数学系微积分讲义稿(南京大学梅加强)
数学分析 重积分的变量替换仿射变换
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
3.5.1 仿射变换
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解;
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式;
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式; 正交变换下体积的变换公式;
因此下面不妨设 b = 0, 考虑线性变换.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特 别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特 别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零. 于是我们进一步假设 det M = 0. 根据线性代数中矩阵的极分解, 我们知道存在 正定对称矩阵 P 以及正交矩阵 O, 使得 M = PO.
Bi ⊂ A, ν(Bi ) > ν(A) − ε; Bj ⊃ A, ν(Bj ) < ν(A) + ε,
i
i
j
j
其中 {Bi } 的内部互不相交.
证明要点: 先看 {Bi } 的存在性, 此时可设 ν(A) > 0.
覆盖引理之二
(覆盖引理之二)
设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个 n 维球体 {Bi } 与 {Bj }, 使得
这称为伸缩变换.
伸缩变换
设 {λi } 为一组正实数, 考虑线性变换 ϕ : Rn → Rn, ϕ(x1, x2, · · · , xn) = (λ1x1, λ2x2, · · · , λnxn),
数学分析 连续映射的整体性质
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:紧集的概念;内容提要:紧集的概念; 最值定理;内容提要:紧集的概念; 最值定理; 连通性;内容提要:紧集的概念; 最值定理; 连通性;介值定理.(开覆盖)设C⊂R n,{Gα}α∈Γ为R n的一族子集.如果C⊂Gα,则称{Gα}α∈Γ为Cα∈Γ的覆盖;当Gα均为开集时,称{Gα}α∈Γ为开覆盖.(开覆盖)Gα,则称{Gα}α∈Γ为C设C⊂R n,{Gα}α∈Γ为R n的一族子集.如果C⊂α∈Γ的覆盖;当Gα均为开集时,称{Gα}α∈Γ为开覆盖.(有限覆盖、子覆盖)Γ称为指标集.指标集为有限集的覆盖称为有限覆盖.如果Γ ⊂Γ且{Gα}α∈Γ 仍为C的覆盖,则称之为子覆盖.(开覆盖)设C⊂R n,{Gα}α∈Γ为R n的一族子集.如果C⊂Gα,则称{Gα}α∈Γ为Cα∈Γ的覆盖;当Gα均为开集时,称{Gα}α∈Γ为开覆盖.(有限覆盖、子覆盖)Γ称为指标集.指标集为有限集的覆盖称为有限覆盖.如果Γ ⊂Γ且{Gα}α∈Γ 仍为C的覆盖,则称之为子覆盖.紧集如果子集C的每一个开覆盖都有有限子覆盖,则称C为紧致子集(紧集).紧集与闭集套原理闭集套原理之一设{F n}为一列非空闭集,如果存在紧致子集C,使得C⊃F1⊃···⊃F n⊃···,则F n=∅.n≥1紧集与闭集套原理闭集套原理之一设{F n}为一列非空闭集,如果存在紧致子集C,使得C⊃F1⊃···⊃F n⊃···,F n=∅.则n≥1证明.(反证法)如果{F n}的交集为空集,则{F c n}为C的开覆盖,从而存在有限子覆盖,即存在n,使得nC⊂F c i=F c n,i=1此时F n⊂C⊂F c n,F n只能为空集,从而得出了矛盾.(最值定理)设C为紧致子集,f:C→R为连续函数,则f能达到最大值和最小值.(最值定理)设C 为紧致子集,f :C →R 为连续函数,则f 能达到最大值和最小值.证明.以最大值为例.当n ≥1时,记G n ={x ∈C |f (x )<n },由f 连续可知G n =C ∩U n ,其中U n 为开集.显然,{U n }为C 的开覆盖,从而存在N ,使得C = N n =1G n =G N ,这说明N 是f 的上界,从而f 有上确界,记为M .我们说明M 可以被f 取到.(反证法)如果不然,则1/(M −f )仍为连续函数,于是有上界.即存在K ,使得0<1M −f ≤K ,或f ≤M −1K,这与M 为上确界相矛盾.(一致连续性)设C 为紧致子集,f :C →R m 连续,则f 一致连续.即任给ε>0,存在δ>0,当x ,y ∈C 且d (x ,y )<δ时d f (x ),f (y ) <ε.(一致连续性)设C 为紧致子集,f :C →R m 连续,则f 一致连续.即任给ε>0,存在δ>0,当x ,y ∈C 且d (x ,y )<δ时d f (x ),f (y ) <ε.证明.根据连续性,任给ε>0,x ∈C ,存在δ(x )>0,使得当y ∈B δ(x )(x )时d f (y ),f (x ) <ε/2.显然,{B δ(x )/2(x )}x ∈C 为C 的开覆盖,因此存在有限子覆盖{B δ(x i )/2(x i )}.记δ=min {δ(x i )/2},当x ,y ∈C 且d (x ,y )<δ时,不妨设x ∈B δ(x i )/2(x i ),则d (y ,x i )≤d (y ,x )+d (x ,x i )<δ+δ(x i )/2≤δ(x i ),因此d (f (y ),f (x ))≤d (f (y ),f (x i ))+d (f (x ),f (x i ))<ε.(道路连通)设G为R n的子集,如果任给x1,x2∈G,均存在连续映射σ:[0,1]→R n使得σ(0)=x1,σ(1)=x2,σ([0,1])⊂G,则称G道路连通.此时,σ称为连接x1和x2的道路.(道路连通)设G为R n的子集,如果任给x1,x2∈G,均存在连续映射σ:[0,1]→R n使得σ(0)=x1,σ(1)=x2,σ([0,1])⊂G,则称G道路连通.此时,σ称为连接x1和x2的道路.显然,R n本身是道路连通的.一般地,R n中道路连通的开集常称为区域.(道路连通)设G为R n的子集,如果任给x1,x2∈G,均存在连续映射σ:[0,1]→R n使得σ(0)=x1,σ(1)=x2,σ([0,1])⊂G,则称G道路连通.此时,σ称为连接x1和x2的道路.显然,R n本身是道路连通的.一般地,R n中道路连通的开集常称为区域. 设A⊂R n,如果连接A中任意两点的直线段仍包含于A,则称A为凸集.(道路连通)设G为R n的子集,如果任给x1,x2∈G,均存在连续映射σ:[0,1]→R n使得σ(0)=x1,σ(1)=x2,σ([0,1])⊂G,则称G道路连通.此时,σ称为连接x1和x2的道路.显然,R n本身是道路连通的.一般地,R n中道路连通的开集常称为区域. 设A⊂R n,如果连接A中任意两点的直线段仍包含于A,则称A为凸集. 显然,凸集是道路连通的.当凸集为开集时,称为凸域.道路连通性与介值定理(介值定理)设G⊂R n道路连通,f:G→R连续.则要么f为常值函数,要么f(G)为区间.道路连通性与介值定理(介值定理)设G⊂R n道路连通,f:G→R连续.则要么f为常值函数,要么f(G)为区间.证明.设f不是常值函数,a<b∈f(G),要证明[a,b]⊂f(G).事实上,设f(x0)=a, f(x1)=b,根据题设,存在连续映射σ:[0,1]→G,使得σ(0)=x0,σ(1)=x1.注意到复合函数f◦σ仍然连续,由一元连续函数的介值定理可知[a,b]⊂f◦σ([0,1])⊂f(G).。
数学分析 曲面上的积分
Σ
D
称为 f 在 Σ 上的第一型曲面积分.
同上可以说明第一型曲面积分的定义不依赖于参数的选取.
曲面上的积分
设 f 是曲面 Σ 的连续函数. 定义
f dσ = f ◦ ψ det[(Jψ) Jψ] du1 · · · dun−1,
Σ
D
称为 f 在 Σ 上的第一型曲面积分.
同上可以说明第一型曲面积分的定义不依赖于参数的选取.
i1<···<ip j1<···<jq
则 ω ∧ η 为 (p + q)−形式.
wedge 运算
设 ω, η 分别为 p−形式和 q−形式, 它们可以表示为
ω=
ωi1···ip dxi1 ∧ · · · ∧ dxip , η =
ηj1···jq dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq .
i1<···<ip
曲面上的积分
设 f 是曲面 Σ 的连续函数. 定义
f dσ = f ◦ ψ det[(Jψ) Jψ] du1 · · · dun−1,
Σ
D
称为 f 在 Σ 上的第一型曲面积分.
曲面上的积分
设 f 是曲面 Σ 的连续函数. 定义
f dσ = f ◦ ψ det[(Jψ) Jψ] du1 · · · dun−1,
det[(Jψ) Jψ] du1 · · · dun−1.
