况下的氢 ， 两种金属混合物粉末 气11.2L，符合上述情况的金属化合物是（ A ） ，符合上述情况的金属化合物是（ A、Mg Fe 、 B、Zn Ag 、 C、Fe Zn 、 D、Mg Al 、
高中解题方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
极值法
极值法是采用极限思维的一种解题技巧。 极值法是采用极限思维的一种解题技巧。它是将题设构造为问 题的两个极端， 题的两个极端，然后依据有关化学知识确定所需反应物或生成物 的量值，进行判断分析求得结果。极值法有三个基本思路： 的量值，进行判断分析求得结果。极值法有三个基本思路：①、 是把可逆反应假设成为向或向右进行的完全反应； 是把可逆反应假设成为向或向右进行的完全反应；②、把混合物 假设纯净物； 把平行反应分别假设单一反应。 假设纯净物；③、把平行反应分别假设单一反应。极值法解题的 优点是将某些复杂的、难以分析清楚的化学问题，假设为极值的 优点是将某些复杂的、难以分析清楚的化学问题， 问题，使解题过程简洁，解题思路清晰，把问题化繁为简， 问题，使解题过程简洁，解题思路清晰，把问题化繁为简，由难 变易，从而提高了解题速度。 变易，从而提高了解题速度。
分析：用极值法判断 的原子量的取值范围 的原子量的取值范围， 分析：用极值法判断R的原子量的取值范围，即设混合物全部为碱 金属单质，求原子量的最大值，再设混合物全部为碱金属氧化物， 金属单质，求原子量的最大值，再设混合物全部为碱金属氧化物， 求原子的最小值，再依据原子量的取值范围，即可判断R为何种碱 求原子的最小值，再依据原子量的取值范围，即可判断 为何种碱 金属。 金属。 全部是碱金属单质R， 的原子量为x 解：设5.4g全部是碱金属单质 ，且R的原子量为 全部是碱金属单质 的原子量为 2R + 2H2O ===== 2ROH + H2↑ 2x 2（x + 17） （ ） 5.4g 8g ∴ x == 35.7 全部是碱金属氧化物R ， 的原子量为y 设5.4g全部是碱金属氧化物 2O，且R的原子量为 全部是碱金属氧化物 的原子量为 R2O + H2O ===== 2ROH (2y + 16) 2(y + 17) 5.4g 8g ∴ y == 10.7 的原子量应在∴ 之间， 故R的原子量应在∴10.7～35.7之间，所以 为碱金属钠 的原子量应在 ～ 之间 所以R为碱金属钠
几何最值问题的常用解法
几何最值问题的常用解法
x
一、几何最值问题
几何最值问题是指：在一定的几何约束条件下，找出可以达到最大值或最小值的所有结果的问题。
它实际上是数学分析中的一类特殊的最优化问题。
二、常用解法
1、极值法：
极值法称为求解几何最值问题的一种最常见的方法，它是利用函数的数学性质，对函数的参数变量进行变化，来求解函数中极值点的位置的方法。
2、数学最优化法：
数学最优化法是指使用约束条件，或者对几何最值问题常用的的数学解法，比如拉格朗日乘子法、Kuhn–Tucker条件、Dantzig–Wolfe 以及模型等方法，通过数学的推理，求解出最优解的方法。
3、迭代方法：
迭代方法是指在不断逼近理想解的过程中，不断重复求解，最终求得几何最值问题最优解的方法。
该方法也可以称之为“贪心法”，经过迭代求解，最终使函数的最优解处于一个最佳的状态。
4、最小二乘法：
最小二乘法是从经验数据出发，利用最小二乘的方法建立的数学模型并应用最优方法求出参数的一种方法，可以用来求出满足给定约
束条件下的最优解。
尺寸链极值法
尺寸链极值法（也称为极大极小值解法）是根据尺寸链的各个环的最大值和最小值来确定尺寸链的最大值和最小值的一种方法。
具体步骤如下：
1. 确定尺寸链的类型，分为工艺尺寸链、零件尺寸链和装配尺寸链。
2. 确定尺寸链的基本尺寸，即各个环的理想值。
3. 确定尺寸链的极限偏差，即各个环的最大偏差和最小偏差。
4. 计算尺寸链的极限值，即最大值和最小值。
一般有以下公式：尺寸链最大值= 基本尺寸+ 所有增环的最大偏差- 所有减环的最小偏差；尺寸链最小值= 基本尺寸+ 所有增环的最小偏差- 所有减环的最大偏差。
5. 根据设计要求，确定尺寸链的公差，即允许的误差范围。
一般有以下公式：尺寸链公差= 尺寸链最大值- 尺寸链最小值；尺寸链中间偏差= (尺寸链最大值+ 尺寸链最小值) / 2 - 基本尺寸；尺寸链上偏差= 尺寸链最大值- 基本尺寸；尺寸链下偏差= 尺寸链最小值- 基本尺寸。
6. 根据公差分配原则，合理分配各个环的公差，使得总公差不超过设计要求。
这种方法适用于单件或小批量生产，或者对精度要求较高的情
况。
