(人教版)高中数学必修四教案

合集下载

人教课标版高中数学必修四《二倍角的正弦、余弦和正切公式》教案(1)-新版

3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标（一）核心素养通过二倍角公式的学习和应用，使学生体会化归这一基本数学思想在发现和解决问题过程中的作用．在直观想象、数学推理中感受二倍角公式的特点．（二）学习目标1．了解二倍角公式的来由、过程，探求二倍角公式证明的思想方法． 2．通过学习二倍角公式的产生过程，深刻理解二倍角公式的本质． 3．能熟练地正用、逆用以及变形利用二倍角公式解决一些基本的问题．（三）学习重点1．深刻理解二倍角公式的由来、产生公式的过程． 2．认识二倍角公式的本质．（四）学习难点二倍角公式的本质及拓广应用．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第132页至第135页，填空：二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin cos αα.(S 2α) cos2α＝22cos sin αα-(C 2α)＝22cos 1α- ＝212sin α-. tan2α＝22tan 1tan αα-.(T 2α)．（2）推一推：由二倍角公式进行公式的变形，填空：1sin 2α±＝22sin cos 2sin cos αααα+±＝2(sin cos )αα±； 1cos α+＝22cos 2α；1cos α-＝22sin 2α；cos 2α＝1cos 22α+；sin 2α＝1cos 22α-． 2．预习自测（1）已知5sin 2,1342ππαα=<<，则sin 4α=( ) A ．120169-B.120169 C ．119169D ．119169-答案：A ．解析：【知识点】二倍角公式的正用．【解题过程】∵(,)42ππα∈，∴2(,)2παπ∈，5sin 213α=， 12cos 213α=-.∴120sin 42sin 2cos 2169ααα==-，点拨：先算单倍角的三角函数值，再通过倍角公式即可得．（2）22cos sin 88ππ-=( )A ．0C ．1D ．答案：B ．解析：【知识点】二倍角公式的逆用．【解题过程】∵22cos sin cos884πππ-==，∴选B ，点拨：需要观察所求式子的特征，符合二倍角的余弦公式．（3）若tan(α＋π4)＝3＋22，则1cos 2sin 2αα-＝________.．解析：【知识点】二倍角公式的正用及其逆用．【解题过程】∵21cos 22sin =tan sin 22sin cos αααααα-==⋅所求，又tan()tan44tan =tan[()]441+tan()tan 44ππαππααππα+-+-=+⋅点拨：先化简所求的式子，再结合已知条件，构造所要求的条件和结构（4）求值：1sin()sin(),(,),sin 4.4462x x x x ππππ+-=∈求答案：解析：【知识点】二倍角公式的变用．【解题过程】由()+()442x x πππ+-=，则有111sin()sin()sin()cos()sin(2)cos 244442226x x x x x x πππππ+-=++=+==，那1cos 23x =.又2(,2)x ππ∈，则sin 2x =sin 42sin 2cos 2x x x =⋅= 点拨：注意到()+()442x x πππ+-=，所以先将已知条件化简得到1cos 23x =，进而用二倍角公式求sin 4x . (二)课堂设计 1．知识回顾（1）两角和与差的余弦公式cos(α－β)＝cos cos sin sin αβαβ+.(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos cos sin sin αβαβ-.(C (α＋β))（2）两角和与差的正弦公式sin(α＋β)＝sin cos cos sin αβαβ+.(S (α＋β)) sin(α－β)＝sin cos cos sin αβαβ-.(S (α＋β))（3）两角和与差的正切公式tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-.tan(α－β)＝tan tan 1tan tan αβαβ-+.2．问题探究探究一结合实例，得到二倍角公式★ ●活动① 提出问题如图1要在半径为R 的半圆材料上(如图1)截成一条边在直径上的内接长方形ABCD ．设BOC θ∠=，当θ为多大时，才能使长方形ABCD 面积最大?易得22sin cos ,(0,)S R θθθπ=∈，那么当θ为多大时，才能使长方形ABCD 面积最大？这就需要考虑sin cos θθ，这里sin cos θθ、分别最大都是1，但不能同时取到，所以需要化简．请学生回顾，在哪里见过sin cos θθ这种正弦余弦相乘的结构，自然想到和差角的正弦公式．【设计意图】从实际数学问题入手，体会二倍角公式学习的必要性． ●活动②知识回忆，公式探索两角和与差的正弦公式sin(α＋β)＝sin cos cos sin αβαβ+.(S (α＋β)) sin(α－β)＝sin cos cos sin αβαβ-.(S (α＋β))提问1：在已学的和差角的正弦公式中，怎样才能出现刚才的sin cos θθ？明显需要把αβ、都赋值成θ，所以即可以得二倍角的正弦公式：sin 22sin cos θθθ=.此外，在差角公式中得出来的就是恒等式sin 00=，无研究意义了．提问2：按照同样的方法，能否推出二倍角的余弦和正切公式？由学生自己动手完成．22cos 2cos sin θθθ=-；22tan tan 21tan θθθ=- 提问3：对于22cos 2cos sin θθθ=-，在展开式当中，能否写成其他的形式？用22cos sin 1θθ+=可以替换其中的一个三角函数，所以22cos 22cos 112sin θθθ=-=-，从而可以将二倍角的余弦写成只有cos sin θθ、中的一个即可，为今后的运算带来更大的方便．【设计意图】通过二倍角公式的推导，让学生体会倍角公式是从一般到特殊的替代赋值过程．探究二理解二倍角公式的本质★ ●活动① 理解二倍角的本质提问1：如何理解二倍角中的“倍”的含义？倍是针对两个量之间的关系的，倍角是相对而言的．比如2θθ是的2倍，2θθ是的2倍，24θθ是的2倍，所以这里的二倍角其本质蕴含着换元的思想．提问2：二倍角公式中角的取值范围有什么要求？根据前面学习三角函数的定义，就只有正切有要求，只要有正切作用的角，都不能取+2k ππ●活动②巩固理解，加深认识提问3：这些公式有什么特征？公式从左到右，次数由一次变成二次，而角度由双倍角变为单倍角．也就是次数在增倍，角度在减半，所以都是处在平衡之中的．即从左到右减倍增次．【设计意图】在对公式的特点进行进一步分析，让学生能够体会这其中的换元的思想，以及在恒等式的变形中都会有一个平衡，次数增加必有角度减半，反之亦然．探究三公式的变形及应用★▲ ●活动①理解提升，公式的拓展变形提问：如何进一步理解倍角和次数的关系，二倍角公式还可以做哪些变形？学生自主探究，相互讨论，合作交流．二倍角公式反应的是将二倍角的三角函数值与单倍角的三角函数值的转化，从而对于二倍角的余弦公式就可以拓广有升幂（降角）公式221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=，降幂（升角）公式221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==．二倍角的正弦拓广就有：sin 2sin cos 2θθθ=，2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=±【设计意图】通过学生自主探究，合作交流，加深对公示的理解和记忆，培养学生数学归类梳理意识．●活动②初步实践，解决引入数学问题在刚才的引入的具体数学问题中22sin cos ,(0,)S R θθθπ=∈可变形为2sin 2,(0,)S R θθπ=∈，所以当22πθ=，即4πθ=时，S 最大，2max S R =【设计意图】应用所学的公式解决引入的问题，让学生加深对倍角公式应用的理解．活动③巩固基础，检查反馈例1已知(,)2παπ∈且3sin 5α=，求sin 2α和cos 2α.【知识点】二倍角公式的正用．【解题过程】∵(,)2παπ∈，3sin 5α=，∴4cos 5α=-.∴24sin 22sin cos 25ααα==-，27cos 212sin 25αα=-=【思路点拨】先算单倍角的三角函数值，通过被角公式即可算所求．【答案】24sin 225α=-，7cos 225α=．同类训练：已知(,)42ππα∈且5sin 213α=，求cos 4α.答案：119cos 4169α=．解析：【知识点】二倍角公式的正用．【解题过程】∵(,)42ππα∈，2(,)2παπ∈，5sin 213α=，∴12cos 213α=-.∴2119cos 412sin 2169αα=-=点拨：先算单倍角的三角函数值，通过被角公式即可算所求．例2求值：（1）225sin sin 1212ππ-；（2）21tan 2230'tan 2230'-︒︒；（3）sin105sin15︒⨯︒.答案：（1）2）2；（3）14．解析：【知识点】公式的逆用．【解题过程】（1）原式＝225sin sin 1212ππ-=2255cos sin 1212ππ-=5cos 6π=cos 6π-=（2）原式＝221222tan 2230'2tan 2230'tan 451tan 2230'1tan 2230'===︒︒︒-︒-︒.（3）原式＝111sin(9015)sin15cos15sin15(2sin15cos15)sin 30224︒+︒︒=︒︒=︒︒=︒=点拨：通过适当变形，创造适合公式的条件．（1）由5sin cos 1212ππ=，所以225sin cos 1212ππ=，利用二倍角公式求解；（2）由倒数关系，分子、分母同乘以2以后利用倍角公式求解；（3）利用诱导公式及倍角公式求解．同类训练求值：（1）22sin 5cos 5sin 40cos 40︒-︒︒⋅︒；（2）2tan151tan 15︒-︒；答案：（1）2-；（2．解析：【知识点】公式的逆用．【解题过程】（1）原式=22sin 5cos 5cos10cos10211sin 40cos 40sin 80cos1022︒-︒-︒-︒===-︒⋅︒︒︒．（2）22tan1512tan151tan 301tan 1521tan 152︒︒=⋅=︒=-︒-︒点拨：根据所给式子的结构进行二倍角公式的逆用，通过适当变形，创造适合公式的条件．【设计意图】巩固二倍角公式，让学生学会正用和逆用公式，加深对于倍角公式的理解运用，并且让学生体会逆用公式解题是训练学生逆向思维和灵活思维的重要手段． ●活动4强化提升、灵活应用例3在ABC ∆中，4cos ,tan =25A B =，求tan(22)A B +．【知识点】公式的综合应用．【解题过程】解法1：在ABC ∆中，由43cos ,(0,)sin 55A A A π=∈=得,所以sin 3tan cos 4A A A ==．22tan 24tan 21tan 7A A A ==-，又tan =2B ，所以22tan 4tan 21tan 3B B B ==--.所以244tan 2+tan 24473tan(222441tan 2tan 21171()73A B A B A B -+===-⋅-⨯-）解法2：在ABC ∆中，由43cos ,(0,)sin 55A A A π=∈=得,所以sin 3tan cos 4A A A ==．又tan =2B ，所以32tan +tan 114tan(31tan tan 2124A B A B A B ++===--⋅-⨯），所以[]22112()2tan(+)442tan(22tan 2(111tan ()1171()2A B A B A B A B ⨯-+=+===-+--））【思路点拨】从要求的角可以看出和已知的角是具有2倍关系的，所以创造适合公式的条件．法一：用tan 2+tan 2tan(221tan 2tan 2A BA B A B+=-⋅）；法二：用[]22tan(+)tan(22tan 2(1tan ()A B A B A B A B +=+=-+））【答案】44117．同类训练：已知cos tan 2,(0,)2παβαβ==∈、，求tan(22)αβ+ 答案：247．解析：【知识点】二倍角公式的综合应用【解题过程】解法1：由cos (0,),2παα=∈则sin α=所以sin tan 2cos ααα==．则22tan 4tan 21tan 3ααα==--，又tan =2β，所以22tan 4tan 21tan 3βββ==--. 所以44tan 2+tan 22433tan(22441tan 2tan 271()()33αβαβαβ--+===-⋅--⨯-）解法2：由cos (0,),2παα=∈则sin α=所以sin tan 2cos ααα==．又tan =2β，所以tan +tan 224tan(1tan tan 1223αβαβαβ++===--⋅-⨯），所以[]2242()2tan(+)243tan(22tan 2(41tan ()71()3αβαβαβαβ⨯-+=+===-+--））解法3：在ABC ∆中，由cos (0,),2παα=∈则sin α=,所以sin tan 2cos ααα==．