Σ
D
面积形式
设 D ⊂ Rn−1 为开集, ψ : D → Rn 是曲面 Σ 的 C1 参数表示. 记 dσ = det[(Jψ) Jψ] du1 ∧ · · · ∧ dun−1,
称为 Σ 的面积形式(有向面积元). Σ 的面积 σ(Σ) 定义为
设 Ω ⊂ Rn 为开集, ϕ : Ω → Rn 为可微映射, 它的第 i 个分量记为 ϕi . 我们有
数学分析 含参变量的积分
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
关于参数的可导性质
(可导性质)
设 f (x, y ) 的偏导数 fy (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则 I(y ) 关于 y 可导, 且
I (y) =
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
证明. fy (x, y ) 关于 x 在 [a, b] 中的积分记为 ψ(y ). 根据上述引理, ψ(y ) 关于 y 连续. 当 y1, y2 ∈ [c, d] 时, 交换积分次序可得
的函数, 考虑积分 F (y) =
b(y ) a(y )
f
(x
,
y
)
dx
.
若 f (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 函数 a(y), b(y) 关于 y 连续, 且 a ≤ a(y ), b(y) ≤ b, 则 F (y ) 关于 y ∈ [c, d] 连续.
积分上下限中的参数
x ∈[a,b]
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
数学分析 欧氏空间及其代数结构
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:R n的定义;内容提要:R n的定义; 线性映射;内容提要:R n的定义; 线性映射; 空间的定向;内容提要:R n的定义; 线性映射; 空间的定向; 定向与叉乘.一元函数是指以R的子集为定义域的函数.一元函数是指以R的子集为定义域的函数.当变化因素不只一个时,我们就要考虑定义在一般欧氏空间中的函数.一元函数是指以R的子集为定义域的函数.当变化因素不只一个时,我们就要考虑定义在一般欧氏空间中的函数. 设n为正整数,记R n={(a1,···,a n)|a i∈R,i=1,···,n},它是由n元有序实数组构成的集合.一元函数是指以R的子集为定义域的函数.当变化因素不只一个时,我们就要考虑定义在一般欧氏空间中的函数.设n为正整数,记R n={(a1,···,a n)|a i∈R,i=1,···,n},它是由n元有序实数组构成的集合.在R n中有两个最基本的运算:设u=(u1,···,u n)∈R n,v=(v1,···,v n)∈R n,λ∈R,定义u+v=(u1+v1,···,u n+v n),(加法)λu=(λu1,···,λu n)(数乘)欧氏空间一元函数是指以R的子集为定义域的函数.当变化因素不只一个时,我们就要考虑定义在一般欧氏空间中的函数.设n为正整数,记R n={(a1,···,a n)|a i∈R,i=1,···,n},它是由n元有序实数组构成的集合.在R n中有两个最基本的运算:设u=(u1,···,u n)∈R n,v=(v1,···,v n)∈R n,λ∈R,定义u+v=(u1+v1,···,u n+v n),(加法)λu=(λu1,···,λu n)(数乘) 有了上述运算,R n就成为R上的向量空间,称为n维欧氏空间.以R n的子集为定义域的函数称为n元函数,n>1时统称多元函数.以R n的子集为定义域的函数称为n元函数,n>1时统称多元函数.向量值函数:从欧氏空间的子集到(另一)欧氏空间的映射称为向量值函数.以R n的子集为定义域的函数称为n元函数,n>1时统称多元函数.向量值函数:从欧氏空间的子集到(另一)欧氏空间的映射称为向量值函数. 最简单的向量值函数是线性映射或线性变换,它们是保持线性结构的映射.以R n的子集为定义域的函数称为n元函数,n>1时统称多元函数.向量值函数:从欧氏空间的子集到(另一)欧氏空间的映射称为向量值函数. 最简单的向量值函数是线性映射或线性变换,它们是保持线性结构的映射. 设f:R n→R m为映射,如果f(u+v)=f(u)+f(v),f(λu)=λf(u),∀u,v∈R n,λ∈R,就称f为线性映射.在线性代数中,线性映射往往用矩阵来表示.在线性代数中,线性映射往往用矩阵来表示.例如,设{e i}n i=1和{f j}m j=1分别是R n和R m中的两组基.则存在a ij∈R,使得f(e i)=mj=1a ij f j.记A=a ijm×n,称为f在这两组基下的矩阵表示.在线性代数中,线性映射往往用矩阵来表示.例如,设{e i}n i=1和{f j}m j=1分别是R n和R m中的两组基.则存在a ij∈R,使得f(e i)=mj=1a ij f j.记A=a ijm×n,称为f在这两组基下的矩阵表示.研究线性映射f相当于研究矩阵A.在线性代数中,线性映射往往用矩阵来表示.例如,设{e i}n i=1和{f j}m j=1分别是R n和R m中的两组基.则存在a ij∈R,使得f(e i)=mj=1a ij f j.记A=a ijm×n,称为f在这两组基下的矩阵表示.研究线性映射f相当于研究矩阵A.注意:现代数学的一个特点就是人们往往将感兴趣的研究对象放在一起来考虑.比如,要研究从R n到R m的线性映射,可以考虑将m×n型的实矩阵放在一起(记为M m×n)来研究.在研究一元函数积分的时候,我们规定a b f(x)d x=−baf(x)d x,这里其实涉及到区间的方向(定向).研究多元微积分同样要涉及到空间的定向.在研究一元函数积分的时候,我们规定a b f(x)d x=−baf(x)d x,这里其实涉及到区间的方向(定向).研究多元微积分同样要涉及到空间的定向. 设u,v为R n中非零向量,如果存在正实数λ,使得u=λv,则称u,v同向.在研究一元函数积分的时候,我们规定a b f(x)d x=−baf(x)d x,这里其实涉及到区间的方向(定向).研究多元微积分同样要涉及到空间的定向. 设u,v为R n中非零向量,如果存在正实数λ,使得u=λv,则称u,v同向. 设{e i}n i=1和{f j}n j=1是R n中的两组基,则存在a ij∈R,使得e i=nj=1a ij f j,此时A=a ijn×n为非退化方阵.在研究一元函数积分的时候,我们规定a b f(x)d x=−baf(x)d x,这里其实涉及到区间的方向(定向).研究多元微积分同样要涉及到空间的定向. 设u,v为R n中非零向量,如果存在正实数λ,使得u=λv,则称u,v同向. 设{e i}n i=1和{f j}n j=1是R n中的两组基,则存在a ij∈R,使得e i=nj=1a ij f j,此时A=a ijn×n为非退化方阵.若det A>0,则称上述两组基同向,反之称为反向.注意:“同向”在欧氏空间的基之间定义了一个等价关系,等价类就称为欧氏空间的一个定向.容易看出欧氏空间正好有两个定向.注意:“同向”在欧氏空间的基之间定义了一个等价关系,等价类就称为欧氏空间的一个定向.容易看出欧氏空间正好有两个定向.记第i个位置为1,其余位置为0的向量为e i,则{e i}ni=1为R n中的一组基(标准基),它决定的定向称为标准定向.在R3中有一个特别的代数运算称为叉乘.在R3中有一个特别的代数运算称为叉乘.设u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)为R3中的向量,定义u×v=(u2v3−v2u3,u3v1−v3u1,u1v2−v1u2), u×v称为u和v的叉乘.在R3中有一个特别的代数运算称为叉乘.设u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)为R3中的向量,定义u×v=(u2v3−v2u3,u3v1−v3u1,u1v2−v1u2), u×v称为u和v的叉乘.容易看出,u×v=0当且仅当u,v线性相关.在R3中有一个特别的代数运算称为叉乘.设u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)为R3中的向量,定义u×v=(u2v3−v2u3,u3v1−v3u1,u1v2−v1u2),u×v称为u和v的叉乘.容易看出,u×v=0当且仅当u,v线性相关.我们将看到,若u,v线性无关,则u,v,u×v组成了R3的一组基,而且和标准定向同向!事实上,考虑线性函数(x,y,z)=x y z u1u2u3 v1v2v3.事实上,考虑线性函数(x,y,z)=x y z u1u2u3 v1v2v3.记u×v=(a,b,c),则 (x,y,z)=ax+by+cz.事实上,考虑线性函数(x,y,z)=x y z u1u2u3 v1v2v3.记u×v=(a,b,c),则 (x,y,z)=ax+by+cz.特别地,若u,v线性无关,则 (u×v)=a2+b2+c2>0.事实上,考虑线性函数(x,y,z)=x y z u1u2u3 v1v2v3.记u×v=(a,b,c),则 (x,y,z)=ax+by+cz.特别地,若u,v线性无关,则 (u×v)=a2+b2+c2>0. 由此我们还可以将叉乘运算推广到高维欧氏空间中.。
数学分析 拟微分中值定理
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:微分中值定理;内容提要:微分中值定理; 拟微分中值定理.问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?设σ:(a,b)→R n为向量值函数,写成分量的形式为σ(t)=x1(t),···,x n(t),t∈(a,b).设σ(t)的每一个分量都在t0处可导,且多元函数f在x0=σ(t0)处可微,则复合函数f◦σ在t0处可导,且f◦σ(t0)=∇f(x0)·σ (t0),(1)其中σ (t0)=x1(t0),···,x n(t0).问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?设σ:(a,b)→R n为向量值函数,写成分量的形式为σ(t)=x1(t),···,x n(t),t∈(a,b).设σ(t)的每一个分量都在t0处可导,且多元函数f在x0=σ(t0)处可微,则复合函数f◦σ在t0处可导,且f◦σ(t0)=∇f(x0)·σ (t0),(1)其中σ (t0)=x1(t0),···,x n(t0).证明.这是链式法则的直接推论.(微分中值定理)设D⊂R n为凸域,函数f:D→R在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在θ∈(0,1),使得f(x)−f(y)=∇f(ξ)·(x−y),ξ=θx+(1−θ)y.(2)(微分中值定理)设D⊂R n为凸域,函数f:D→R在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在θ∈(0,1),使得f(x)−f(y)=∇f(ξ)·(x−y),ξ=θx+(1−θ)y.