近5年高考数学全国卷2、3考试分析
近5年高考数学全国卷2、3考试分析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析从2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。
近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。
选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。
选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。
一、近五年高考数学考点分布统计表：2013 2014 2015 2016 2017选择题1 集合集合（交集、不等式）集合（交集、不等式）集合（交集、不等式）集合、交集、集合元素个数选择题2 复数复数（性质及运算）复数、运算复数、共轭复数复数、模选择题3 三角恒等变换向量（数乘、模）回归方程向量、数量积坐标公式折线图选择题4 框图余弦定理等比数列、性质识图二项展开式、系数选择题5 向量（夹角）概率分段函数三角函数、弦切互化双曲线、椭圆选择题6 三角函数图像平移三视图、体积三视图、体积幂、比较大小三角函数、周期性、对称性选择题7 排列组合框图圆、弦长框图框图选择题8 线性规划导数、切线框图三角形球、体积选择题9 三视图线性规划球、表面积三视图等差数列选择题10 抛物线抛物线函数、图像球、体积椭圆、圆、直线、离心率选择题11 函数命题立体几何双曲线、离心率椭圆、离心率函数零点选择题12 立体几何（体积）函数（参数取值范围）导数、x的取值范围定义题圆、向量填空题13 不等式的解法二项展开式向量、性质线性规划线性规划填空题14 双曲线三角函数、最值线性规划三角函数、平移等比数列通项公式填空题15 概率统计（正态分布）函数、单调性二项式定理、求参导数、奇偶性、切线方程分段函数不等式解答题16 三角函数等差数列圆数列、前n项和直线与椭圆、弦长线线角解答题17 数列通项公式数列通项公式解三角形数列通项、前n项和求参解三角形、余弦定理、面积解答题18 统计的数字特征线面平行、体积概率线性回归概率、期望解答题19 面面垂直线性回归线面角线面平行、线面角面面垂直、二面角解答题20 椭圆、圆的半径、圆的方程椭圆、直线、离心率直线与椭圆抛物线抛物线、圆解答题21函数解析式、单调区间导数函数单调性、参数范围导数导数选考题22选考题23 直角坐标与极坐标间方程转化坐标系转化、长度极值坐标系转化、交点、弦长坐标系转化、长度极值、坐标坐标系转化、极径选考题24绝对值不等式、恒成立、分段函数不等式证明、基本不等式不等式证明绝对值不等式、参数范围绝对值不等式、有解从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。
具体来说几个方面：1．整体稳定，覆盖面广高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查。
有些内容这几年轮换考查，如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划，理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。
2．重视基础，难度适中试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。
理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。
填空题前三题的难度相对较低，均属常规题型。
解答题的前三道题分别考查解三角形，分布列、数学期望，空间线面位置关系等基础知识，利用空间直角坐标系求二面角，属中低档难度题。
4．全面考查新增内容，体现新课改理念如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。
5．突出通性通法、理性思维和思想方法的考查数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。
数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。
尤其数形结合，每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题6．注重数学的应用和创新近三年的试题加强了应用问题的考查，涉及线性规划、统计图表、线性回归等，文理科每年都有解答题考查概率统计，2009（理科）和2011年都在21题位置上设置了函数与导数的应用题。
7．注重能力考查，有效区分不同思维层次的学生鼓励考生宽口径、多角度的思考和解决问题，不拘泥于某一成法，不局限考生的思想，设置的题目尽可能让考生可以从不同角度入手，均能得出结果。