又tan =2β，(0,)2παβ∈、且所以αβ=,其中22tan 4tan 21tan 3βββ==--，所以原式=2242()2tan 2243tan(22tan 441tan 271()3βαβββ⨯-+====---）．点拨：从要求的角可以看出和已知的角是具有2倍关系的，所以创造适合公式的条件．法一：用tan 2+tan 2tan(221tan 2tan 2αβαβαβ+=-⋅）；法二：用[]22tan(+)tan(22tan 2(1tan ()αβαβαβαβ+=+=-+））；法三：经计算可得αβ=，所以可求tan 4β．例4．化简下列各式： (1)cos36cos 72︒⨯︒；(2)sin 70sin 50sin 30sin10︒⨯︒⨯︒⨯︒；【知识点】二倍角公式的变用．【解题过程】（1）2sin 36cos36cos 72cos36cos 722sin 36︒⋅︒⋅︒︒⋅︒=︒11sin144sin 36sin 72cos 721222sin 362sin 362sin 364︒︒︒⋅︒====︒︒︒（2）原式=cos 20cos 40cos 60cos80︒⋅︒⋅︒⋅︒ ＝sin 20cos 20cos 40cos802sin 20︒⋅︒⋅︒⋅︒︒＝sin 40cos 40cos804sin 20︒⋅︒⋅︒︒＝sin 80cos808sin 20︒⋅︒︒＝sin16016sin 20︒=︒116. 【思路点拨】各题的解法均为构造法，连续用公式：1sin cos sin 22ααα⋅=.产生“连锁反应”起到化简作用．【答案】（1）14；（2）116．同类训练化简下列各式： (1)sin18cos36︒∙︒；(2)cos100cos140cos160︒∙︒∙︒；答案：（1）14；（2）18-．解析：【知识点】二倍角公式的变用．【解题过程】（1）sin18cos18cos36sin 36cos36sin 721sin18cos36cos182cos184cos184︒⋅︒⋅︒︒⋅︒︒︒⋅︒====︒︒︒（2）原式＝(cos80)(cos 40)(cos 20)-︒⋅-︒⋅-︒＝sin 20cos 20cos 40cos80sin 20︒⋅︒⋅︒⋅︒-︒＝sin 40cos 40cos802sin 20︒⋅︒⋅︒-︒＝sin 80cos804sin 20︒⋅︒-︒＝sin1608sin 20︒-=︒18-.点拨：各题的解法为构造法，连续用公式：1sin cos sin 22ααα⋅=.产生“连锁反应”起到化简作用．【设计意图】由浅入深，让学生感受公式的正用，逆用外，以及公式的变用，感悟学以致用． 3.课堂总结知识梳理（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin cos αα.(S 2α) cos2α＝22cos sin αα-(C 2α)＝22cos 1α- ＝212sin α-. tan2α＝22tan 1tan αα-.(T 2α)．（2）由二倍角公式进行公式的变形：1±sin2α＝22sin cos 2sin cos αααα+±＝2(sin cos )αα±；升幂公式：1＋cos α＝22cos 2α；1－cos α＝22sin 2α；降幂公式：cos 2α＝1cos 22α+；sin 2α＝1cos 22α-．重难点归纳（1）)倍角公式探索是从一般到特殊的替代过程，是高中数学重要的一种思想方法，利用此方法，可以探索出更多的公式如三倍角公式．（2）倍角是相对的，α是2α的倍角，2α是α的倍角，4α是2α的倍角等．（3）公式的推广、变形、逆用也是灵活运用，是理解公式的关键所在．（三）课后作业基础型自主突破1．若[,]42ππθ∈，3sin 4θ=，则sin2θ＝（） A.18B.18-C.答案：D ．解析：【知识点】二倍角的正弦公式．【解题过程】因为[,]42ππθ∈，所以3sin 4θ=，所以cos θ=，所以sin 22sin cos θθθ=⋅= D. 点拨：利用二倍角公式计算．2．若3sin 25θ=，4cos 25θ=-，则θ在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D ．解析：【知识点】二倍角公式的正用．【解题过程】2222437cos cos sin ()()0225525θθθ=-=--=>， 3424sin 2sin cos 20225525θθθ-=⋅=⋅⋅-=<，∴θ在第四象限．点拨：计算θ的是三角函数值的符号以确定θ的位置．3．22sin110sin 20cos 155sin 155︒⋅︒︒-︒的值是( ) A ．－12B.12C.32D.－32答案：B ．解析：【知识点】二倍角公式的逆用．【解题过程】原式＝cos 20sin 20cos310︒⋅︒︒＝1sin 402cos50︒︒=1sin 402sin 40︒︒＝12. 点拨：结合已知，创造适合公式的条件． 4．求111tan 22.51tan 22.5--︒+︒的值是( ) A ．0B ．1C ．－1 D.22答案：B ．解析：【知识点】二倍角的正切公式的正用．【解题过程】原式=22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒=︒=-︒. 点拨：先通分即可化为二倍角的正切公式． 5．若cos 2sin()4απα=-，则cos α＋sin α的值为( ) A．B．1 2 -C.1 2答案：C．解析：【解题过程】由cos2sin)sin()4αααπα==+=-所以1cos sin2αα+=点拨：利用二倍角公式和差角公式打开即得．6．若sin tan0x x⋅<等于( )xB．xxD．x答案：B．解析：【知识点】升幂公式．【解题过程】∵2sinsin tan0cosxx xx⋅=<，∴cos0x<x==．点拨：用升幂公式化简所求，再结合已知判断符号．能力型师生共研7．若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23D.－2答案：A ．解析：【知识点】二倍角公式的综合应用．【解题过程】由已知可得3sin α＝－cos α，则tan α＝－13. 则所求22222111sin cos 1tan 1092cos sin 2cos 2sin cos 12tan 313ααααααααα+++=====++⋅+-．点拨：先化简已知可得tan α，再将所求化成分子分母二次齐次的式子．8．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A 的值为( )BC.53D ．－53答案：A ．解析：【知识点】二倍角公式的变形应用．【解题过程】∵sin2A ＝2sin A cos A ＝23，∴1＋2sin A cos A ＝53，且必有sin ,cos 0A A >即sin 2A ＋2sin A cos A ＋cos 2A ＝53.∴|sin A ＋cos A |又∵A 为锐角，∴sin A ＋cos A，故选A ．点拨：已知sin A 与cos A 的乘积，算sin A 与cos A 的和差，均需平方以后再开方计算．探究型多维突破9．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值；(2)求β.答案：（1）；（2）β＝π3．解析：【知识点】二倍角公式的应用．【解题过程】由cos α＝17，0<α<π2，得sin α===∴sin tan cos ααα==.于是22tan tan 21tan ααα==-. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin()αβ-===则1131cos cos[()]cos cos()sin sin()7142βααβααβααβ=--=-+-=⨯+=. ∴β＝π3.点拨：（1）先求tan α，再用二倍角公式算tan 2α；（2）算β的三角函数值，由条件需要用()βααβ=--构造．10．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求()3f π的值； (2)求()f x 的最大值和最小值．答案：（1）94-；（2）()f x 最大值6；()f x 最小值73-. 解析：【知识点】三角公式的简单综合应用．【解题过程】(1)2239()2cos sin 4cos 12333344f ππππ=+-=-+-=-. (2)222227()2(2cos 1)1cos 4cos 3cos 4cos 13(cos )33f x x x x x x x =-+--=--=--，x ∈R ， cos [1,1]x ∈-，∴当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =时，()f x 取最小值73-. 点拨：（1）特殊角带入计算即可；（2）由所给的式子，对于同一个角x ，既有二次项，又有一次项，则最终可化成一个二次型函数．自助餐1．已知3sin()5απ-=，则cos 2α=_________.答案：725．解析：【知识点】二倍角的余弦公式的正用以及诱导公式．【解题过程】由3sin()sin 5απα-=-=，所以3sin 5α=-，则27cos 212sin 25αα=-=．点拨：先用诱导公式求出单倍角的三角函数值，再用倍角公式计算．2．cos 20cos 40cos80︒∙︒∙︒=________. 答案：18．解析：【知识点】被角公式的变用．【解题过程】1sin 40cos 40cos80sin 20cos 20cos 40cos802=sin 20sin 20︒⋅︒⋅︒︒⋅︒⋅︒⋅︒=︒︒原式 111sin160sin 20sin 80cos801884sin 20sin 20sin 208︒︒︒⋅︒====︒︒︒．点拨：解法构造法，连续用公式：1sin cos sin 22ααα⋅=.产生“连锁反应”起到化简作用． 3．函数2()sin cos f x x x x =在区间[,]42ππ上的最大值是________．答案：32．解析：【知识点】二倍角公式的变形以及三角函数的性质【解题过程】21cos 21()sin cos 2sin(2)262x f x x x x x x π-=+==-+，又x ∈[π4，π2]，∴2x －π6∈[π3，5π6]，所以()f x 的最大值为32．点拨：对于齐次式，利用降幂公式将次数化为一次，然后再用辅助角公式化成一个三角函数．4．若1tan 4tan θθ+=，则sin 2θ＝________. 答案：12．解析：【知识点】三角公式的变形及二倍角公式．【解题过程】法一：2211tan tan 4,1tan 4tan tan tan θθθθθθ++==∴+=． ∴sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12.法二：212sin ,42sin 21cos sin sin cos cos sin tan 1tan 22=∴=+=+=+θθθθθθθθθθ 点拨：先将已知条件化简转化成单倍角θ的正切tan θ，再将所求也变形成tan θ的式子．5．已知函数()cos(),46R x f x A x π=+∈，且()3f π=(1)求A 的值；(2)设α、β∈[0，π2]，4828(4),(4)3535f f απβπ+=--=，求cos(22)αβ+的值．答案：（1）2A =；（2）1-．解析：【知识点】倍角公式的应用．【解题过程】（1）由()cos()3126f A πππ=+=，得cos 4A π=2A = （2）由（1）()2cos()46x f x π=+，则48(4)2cos()336528(4)2cos()3665f f ππαπαππβπβ⎧+=++=-⎪⎨⎪-=-+=⎩，可解得4sin 54cos 5αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩又α，β∈[0，π2]，所以33cos ,sin 55αβ====，所以3443cos()cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯= 那么22cos(22)2cos ()12011αβαβ+=+-=⨯-=-点拨：将已知条件进行带入化简，则很容易求得．6．已知函数22()sin cos 2cos ,f x x x x x x R =+∈，求函数()f x 的最小正周期和单调增区间．答案：（1）T π=；（2）增区间：[,],36Z k k k ππππ-+∈．解析：【知识点】二倍角公式的逆用及三角函数的性质．【解题过程】1cos 21cos 213()222cos 22222x x f x x x x -+=++=++3sin(2)62x π=++ （1）所以()f x 的最小正周期22T ππ==．（2）令222,262Z k x k k πππππ-≤+≤+∈,即,36Z k x k k ππππ-≤≤+∈.所以函数()f x 的单调增区间为[,],36Z k k k ππππ-+∈．点拨：本题是逆用二倍角公式，将已知函数化简成为()sin()f x A x B ωϕ=++的结构，从而问题可得到解决．。