(2)证明.令σ(t)=tx+(1−t)y,由D为凸域可知当t∈[0,1]时σ(t)∈D.对一元函数ϕ(t)=f◦σ(t)用微分中值定理可知存在θ∈(0,1),使得ϕ(1)−ϕ(0)=ϕ (θ).由(1)式可得ϕ(1)−ϕ(0)=∇f(ξ)·σ (θ)=∇f(ξ)·(x−y),其中ξ=σ(θ)=θx+(1−θ)y.由f(x)=ϕ(1),f(y)=ϕ(0)可知欲证结论成立.向量值函数的微分中值定理问题:微分中值定理能否推广到向量值函数?问题:微分中值定理能否推广到向量值函数?设D⊂R n为凸域,f:D→R m为向量值的多元函数.设x,y∈D.对f的每一个分量f i应用微分中值定理可得ξi∈D,使得f i(x)−f i(y)=∇f i(ξi)·(x−y).问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ⊂R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得f i (x )−f i (y )=∇f i (ξi )·(x −y ).注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ⊂R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得f i (x )−f i (y )=∇f i (ξi )·(x −y ).注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.此例表明,一般地我们不能指望f (x )−f (y )=Jf (ξ)(x −y )对某个ξ成立.问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ⊂R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得f i (x )−f i (y )=∇f i (ξi )·(x −y ).注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.此例表明,一般地我们不能指望f (x )−f (y )=Jf (ξ)(x −y )对某个ξ成立. 不过,我们有(拟微分中值定理)设D⊂R n为凸域,f:D→R m在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在ξ∈D,使得f(x)−f(y) ≤ Jf(ξ) · x−y .(拟微分中值定理)设D⊂R n为凸域,f:D→R m在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在ξ∈D,使得f(x)−f(y) ≤ Jf(ξ) · x−y .证明.基本的想法是对f的分量的线性组合应用微分中值定理.为此,不妨设f(x)=f(y).任意取定R m中的单位向量u=(u1,···,u m),记g=u·f=mi=1u i f i,则g为D中可微函数.根据微分中值定理,存在ξ∈D,使得g(x)−g(y)=∇g(ξ)·(x−y).证明(续).注意到∇g(ξ)=mi=1u i∇f i(ξ).利用Cauchy-Schwarz不等式可得 ∇g(ξ) ≤mi=1|u i|· ∇f i(ξ)≤ u ·mi=1∇f i(ξ) 21/2= Jf(ξ) .由g(x)−g(y)=u·[f(x)−f(y)]可得u·[f(x)−f(y)]≤ ∇g(ξ) · x−y ≤ Jf(ξ) · x−y .在上式中取u=[f(x)−f(y)]/ f(x)−f(y) 就完成了定理的证明.。
数学分析欧氏空间的几何结构
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:几何与测量;内容提要:几何与测量; 内积;内容提要:几何与测量; 内积;叉乘回顾;内容提要:几何与测量; 内积;叉乘回顾; 距离.几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.也就是说几何学是从测量中抽象出来的一门学问.几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.也就是说几何学是从测量中抽象出来的一门学问. 问题:几何学测量哪些量呢?几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.也就是说几何学是从测量中抽象出来的一门学问. 问题:几何学测量哪些量呢?最简单的有夹角,长度,距离等.几何与测量几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.也就是说几何学是从测量中抽象出来的一门学问.问题:几何学测量哪些量呢?最简单的有夹角,长度,距离等.为了实现测量的目的,我们还要在欧氏空间中引入额外的结构.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.我们常用 , 表示内积,比如 u,v 表示u,v之间的内积.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.我们常用 , 表示内积,比如 u,v 表示u,v之间的内积. 有了内积就可以定义向量的长度和向量之间的夹角.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.我们常用 , 表示内积,比如 u,v 表示u,v之间的内积. 有了内积就可以定义向量的长度和向量之间的夹角.设u∈R n,记 u =u,u ,称为u的范数或长度.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.我们常用 , 表示内积,比如 u,v 表示u,v之间的内积. 有了内积就可以定义向量的长度和向量之间的夹角.设u∈R n,记 u =u,u ,称为u的范数或长度.(Schwarz不等式)设u,v∈R n,则|u·v|≤ u · v ,等号成立当且仅当u,v线性相关.根据Schwarz不等式,当u,v为非零向量时,可以取θ(u,v)∈[0,π],使得cosθ(u,v)=u,v u · v,θ(u,v)称为u,v之间的夹角,也记为∠(u,v).根据Schwarz不等式,当u,v为非零向量时,可以取θ(u,v)∈[0,π],使得cosθ(u,v)=u,v u · v,θ(u,v)称为u,v之间的夹角,也记为∠(u,v).例1M m×n中的内积.根据Schwarz不等式,当u,v为非零向量时,可以取θ(u,v)∈[0,π],使得cosθ(u,v)=u,v u · v,θ(u,v)称为u,v之间的夹角,也记为∠(u,v).例1M m×n中的内积.我们知道,m×n型矩阵的全体M m×n也是一个向量空间,它可以视为mn维的欧氏空间.作为欧氏空间,其内积可定义为A,B =tr AB T,∀A,B∈M m×n.(绝对值不等式)设u,v∈R n,则 u+v ≤ u + v .事实上,根据Schwarz不等式,我们有u+v 2= u+v,u+v = u,u +2 u,v + v,v≤ u 2+2 u · v + v 2=( u + v )2.(绝对值不等式)设u,v∈R n,则 u+v ≤ u + v .事实上,根据Schwarz不等式,我们有u+v 2= u+v,u+v = u,u +2 u,v + v,v≤ u 2+2 u · v + v 2=( u + v )2.(距离)设u,v∈R n,记d(u,v)= u−v ,称为u,v之间的距离.(绝对值不等式)设u,v∈R n,则 u+v ≤ u + v .事实上,根据Schwarz不等式,我们有u+v 2= u+v,u+v = u,u +2 u,v + v,v≤ u 2+2 u · v + v 2=( u + v )2.(距离)设u,v∈R n,记d(u,v)= u−v ,称为u,v之间的距离.(三角不等式)设x,y,z∈R n,则d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).事实上,利用绝对值不等式可得d(x,z)= x−z = (x−y)+(y−z)≤ x−y + y−z =d(x,y)+d(y,z).设u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)∈R3,利用内积,线性函数(x,y,z)=x y z u1u2u3 v1v2v3可以表示为 (w)=w·(u×v).设u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)∈R3,利用内积,线性函数(x,y,z)=x y z u1u2u3 v1v2v3可以表示为 (w)=w·(u×v).于是,利用行列式的性质容易得出:u×v与u,v都垂直!在高维欧氏空间中,叉乘运算也有完全类似的性质.。
数学分析 Green 公式
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:诱导定向;内容提要:诱导定向; Green公式;内容提要:诱导定向;Green公式;简单闭曲线所围区域的面积;内容提要:诱导定向;Green公式;简单闭曲线所围区域的面积; 代数基本定理.考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.Ω的边界∂Ω有所谓的诱导定向.其定义如下:设(x(t),y(t))为∂Ω的一段参数曲线,则(x (t),y (t))为切向量,(y (t),−x (t))为法向量.考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.Ω的边界∂Ω有所谓的诱导定向.其定义如下:设(x(t),y(t))为∂Ω的一段参数曲线,则(x (t),y (t))为切向量,(y (t),−x (t))为法向量.如果(y (t),−x (t))为相对于区域Ω的外法向量,则参数t决定的边界方向称为诱导定向.直观上看,从外法向到切向的旋转方向是逆时针的,这种确定边界定向的方法又称为“右手法则”.考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.Ω的边界∂Ω有所谓的诱导定向.其定义如下:设(x(t),y(t))为∂Ω的一段参数曲线,则(x (t),y (t))为切向量,(y (t),−x (t))为法向量.如果(y (t),−x (t))为相对于区域Ω的外法向量,则参数t决定的边界方向称为诱导定向.直观上看,从外法向到切向的旋转方向是逆时针的,这种确定边界定向的方法又称为“右手法则”.利用诱导定向,沿边界的第二型曲线积分有时可以化为区域中的重积分.(Green公式)设Ω为平面有界区域,其边界由有限条C1曲线组成,边界的定向为诱导定向.如果P,Q为¯Ω上的C1函数,则Ω ∂Q∂x−∂P∂yd x d y=∂ΩP d x+Q d y.(Green公式)设Ω为平面有界区域,其边界由有限条C1曲线组成,边界的定向为诱导定向.如果P,Q为¯Ω上的C1函数,则Ω ∂Q∂x−∂P∂yd x d y=∂ΩP d x+Q d y.Green公式是一元微积分中Newton-Leibniz公式在平面上的推广.