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R2O2 ~ 2ROH
2M+32 2M+34
4g 5g 解得M= -12 （由此可知过氧化物、超氧化物等复杂氧化物均不符合题意）因4.0g物质是单质及氧化物的混合物，则R的相对原子质量在28~68之间，而K的相对原子质量为39，故C符合题意。
A. Li B. Na C. K D. Rb
解析：已知混合物各物质的相对分子质量，通常再有两个数据（即变化前后的量），就可以通过计算，推断出两种混合物的组成。本题虽有变化前后的两个数据，但缺少混合物各物质的相对分子质量（或相对原子质量），实际上是三个未知量，因此用二元一次方程组的常规解法无法得出结论。若通过列式对选项作逐一尝试，逐一淘汰的求解是很繁难的，而选取极值法进行求解，可受到事半功倍的效果。 把4.0g混合物假设为纯净物（碱金属单质R或氧化物），即可求出碱金属的相对原子质量的取值范围。
若仅为NO与O2的混合气体，因4 NO2+3O2+2H2O=4HNO3则
现为NO2、NO、O2三种气体混合物，生成c(HNO3)应介于二者之间，故选C。
（注：本题是一道错题。但是流传很广。若考试这样出，只好选C.其实应该是介于A和B之间的一个数）
策略四 用极值法把多个可能发生的反应假设为某一反应进行过量分析
若一个体系中同时存在几个反应，可以利用极值法分别假设全部发生其中一个反应从而求出两个极端值。
例7：在标准状况下，将NO2、NO、O2的混合气体充满容器后倒置于水中，气体完全溶解，溶液充满容器。若产物不扩散到容器外，则所得溶液的物质的量浓度为（ ）
A、 mol?L-1 B、 mol?L-1 C、 mol?L-1 D、 mol?L-1
策略二 把可逆反应极端地视为不可逆反应确定某物质的取值范围
由于可逆反应总是不能完全进行到底，故在可逆反应中分析反应物、生成物的量时利用极值法把可逆反应看成向左或向右进行完全的反应，这样可以准确、迅速得出答案。
例5：在密闭容器中进行的反应：X(g) + 4Y(g) 2P(g) +3Q(g)，已知X、Y、P、Q初始的物质的量分别为0.1mol、0.4mol、0.2mol、0.3mol。在一定条件下，当反应达到平衡后，各物质的物质的量不可能的是（ ）
设18.4g 固体全为NaOH，则受热不减少，剩余固体18.4g；设18.4g 固体全为NaHCO3，则按②反应，剩余固体（18.4g÷84 g/mol）×106 g/mol=11.6g；设18.4g 固体恰好按①完全反应，即混合物中m(NaOH)=18.4g×40÷(40+84)，则m(剩余固体)= 。 因现剩余固体16.6g，介于15.7g和18.4g之间，所以NaOH过量。设NaHCO3 为xg：
A．Na2O B．Na2O2 C．Na2O和Na2O2 D．Na2O2和NaO2
解析：利用极值法把生成物假设为某一种可能的氧化物进行计算。
n(Na+)=n(Cl-)=0.08L×0.5mol/L=0.04mol；当产物只有Na2O时，m(Na2O)=0.02mol×62g/mol=1.24g；当产物只有Na2O2时，m(Na2O2)=0.02mol×78g/mol=1.56g。结合平均值原理可推出该反应生成物是Na2O和Na2O2的混合物。
A、肯定有KNO3和Na2CO3，没有Ba(NO3)2 B、肯定有KNO3，没有Ba(NO3)2，还可能有Na2CO3
C、肯定没有Na2CO3和 Ba(NO3)2，可能有KNO3 D、无法判断
解析：样品溶于水后得到澄清溶液，因此一定没有Ba(NO3)2。对量的关系用“极值法”可快速解答。设样品全为K2CO3，则加入过量的CaCl2溶液可得到沉淀质量为5g，；若6.9g全为Na2CO3则可得到沉淀质量为6.5g。显然，如果只含有碳酸钠一种杂质，产生沉淀的质量将大于5g；如果只含有KNO3，由于KNO3与CaCl2不反应，沉淀的质量将小于5g，可能等于4.5g。综合分析，样品中肯定有KNO3，肯定没有Ba(NO3)2，可能有Na2CO3。故本题选B。
解析：在密闭容器中进行的反应可能有：
NaOH+ NaHCO3 = Na2CO3+H2O---① 2NaHCO3 = Na2CO3+ CO2↑+ H2O---②
40 84 106 168 106
究竟按何种情况反应，必须判断出N源自OH与NaHCO3在反应①中何者过量，然后才能进行计算，借助极值法，能使判断方便直观。
运用极值法解决化学问题的五种策略