2019-2020年高中数学1.5函数y=Asin(wx+)的图象教案新人教A版必修4

2019-2020年高中数学1.5函数y=Asin(wx+)的图象教案新人教A版必修4一、教学分析本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.二、教学目标：1、知识与技能借助计算机画出函数y＝Asin(ωx+φ) 的图象，观察参数Φ，ω，A对函数图象变化的影响；引导学生认识y＝Asin(ωx+φ) 的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程.2、过程与方法通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索, 让学生体会研究问题时由简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法.3、情感态度与价值观经历对函数y＝sin x到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想; 培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.三、教学重点、难点：重点：将考察参数Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解，找出函数y＝sin x 到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图.难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．四、教学设想：函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）（一）、导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.（二）、推进新课、新知探究、提出问题①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图象,看看与y ＝sinx的图象是否有类似的关系？③你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).⑤类似地,你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2,φ=.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合.图1问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图象,并探究它与y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y 值,y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、x B-x A、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+)的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=,用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合.如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论:y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图象与y=sin(x+)的图象作比较,取点A、B观察.发现规律:图2如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=,让学生自己比较y=sin(x+)的图象与y=sin(x+)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(x+)的图象.当取ω为其他值时,观察相应的函数图象与y=sin(x+)的图象的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论:函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.图3问题⑤,教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索ω、φ对图象的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+)的图象,可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.（三）、讨论结果:①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A 对函数图象的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察.②略②略.③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状.⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.（四）、规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx 的图象个单位长度平移或向右向左||)0()0(ϕϕϕ−−−−−−→−<>得y=sin(x+φ)的图象 )(1)1()10(纵坐标不变到原来或缩短横坐标伸长ωωω−−−−−−−−→−><<得y=sin(ωx+φ)的图象 )()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A −−−−−−−−→−<<>得y=Asin(ωx+φ)的图象. 先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx 的图象)()10()1(横坐标不变倍这原来的或缩短纵坐标伸长A A A −−−−−−−−→−<<>得y=Asinx 的图象 )(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω−−−−−−−−→−><<得y=Asin(ωx)的图象个单位平移或缩短向左||)1()0(ωϕωϕ−−−−−−→−>>得y=Asin(ωx+φ)的图象.（五）、应用示例例1 画出函数y=2sin(x-)的简图.活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ＝,ω＝,A ＝2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图象的过程:只需把y ＝sinx 的曲线上所有点向右平行移动个单位长度,得到y=sin(x-)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象,如图4所示.图4(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(x-),简图的方法,教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.解:方法一:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为y=sinxy=sin(x-)y=sin(x-)倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变2−−−→−y=2sin(x-).方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为y=sinxy=sinxy=2sinxy=2sin(x-)=2sin(x-).方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象) 令X=x-,则x=3(X+).列表:X0 π 2π X2π 5π Y 0 2 0 -2 0 描点画图,如图5所示.图5点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X 取0,,π,,2π来确定对应的x 值.（六）、课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图象,并分别观察参数φ、ω、A 对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.（七）、作业函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）（一）、导入新课思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课.思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(x-)的简图,学生动手画图,教师适时的点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.（二）、推进新课、新知探究、提出问题①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时,列表中最关键的步骤是什么？②(1)把函数y＝sin2x的图象向_____平移_____个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图象；(2)把函数y＝sin3x的图象向_______平移_______个单位长度得到函数y＝sin(3x＋)的图象；(3)如何由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝sin(2x+)的图象？③将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度,所得到的曲线是y=sinx的图象,试求函数y=f(x)的解析式.对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.甲：所给问题即是将y=sinx的图象先向右平移个单位长度,得到y=sin(x-)的图象,再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=sin(2x-),即y=cos2x的图象,∴f(x)=cos2x.乙：设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+φ)的图象,再将所得的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin(x++φ)=sinx,∴A=,=1,+φ=0,即A=,ω=2,φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.丙：设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+φ)的图象,再将所得的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin[(x+)+φ]=Asin(x++φ)= sinx,∴A=,=1,+φ=0.解得A=,ω=2,φ=-,∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.问题③,甲的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=sinx变换到y=f(x),解答正确.乙、丙都是采用代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将y=Asin(x+φ)的图象向左平移个单位长度时,把y=Asin(x+φ)函数中的自变量x变成x+,应该变换成y=Asin[(x+)+φ],而不是变换成y=Asin(x++φ),虽然结果一样,但这是巧合,丙的解答是正确的.三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体,令其分别为0, ,π, ,2π.②(1)右, ；(2)左, ；(3)先y＝sinx的图象左移,再把所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变).③略.提出问题①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图象,你能说出简谐运动的函数关系吗？②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A、ω、φ有何关系.活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.②略.（三）、应用示例例1 图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?(3)写出这个简谐运动的函数表达式.图7活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A在图象上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A等参数在图象上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充.解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为.(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运动.(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),那么A=2;由=0.8,得ω=;由图象知初相φ=0.于是所求函数表达式是y=2sinx,x∈［0,+∞).点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法.变式训练函数y=6sin(x-)的振幅是,周期是____________,频率是____________,初相是___________,图象最高点的坐标是_______________.解:6 8π(8kπ+,6)(k∈Z)例2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(,3)和一个最低点(,-5),求这个函数的解析式.活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图象,它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图象的关系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|个单位.由图象可知,取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图象,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π,如不注明,就取离y轴最近的一个即可.解:由已知条件,知y max=3,y min=-5,则A=(y max-y min)=4,B= (y max+y min)=-1,=-=.∴T=π,得ω=2.故有y=4sin(2x+φ)-1.由于点(,3)在函数的图象上,故有3=4sin(2×+φ)-1,即sin(+φ)=1.一般要求|φ|<,故取+φ=.∴φ=.故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1.点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图,结合图象可直接求得A、ω,进而求得初相φ,但要注意初相φ的确定.求初相也是这节课的一个难点.变式训练已知函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)一个周期的图象如图8所示,求函数的解析式.解:根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择对应的方程ωx i+φ=0,,π,,2π(i=1,2,3,4,5),得出φ的值.方法一:由图知A=2,T=3π,由=3π,得ω=,∴y=2sin(x+φ).由“五点法”知,第一个零点为(,0),∴·+φ=0φ=-,故y=2sin(x-).方法二:得到y=2sin(x+φ)同方法一.由图象并结合“五点法”可知,(,0)为第一个零点,(,0)为第二个零点.∴·+φ=πφ=.∴y=2sin(x-).点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用ωx1+φ=0或ωx2+φ=π求出φ.2.xx海南高考,3函数y=sin(2x-)在区间［,π］上的简图是( )图9答案:A（四）、课堂小结1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值.2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,这种题目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名,则将异名函数化为同名函数,且需x的系数相同.左右平移时,如果x前面的系数不是1,需将x前面的系数提出,特别是给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点法”中的第一零点(,0)作为突破口,一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置.（五）、作业.。

本册综合-人教B版高中数学必修第四册(2019版)教案

本册综合-人教B版高中数学必修第四册（2019版）教案教材概述本册教材是人教版B高中数学必修课程的第四册，共分为三个模块，包括导数与导数应用、不等式与线性规划和三角函数与三角恒等式三个章节。

本教材突出了“立足现实，强化应用”的教学特点，注重培养学生独立思考能力和解决实际问题的能力。

全书内容丰富、知识点明确，具有循序渐进、易于消化和吸收的特点。

教学目标知识目标1.熟悉导数和导数应用的相关概念和公式，能够运用导数计算函数的极值、最值和函数图像的变化趋势；2.掌握各种类型不等式的解法和基本不等式的应用，了解约束条件和目标函数的概念，能够运用线性规划模型解决实际问题；3.熟悉三角函数的定义、性质和恒等式，能够解决三角函数的基本问题。