(Green公式)设Ω为平面有界区域,其边界由有限条C1曲线组成,边界的定向为诱导定向.如果P,Q为¯Ω上的C1函数,则Ω ∂Q∂x−∂P∂yd x d y=∂ΩP d x+Q d y.Green公式是一元微积分中Newton-Leibniz公式在平面上的推广.Green公式的传统证明方法是将被积区域分割为两种特殊类型的小区域,在每一小区域上验证公式成立,最后合起来就得到整个区域上的公式.若Ω的边界是简单闭曲线γ(t)=(x(t),y(t))(t∈[α,β]),在Green公式中代入P(x,y)=−y,Q(x,y)=x,可得如下面积公式σ(Ω)=12∂Ω−y d x+x d y=12βα[x(t)y (t)−x (t)y(t)]d t,其中,参数t选取的方向沿逆时针.若Ω的边界是简单闭曲线γ(t)=(x(t),y(t))(t∈[α,β]),在Green公式中代入P(x,y)=−y,Q(x,y)=x,可得如下面积公式σ(Ω)=12∂Ω−y d x+x d y=12βα[x(t)y (t)−x (t)y(t)]d t,其中,参数t选取的方向沿逆时针.例如,考虑椭圆x2a2+y2b2=1所围成的面积.椭圆的参数方程为x(t)=a cos t,y(t)=b sin t,t∈[0,2π],于是其面积为σ=122π(a cos t b cos t+a sin t b sin t)d t=πab.设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.(反证法)设p(z)处处非零.当R>0时,记p(Rz)/R n的实部和虚部分别为f,g,则f和g不能同时为零.设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.(反证法)设p(z)处处非零.当R>0时,记p(Rz)/R n的实部和虚部分别为f,g,则f和g不能同时为零.考虑f d g−g d f f2+g2=P d x+Q d y,其中P=fg x−gf xf2+g2,Q=fg y−gf yf2+g2.容易验证Q x−P y=0.设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.(反证法)设p(z)处处非零.当R>0时,记p(Rz)/R n的实部和虚部分别为f,g,则f和g不能同时为零.考虑f d g−g d f f2+g2=P d x+Q d y,其中P=fg x−gf xf2+g2,Q=fg y−gf yf2+g2.容易验证Q x−P y=0.在单位圆盘上应用Green公式,有S1f d g−g d ff2+g2=D(Q x−P y)d x d y=0,(1)另一方面,在S1上,记z=e iθ,则f(z)=cos nθ+1Ra1cos(n−1)θ−b1sin(n−1)θ+···,g(z)=sin nθ+1Ra1sin(n−1)θ+b1cos(n−1)θ+···,其中a1,b1分别为c1的实部和虚部.另一方面,在S 1上,记z =e i θ,则f (z )=cos n θ+1R a 1cos(n −1)θ−b 1sin(n −1)θ+··· ,g (z )=sin n θ+1Ra 1sin(n −1)θ+b 1cos(n −1)θ+··· ,其中a 1,b 1分别为c 1的实部和虚部.由此可见,当R →∞时,f 2+g 2=1+O (1/R ),且f d g −g d f =(fg θ−gf θ)d θ= n +O (1/R ) d θ.这说明,当R 充分大时 S1f d g −g d f f 2+g 2= 2π0 n +O (1/R ) d θ=2πn +O (1/R )=0,这与(1)式相矛盾!另一方面,在S 1上,记z =e i θ,则f (z )=cos n θ+1R a 1cos(n −1)θ−b 1sin(n −1)θ+··· ,g (z )=sin n θ+1Ra 1sin(n −1)θ+b 1cos(n −1)θ+··· ,其中a 1,b 1分别为c 1的实部和虚部.由此可见,当R →∞时,f 2+g 2=1+O (1/R ),且f d g −g d f =(fg θ−gf θ)d θ= n +O (1/R ) d θ.这说明,当R 充分大时 S1f d g −g d f f 2+g 2= 2π0 n +O (1/R ) d θ=2πn +O (1/R )=0,这与(1)式相矛盾! 代数基本定理是由Gauss 首先证明的.有趣的是,至今还没有纯代数的证明.。
数学分析 Brouwer 不动点定理
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:Brouwer不动点定理;内容提要:Brouwer不动点定理; 鼓包函数与光滑化.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.下面我们介绍另一种常用的证明不动点的存在性的结果,它对映射的要求没有压缩映射那么高.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.下面我们介绍另一种常用的证明不动点的存在性的结果,它对映射的要求没有压缩映射那么高.这儿我们要用鼓包函数进行光滑的技巧,以及Gauss-Green公式.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.下面我们介绍另一种常用的证明不动点的存在性的结果,它对映射的要求没有压缩映射那么高.这儿我们要用鼓包函数进行光滑的技巧,以及Gauss-Green公式.定理1(Brouwer不动点定理)设D为R n中的闭球,ϕ:D→D为连续映射,则ϕ必有不动点.函数的光滑化不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.在证明定理之前先做一点准备工作.首先,为了利用微分学的手段,我们要对连续函数进行所谓的光滑化.不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.在证明定理之前先做一点准备工作.首先,为了利用微分学的手段,我们要对连续函数进行所谓的光滑化.引理1设ψ:D→R n为连续的向量值函数,且当x∈S n−1=∂D时ψ(x)=x,则任给ε>0,存在光滑向量值函数ρ:D→R n,使得ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <ε,∀x∈D.不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.在证明定理之前先做一点准备工作.首先,为了利用微分学的手段,我们要对连续函数进行所谓的光滑化.引理1设ψ:D→R n为连续的向量值函数,且当x∈S n−1=∂D时ψ(x)=x,则任给ε>0,存在光滑向量值函数ρ:D→R n,使得ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <ε,∀x∈D.证明.记f(x)=ψ(x)−x,则fS n−1≡0.我们先对f做光滑化.因为有界闭集上的连续函数具有一致连续性,任给ε>0,存在δ>0,使得当 x−y ≤δ时 f(x)−f(y) <ε/2.证明(续).取η=δ1+δ,令g (x )= f x 1−η , x ≤1−η,0, x >1−η,则g 连续,且当x ∈D 时 g (x )−f (x ) <ε/2.设φ是我们之前构造的一元鼓包函数,记φη(x )=c −1η−n φ(η−1 x ),其中c 是φ( x )在R n 中的积分.此时φη在R n 的积分为1,且其支集含于B η(0).令h (x )= R n g (y )φη(x −y )d y = R ng (x −y )φη(y )d y ,根据函数参变量积分的性质可知h 是光滑函数,再根据鼓包函数的性质可知h S n −1=0, h (x )−g (x ) ≤ε/2.记ρ(x )=x +h (x ),则ρ是满足要求的光滑函数.引理2设ρ:D→R n为C2的向量值函数,如果当x∈S n−1时ρ(x)=x,则ρ必有零点.引理2设ρ:D→R n为C2的向量值函数,如果当x∈S n−1时ρ(x)=x,则ρ必有零点.证明.(反证法)设ρ没有零点.在R n\{0}中记ω0=ni=1(−1)i−1 x −n x i d x1∧···∧d x i−1∧d x i+1∧···∧d x n,直接的计算表明dω0=0.同理,记ω=ρ∗ω0=ni=1(−1)i−1 ρ −nρi dρ1∧···∧dρi−1∧dρi+1∧···∧dρn其中ρi是ρ的分量,则仍有dω=0.证明(续).利用Gauss-Green公式以及ρ(x)=x(x∈S n−1)可得0=D dω=S n−1ω=S n−1ω0=S n−1ni=1(−1)i−1x i d x1∧···∧d x i−1∧d x i+1∧···∧d x n =Dn dx1···dx n=nν(D)>0,这就得出了矛盾.Brouwer不动点定理的证明.(反证法)设ϕ没有不动点.用直线段连接ϕ(x)和x,其延长线交球面于ψ(x).容易看出ψ:D→S n−1连续,且当x∈S n−1时ψ(x)=x.根据引理1,存在光滑映射ρ:D→R n,使得ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <1,∀x∈D.根据引理2,ρ有零点,但这与上面的不等式以及 ψ ≡1相矛盾.Brouwer不动点定理的证明.(反证法)设ϕ没有不动点.用直线段连接ϕ(x)和x,其延长线交球面于ψ(x).容易看出ψ:D→S n−1连续,且当x∈S n−1时ψ(x)=x.根据引理1,存在光滑映射ρ:D→R n,使得ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <1,∀x∈D.根据引理2,ρ有零点,但这与上面的不等式以及 ψ ≡1相矛盾.例1设A=a ijn×n为n阶方阵,如果它的每一元素a ij都大于零,则称A为正矩阵.证明:正矩阵必有正特征值.证明.当x=(x1,···x n)∈R n时,记|x|= ni=1|x i|.考虑n−1维单形∆n={x∈R n||x|=1,x i≥0,i=1,···,n}.显然,当x∈∆n时|Ax|>0.考虑连续映射ϕ:∆n→∆n,x→Ax/|Ax|.因为∆n同胚于n−1维单位闭球,可以应用Brouwer不动点定理得到ϕ的不动点,不动点记为ξ,则|Aξ|就是A的正特征值.。
数学分析外微分运算
Maxwell 方程
这些 Maxwell 方程可以用微分形式来表示. 记 E = (E1, E2, E3), B = (B1, B2, B3), J = (J1, J2, J3). 再令 F = (E1 dx + E2 dy + E3 dz) ∧ dt + B1 dy ∧ dz + B2 dz ∧ dx + B3 dx ∧ dy ,
1 M = c (E1 dy ∧ dz + E2 dz ∧ dx + E3 dx ∧ dy ) − c(B1 dx + B2 dy + B3 dz) ∧ dt, J = c(J1 dy ∧ dz + J2 dz ∧ dx + J3 dx ∧ dy ) ∧ dt − c dx ∧ dy ∧ dz.
