【水力学】3 水运动学

采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为 空间坐标（x，y，z）和时间t 的函数。
液体质点通过任意空间固定点 (x, y, z) 时的流速
ux
dx( x, y, z, t) dt
uy
dy( x, y, dt
z, t )
uz
dz( x, y, z, t) dt
式中， (x, y, z, t ) : 欧拉变数 (ux uy uz) : 通过固定点的流速分量
p p( x, y, z, t)
(x, y, z,t)
一维流动， 则
u u(s, t) p p(s, t)
3.1.2 用欧拉法表达加速度
从欧拉法来看，不同空间位置上的液体流速可以不同； 在同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。因此， 加速度分
迁移加速度（位变加速度） 当地加速度（时变加速度）
给定（a，b，c），xy
x(a,b,c, t) y(a,b,c, t)
该质点的轨迹方程
不同（a，b，c），z z(a, b, c, t) 不同质点的轨迹方程
对上式求导，得到液体质点的速度
x x(a, b, c, t)
ux
dx(a, b, c, t) t
d dt
ห้องสมุดไป่ตู้
y
z
y(a, b, c, t) z(a, b, c, t)
: 质点起始坐标
: 任意时刻
任意时刻
: 质点运动轨迹坐标 空间固定点（不动）
欧拉法
t = t0 ＝ 给定时刻，（x，y，z）＝ 变数
同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分 布，即流场。
欧拉法 （x，y，z）＝ 给定点，t ＝ 变数 不同液体质点通过给定空间点的流速变化
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
二. 欧拉法
欧拉法：流场法，核心是研究运动要素分布场 考察固定空间点（x, y, z) ，不同液体质点通过的情
况，了解整个流动空间的流动。
欧拉法
相当于在流场中设置许多观察点（x，y，z），研 究不同时刻t、不同观察点（x，y，z）上, 不同液体质 点的运动，将各观察点的运动信息加以综合，可了解 整个流场的运动。
3 恒定总流的基本方程
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 恒定总流的连续方程 3.3 恒定总流的能量方程 3.4 恒定总流的动量方程
3.1 描述液体运动的两种方法
液体运动时，表征运动特征的运动要素一般随 时空而变，而液体又是众多质点组成的连续介质，
怎样描述整个液体的运动规律呢？
3.1.1 拉格朗日法和欧拉法
y
y(a,b,c, t)
z z(a, b, c, t)
(a, b, c)limitedfluid points
1 每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点
2 数学上存在难以克服的困难
3 实用上，不需要知道每个质点的运动情况
因此，该方法在工程上很少采用, 但在波浪运动，piv 量测等问题中用这个方法。
d dt
ux uy
dx(a, b, c, t) dt
dy(a, b, c, t) dt
a x a y
d 2 x(a, b, c, t) dt 2
d 2 y(a, b, c, t) dt 2
uz
dz(a, b, c, t) dt
az
d 2z(a, b, c, t) dt 2
问题
x x(a,b,c, t)
a x
du ( x, y, z, t) x dt
a y
du ( x, y, z, t) y dt
du ( x, y, z, t)
az
z
dt
式中， (ax , ay , az) 为通过空间点的加速度分量
• 用欧拉法研究液体运动的例子 • 地面卫星观测站 • 水文站
流场中任一物理量, 如压强、密度，则
一. 拉格朗日法: 质点系法 把液体质点作为研究对象，跟踪每一个质点，描述 其运动过程，获得整个液体运动的规律。
z
M t0
c O
a b
t z
x
x x(a,b,c, t)
y
y(a,b,c, t)
z z(a, b, c, t )
y
x
y
图 拉格朗日法
设某一液体质点 在 t = t0 占据 起始坐标 （a，b，c）
uy uz
dy(a, b, c, t) t
dz(a, b, c, t) t
对速度求导，得到液体质点的加速度
x x(a, b, c, t)
d dt
y
z
y(a, b, c, z(a, b, c,
t) t)
ux
dx(a, b, c, t) dt
uy
dy(a, b, c, t) dt
uz
dz(a, b, c, t) dt
迁移加速度（位变加速度）
同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度
当地加速度（时变加速度）
同一空间点，不同时刻，流速不同，而产生的加速度
t0
水面不断下降！
t
t
ux ( x, y, z, t) 0
ut
t
u0
图 时变加速度产生说明
水面保持恒定
图 位变加速度说明
u1
u2
x
ux
ux ( x, y, x
z
M
t
t0
c O
a b
z
x x(a,b,c, t)
y
y
y(a, b, c,
t)
x z z(a, b, c, t )
x
y
图 拉格朗日法
t0 ： 微团占据 起始坐标 （a，b，c） t ： 微团运动到 空间坐标 （x，y，z）
x x(a,b,c, t)
y
y(a,b,c, t)
z z(a, b, c, t )
z, t )
0
t0
t1
孔口出口流速大小随时间变化
t2
u2
u1
u0
落地流速方向和大小随时间变化 u2
u u0
t0
u0
us
us s
0
u1
同一时刻，沿着抛射轨迹，不
同位置处的流速不同，因此，沿抛
射轨，存在位变加速度 u2
拉格朗日法
(a, b, c) :
t
:
(x, y, z) :
(a, b, c , t ) :
质点起始坐标 任意时刻 质点运动的位置坐标 拉格朗日变数
欧拉法
(x, y, z) : t:
(x, y, z , t ) :
空间固定点（不动） 任意时刻 欧拉变数
拉格朗日法
欧拉法
(a, b, c) t (x, y, z)
x
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
y
图 拉格朗日法
式中，（a，b，c，t）= 拉格朗日变数
x x(a,b,c, t)
y
y(a,b,c, t)
z z(a, b, c, t )
x
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
y
图 拉格朗日法
（a，b，c） 对应液体微团 或液体质点
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
x
y
图 拉格朗日法