能力目标1.培养独立思考能力和解决实际问题的能力；2.培养抽象思维能力和推理能力；3.培养算法设计能力和计算能力。

情感目标1.培养学习数学的兴趣和热情；2.培养对数学知识的探究精神和求知欲；3.培养团队协作精神和阳光心态。

教学重点与难点教学重点1.导数与导数应用；2.不等式与线性规划；3.三角函数与三角恒等式。

教学难点1.函数导数的概念及其计算；2.不等式的综合运用；3.三角函数的函数值计算和同角恒等式的应用。

教学过程模块一：导数与导数应用学习目标•理解函数极值和最值的概念；•理解导数的概念和计算方法；•掌握利用导数计算函数的极值和最值。

学习重点1.函数极值和最值的概念；2.导数的概念和计算方法；3.利用导数计算函数的极值和最值。

教学过程1.导入新知识。

学生体验一下讨论某一事件的极端情况，引导学生体会“极值”这一概念的本质意义。

2.引入导数的概念。

通过图像、表格和实例等形式引出导数的概念，让学生理解导数的本质概念。

3.导数的计算方法。

讲解导数的定义和计算方法，并通过例题帮助学生掌握导数的计算方法。

4.应用导数计算函数的极值和最值。

通过例题帮助学生掌握应用导数计算函数的极值和最值的方法。

人教课标版高中数学必修四《降幂公式、半角公式》教案(1)-新版

3.1.4 降幂公式、半角公式一、教学目标（一）核心素养通过让学生自己动手由二倍角公式的变形推导出降幂公式以及半角公式，并会运用公式进行灵活变形计算，在数学运算、逻辑推理中体会转化与化归、降元与换元的数学思想方法. （二）学习目标1．通过二倍角公式的变形推导出降幂公式，加深理解降元、三角恒等变换的基本思想方法． 2．经历二倍角变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，并明确“±”号的选取，进一步体会化归、换元的数学思想．3．能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力．（三）学习重点 1．降幂公式的推导．2．半角的正弦、余弦和正切公式以及公式的正用、逆用、变形应用．（四）学习难点1．降幂公式、半角公式与倍角公式之间的内在联系． 2．运用半角公式时正负号的选取．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）“倍角”的含义是什么？“倍角”是描述两个角之间的关系，具有相对性.例如：2α是α的倍角，4α是2α的倍角，2α是4α的倍角．（2）二倍角公式22cos 22cos 112sin ααα=-=-可以怎样进行变形？移项变形得到：21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=若已知二倍角函数值，开根号可得到单角函数值：sin α=、cos α=若已知单角函数值，换元后可得到半角函数值：sin2α=cos 2α=2．预习自测1.下列说法中正确的个数是（）①当α是第一象限角时,sin 2α=②对任意角α, 21cos tan 21cos ααα-=+都成立；③半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的. A.0 B.2 C.1 D.3 答案：C解析：【知识点】降幂公式、半角公式概念辨析．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】当α是第一象限角时，222k k ππαπ<<+，∴24k k απππ<<+，∴2α在第一、三象限，故sin 2α=tan 2α有意义且1+cos α≠0,即：2,(21)()22k k k k Z αππαππαπ≠+≠+≠+∈且即②错；由半角公式推导过程可知③正确．点拨：明确“±”号的选取以及公式适用条件．（2）求2cos 22.5︒的值．答案：12解析：【知识点】降幂公式的运用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】21+cos 451cos 22.5=22︒︒=+．点拨：降元化为特殊角的三角函数进行求值．（3）求sin15,cos15,tan15值．2．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】1-cos302sin15====;1+2cos15====sin156tan15=2cos156== 点拨：利用半角公式化为特殊角的三角函数进行求值．（4）已知532x ππ<<，则sin 2x=（）A ．B ．CD ．答案：D ．解析：【知识点】半角公式中“±”号的选取．【数学思想】化归思想．【解题过程】5533sin 24222x x x ππππ<<∴<<∴=，，．点拨：明确“±”号选取的原则． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：2S :sin 22sin cos αααα=22222C :cos 2cos sin 2cos 112sin αααααα=-=-=-222tan T :tan 21tan αααα=- （2）二倍角公式的使用条件：①公式22S C αα、中的α∈R. ②公式2T α中的()42k k k Z ππαπαπ≠+≠+∈且（3）运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性，它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指2α是α的二倍角，还可以是2α、4α的二倍角等等．2．问题探究探究一降幂公式●活动① 二倍角公式的变形思考1:如何用cos2α表示2sin α、2cos α？利用二倍角公式进行移项变形，由22cos 212sin 2cos 1ααα=-=-得：21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=思考2: 21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=这两个式子有什么共同特点？由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的) 我们称①21cos 2sin 2αα-=②21cos 2cos 2αα+=为降幂公式．【设计意图】教师与学生一起总结出降幂公式的特点,并告诉学生倍角公式和降幂公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明．探究二半角公式★▲ ●活动① 半角公式的推导思考1：⑴α与2α有什么关系?⑵如何建立cos α与2α的三角函数之间的关系？解析：α是2α的两倍角；利用降幂公式，将公式中的α用2α代替即可得cos α与2α的三角函数之间的关系．在降幂公式21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=以及ααααα2cos 12cos 1cos sin tan 222+-==中，以α代替2α以2α代替α即得：∴21cos sin =22αα-① cos 22α=1+cos 2α② 21cos tan 21cos ααα-=+③ 思考2：上面①②③式还可以怎样变形处理？结果还可以变形为:2sin)2αα=2cos)2αα=2tan)2αα=2T α中：(21)()k k Z απ≠+∈并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2α所在象限决定．观察上面的①②③式，总结：用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数．思考3：半角正切公式还有其他的表示式吗？2sin 2sincossin 222tan21cos cos 2cos 22αααααααα===+① 2sin 2sin 1cos 22tan2sin cos2sincos222αααααααα-===② 该表达式中tan2α的符号由sin α确定，避免了符号的讨论，使用起来非常方便．【设计意图】通过进一步的三角恒等变形，培养学生推导能力，同时使学生认识到新公式产生的根源．●活动② 符号的确定思考1：若给出的角α是某一象限的角时，怎么确定半角三角函数表示式前的符号？原则：公式相等的前提条件是左右两边符号一致，即左边的三角函数值在2α所在象限的符号就是右边的符号，根据下表决定符号：思考2：如果没有给出限定符号的条件，怎么办？在根号前保留正负两个符号．【设计意图】通过让学生自己探究发现问题的过程，明确利用半角公式求三角函数值易错的地方．探究三降幂公式、半角公式的应用★▲ ●活动① 归纳梳理，理解提升（1）降幂公式： ①21cos 2sin 2αα-=②21cos 2cos 2αα+= （2）半角公式：2sin)2αα= 2cos )2αα= 2tan )2αα= 2T α中：(21)()k k Z απ≠+∈sin 1cos tan=21cos sin ααααα-=+ （3）半角公式符号选取原则：左边的三角函数值在2α所在象限的符号就是右边的符号．【设计意图】培养学生归类整理意识，并能熟练运用这些变形公式． ●活动② 巩固基础，检查反馈例1. 若sin80°=m ,则用含m 的式子表示cos5°=________．【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】由题意得：sin80°=cos10°=m,∴cos5︒===【思路点拨】利用半角公式求值，并准确判断符号．同类训练cos x=79,且322xππ<<,则cos2x=______．答案：解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵322xππ<<,∴342xππ<<,2x是第二象限角，∴cos2x===．点拨：利用半角公式求值，并准确判断符号．例2. 求22cos18π-的值．．解析：【知识点】降幂公式的运用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】22cos1=cos11cos844πππ-+-==．点拨：降幂化为特殊角的三角函数进行求值．同类训练21+2cos cos2=θθ-_________．答案：2．解析：【知识点】倍角公式的灵活运用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】21+2cos cos 2=1+1+cos2cos 2=2θθθθ--．点拨：二倍角公式灵活化简．【设计意图】巩固降幂公式、半角公式，并熟练应用． ●活动③ 强化提升，灵活应用例3 已知43sin ,,52παπα=-<<求sin cos ,tan 222ααα，．【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵3,2ππα<<∴3,224παπ<<又∵4sin 5α=-，∴3cos 5α=-．∴sin 2α==cos = 2α==sin 2tan= 22cos2ααα=-．【思路点拨】利用半角公式时注意符号取值．；2．同类训练化简：1tan+8tan12ππ．答案：1+解析：【知识点】半角公式1cos tan 2sin ααα-=的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】原式=1+cos 1-cos641sinsin46ππππ+=+=+点拨：利用半角公式1cos tan2sin ααα-=，可避免“±”的讨论．【设计意图】巩固半角公式，注意灵活选取半角的正切公式．3．课堂总结知识梳理（1）降幂公式： ①21cos 2sin 2αα-=②21cos 2cos 2αα+= （2）半角公式：2sin)2αα=2cos )2αα=2tan )2αα= 2T α中： )(,)12(Z ∈+≠k k a πsin 1cos tan=21cos sin ααααα-=+ 重难点归纳（1）半角公式符号选取原则：左边的三角函数值在2α所在象限的符号就是右边的符号．（2）运用半角的正切公式sin 1cos tan =21cos sin ααααα-=+，为避免符号的选择，最好选用后面的两个公式．（三）课后作业基础型自主突破1．下列各式恒成立的是（）221cos 1cos 2A tanB cos 2sin 22tan2C tan D tan21tan 2ααααααααα-+==±=-.= .. . 答案：B ．解析：【知识点】降幂公式、半角公式以及适用条件．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】A 选项中，要求除)(,)12(Z ∈+≠k k πα外，还必须有)(,Z ∈≠k k πα；B 选项中，α可以取一切实数；C 选项中,要求)(,2Z ∈+≠k k ππα且)(,)12(Z ∈+≠k k πα；D 选项中，要求)(,)12(Z ∈+≠k k πα．点拨：明确角α的限制条件．2．设532ππα-<<- ）A ．sin 2αB ．cos2αC ．cos 2α- D ．sin2α-答案：C ．解析：【知识点】利用半角公式进行化简．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵532ππα-<<-，则35224παπ-<<-，cos 22αα=-．点拨：注意“±”的选取． 3．设56,cos ,sin24a θθπθπ<<=求．答案：．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】若56πθπ<<，则5322πθπ<<，∴53442πθπ<<，则sin =4θ=点拨：利用半角公式．4．已知4sin 02)sin cos tan 5222αααααπ=-<<（，求、和的值．答案：见解题过程．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归、分类讨论思想．【解题过程】①当α在第三象限时，此时3cos5α=-，2α在第二象限，sin2sin cos tan2222cos2ααααα===-②当α在第四象限时，此时3cos5α=，2α在第二象限，sin12sin cos tan2222cos2ααααα===-点拨：注意对角α的范围进行分类讨论．5．利用半角公式，求sin cos1212ππ-的值．答案：．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】sin cos1212ππ-==．点拨：利用半角公式转化为特殊角的三角函数求解．6．函数21sin2sin2y x x=+，R∈x的值域是（）A．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．1122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦答案：C．解析：【知识点】降幂公式、两角差的正弦公式逆用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】21111sin 2sin =sin 2+(1cos 2)22)22221).42y x x x x x x x π=+-=+=-+∵R ∈x ，∴sin(2)[1,1]4x π-∈-，∴函数的值域为1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦．点拨：灵活利用公式进行变形化简．能力型师生共研74)παπ<<等于（） A ．sin16αB ．2sin16αC ．2cos 16αD ．cos16α答案：B ．解析：【知识点】半角公式的逆用．【数学思想】化归思想．【解题过程】=2sin2sin.1616αα===原式点拨：使根号下不含三角函数8．求22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒的值．答案：34．解析：【知识点】利用降幂公式、两角差的余弦公式化简．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】22221cos 401cos100=cos 70cos502211[cos(7030)cos(7030)]cos(6010)cos(6010)21sin 70sin 30cos 60cos 10sin 60sin 101131cos 20(1cos 20)(1cos 20)28834-︒+︒++︒︒=+︒+︒-︒-︒+︒+︒︒-︒=-︒︒+︒︒-︒︒=-︒++︒--︒=原式点拨：统一角、统一三角函数名称，化为特殊角的三角函数求值．探究型多维突破9．化简ααααα2cos 2)2cos 2)(sincos sin 1(+-++，其中(,2)αππ∈答案：cos α．解析：【知识点】三角函数式化简．【数学思想】化归思想．【解题过程】222cos (cos sin )(sin cos )222222cos 22cos (cos sin )2coscos 2222(,2),,cos0,=cos 2222cos2cos22αααααααααααπαααπππααα+-=---==∈∴<<∴<∴原式，原式点拨：式中有角α及2α，可用半角公式把α化为2α的三角函数．10．证明：(sin cos 1)(sin cos 1)tan sin 22αααααα+--+=．【知识点】三角函数式化简．【数学思想】化归思想．【解题过程】22[sin (1cos )][sin (1cos )]2sin cos sin 1cos 2cos 1cos tan2sin cos sin 2αααααααααααααα--+-=--+-===证明：左边点拨：弦化切，统一三角函数名，利用半角正切公式化简．答案：见解题过程．自助餐1．已知α是第三象限角，且24sin 25α=-，则tan 2α等于（） A ．34-B ．34C ．43D ．43-【知识点】半角的正切公式．【数学思想】化归思想．【解题过程】由α是第三象限角及24sin 25α=-知7cos 25α=-, ∴24sin 425tan =721cos 3125ααα-==-+-.【思路点拨】利用半角的正切公式，切化弦．【答案】D ．2．等腰三角形顶角的余弦是13，则底角的正弦是_______，正切是_______．【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】设底角为α，则顶角为-2πα，而1cos(-2)3πα=，即1cos 23α=-，∴sin α==，cos α==sin tan cos ααα==【思路点拨】利用半角公式求解．． 3．函数2()sin cos f x x x x =在区间42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是（）A ．1 B．C ．32D．【知识点】降幂公式、辅助角公式．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】由已知得1-cos 21()2sin(2)226x f x x x π==+-，当42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，52636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，1sin(2),162x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因此()f x 的最大值等于131=22+．【思路点拨】利用降幂公式、辅助角公式化简．【答案】C ．4．已知tan 2α=-，且满足42ππα<<的值为（）．A ．B． C．- D．3-【知识点】二倍角公式、降幂公式的运用．【数学思想】降元、化归思想．cos sin 1tan cos sin 1tan αααααα--=++.又∵22tan tan 21tan ααα==--22tan 0αα⇒--=，解得tan =α.又42ππα<<，∴tan α∴3=-+原式【思路点拨】遇弦化切．【答案】C ．5．已知sin 222cos 2αα-=，则2sin +sin 2αα= ．【知识点】倍角公式、升幂公式的运用．【数学思想】化归思想、分类讨论思想．【解题过程】2sin 22=2cos 2,2sin cos 22(2cos 1)ααααα-∴-=-,即2sin cos 2cos ααα=,cos 0tan 2αα∴==或.① 当cos 0α=时,sin 1α=±,22sin +sin 2sin +2sin cos 101ααααα==+=;② 当tan 2α=时, 222222sin +2sin cos tan +2tan 4+48sin +sin 2sin +cos tan +14+15αααααααααα==== 【思路点拨】利用二倍角公式求解值时注意分类讨论．【答案】1或85.6．已知函数 )(,1cos 2cos sin 32)(2R ∈-+=x x x x x f（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值；（2）若006()=542f x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求0cos 2x 的值．【知识点】二倍角公式逆用，降幂公式的综合运用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】（1）由题意得：2()cos 2cos 2cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-+=+∴函数()f x 的最小正周期为π．因为()2sin(2)6f x x π=+在区间06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间62ππ⎛⎤⎥⎝⎦，上为减函数，又∵(0)=1,()2,()162f f f ππ==-所以函数()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为2，最小值为－1．（2）由(1)可知00()2sin(2)6f x x π=+．又∵06()=5f x ，所以03sin(2)=65x π+，由042x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，．∴04cos(2)65x π+==-,∴0000cos 2cos[(2)]cos(2)cos +sin(2)sin 666666x x x x ππππππ=+-=++=【思路点拨】配凑角：002=2)66x x ππ+-（，将其化为已知角的三角函数值求解．【答案】见解题过程．。