Maxwell 方程
设 f 为函数, ω 为 q−形式, 则 d(f ω) = df ∧ ω + f dω.
设 ω, η 分别为 p−形式和 q−形式, 则 d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)pω ∧ dη.
d2 = 0, 即 d(dω) = 0. 先考虑 0−形式. 设 f 为 Ck (k ≥ 2) 函数, 则
d2f
=
n i ,j =1
∂2f ∂xj ∂xi
dxj
数学分析 重积分的变量替换变量替换公式
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:重积分的变量替换公式;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;球面坐标变换.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).一般的变量替换现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).断言:ϕ(∂A)为零测集,从而∂ϕ(A)亦然,于是ϕ(A)可求体积.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).为了研究ϕ(A)的体积,我们将ϕ线性化并做误差估计.引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .证明.在Bδ(x)中考虑函数F(y)=ϕ(y)−ϕ(x)−Jϕ(x)(y−x),则F(x)=0,JF(y)=Jϕ(y)−Jϕ(x).根据拟微分中值定理,存在ξ=x+θ(x −x)(0<θ<1),使得F(x ) = F(x )−F(x) ≤ Jϕ(ξ)−Jϕ(x) x −x ,由Jϕ在K上的一致连续性即可完成证明.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.证明.考虑仿射变换L(y)=[Jϕ(x)]−1(y−ϕ(x))+x,则L◦ϕ(x )=[Jϕ(x)]−1F(x )+x ,于是当x ,x ∈Bη(x)时L◦ϕ(x )−L◦ϕ(x ) ≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε] x −x .由B⊂Bη(x)可得ν(L◦ϕ(B))≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε]nν(B).再由仿射变化的体积变化公式即可完成证明.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.证明.不妨设A为矩形,且f非负.任给A的分割π={A ij},我们有ϕ(A)f=ijϕ(A ij)f≤ij[supϕ(A ij)f]ν(ϕ(A ij))证明(续).当分割充分细时,由之前的引理可得ϕ(A)f≤ijsupA ij[f◦ϕ]|det Jϕ(ξij)|ν(A ij)+O(ε),由Riemann和与积分之间的关系可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|+O(ε),令ε→0可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|.根据反函数定理,ϕ:D→ϕ(D)可逆.如果对ϕ−1重复上述论证就可得到另一边的不等式.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.解.积分区域是一个曲边的四边形,为了简化,我们令y 2/x =u ,xy =v ,则(u ,v )关于(x ,y )的Jacobi 行列式为∂(u ,v )∂(x ,y )= −y 2/x 22y /x y x =−3y 2/x =−3u ,因此(x ,y )关于(u ,v )的Jacobi 行列式为−(3u )−1.在这个变换下,积分区域变为矩形[p ,q ]×[a ,b ],因此I =q p d u b a v −(3u )−1 d v =16(b 2−a 2)ln q p.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.尽管如此,由于此变换在(0,+∞)×(0,2π)上是一一的且非退化,因此将前面的证明略作改动即知,积分的变量替换公式对这个变换仍然成立.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.解.作所谓的广义极坐标变换x=ar cosθ,y=br sinθ,r∈[0,1],θ∈[0,2π],其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=a cosθ−ar sinθb sinθbr cosθ=abr,因此所求面积为10d r2πabr dθ=πab.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π].我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.球面坐标和伸缩变换结合起来称为广义球面坐标变换.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.在一般的欧氏空间R n中也有类似的(广义)球面坐标变换.。
数学分析Euler 积分
Beta 函数
B(p, q) 的定义中, 0 和 1 是被积函数可能的瑕点, 易见, 当 p > 0, q > 0 时积分 收敛, 因此 B(p, q) 的定义是确切的.
Beta 函数
B(p, q) 的定义中, 0 和 1 是被积函数可能的瑕点, 易见, 当 p > 0, q > 0 时积分 收敛, 因此 B(p, q) 的定义是确切的. (连续性) 当 δ, η > 0, p ≥ δ, q ≥ η 时,
p
0
p0
q−1 =p
1 0
x p−1(1
−
x )q−2
dx
−
q
− p
1
1
x p−1(1 − x )q−1 dx
0
= q − 1 B(p, q − 1) − q − 1 B(p, q),
p
p
整理后得到
B(p, q) = q − 1 B(p, q − 1), ∀ p > 0, q > 1.
(1)
p+q−1
0
≤
∞
t s1−1e−t dt
1/2
∞
t s2−1e−t dt
1/2
0
0
= Γ(s1) Γ(s2).
这说明 ln Γ(s) 是 (0, ∞) 中的凸函数.
上式右端的函数在 [0, 1] 上积分收敛. 同理, 由 0 ≤ x s−1e−x ≤ x η−1e−x , ∀ x ∈ [1, ∞)
以及上式右端积分收敛知, Γ(s) 关于 s ∈ [δ, η] 一致收敛, 这说明 Γ(s) 在其定义 域中连续.
(可微性) 进一步可以说明 Γ(s) 在其定义域中无限次可导.
数学分析 一致收敛积分的性质
含参变量的广义积分的连续性质
引理 1
设 f (x, y) 在 [a, ∞) × [c, d] 中连续, I(y) =
∞ a
f (x, y)
dx
关于
y
∈
[c, d]
一致收敛,
则 I(y) 关于 y ∈ [c, d] 连续.
含参变量的广义积分的连续性质
引理 1
设 f (x, y) 在 [a, ∞) × [c, d] 中连续, I(y) =
|y1 − y2| < δ 时
ε
|f (x, y1)
−
f (x, y2)|
≤
A
−
, a
∀ x ∈ [a, b].
连续性质
证明(续).
此时
∞
∞
|I(y1) − I(y2)| =
f (x, y1) dx − f (x, y2) dx
a
a
∞
∞
≤
f (x, y1) dx +
f (x, y2) dx
A
A
A
+ |f (x, y1) − f (x, y2)| dx
π
I=
sin(yx) dy = dy
dx = (β − α).