极值法是把研究的对象或变化过程假设成某种理想的极限状态进行分析、推理、判断的一种思维方法；是将题设构造为问题的两个极端，然后依据有关化学知识确定所需反应物或生成物的量的解题方法。极值法的特点是“抓两端，定中间”。运用此法解题的优点是将某些复杂的、难于分析清楚的化学问题（如某些混合物的计算、平行反应计算和讨论型计算等）变得单一化、极端化和简单化，使解题过程简洁，解题思路清晰，把问题化繁为简，化难为易，从而提高了解题效率。以下笔者结合部分试题谈谈运用极值法的几种策略。
2 在关于反应物的量不同可以发生不同反应的化学方程式的计算中，若题目已给出生成物的总质量或总物质的量时，可以利用极值法假设为全部发生某一反应求出产物的量，在结合题目所给数据判断最终产物，进而结合守恒关系可以求出各产物的量。
NaOH+ NaHCO3 = Na2CO3+H2O △m
40 84 106 18
x=8.4g 18.4g－16.6 g
m（NaOH）= 18.4g－8.4 g = 10 g m（NaOH）％ = ×100％ = 54.3％
极限量/mol 0.2 0.8 0 0
由于反应的可逆性，反应完全进行到底是不可能的。因此，上述各物质的物质的量的变化范围是：0 < n(X) < 0.2、0 < n(Y) < 0.8、0 < n(P) < 0.4、0 < n(Q) < 0.6，故本题正确选项为B。
2 用极值法确定混合物的组成：在混合物成分分析时，可以将可能的成分极值化考虑，结合平均值原理与实际比较即可迅速判断出混合物的组成。
例2：（2007年全国卷Ⅱ—13）在一定条件下，将钠与氧气反应的生成物1.5g溶于水，所得溶液恰好能被80mL浓度为0.5mol/L的HCl溶液中和，则生成物的成分是（ ）
新平衡 (a－d) (a－4d) (a＋2d) 2d
要求a－d﹥0、a－4d﹥0同时成立，即a﹥4d。
如平衡逆向移动，采用极值法，D转化了d/2mol,
即D在新平衡中的物质的量为(a－d/2)mol，转化
关系如下：
A(g) + 4B(g) 2C(g) + D(g)
解析：如平衡正向移动，采用极值法，转化生成D
为dmol,即D在新平衡中的物质的量为2dmol，
转化关系如下：
A(g) + 4B(g) 2C(g) + D(g)
旧平衡 a a a d
转 化 d 4d 2d d
解得m(Na)=11.5g；m(Mg)=6g；m(Al)=4.5g。再根据平均值原理知一定含有Na。故选C。
3 用极值法确定杂质的成分：在确定混合物的杂质成分时，可以将主要成分和杂质极值化考虑（假设物质完是杂质或主要成分），然后与实际比较，即可迅速判断出杂质的成分。
例4：某K2CO3样品中含有Na2CO3、KNO3和Ba(NO3)2三种杂质中的一种或两种，现将6.9g样品溶于足量水中，得到澄清溶液。若再加入过量的CaCl2溶液，得到4.5g沉淀，对样品所含杂质的判断正确的是（ ）
例3：由Na、Mg、Al三种金属中的两种组成的混合物共10 g与足量的盐酸反应产生0.5g氢气，则此混合物中必定含有（ ） A. Al B. Mg C. Na D.都有可能
解析：本题利用极值法把0.5g氢气看成是由单一的一种金属与盐酸反应产生。先求出Na、Mg、Al分别与足量盐酸产生0.5g 氢气所需的质量：
策略一 把混合物假设为纯净物
1 用极值法确定物质的成分：在物质组成明确，列方程缺少关系无法解题时，可以根据物质组成进行极端假设得到有关极值，并结合平均值原理确定答案。
例1：某碱金属R及其氧化物组成的混合物4.0g，与水充分反应后蒸发溶液，最后得到干燥固体5.0g，则该碱金属元素是（ ）
若4.0g物质全部是单质则： 若4.0g物质全部是氧化物R2O则：
R ~ ROH R2O ~ 2ROH
M M+17 2M+16 2M+34
4g 5g 解得M=68 4g 5g 解得M=28
1 当反应物以混合物的总质量或总物质的量已知时，可以利用极值假设全部是某一反应物，然后假设全部是另一反应物，再假设两者则好完全反应，从而得到解题的线索。
例8：18.4g NaOH 和NaHCO3固体混合物，在密闭容器中加热到250℃，经过充分反应后排除气体，冷却，称得剩余固体质量为16.6g，试计算原混合物中NaOH的质量分数。
例6：在某条件下，容器内有如下化学平衡：A(g) + 4B(g) 2C(g) +D(g)。此时A、B、C的物质的量均为amol，而D的物质的量为dmol。(1)改变a的取值，再通过改变反应的条件，可使反应达到新的平衡，并限定达到新平衡时，D的物质的量只能在d/2~2d之间变化，则a的取值范围是______(用含a、d的式子表示)。
2Na ~ H2↑ Mg ~ H2↑ 2Al ~ 3H2↑
46 2 24 2 54 6
m(Na) 0.5g m(Mg) 0.5g m(Al) 0.5g
A、n(X)=0.15mol B、n(Y)=0.9mol C、n(P)=0.3 mol D、n(Q)=0.55mol