高中数学必修4教案6篇

高中数学必修4教案6篇教学目标1、把握平面对量的数量积及其几何意义；2、把握平面对量数量积的重要性质及运算律；3、了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4、把握向量垂直的条件。

教学重难点教学重点：平面对量的数量积定义教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1、向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结（1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、课后作业P107习题2.4A组2、7题课后小结（1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业P107习题2.4A组2、7题高中数学必修4优秀教案篇二教学预备教学目标一、学问与技能（1）理解并把握弧度制的定义；(2)领悟弧度制定义的合理性；(3)把握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(4)娴熟地进展角度制与弧度制的换算；(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系。

(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。

二、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并把握弧度制的定义，领悟定义的合理性。

依据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。

以详细的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器。

三、情态与价值通过本节的学习，使同学们把握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。

人教课标版高中数学必修四《正切函数的图象与性质》教案(1)-新版

1.4.3正切函数的性质与图象一、教学目标（一）核心素养通过这节课的学习，了解研究正切函数图象的方法，掌握正切函数的图象特征与性质，并运用性质解决一定的实际问题．（二）学习目标学生已经有了研究正弦函数余弦函数的图象与性质的经验，正切函数在研究方法与研究内容上与前者类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题．本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1．知识目标：1）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图象．2）熟练根据正切函数的图象推导出正切函数的性质．3）掌握利用数形结合思想分析问题解决问题的技能．2．能力目标：1）通过类比，联系正弦函数图象的作法．2）能学以致用，结合图象分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质．（三）学习重点正切函数的图象及其主要性质（包括周期性单调性奇偶性值域）；深化研究函数性质的思想方法．（四）学习难点正切函数图象与性质的应用二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第48页至第51页，填空．正切函数的周期是_2π_，是增函数，在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内都是增函数，它的值域是__R __． 2．预习自测（1）画出下列各角的正切线：【知识点】正切线【数学思想】数形结合【思路点拨】注意第二、三象限正切线的变化，投影到第四、一象限做正切线. 【解题过程】【答案】略（2）复习相关诱导公式tan(x+π)= x tan ；tan(-x )= x tan - ．【知识点】任意角三角函数诱导公式【数学思想】转化思想【思路点拨】“奇变偶不变，符号看象限”【解题过程】tan(x+π)中，根据=22ππ⋅，系数为偶数2，三角函数名不变．假定x为锐角，x π+为第三象限角，其正切为正，∴()tan tan x x π+=．同理，()tan tan x x -=-．【答案】tan(x+π)= x tan ；tan(-x )= x tan - ．（二）课堂设计 1．知识回顾（1）任意角α的终边与单位圆交于点()P x y ，(0x ≠)，则α的正切tan α=yx tan y xα=．（2）下图1中，有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．图1．三角函数线（3）正弦函数sin y x =的图象如图2，其最小正周期为2π，是奇函数，在每一个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 上都是增函数，其值从-1到1；在每一个闭区间()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦都是减函数，其值从1到-1；余弦函数cos y x =的图象如图3，它是偶函数，在每一个闭区间[]()2,22k k k Z ππππ++∈ 上都是增函数．图2．正弦函数图象图3．余弦函数图象2．问题探究探究一：正切函数有哪些性质？（1）定义域：回顾正切的定义，其中角是任意角吗？由正切函数定义，若角x 的终边过点(),a b ，则tan bx a=知，当0a =，即,2x k k Z ππ=+∈时，tan x 无意义，故正切函数tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．（2）周期性结合周期函数的定义，由诱导公式()tan tan x x π+=，能得出什么样的结论？根据()tan tan x x π+=，可得出正切函数tan y x =的一个周期为π，且由单位圆中正切线的变化情况可知，π为该函数的最小正周期．（3）奇偶性结合奇偶函数的定义，由诱导公式()tan tan x x -=-，能得出什么样的结论？正切函数tan y x =为奇函数，函数图象关于原点对称．（4）单调性由正切线的变化规律，正切函数tan y x =具有怎样的单调性？正切函数在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k Z ∈)内都是增函数．（5）值域由正切线的变化规律，分析正切函数tan y x =的值域是多少．由图1(Ⅰ)可知，当x 大于2π-且无限接近于2π-时，正切线AT 向y 轴的负方向无限延伸；由图1(Ⅱ)可知，当x 小于2π且无限接近于2π时，正切线AT 向y 轴的正方向无限延伸．故，x y tan =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是R ．探究二：由正切函数的性质和单位圆中正切线如何得出正切函数图象？（1）类比已经学习的正弦函数、余弦函数的图象与性质，应该按照怎样的步骤研究正切函数？正切函数的是最小正周期为π的周期函数，所以只需画出它在一个周期内的图象，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象，可先选择区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭；而正切函数又是奇函数，所以只需要画出在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象即可．研究正切函数图象的步骤如下：0,,|,2222x x k k Z πππππ⎡⎫⎛⎫⎧⎫−−−−→-−−−−→≠+∈⎨⎬⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎩⎭奇函数周期性对称变换左右平移【设计意图】理清思路，学习分析问题的方法．（2）类别正弦函数、余弦函数，应该怎样画正切函数的图象？根据正切函数的定义域、周期性和奇偶性，选择先在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上作出它的图象： ①作平面直角坐标系，并在直角坐标系中y 轴左侧作单位圆； ②把单位圆第一象限分成4等份，分别在单位圆中作出正切线；③描点（横坐标是半周期4等分点对应的值，纵坐标是相应的正切线的终点对应的值）； ④连线．再根据奇函数图象关于原点对称，画出,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内的图象．（如图4）图4．由正弦线画正切函数tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内图象图5．正切函数tan y x =图象最后由正切函数的周期性，只要把图4中的图象向左、向右扩展，就可以得到正切函数tan y x =（|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭）的图象，称之为正切曲线（如图5所示）．【设计意图】实际操作，锻炼动手能力．（3）观察正切曲线，分析正切函数的性质①定义域：函数在,2x k k Z ππ=+∈处无定义，符合先前分析的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．②单调性：对于每一个k Z ∈，在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内，正切函数图象从左往右升高，正切函数单调递增． ③值域：靠近2k ππ-时，函数图象向下无限逼近直线2x k ππ=-，靠近2k ππ+时，函数图象向上无限逼近直线2x k ππ=+，能够取到R 上任意实数，值域为R ．④渐近线：正切曲线不限逼近的直线()2x k k Z ππ=+∈称之为正切曲线各支的渐近线．正切曲线是由被渐近线隔开的无穷多支曲线组成的，且在渐近线处无取值，即函数无定义．⑤对称性：正切曲线关于每一段图象与x 轴的交点(),0k π对称，且关于渐近线与x 轴交点,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称，但正切曲线不关于任何直线对称．即，正切曲线不是轴对称图形，而是中心对称图形，其对称中心为,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭．【设计意图】前后呼应，扩展延伸，加深对正切函数性质的理解．探究三：应用例1．求函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期和单调区间．【知识点】正切函数的定义域、周期和单调性．【数学思想】换元思想，整体思想．【思路点拨】把23x ππ+看作整体，利用正切函数的定义域、周期和单调性知识求解．【解题过程】令,232x k k Z ππππ+≠+∈，得12,2x k k Z ≠+∈，所以函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域1{|2,}2x x k k Z ≠+∈．周期22T ππ==．令-,2232k x k k Z ππππππ+++∈＜＜，得5122,22k x k k Z -++∈＜＜，所以函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为51(2,2),22k k k Z -++∈．【答案】定义域：1{|2,}2x x k k Z ≠+∈；周期T =2；单调递增区间51(2,2),22k k k Z -++∈．例2．求函数的定义域．（1）y （2）y =．【知识点】函数的定义域，解不等式，正切函数的性质．【数学思想】换元思想、整体思想．【思路点拨】先求不等式在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的解集，再根据正切函数的周期性求解出所有范围．【解题过程】（1）由题意，tan x ≠,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，tan 3π=，∴3x π≠，又因为y=tan x 是周期为π的周期函数，所以函数的定义域为|32x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠+≠+∈⎨⎬⎩⎭，且，．（2）因为tan x ≥错误！未找到引用源。

人教版高中数学必修四 (空间中点、线、面的位置关系)