0 xα
α
0
x
2
可导性质
(可导性质)
设 f (x, y ) 关于 x 在闭区间中均可积, fy (x, y ) 在 [a, ∞) × [c, d] 中连续. 如果积分
ψ(y
∞
a
)= f (x,
∞
a
y0)
fy (x, y ) dx 关于 dx 收敛, 则积分
a
ε
≤ ε + ε + (A − a)
数学分析 多重 Riemann 积分
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:n维矩形中的Riemann积分;内容提要:n维矩形中的Riemann积分; 重积分的基本性质.在n 维欧氏空间R n 中,称点集I =[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×···×[a n ,b n ]为一个n 维矩形,其直径d (I )和体积ν(I )分别为d (I )= (b 1−a 1)2+···+(b n −a n )2,ν(I )=(b 1−a 1)(b 2−a 2)···(b n −a n ).在n 维欧氏空间R n 中,称点集I =[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×···×[a n ,b n ]为一个n 维矩形,其直径d (I )和体积ν(I )分别为d (I )= (b 1−a 1)2+···+(b n −a n )2,ν(I )=(b 1−a 1)(b 2−a 2)···(b n −a n ). 设区间[a i ,b i ](i =1,2,···,n )有分割πi :a i =x i 0<x i 1<···<x i m i=b i ,这时超平面x i =x i j (i =1,2,···,n ;j =0,1,···,m i )将I 分割成m 1·m 2···m n 个小n 维矩形I i 1···i n =[x 1i 1−1,x 1i 1]×···×[x n i n −1,x n i n ],1≤i 1≤m 1,···,1≤i n ≤m n .在n 维欧氏空间R n 中,称点集I =[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×···×[a n ,b n ]为一个n 维矩形,其直径d (I )和体积ν(I )分别为d (I )= (b 1−a 1)2+···+(b n −a n )2,ν(I )=(b 1−a 1)(b 2−a 2)···(b n −a n ). 设区间[a i ,b i ](i =1,2,···,n )有分割πi :a i =x i 0<x i 1<···<x i m i=b i ,这时超平面x i =x i j (i =1,2,···,n ;j =0,1,···,m i )将I 分割成m 1·m 2···m n 个小n 维矩形I i 1···i n =[x 1i 1−1,x 1i 1]×···×[x n i n −1,x n i n ],1≤i 1≤m 1,···,1≤i n ≤m n . 这些小矩形所形成的分割记为π=π1×···×πn ,定义分割π的模为π =max i 1···i nd (I i 1···i n ),设f:I→R为n维矩形I中定义的函数.如果存在实数A,使得任给ε>0,均存在δ>0,当 π <δ时,有i1···i nf(ξi1···i n)ν(I i1···i n)−A<ε,∀ξi1···i n∈I i1···i n,则称f在I中Riemann可积或简称可积,A为f在I中的积分,记为A=I f=If(x)d x=···If(x1,···,x n)d x1···d x n.设f:I→R为n维矩形I中定义的函数.如果存在实数A,使得任给ε>0,均存在δ>0,当 π <δ时,有i1···i nf(ξi1···i n)ν(I i1···i n)−A<ε,∀ξi1···i n∈I i1···i n,则称f在I中Riemann可积或简称可积,A为f在I中的积分,记为A=I f=If(x)d x=···If(x1,···,x n)d x1···d x n.多元函数积分的理论与二元函数积分的理论完全类似,不重复叙述;设f:I→R为n维矩形I中定义的函数.如果存在实数A,使得任给ε>0,均存在δ>0,当 π <δ时,有i1···i nf(ξi1···i n)ν(I i1···i n)−A<ε,∀ξi1···i n∈I i1···i n,则称f在I中Riemann可积或简称可积,A为f在I中的积分,记为A=I f=If(x)d x=···If(x1,···,x n)d x1···d x n.多元函数积分的理论与二元函数积分的理论完全类似,不重复叙述;R n中零测集和可求体积集分别对应于R2中的零测集和可求面积集,它们的定义请自行补充.线性叠加性质:设A⊂R n为可求体积,f,g在A中可积.则fg,|f|,λf+µg均可积,其中λ,µ∈R,且A (λf+µg)=λAf+µAg.线性叠加性质:设A⊂R n为可求体积,f,g在A中可积.则fg,|f|,λf+µg均可积,其中λ,µ∈R,且A (λf+µg)=λAf+µAg.保序性质:当f≥g时,A f≥Ag.特别地,有A f≤A|f|.线性叠加性质:设A⊂R n为可求体积,f,g在A中可积.则fg,|f|,λf+µg均可积,其中λ,µ∈R,且A (λf+µg)=λAf+µAg.保序性质:当f≥g时,A f≥Ag.特别地,有A f≤A|f|.积分中值定理:设A为可求体积的有界集合,f,g为A中的可积函数.如果g在A中不变号,则存在µ∈R,使得A fg=µAg,其中infAf≤µ≤supAf.(可求体积集的基本性质)设集合A可求体积,I⊃A为矩形,则I\A可求体积,且ν(I\A)=ν(I)−ν(A).设A,B均可求体积,则A∩B,A∪B也可求体积,且ν(A∪B)=ν(A)+ν(B)−ν(A∩B).(可求体积集的基本性质)设集合A可求体积,I⊃A为矩形,则I\A可求体积,且ν(I\A)=ν(I)−ν(A).设A,B均可求体积,则A∩B,A∪B也可求体积,且ν(A∪B)=ν(A)+ν(B)−ν(A∩B).证明.在矩形I中,特征函数χI\A=1−χA,这说明I\A可求体积,且(1−χA)=ν(I)−ν(A).ν(I\A)=I同理,由χA∩B=χAχB可知A∩B可求体积.由χA∪B=χA+χB−χA∩B可知A∪B可求体积,且ν(A∪B)=ν(A)+ν(B)−ν(A∩B).例1证明n维矩形不是零测集.例1证明n维矩形不是零测集.证明.设{I i}为至多可数个矩形,它们覆盖了矩形I.不妨设{I i}均为开矩形.根据有限覆盖定理,存在有限个I i(i≤k)使得它们仍然覆盖I.这说明ν(I)≤νi≤k I i≤i≤kν(I i),特别地,I不可能为零测集.。
数学系微积分讲义稿(南京大学梅加强)
含参变量的积分
本章仍然讨论积分, 其中被积函数含有额外的参数, 我们要研究积分是如何依 赖于参数的. 这种积分的基本性质和无穷级数的性质十分类似, 它们也提供了构造 新函数的重要工具, 我们还将利用它们进一步研究 Fourier 积分.
§16.1
含参变量的积分
设 f px, y q 是定义在矩形 ra, bs ˆ rc, ds 上的函数, 且对于每个固定的 y P rc, ds, 关于 x 的函数 f px, y q 在 ra, bs 上 Riemann 可积, 则定义
apy q apy0 q
ż apy0 q “
apy q
ż bpyq f px, y qdx `
bpy0 q
ż bpy0 q f px, y qdx `
apy0 q
rf px, y q ´ f px, y0 qsdx.
因为 f 连续, 故存在 M ą 0, 使得 |f px, y q| ď M . 由上式和已知条件得
I pbq “
0 1
ż1
xb dx “
1 , b`1
这说明
I pbq “ lnp1 ` bq ` C.
又因为 I paq “ 0, 故 C “ ´ lnp1 ` aq, 从而
I “ ln 1`b . 1`a
这个积分也可以通过重积分化累次积分来计算.
§16.1 含参变量的积分
177
例 16.1.3. 设 |λ| ă 1, 计算积分 żπ I“ lnp1 ` λ cos xqdx.
A A
则称含参变量的广义积分
ż8
a
f px, y qdx 关于 y P rc, ds 一致收敛.
定义中的区间 rc, ds 也可以换成其它类型的区间. 对于带有瑕点的无界函数, 也有类似的一致收敛的概念. 例如, 设对于每一个 y P rc, ds, 以 b 为瑕点的瑕积分 żb f px, y qdx 存在, 如果任给 ε ą 0, 存在 δ0 “ δ0 pεq ą 0, 当 0 ă η, η 1 ă δ0 时, 对
数学分析 切线和切面
γt0(t) = σ(t0) + (t − t0)σ (t0).
γt0 称为 σ 在 t0 处的切线. 在不引起混淆时, 也说 γt0 是 σ(t0) 处的切线.
不难看出, 切线是割线的极限, 切线可视为参数曲线的线性化(以直化曲).
切线的物理解释: 设质点在空间中运动, 其位置随时间 t 变化, 运动轨迹为曲线
设 D 为 R2 中开集, ϕ : D → R3 为连续映射. 我们称 ϕ 为 R3 中的连续参数曲面. 记
ϕ(u, v ) = x(u, v ), y(u, v ), z(u, v ) , (u, v ) ∈ D. 这里 (u, v ) 称为参数.
参数曲面及其线性化
设 D 为 R2 中开集, ϕ : D → R3 为连续映射. 我们称 ϕ 为 R3 中的连续参数曲面. 记
参数曲面及其线性化
设 D 为 R2 中开集, ϕ : D → R3 为连续映射. 我们称 ϕ 为 R3 中的连续参数曲面. 记
ϕ(u, v ) = x(u, v ), y(u, v ), z(u, v ) , (u, v ) ∈ D. 这里 (u, v ) 称为参数. 假定 ϕ 的三个分量都在 (u0, v0) 处可微, 则在 (u0, v0) 附近, 成立 ϕ(u, v ) = ϕ(u0, v0)+(u−u0)ϕu(u0, v0)+(v −v0)ϕv (u0, v0)+o (u−u0, v −v0) , 其中 ϕu = xu, yu, zu , ϕv = xv , yv , zv . ϕu(u0, v0) 是曲线 ϕ(u, v0) (u−曲线) 在 u = u0 处的切向量, ϕv (u0, v0) 是曲线 ϕ(u0, v ) (v −曲线) 在 v = v0 处的切向量.
数学分析 重积分化累次积分
重积分化累次积分
推论 1.
设 f (x, y) 在矩形 I 中可积. 如果对于每一个 x ∈ [a, b], 变量 y 的函数 f (x, y ) 在
[c, d] 中可积, 则
b
d
f = dx f (x, y) dy .
I
a
c
同理, 如果对于每一个 y ∈ [c, d], 变量 x 的函数 f (x, y) 在 [a, b] 中可积, 则
0
x2 x
0x
π1 , π2 < δ 时
f − ε < f (ξi , ηj )σ(Iij ) < f + ε, ∀ (ξi , ηj ) ∈ Iij .
I
ij
I
分别关于 ηj 对 f 取下确界和上确界可得到
m
m
f − ε ≤ ϕ(ξi )∆xi ≤ ψ(ξi )∆xi ≤ f + ε.
I
i =1
i =1
I
这说明 ϕ(x) 和 ψ(x) 在 [a, b] 中均可积, 且积分等于 f 在 I 中的积分.
f=
I
=
=
1
1
dx f (x, y) dy
0
0
1
1−x
dx
(1 − x − y) dy
0
0
1
1 (1
−
x )2
dx
=
1 .
02
6
重积分化累次积分
推论 3.