教案漂市一中钱少锋点A不在直线l上l A∉2.两条直线位置关系符号表示图形表示直线a与l 相交Ala=直线a与l 平行l a//直线a与l 异面异面与la异面直线的定义：空间中的两条直线既不平行也相交，则称这两条直线异面.两条直线异面，则它们不同在任何一个平面内. 用平面衬托的方法表示异面直线.3.点与平面空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合.位置关系符号表示图形表示点A 在平面α内 α∈A点A 不是平面α内的点 α∉A4. 直线与平面（1）直线在平面α内（或平面α过直线l ）：直线l 上的所有点都在平面α内，记作α⊂l .（2）直线l 在平面α外：直线l 上至少有一个点不在平面α内，记作α⊄l .①直线l 与平面α相交：直线l 与平面α有且只有一个公共点A ，记作A l =α .②直线l 与平面α平行：直线l 与平面α没有公共点，记作α//l .5. 平面与平面位置关系符号表示图形表示平面βα与相交l =βα平面βα与平行βα//三、直线与平面垂直1. 直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α相交于点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有ml⊥，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作α⊥l.其中点A称为垂足.2.点与面的距离：给定空间中的一个平面α及一个点A，过点A作只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.3.直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；4.两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.以可以取其中任一点来作点面距来求线面距离.两个平面平行时，其中一个平面的每一点到另一个平面距离都相等，所以可以转化为点面距来处理.例题例1 判断下列命题是否正确.(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则α//l.( )(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行. ( )(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点. ( )【答案】（1）错；（2）错；（3）对.例2 在正方体1111DCBAABCD-中，（1）与直线1AA异面的棱有条；（2）与直线BA1相交的棱有条；（3）直线BA1与直线CB1的位置关系是；（4）直线BA1与直线CD1的位置关系对线面平行关系的定义的认识，线与面没有公共点即线与平面中的所有线都没有公共点，且直线上的所有点都不在平面内，这与直线上无数个点都不在平面上不同.两条直线的平行依赖于在同一平面内没有公共点，所以仅由直线与平面平行不可得到.是 .【答案】(1)排除相交和平行的情况，4条；(2)从一个顶点出发的棱有3条，所以共有6条； (3)异面，通过找到衬托平面来判断； (4)平行.例3 已知1111D C B A ABCD -是长方体，且2,3,41===AA AD AB .（1）求点A 到平面11B BCC 的距离；（2）求直线AB 到平面1111D C B A 的距离；（3）求平面11A ADD 与平面11B BCC 之间的距离. 【答案】(1)4；(2)2；(3)4.在正方体内，判断两条直线的位置关系，通过对图形的观察，熟练掌握位置关系描述和判断的方法.通过找线面垂直，完成距离的求解.【素材积累】1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。

高中数学任意角的三角函数教案新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=；〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=；〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1．作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠．〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。

高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式教案

《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？（请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)

1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题．（三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．（四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测（1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式．（三）课后作业基础型自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0，在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。

高一数学必修四教案优秀10篇

高一数学必修四教案优秀10篇高一数学必修四教案篇一教学准备教学目标o了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量·o通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别·o通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力· 教学重难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量·教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系·教学过程（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？课后小结1、描述向量的两个指标：模和方向·2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

反思教学方式及能力培养篇二为了强调学生的主体性，把时间还给学生，有的教师上课便叫学生自己看书，教师指导性差、没有提示和具体要求，看得如何没有检查也没有反馈等等。

一些课堂上教师片面追求小组合作这一学习形式，对小组合作学习的目的、时机及过程没有进行认真设计。

这些学习方式，学生表面上获得了自主的权利，可实际上并没有做到真正的自主。

课堂教学是开展反思性学习的主渠道。

在课堂教学中要有意识的引导学生从多方位、多角度进行反思性的学习；要引导学生自然地合理地提出问题、自然地合理地解决问题、自然地合理地拓展问题，从而提高逻辑思维能力和解决问题的能力。

人教A版高中数学必修四第三章《简单的三角恒等变换》教案

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P -14T T -。

高中数学第一章《三角函数》正弦、余弦函数的周期性教案新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

正弦、余弦函数的周期性教案一、教材分析：《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．二、教学目标：学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x 的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.五、教学准备：三角板、多媒体课件六、教学流程：求下列函数的周期： (1)3sin4x y =，x R ∈；(2)sin()10y x π=+，x R ∈；(3)cos(2)3y x π=+,x R ∈(4)1sin()24y x π=-，x R ∈ 课外思考：1. 求函数()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>）的周期．2.求下列函数的周期：（1）|sin |x y =，x R ∈；（2）|2cos |x y =，x R ∈ 附：板书设计附：1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．教案设计说明《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程．设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节．以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计．教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想．下面从如下几个方面进行详细说明．一、教学内容的数学本质及教学目标定位本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画“周而复始”的变化规律．学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高．于是，结合以上的学情分析，我从“知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期．过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．并且在过程中渗透了本课的情感态度目标：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明．二、教学流程入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系．在数学和其它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁．四、教学诊断分析1．学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sin x图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律．2．部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调.3．本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去．五、教法特点及预期效果分析结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式，而在知识构建过程中，在教师引导下，使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，提高数学思维能力；注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术进行探索和发现．本节课遵循学生的认知规律，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，使学生理解周期概念的形成过程，体会蕴含在其中的数形结合的思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，并且来源于旧知识，设计内容一环扣一环，使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论；在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中，引导学生分析、归纳方法，注意优化学生的思维品质；在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法．通过本节课学习，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究，合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活，理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想，让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标.。

人教课标版高中数学必修四《积化和差与和差化积》教案(1)-新版

3.2 简单的三角恒等变换 3.2.1 积化和差与和差化积一、教学目标 (一)核心素养通过本节的学习，让学生自己导出“积化和差”及“和差化积”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力． (二)学习目标 1．能够推导“和差化积”及“积化和差”公式；2．能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题；3．揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识．(三)学习重点 1．推导“和差化积”及“积化和差”公式；2．运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题． (四)学习难点运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题．二、教学设计 (一)课前设计 1．预习任务(1)强化巩固前一节所学的三角公式，并填空：两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()αβ+= sin cos cos sin αβαβ+； sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- cos()αβ+= cos cos sin sin αβαβ-； cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-；tan()αβ-=tan tan 1tan tan αβαβ-+；二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α=2sin cos αα；cos 2α=2222cos sin 2cos 112sin αααα-=-=-；tan 2α=22tan 1tan αα- (2)阅读教材P140例2，熟悉公式的推导，并填空：sin cos αβ=[]1sin()sin()2αβαβ++-； sin sin θϕ+=2sincos 22θϕθϕ+- 2．预习自测(1)下列等式错误的是（）A ．sin()sin()2sin cos AB A B A B ++-=B ．sin()sin()2cos sin A B A B A B +--=C ．cos()cos()2cos cos A B A B A B ++-=D ．cos()cos()2sin cos A B A B A B +--= 【知识点】两角和与差的正、余弦公式【解题过程】由两角和与差的正、余弦公式展开左边即可【思路点拨】cos(A +B )=cos A cos B －sin A cos B ,cos(A －B )=cos A cos B ＋sin A cos B , sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B ,sin(A -B )=sin A cos B -cos A sin B ．A 项正确，B 项正确，C 项正确．D 项，cos(A +B )－cos(A －B )=cos A cos B －sin A cos B-(cos A cos B ＋sin A cos B )=－2sin A cos B ．【答案】D(2)根据预习所学，尝试证明：Ⅰ．cos sin αβ=[]1sin()sin()2αβαβ+--； Ⅱ．sin sin θϕ-=2cos sin22θϕθϕ+-．【知识点】积化和差、和差化积公式推导【数学思想】类比思想、方程思想、换元思想【解题过程】Ⅰ．∵sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+；①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-；②将①-②得：sin()sin()2cos sin αβαβαβ+--= ∴cos sin αβ=[]1sin()sin()2αβαβ+--Ⅱ．由第一问的结论，sin()sin()2cos sin αβαβαβ+--= 设αβθ+=，αβϕ-=，则2θϕα+=，2θϕβ-=∴sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=【思路点拨】类比例2，用解方程的思想表示cos sin αβ，用换元的思想表示sin sin θϕ-．【答案】见解题过程 (3)sin15sin 75︒︒=（）A ．18B ．14C ．12D ．1【知识点】积化和差【数学思想】化归思想，将非特殊角化为特殊角【解题过程】[]1sin15sin 75cos(1575)cos(1575)2︒︒=-︒+︒-︒-︒[]11cos90cos 6024=-︒-︒= 【思路点拨】正确使用积化和差公式即可得解【答案】B(4)函数sin()sin ,0,32y x x x ππ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦的值域是（）A ．[]2,2-B ．12⎡-⎢⎣C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12⎡⎢⎣【知识点】和差化积【数学思想】化归思想，统一角度【解题过程】sin()sin =2cos()sin cos()3666y x x x x ππππ=+-+=+∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴2+,663x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴12y ⎡∈-⎢⎣ 【思路点拨】正确使用和差化积公式即可得解【答案】B (二)课堂设计 1．知识回顾(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()αβ+= sin cos cos sin αβαβ+； sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-cos()αβ+= cos cos sin sin αβαβ-； cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-；tan()αβ-=tan tan 1tan tan αβαβ-+；(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α=2sin cos αα；cos 2α=2222cos sin 2cos 112sin αααα-=-=-；tan 2α=22tan 1tan αα-(3)半角公式sin2α=cos 2α=tan 2α= 2．问题探究探究一推导“和差化积”及“积化和差”公式 ●活动① 运用解方程的思想，推导积化和差公式[]1sin()sin()2sin cos sin cos sin()sin()2αβαβαβαβαβαβ++-=⇒=++- []1sin()sin()2cos sin cos sin sin()sin()2αβαβαβαβαβαβ+--=⇒=+--[]1cos()cos()2cos cos cos cos cos()cos()2αβαβαβαβαβαβ++-=⇒=++-[]1cos()cos()2sin sin sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβ+--=-⇒=-+--这组公式有何特点？应注意些什么？这组公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，它的优点在于将“积式”化为“和差”，且实现了“降次”，有利于简化计算．【设计意图】用解方程的思想，由已有知识自然过渡引出新知识，便于学生接受．例1 求125cos12sinππ的值【知识点】积化和差公式应用【解题过程】515511sincossin()sin()sin sin()12122121212122232ππππππππ⎡⎤⎡⎤=++-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【思路点拨】直接运用公式将角转换为特殊角即可．【答案】12同类训练：求125sin12sinππ的值【知识点】积化和差公式应用【解题过程】515511sinsincos()cos()cos cos()12122121212122234ππππππππ⎡⎤⎡⎤=-+--=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【思路点拨】直接运用公式将角转换为特殊角即可．【答案】14●活动② 运用换元的思想，推导和差化积公式在积化和差公式中，若令αβθ+=，αβϕ-=，则2θϕα+=，2θϕβ-=将其依次代入，可得什么？sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=sin sin 2cos sin22θϕθϕθϕ+--= cos cos 2cos cos22θϕθϕθϕ+-+= cos cos 2sin sin22θϕθϕθϕ+--=- 观察这组公式的特点：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦之和(差)可以化为积的形式，它与积化和差公式相辅相成，配合使用．例2 已知11cos cos ,sin sin 23αβαβ-=-=-，求tan()αβ+的值【知识点】和差化积公式应用【解题过程】∵1cos cos 2sinsin222αβαβαβ+--=-=① 1sin sin 2cossin223αβαβαβ+--==- ②又∵sin 02αβ-≠ ∴3tan 22αβ+-=- ∴3tan 22αβ+=∴22tan122tan()51tan 2αβαβαβ++==-+- 【思路点拨】由和差化积先得tan 2αβ+，再由二倍角公式得tan()αβ+【答案】125-同类训练 sin105°＋sin15°等于（）A ．B C D 【知识点】和差化积公式应用【解题过程】sin105°＋sin15°＝21051510515sin cos22+-o o o o ＝2sin60°cos45°【思路点拨】由和差化积将角化为特殊角求值【答案】C【设计意图】从正弦、余弦的和(差)角公式出发，逐步推导出积化和差、和差化积公式，再简单应用，增强学生对公式掌握的熟练度．探究二两组公式在三角函数变形中的应用三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对于求三角函数的值、化简三角函数式及三角函数式的恒等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函数的变形中是十分重要的．例3 求sin75°·cos15°的值【知识点】积化和差公式应用【数学思想】化归思想【解题过程】(法一)考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差公式解决之．[]11sin 75.cos15sin(7515)sin(7515)(sin 90sin 60)22︒︒=︒+︒+︒-︒=︒+︒=(法二)由于75°与15°互为余角，可以统一角度21cos150sin 75.cos15sin 75.sin 75sin 752-︒︒︒=︒︒=︒==(法三)由于75°与15°可以由45°与30°组合而成，所以可用和差角的三角函数公式来解决sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒+︒=︒︒+︒︒=cos15sin 75︒=︒=∴2sin 75.cos15︒︒==【思路点拨】三角函数求值或恒等变换，往往可以从不同角度考虑，进而使用不同的三角公式，获得问题的解决，可谓殊途同归，但是我们考虑问题时，一定要根据条件及结论、选择适当的方法，以求问题的解决．【设计意图】从不同角度使用不同的三角公式，都殊途同归使得问题解决，有利于锻炼学生从多角度思考问题并解决问题．同类训练求sin37.5°cos7.5°＝________．【知识点】积化和差公式应用【数学思想】化归思想【解题过程】[]11sin 37.5.cos 7.5sin(37.57.5)sin(37.57.5)(sin 45sin 30)22︒︒=︒+︒+︒-︒=︒+︒= 【思路点拨】利用积化和差公式化非特殊角为特殊角即可例4 求sin 20.sin 40.sin 60.sin 80︒︒︒︒=___________；【知识点】积化和差公式应用【数学思想】化归思想【解题过程】∵sin 60︒=111sin 20sin 40sin 80(cos 60cos 20).sin 80sin 80cos 20sin 80242︒︒︒=-︒-︒︒=-︒+︒︒1111sin 80(sin100sin 60)sin 80sin1004444=-︒+︒+︒=-︒+︒+=∴3sin 20.sin 40.sin 60.sin 8016︒︒︒︒=【思路点拨】利用积化和差公式化化积为和差，将非特殊角化为特殊角【答案】316同类训练求cos 20cos 40cos80︒︒︒的值．【知识点】积化和差公式应用【数学思想】化归思想【解题过程】(法一)1cos 20cos 40cos80(cos 60cos 20).cos802︒︒︒=︒+︒︒1111cos80cos 20.cos80cos80(cos100cos 60)4244=︒+︒︒=︒+︒+︒ 1111cos80cos80cos 604448=︒-︒+︒= (法二)2sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos80=2sin 20︒︒︒︒︒︒︒︒2sin 40cos 40cos802sin 80cos80sin160sin 201=4sin 208sin 208sin 208sin 208︒︒︒︒︒︒︒====︒︒︒︒【思路点拨】法一利用积化和差公式化化积为和差，将非特殊角化为特殊角；法二是配凑法构造正弦二倍角公式，是化简形如cos cos 2cos 4cos 2n ααααL 、、、的三角函数式的常用办法．【答案】18例5 求sin 42cos12sin 54︒-︒+︒的值【知识点】和差化积公式应用【数学思想】化归思想【解题过程】sin 42cos12sin 54sin 42sin 78sin 54︒-︒+︒=︒-︒+︒2cos 60sin18sin 54sin 54sin18=-︒︒+︒=︒-︒2sin 36cos36cos 722cos36sin182cos36cos 72sin 36︒︒︒=︒︒=︒︒=︒1sin144sin 72cos 7212sin 36sin 362︒︒︒===︒︒【思路点拨】三个三角函数的和差形式，自然想到要使用和差化积公式．由于有现成的同名角函数为sin 42,sin 54︒︒，因此考虑将这二个函数做和差化积．但本题若采用此法则无后续手段，问题的解决将十分困难．不妨将cos12︒转化为sin 78︒，使得能出现特殊角，问题迎刃而解．【答案】12同类训练求246coscos cos777πππ++的值【知识点】和差化积公式应用【数学思想】化归思想【解题过程】24636coscos cos =2cos cos cos777777ππππππ+++ 23333=2cos cos 2cos 12cos (cos cos )1777777ππππππ+-=+-42-4cos cos cos sin3277774cos cos cos 11777sin 7ππππππππ=-=- 4224418-2cos cos sin -cos sin sin7777727111sinsinsin777πππππππππ-=-=-=- 1sin12712sin 7ππ=-=- 【思路点拨】由于本题三个函数都是余弦，而任两角的和、差都不为特殊角，所以可任选其中的两个先作和差化积．采用同样的方法也可以对1、3两项或2、3两项先使用和差化积公式，再利用余弦的倍角进一步完成本题．【答案】12-例6 求证：333sin 3sin cos3cos cos 2ααααα+= 【知识点】积化和差与和差化积公式综合应用【解题过程】左边=22(sin 3sin )sin (cos3cos )cos αααααα+2211(cos 4cos 2)sin (cos 4cos 2)cos 22αααααα=--++22221111cos 4sin cos 2sin cos 4cos cos 2cos 2222αααααααα=-+++111cos 4cos 2cos 2cos 2(cos 41)222ααααα=+=+ 231cos 2.2cos 2cos 22ααα===右边 ∴原式得证【思路点拨】使用积化和差公式降次，同时朝着统一角度为2α的方向变形【答案】详见解题过程同类训练化简sin 2sin 3sin 5sin 32sin 5sin 7A A AA A A++++【知识点】积化和差与和差化积公式综合应用【解题过程】原式(sin sin 5)2sin 32sin 3cos 22sin 3(sin 3sin 7)2sin 52sin 5cos 22sin 5A A A A A AA A A A A A+++==+++ 2sin 3(cos 21)sin 32sin 5(cos 21)sin 5A A AA A A+==+ 【思路点拨】使用和差化积公式统一角从而使式子化简【答案】sin 3sin 5AA3．课堂总结知识梳理 (1)积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--(2)和差化积公式sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=sin sin 2cos sin22θϕθϕθϕ+--= cos cos 2cos cos22θϕθϕθϕ+-+= cos cos 2sin sin22θϕθϕθϕ+--=- 重难点归纳(1)和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，只有系数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差公式化成积的形式；(2)三角函数的恒等变换常用的规则是：化繁为简、化高为低(降次)，化复合角为单角(和差角公式)，化切割为弦，化大角为小角，和差化积，积化和差． (三)课后作业基础型自主突破1．sin20°·cos70°+sin10°·sin50°=_________；【知识点】积化和差公式的应用【数学思想】化归思想【解题过程】11sin 20.cos 70sin10.sin 50(sin 90sin 50)(cos 60cos 40)22︒︒+︒︒=︒-︒-︒-︒ 11111sin 50cos 4022424=-︒-+︒= 【思路点拨】运用积化和差公式将非特殊角化为特殊角，方便求值【答案】142．cos72°－cos36°的值为（） A ．3－2 3 B ．12 C ．－12 D ．3＋2 3【知识点】和差化积公式的应用【数学思想】化归思想【解题过程】原式723672362sin sin 2sin 54sin1822︒+︒︒-︒=-=-︒︒ ＝－2cos36°cos72°＝－2·sin36°cos36°cos72°sin36°＝－sin72°cos72°sin36°＝－sin144°2sin36°＝－12【思路点拨】化差为积，观察到5418︒︒、分别与3672︒︒、互余，且36,72︒︒为二倍角关系，变形方向就比较明确了．【答案】C3．若1cos()cos()3αβαβ+-=，则22cos sin αβ-等于（） A ．－23 B ．－13 C ．13 D ．23【知识点】积化和差公式的应用【数学思想】化归思想【解题过程】原式1cos()cos()(cos 2cos 2)2αβαβαβ=+-=+ 22221(2cos 1)(12sin )cos sin 2αβαβ⎡⎤=-+-=-⎣⎦∴221cos sin 3αβ-= 【思路点拨】化积为差，并用二倍角公式化简得22cos sin αβ-【答案】C4．已知23παβ-=，且1cos cos 3αβ+=，则cos()αβ+等于________．【知识点】和差化积公式的应用【数学思想】化归思想【解题过程】1cos cos 2coscos 2cos cos cos 223223αβαβπαβαβαβ+-+++==== ∴217cos()2cos 121299αβαβ++=-=⨯-=- 【思路点拨】化和为积，结合23παβ-=得cos 2αβ+，再由二倍角公式得cos()αβ+ 【答案】79- 5．函数sin()cos 6y x x π=-的最大值为（） A ．12 B ．14 C ．1 D ．22【知识点】积化和差辅助求三角函数的最值【数学思想】化归思想【解题过程】1sin()cos sin()sin()6266y x x x x x x πππ⎡⎤=-=-++--⎢⎥⎣⎦ 1111sin(2)sin(2)262264x x ππ⎡⎤=--=--⎢⎥⎣⎦ ∴max 111244y =-= 【思路点拨】化积为和，将三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式是最值的常用方法【答案】B6．求证cos 2cos sin 5sin 2cos 4cos3αααααα-=【知识点】积化和差辅助三角恒等证明【数学思想】化归思想【解题过程】左边111(cos3cos )(cos 7cos3)(cos cos 7)222αααααα=++-=+ 右边1(cos 7cos )2αα=+ ∴左边=右边 ∴原等式得证【思路点拨】积化和差统计角【答案】详见解题过程能力型师生共研7．求cot 704cos 70︒+︒的值【知识点】三角恒等变形【数学思想】化归思想【解题过程】原式cos 70cos 704sin 70cos 704cos 70sin 70sin 70︒︒+︒︒=+︒=︒︒ cos 702sin140sin 20sin 40sin 40sin 70sin 70︒+︒︒+︒+︒==︒︒ 2sin 30cos10sin 40sin 80sin 40sin 70sin 70︒︒+︒︒+︒==︒︒ 2sin 60cos 20sin 70︒︒==︒【思路点拨】余切函数与余弦函数共存，首先应化切为弦，接着进行通分，最后再考虑分子的化简，由于分子的三角函数的系数不同，一拆为二就是必然的了．8．求tan10sec50︒+︒的值【知识点】三角恒等变形【数学思想】化归思想【解题过程】原式cos801cot 80csc 40sin 80sin 40︒=︒+︒=+︒︒ cos802cos 40(cos80cos 40)cos 40sin 80sin 80︒+︒︒+︒+︒==︒︒ 2cos 60.cos 20cos 40cos 20cos 40sin 80sin 80︒︒+︒︒+︒==︒︒ 2cos30cos10sin 80︒︒==︒【思路点拨】本题若只是简单直接进行切割化弦，后续处理会很棘手，很难得到正确结果，但注意到1050︒︒、分别与8040︒︒、互为余角，且8040︒︒、为二倍角关系，便于统一角度．探究型多维突破9．22sin 20cos 50sin 20.cos50︒+︒+︒︒=__________；【知识点】二倍角公式与和差化积的综合应用【数学思想】化归思想【解题过程】(法一)原式1cos 401cos100sin 20cos5022-︒+︒=++︒︒ cos100cos 4011(sin 70sin 30)22︒-︒=++︒-︒ 1131sin 70sin 30sin 70244=-︒︒+︒-= (法二)原式2(sin 20sin 40)sin 20.cos50=︒+︒-︒︒2(2sin 30cos10)sin 20.cos50=︒︒-︒︒211cos 20113cos 10(sin 70sin 30)sin 7022244+︒=︒-︒-︒=-︒+= 当然，也可以这样配方，原式2(sin 20sin 40)3sin 20.cos50=︒-︒+︒︒23(2cos30sin10)(sin 70sin 30)2=︒︒+︒-︒ 23333cos 203333sin 10sin 70sin 70242244-︒=︒+︒-=+︒-= 【思路点拨】法一：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次处理；法二：22,a b ab +在一起自然想到完全平方式，再进行和差化积、积化和差化角为特殊角．【答案】3410．已知11sin sin ,cos cos 43αβαβ+=+=，求(1)cos()αβ-；(2)cos()αβ+ 【知识点】二倍角公式与和差化积的综合应用【数学思想】化归思想【解题过程】(法一)∵1sin sin 4αβ+=∴221sin 2sin sin sin 16ααββ++=………① ∵1cos cos 3αβ+= ∴221cos 2cos cos cos 9ααββ++=………②∴①+②得：263cos()288αβ-=- ②-①得：11cos 2cos 22cos()916αβαβ+++=- 即：72cos().cos()2cos()144αβαβαβ+-++= ∴[]77cos()288cos()125αβαβ+==-+ (法二)∵1sin sin 4αβ+= ∴12sin cos 224αβαβ+-=………③ ∵1cos cos 3αβ+= ∴12cos cos 223αβαβ+-=………④ ③２＋④２得：2254cos 2144αβ-=，即[]2521cos()144αβ+-= ∴263cos()288αβ-=- ③÷④得：3tan 24αβ+=∴221tan 72cos()251tan 2αβαβαβ+-+==++ 【思路点拨】求cos()αβ-利用方法一简单，求cos()αβ+利用方法二简单．一般地，已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平方后求和与差【答案】263cos()288αβ-=-；7cos()25αβ+= 自助餐1．求cos37.5°·cos22.5°=_________；【知识点】积化和差公式的应用【数学思想】化归思想【解题过程】11111cos37.5.cos 22.5(cos 60cos15)cos15cos(4530)24242︒︒=︒+︒=+︒=+︒-︒= 【思路点拨】运用积化和差公式将非特殊角化为特殊角，方便求值2．在△ABC 中，若2sin sin cos 2C A B =，则△ABC 是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形【知识点】积化和差公式的应用【解题过程】∵[]11cos(A B)cos(A B)(1cosC)22--+=+，又A B C π+=- ∴cos(A B)cos()1cosC C π---=+ ∴cos(A B)1-=又∵A B ππ-<-< ∴0A B -=即A B = ∴△ABC 为等腰三角形【思路点拨】解三角形中常用A B C π+=-，借助诱导公式减少角的数量．【答案】B3．函数2cos()cos()33y x x ππ=++的最大值是______．【知识点】积化和差公式的应用【解题过程】∵21cos()cos()cos(2)cos()3323y x x x ππππ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦ 111cos 2x cos cos 22342x π⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦ ∵1cos 21x -≤≤ ∴max 34y = 【思路点拨】通过积化和差，将式子变形为cos()B y A x ωϕ=++的形式便于求最值【答案】344．化简：cos cos(120)cos(120)sin sin(120)sin(120)A B B B A A +︒++︒-+︒+-︒- 【知识点】和差化积应用于三角恒等变形【解题过程】原式2sinsin cos 2cos120cos cos cos 22tan sin 2cos120sin sin sin 22cos sin 22A B B A A B A B A B A B B A B A B A +-+︒-+====+-+︒- 【思路点拨】和差化积统一角度【答案】tan2A B + 5．在△ABC 中，若B ＝30°，求cos A sin C 的取值范围．【知识点】和差化积应用于三角恒等变形【解题过程】[][]1111cos sin sin(A C)sin(A C)sinB sin(A C)sin(A C)2242A C =+--=--=--∵1sin(A C)1-≤-≤ ∴1113sin(A C)4424-≤--≤ 【思路点拨】积化和差变形为sin(x )B y A ωϕ=++的形式方便求范围【答案】13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知5sin 12(x),(0,)22sin 2x f x xπ=-+∈ (1)将(x)f 表示成cos x 的多项式；(2)求(x)f 的最小值．【知识点】和差化积应用于三角恒等变形【解题过程】(1)5513sinsin sin 2cos sin 132222(x)2cos cos 2222sin 2sin 2sin 222x x x x x x x f x x x -=-+=== 2cos 2cos 2cos cos 1x x x x =+=+- (2)219(x)2(cosx )48f =+-且1cos 1x -<< ∴1cos 4x =-时，min 9(x)8f =- 【思路点拨】使用和差化积、积化和差统一角度，转化为以cos x 为元的二次函数求最值【答案】(1)2(x)2cos cos 1f x x =+-；(2)min 9(x)8f =-。