设 A ⊂ R2 为可求面积的有界集合, f : A → R 为有界连续函数. A 在 x 轴上的垂直投 影为区间 I,如果对于每一点 x ∈ I, Ax = {y ∈ R | (x, y ) ∈ A} 是区间(可退化为一点), 则
数学分析 欧氏空间中的微分形式
例如, 设 {φi }qi=1 均属于 (Rn)∗, 定义 q 次多线性型 φ1 ⊗ · · · ⊗ φq 如下: φ1 ⊗ · · · ⊗ φq(u1, · · · , uq) = φ1(u1) · · · φq(uq), ∀ u1, · · · , uq ∈ Rn.
进一步, 规定
φ1 ∧ · · · ∧ φq = (−1)πφπ(1) ⊗ · · · ⊗ φπ(q),
2−形式
取值在 ∧2(Rn)∗ 中的场称为 2−形式或 2 次微分形式.
2−形式
取值在 ∧2(Rn)∗ 中的场称为 2−形式或 2 次微分形式. 设 {ei } 为 Rn 中的标准基, ω 为 2−形式. 记 ωij = ω(ei , ej ), 则 ωji = −ωij , 且
ω = ωij dxi ∧ dxj .
ωi1···iq = ω(ei1 , · · · , eiq ),
则 ω 可以表示为
ω=
ωi1···iq dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq ,
(3)
i1<···<iq
当 ωi1···iq 均为 Ck 函数时, 称 ω 为 Ck 的 q−形式.
q− 形式
我们把 Rn 中具有反对称性的 q 次多线性型的全体记为 ∧q(Rn)∗, 这是一个维数 等于 Cnq 的向量空间. 取值在 ∧q(Rn)∗ 中的场称为 q−形式或 q 次微分形式.
q− 形式
我们把 Rn 中具有反对称性的 q 次多线性型的全体记为 ∧q(Rn)∗, 这是一个维数 等于 Cnq 的向量空间. 取值在 ∧q(Rn)∗ 中的场称为 q−形式或 q 次微分形式.
设 ω 为 q−形式, 记
ωi1···iq = ω(ei1 , · · · , eiq ),
数学分析 广义积分的次序
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:一致收敛和内闭一致收敛;内容提要:一致收敛和内闭一致收敛; 无穷区间上积分的次序;内容提要:一致收敛和内闭一致收敛; 无穷区间上积分的次序; 菲涅尔积分.问题:若函数f(x,y)分别关于x∈(a,∞)和y∈(c,∞)均可积,则积分是否可以交换次序?问题:若函数f(x,y)分别关于x∈(a,∞)和y∈(c,∞)均可积,则积分是否可以交换次序?为了研究此问题,我们先做一点准备.首先引进函数列一致收敛的概念.问题:若函数f(x,y)分别关于x∈(a,∞)和y∈(c,∞)均可积,则积分是否可以交换次序?为了研究此问题,我们先做一点准备.首先引进函数列一致收敛的概念.设ψn,ψ为[b,d]中的连续函数,如果任给ε>0,存在N,使得当n>N时|ψn−ψ|<ε在[b,d]中处处成立,则称{ψn}一致收敛于ψ.问题:若函数f(x,y)分别关于x∈(a,∞)和y∈(c,∞)均可积,则积分是否可以交换次序?为了研究此问题,我们先做一点准备.首先引进函数列一致收敛的概念.设ψn,ψ为[b,d]中的连续函数,如果任给ε>0,存在N,使得当n>N时|ψn−ψ|<ε在[b,d]中处处成立,则称{ψn}一致收敛于ψ.容易看出,此时极限与积分可以交换次序:lim n→∞ dbψn(x)d x=dbψ(x)d x.内闭一致收敛引理1设ϕn,ϕ为(c,∞)中的连续函数,假定(i){ϕn}内闭一致收敛(即在每一闭子区间中均一致收敛)于ϕ,(ii)存在广义可积函数F,使得n≥1时|ϕn|≤F均成立,则ϕ在(c,∞)中广义可积,且lim n→∞ ∞cϕn(x)d x=∞cϕ(x)d x.内闭一致收敛引理1设ϕn,ϕ为(c,∞)中的连续函数,假定(i){ϕn}内闭一致收敛(即在每一闭子区间中均一致收敛)于ϕ,(ii)存在广义可积函数F,使得n≥1时|ϕn|≤F均成立,则ϕ在(c,∞)中广义可积,且lim n→∞ ∞cϕn(x)d x=∞cϕ(x)d x.证明.由题设可知|ϕ|≤F,于是ϕ广义可积.任给ε>0,取c >c >c,使得c c F(x)d x+∞cF(x)d x<ε.注意ϕn在[c ,c ]中一致收敛于ϕ,因此存在N,当n>N时|ϕn−ϕ|<ε/(c −c )在[c ,c ]中成立.此时证明(续).∞cϕn(x)d x−∞cϕ(x)d x≤cc|ϕn−ϕ|d x+2ε≤3ε.证明(续).∞cϕn (x )d x −∞cϕ(x )d x≤cc|ϕn −ϕ|d x +2ε≤3ε.(交换无穷积分次序)设f (x ,y )在(a ,∞)×(c ,∞)中连续.假定f 满足下列条件:(i )积分ϕ(y )= ∞a f (x ,y )d x 关于y 在(c ,∞)中内闭一致收敛,积分ψ(x )= ∞c f (x ,y )d y 关于x 在(a ,∞)中内闭一致收敛;(ii )积分 ∞c d y ∞a |f (x ,y )|d x 和 ∞a d x ∞c |f (x ,y )|d y 至少有一个收敛,则ϕ(y ),ψ(x )分别在(c ,∞)，(a ,∞)中的广义积分都收敛,且积分相等:∞cd y ∞af (x ,y )d x = ∞ad x ∞cf (x ,y )d y .(1)证明.不妨设积分 ∞cd y∞a|f(x,y)|d x收敛.在(a,∞)中任取A n>a n,使得a n→a,A n→∞.记ϕn(y)= A na nf(x,y)d x,则|ϕ(y)|,|ϕn(y)|≤∞a|f(x,y)|d x,n=1,2, (2)这说明ϕ(y),ϕn(y)在(c,∞)中的广义积分收敛.当m充分大时,记ψm(x)= mc+1/mf(x,y)d y.根据条件(i),函数列{ψm(x)}在[a n,A n]中一致收敛于ψ(x).于是A n a n ψ(x)d x=limm→∞A na nψm(x)d x=limm→∞A na nd xmc+1/mf(x,y)d y.证明(续).因为f连续,交换积分次序可得A n a n ψ(x)d x=limm→∞mc+1/md yA na nf(x,y)d x=∞cϕn(y)d y.根据条件(i),函数列{ϕn(y)}在(c,∞)中内闭一致收敛于ϕ(y).由引理1可得lim n→∞ A na nψ(x)d x=∞cϕ(y)d y.由{a n},{A n}的任意性即知ψ(x)在(a,∞)中的广义积分收敛,且(1)式成立.例1计算积分I= ∞e−x2d x.例1计算积分I= ∞e−x2d x.解.当u>0时,令x=uv可得I=u ∞e−u2v2d v,此式两端同时乘以e−u2,再对u积分可得I2=∞0I e−u2d u=∞e−u2u d u∞e−u2v2d v.交换积分次序,得I2=∞0d v∞e−(1+v2)u2u d u=12∞d v1+v2=π4,因此I=√π/2.例2计算如下Fresnel积分,它们常出现在光的衍射现象中:I=∞0sin(x2)d x,J=∞cos(x2)d x.例2计算如下Fresnel积分,它们常出现在光的衍射现象中:I=∞0sin(x2)d x,J=∞cos(x2)d x.解.当α>0时,利用等式1√t =2√π∞e−tu2d u可得∞0sin t√te−αt d t=2√π∞e−αt sin t d t∞e−tu2d u =2√π∞d u∞e−(α+u2)t sin t d t=2√π∞d u1+(α+u2)2.因为积分∞0sin t√te−αt d t,∞d u1+(α+u2)2关于α∈[0,∞)一致收敛,故可令α→0+,得∞0sin t√td t=2√π∞d u1+u4=π2,令t=x2可得I=12π/2.用同样的方法可以算出对于积分J=I=12π/2.。
数学分析 第一型曲线积分
其中
∆si
=
s(ti )
−
s(ti−1).
如果极限 lim π →0
m i =1
f (σ(ξi ))∆si
存在且与
{ξi }
的选取无关,
则称此极限为
f
在 σ 上的第一型曲线积分, 记为
m
f ds = lim f (σ(ξi ))∆si .
σ
π →0 i =1
当 f = 1 时, 第一型曲线积分也就是曲线的长度.
β
(f ) = sup v (f ; π).
α
π
根据定义不难验证, 单调函数, Lipschitz 函数, C1 函数都是有界变差函数.
问题: 你能举一个连续但不是有界变差函数的例子吗?
可求长的充要条件
(Jordan 定理) 曲线 σ(t) 可求长当且仅当其分量均为有界变差函数.