人教版高中数学必修4-1.1《任意角》教学设计

《任意角》教学设计一、教学目标（一）核心素养：通过这节课了解任意角的概念，掌握正角，负角，零度角及象限角的定义，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；培养学生通过观察生活实例发现相关的数学问题，培养学生运用运动变化的观点认识事物，能够达到学会用已学习的知识类比到新知识的能力．（二）学习目标1.推广角的概念、引入大于360︒角和负角；2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；3.理解任意角以及象限角的概念；4.掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（三）学习重点理解任意角的概念；掌握终边相同角的表示方法．（四）学习难点掌握终边相同角的表示．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）回顾初中学习的角的概念．（2）阅读教材第2页到第5页的内容．2.预习自测（1）下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．－30°C．630°D．－630°【知识点】终边相同的角【解题过程】先作出330°的角的终边，在选项里面寻找预期终边相同．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】B．（2）－1120°角所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识点】终边相同的角，象限角概念【解题过程】先作出－1120°的角的终边，在选项里面寻找其所在的象限．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】D．（3）若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？【知识点】时间单位的转换，表盘一圈360°【解题过程】先算出2小时分针转过的角度，再加上40分钟所旋转的角度．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】480︒-(二)课堂设计1.知识回顾本节课是章始课，需要联系和回顾的是初中学习的角的概念．2.问题探究探究一从生活中感受角的新定义．●活动①生动展示旋转过程，并增强了爱国教育．观看一段跳水运动员的视频，重点是空中转体部分，并用慢动作回放过程．提问中间提及的角度我们以前没有学习过，那么该如何定义这个新的量呢？【设计意图】通过视频生动的让学生感受大于360°的角是怎么样形成的，引出任意角的必要性●活动②贴近自己的生活实际，再次切身体会任意角形成的过程．思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表，实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到。

2019人教版高中数学必修4全套教案(80页)

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称： ③角的分类：
B 终边
始边
O 顶点
A
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
④注意： ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外) 在第几象限,我们就说这个角是第几象限角．例 1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
人教版高中数学必修精品教学资料
1.1．1 任意角
教学目标
知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. 过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．
情感与态度目标
提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．
教学重点
例 5．写出终边在 y x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β
写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角
③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材 P2-P5； ②教材 P5 练习第 1-5 题；
（Ⅳ）
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM x, MP y ,于是有

人教版高中数学必修四教案

人教版高中数学必修四教案
科目：数学
年级：高中必修四
课时：第一课时
教学内容：函数的基本概念和性质
教学目标：
1. 了解函数的基本概念和表示方法；
2. 掌握函数的性质和分类；
3. 能够应用函数解决实际问题。

教学重点：函数的定义和性质。

教学难点：函数的分类和应用。

教学过程：
一、引入（5分钟）
教师通过引入例子，让学生了解函数在日常生活中的应用，并引出函数的概念。

二、讲解（15分钟）
1. 函数的定义：函数是一种映射关系，每个自变量对应唯一的因变量。

2. 函数的表示方法：函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。

3. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

三、练习（20分钟）
1. 通过例题让学生练习判断函数的性质；
2. 让学生解决实际问题，使用函数进行建模和求解。

四、总结（5分钟）
教师对本节课的内容进行总结，强调函数的重要性和应用。

五、作业布置（5分钟）
布置相关习题作业，以巩固学生对函数的理解和掌握。

教学反思：
本节课采用了引入、讲解、练习、总结和作业布置等教学方法，使学生在理解函数的基本概念和性质的同时，能够应用函数解决实际问题。

希望通过本节课的教学，学生能够更深入地理解和掌握函数的相关知识。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法回忆-观察-讲解-归纳-推广.四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.如教材图1.1-4中的30︒角、210︒-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.4.练习:(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几? 7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果32︒-的终边是OB ,那么328,392︒︒-角的终边都是OB ,而328321360︒︒︒=-+⨯,39232(1)360︒︒︒-=-+-⨯.设{|32360,}S k k Z ββ︒︒==-+⋅∈,则328,392︒︒-角都是S 的元素,32︒-角也是S 的元素.因此,所有与32︒-角终边相同的角,连同32︒-角在内,都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与32︒-角终边相同.一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合{|360,}S k k Z ββα︒==+⋅∈,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.6例题讲评例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.7.练习教材6P 第3、4、5题.注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍.8.学习小结(1) 你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢?(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x 轴、y 轴、直线y x =上的角的集合.五、评价设计作业：习题1.1 A 组第1,2,3题．1.1.2弧度制一、教学目标：（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.三、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.2.弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来y x A αO B决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.6.例题讲解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.9.练习教材10P .五、作业：习题1.1 A 组第7,8,9题．1.2 任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数(一)一、教学目标：（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、教学设想第一课时任意角的三角函数（一）【创设情境】提问：锐角O借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP b OP r α==; cos OM a OP r α==; tan MP b OM aα==. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y,那么:(1)y叫做α的正弦(sine),记做sinα,即sin yα=；（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,即cos xα=；（3）yx 叫做α的正切(tangent),记做tanα,即tan(0)yxxα=≠.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r=,那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-则5r ==.于是 4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：7．例题讲评例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+= cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求下列三角函数值: (1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题五、评价1．作业：习题1.2 A 组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数（二）【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，Array以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y，过点P作PM x⊥轴交x轴于点M，则请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin|OM xα====；|||||cos|MP yα随着α在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有==cosOM xα同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有==MP yαsin4.像MP OM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．已知42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题 9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1．作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒ （2）'cos15018︒、cos121︒ （3）5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.1.2任意角的三角函数 1.2.2同角三角函数的基本关系一、教学目标：1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法. 二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=. 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评例6.已知3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值.sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠．（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计 (1) 作业：习题1.2A 组第10,13题.(2)熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.第二章平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，ABCD设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别. A(起点) B （终点）a②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1 书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE,）DOCB,课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，。