可求长的充要条件
i =1
如果 supπ v (f ; π) 有限, 则称 f 为 [α, β] 上的有界变差函数, 它在 [α, β] 中的全变 差记为
β
(f ) = sup v (f ; π).
α
π
有界变差函数
为了确定曲线可求长的充分必要条件, 我们引入有界变差函数的概念.
设 f 为定义在 [α, β] 中的函数. 任给分割 π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β, 记
若 σ 的弧长参数存在, 第一型曲线积分可化为 Riemann 积分:
L(σ)
f ds =
f (σ(s)) ds.
σ
0
例子
例1
设曲线 σ
是椭圆
x2 a2
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xPra,bs
178
第十六章 含参变量的积分
由 apy q, bpy q 以及 f px, y q 的 (一致) 连续性即知 F py q 在 y “ y0 处连续. 关于 F py q 的可微性, 我们有 定理 16.1.4. 设 f px, y q 以及 fy px, y q 均在 ra, bs ˆ rc, ds 上连续, 如果 apy q,
0
满足方程
´u2 pxq “ f pxq, up0q “ up1q “ 0. 8. 设 f pxq 在 x “ 0 附近连续, 则函数 upxq “ 1 pn ´ 1q! żx
0
px ´ tqn´1 f ptqdt
满足方程
upnq pxq “ f pxq, up0q “ u1 p0q “ ¨ ¨ ¨ “ upn´1q p0q “ 0. 9. 设 ϕ, ψ 分别为 2 次可微和 1 次可微的函数, 证明函数 ż 1 x`at 1 ψ psqds upx, tq “ rϕpx ´ atq ` ϕpx ` atqs ` 2 2a x´at
反复利用上述定理即知 hpxq 在 p´a, aq 中任意次可导, 且 ż M `a ż8 pnq pnq h pxq “ f px ´ y qg py qdy “ f pnq px ´ y qg py qdy,
´M ´a ´8
由于 a ą 0 是任取的, 故 h 在 p´8, 8q 中光滑. 注. f 可以取为鼓包函数, 此时 h 可以看成函数 g 的光滑逼近. 例 16.1.2. 设 0 ă a ď b, 计算积分 ż1 b x ´ xa dx. I“ ln x 0 解. 我们把 a 看成是常数, 而把 b 看成是参数, 积分记为 I pbq, 则根据上述定 理, 有
0
解. 设 0 ă a ă 1, 当 λ P r´a, as 时, f px, λq “ lnp1 ` λ cos xq 以及
fλ px, λq “ cos x 1 ` λ cos x
在 r0, π s ˆ r´a, as 上连续, 于是 I “ I pλq 关于 λ 可微, 且 żπ π π cos x I 1 pλq “ dx “ ´ ? . 1 ` λ cos x λ λ 1 ´ λ2 0 对 λ 积分可得
żb I py q “
a
f px, y qdx, y P rc, ds,
称为含参变量的积分, 其中 y 是参数, 它对应于数列或函数列中的变数 n. 当 f px, y q 为 ra, bs ˆ rc, ds 中的连续函数时, 根据 §13.3 节中的讨论, 有
żd I py qdy “
c c a
żdżb f px, y qdxdy “
满足弦振动方程
B2 u B2 u “ a2 2 . 2 Bt Bx
180
第十六章 含参变量的积分
§16.2
含参变量的广义积分
如同 Riemann 积分的推广一样, 含参变量的积分也有两方面的推广. 一是积 分区间可以是无穷区间, 二是被积函数可能有瑕点. 为了简单起见, 我们以无穷积 分为例进行讨论, 带有瑕点的含参变量的积分可类似地讨论.
apy q apy0 q
ż apy0 q “
apy q
ż bpyq f px, y qdx `
bpy0 q
ż bpy0 q f px, y qdx `
apy0 q
rf px, y q ´ f px, y0 qsdx.
因为 f 连续, 故存在 M ą 0, 使得 |f px, y q| ď M . 由上式和已知条件得
第十六章
含参变量的积分
本章仍然讨论积分, 其中被积函数含有额外的参数, 我们要研究积分是如何依 赖于参数的. 这种积分的基本性质和无穷级数的性质十分类似, 它们也提供了构造 新函数的重要工具, 我们还将利用它们进一步研究 Fourier 积分.
§16.1
含参变量的积分
设 f px, y q 是定义在矩形 ra, bs ˆ rc, ds 上的函数, 且对于每个固定的 y P rc, ds, 关于 x 的函数 f px, y q 在 ra, bs 上 Riemann 可积, 则定义
a
(16.2)
称为含参变量的广义积分, 其中 y 是参数. 定义 16.2.1 (一致收敛). 如果任给 ε ą 0, 存在与 y 无关的 A0 “ A0 pεq ą a, 当 A, A1 ą A0 时, 对一切 y P rc, ds, 成立
ˇ ż A1 ˇ ˇż 8 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ f px, y qdxˇ ă ε, 或 ˇ f px, y qdxˇ ă ε, ˇ
żbżd f px, y qdydx.
a c
(16.1)
引理 16.1.1. 设 f px, y q 在 ra, bs ˆ rc, ds 中连续, 则 I py q 关于 y P rc, ds 连续. 证明. 有界闭集中的连续函数是一致连续的. 因此, 任给 ε ą 0, 存在 δ ą 0, 当
y1 , y2 P rc, ds 且 |y1 ´ y2 | ă δ 时 |f px, y1 q ´ f px, y2 q| ď ε, @ x P ra, bs.
apy q
其中 apy q, bpy q 是关于 y 的函数. 定理 16.1.3. 设 f px, y q 在 ra, bs ˆ rc, ds 上连续, 函数 apy q, bpy q 关于 y 连续, 且
a ď apy q ď b, a ď bpy q ď b, @ y P rc, ds,
则 F py q 是 rc, ds 上的连续函数. 证明. 任取 y0 P rc, ds, 则当 y P rc, ds 时, 有 ż bpyq ż bpy0 q F py q ´ F py0 q “ f px, y qdx ´ f px, y0 qdx
2. 计算下列积分 ż p1q
0
π 2
ln
1 ` a cos x dx p|a| ă 1q; p2q 1 ´ a cos x cos x
ż1
0
` 1 ˘ xb ´ xa sin ln dx pb ą a ą 0q. x ln x
3. 设 α ą 1, 计算积分 ż I“
0
π 2
lnpα2 ´ sin2 xqdx.
§16.2.1
一致收敛及其判别法
设 f px, y q 是定义在矩形 ra, 8q ˆ rc, ds 中的函数, 且对于每一个 y P rc, ds, 关 于 x 的函数 f px, y q 在 ra, 8q 中广义可积, 则定义 ż8 I py q “ f px, y qdx, y P rc, ds,
I pbq “
0 1
ż1
xb dx “
1 , b`1
这说明
I pbq “ lnp1 ` bq ` C.
又因为 I paq “ 0, 故 C “ ´ lnp1 ` aq, 从而
I “ ln 1`b . 1`a
这个积分也可以通过重积分化累次积分来计算.
§16.1 含参变 ă 1, 计算积分 żπ I“ lnp1 ` λ cos xqdx.
关于 a 积分, 得
I paq “
因为 I p0q “ 0, 故 C “ 0. 最后就得到
I paq “ lnp1 ` a2 q arctan a. 2
习题 16.1
1. 计算下列积分 żπ p1q
0
lnp1 ´ 2a cos x ` a qdx; p2q
0
2
ż
π 2
arctanpa tan xq dx pa ě 0q. tan x
0
满足 Bessel 方程
2 1 x2 Jn pxq ` xJn pxq ` px2 ´ n2 qJn pxq “ 0.
7. 定义函数 $ &y p1 ´ xq, y ď x, K px, y q “ %xp1 ´ y q, y ą x.
如果 f pxq 为 r0, 1s 上的连续函数, 则函数 ż1 upxq “ K px, y qf py qdy
ż y2 ψ py qdy “
y1 y1 żb a
ż y2 ż b fy px, y qdxdy “
ż b ż y2 fy px, y qdydx
a y1
“
a
rfy px, y2 q ´ f px, y1 qsdx
“ I py2 q ´ I py1 q.
这说明 I 1 py q “ ψ py q. 例 16.1.1. p˚q 设 f 为具有紧支集的光滑函数, g 连续. 定义函数 h 为 ż8 hpxq “ f px ´ y qg py qdy,
ża I paq “
0
lnp1 ` axq dx. 1 ` x2
解. 利用上面的定理, 得
I 1 paq “ ża lnp1 ` a2 q x ` dx 2 1 ` a2 0 p1 ` axqp1 ` x q lnp1 ` a2 q a arctan a ` . “ 2 1`a 2p1 ` a2 q lnp1 ` a2 q arctan a ` C. 2
I 1 py q “ żb fy px, y qdx.
a
证明. 记
żb ψ py q “
a
fy px, y qdx, y P rc, ds. 175
176
第十六章 含参变量的积分
根据题设和刚才的引理, ψ py q 关于 y 连续. 当 y1 , y2 P rc, ds 时, 利用积分次序的可 交换性, 得
A A
则称含参变量的广义积分