二、2017高考题师生感觉初做2017年高考试题，第一感觉是，今年的高考试题难于2016年高考数学试题。
而且，从知识点的布点来看，今年的高考题更加合理，具有较强的综合考察学生掌握知识程度的作用。
2017年高考试题保持了数学一贯的严密体系，还是把对数学基本概念的理解和把握摆在首要考察的地位，侧重于考察学生的基本知识和基本技能，达到了“考基础、考能力、考素质、考潜能”的考试目标。
今年高考题，选择题注重双基的考察，当然其中也有数学思想方法的考察，比如第11题的等价转化与化归及数形结合思想，第12题的坐标化运用等，16题，需要学生有很强的空间想象能力，而解答题特别突出计算能力，思维能力，虽然说题目不偏不怪，包括20，21都还是算常规，有一定灵活，比如选做题中，22题的参数方程求轨迹方程的问题，可以说我们平时的复习备考基本都到不了这样的高度，这也为我们以后的备考提出新的思考。
从而导致多数学生叫苦叫难的，此次数学试题稳中有变，总体较2016年有较好的区分度，试卷关注社会热点、贴近实际，充分利用数学学科特点，突出创新。
其中，立体几何题题干不常规，解析几何考查抛物线和圆，第一问就提高难度。
函数与导数大题第二问给出关于正整数命题，其实我们还真不能说不常规，我们不妨冷静的分析一下前5年我们云南省的高考题，18题，前五年就出现过两次这种概率加分段函数讨论的问题，19题，常规的锥体，没有动点，没有参数，20题，前五年就很注重抛物线与圆相结合考察的问题，对于21题就更不用说了，围绕y=lnx 和y=x-1的基本模型展开，第二问需要用第一问结论巧妙赋值即可。
但是高考，不但考知识，还考心态，谁的心态好，谁时间分配合理，就能考高分。
今年的高考仍然有特别强的延续性，常规重点仍然是反复出现，专家家从命题到应试，各个方面都非常具体到位，小题练基本功，练竞争意识。
所以平时我们非常有必要给学生总结一些常用的结论，做到省时，高效，提高竞争力。
诸如中点弦，分点弦，以及常见的切线等结论。
大题中重通法，强规范。
要说专家压中了多少题，这个还真不好判断，四、高考复习备考策略分析1．注重基础，全面复习我们的高考无论如何变化,对基础知识和基本技能的考核,永远是不会变的,注重回归课本、扎实基础，努力提高学生的能力，既要引导学生掌握好新教材中的新内容，又要引导学生掌握好旧的内容，在教学中要体现过程教学，精选习题，有效训练。
高考试题总是以重点基础知识为主线组织全卷的内容的，从今年乃至近几年甚至自高考以来, 不重视“双基”的考生，不可能取得取得高分。
每年试题的框架主体都是考查数学的基础知识,基本技能和通性通法, 如函数的单调性、奇偶性、零点、图像性质及变换；三角函数及其图像的基本性质；向量的基本运算；圆锥曲线的基本概念、性质及应用；数列的基本性质及应用；空间图形的识别及线面的位置关系（包括面积、体积和理科的夹角和距离）；古典概型的方法；统计的基本方法（包括散点图、茎叶图、直方图、回归直线方程、方差、标准差）等。
2．注重思想方法，思维灵活如数形结合思想，新课程加强了和“图”有关的内容．如：三视图、统计图、程序框图、函数的图像性质及变换、空间线面位置关系、平面直线与圆锥曲线的位置关系等；函数与方程的思想方法，如函数的性质及围绕研究函数性质的相关知识和方法（导数、数列、解析几何等）、、特殊与一般的思想方法、变换的思想方法；还有数据的收集、整理、分析和应用，如统计与概率、线性规划等相关的应用问题，体现或然和必然的数学思想。
在复习过程中要熟悉知识的来龙去脉，“知其然，更要知其所以然”，克服急功近利的思想。
如对“不等式放缩法”，有一些常见的放缩技巧，但更要明白为什么要放缩，然后才是放缩技巧的问题，放缩的本质我感觉是目标逼近，根据你的需要，逐步向目标逼近。
对知识的掌握要做到策略化。
3．通法为主，变法为辅重视中学数学的通性通法，倡导举一反三、一题多解和多题一解，努力培养学生“六种能力、二个意识”.数学能力包括运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、实践能力和创新意识.能力的分类和要求与以前有不同，必然要反映在命题中.特别应注意新增加的“数据处理能力”和“实践能力和创新意识”.前者与统计有关，后者与应用问题有关.另外，“推理论证能力”有别于先前四大能力之一的“逻辑思维能力”，逻辑思维能力注重是演绎推理，“合情推理”也应引起我们的重视，它可以有效地培养学生的创新意识，这正是我们国家现在大力提倡的.我们鼓励考生思维活跃, 提倡考生发散思维, 就应该给与特殊方法,特殊技能一定的地位, 针对具体问题, 采用具体的方法,这是很重要的处理问题的方法.我们强调通性通法的重要，并不意味着完全否定其他的特殊方法, 其他的方法也是处理问题的一个重要方面，在整个数学科的发展过程中, 也很重要的, 也应该有所体现.4.重视数学语言，提高素养.数学素养的高低在某种意义上来说就是其数学语言掌握和运用的程度的差异.因此，数学学习的过程可以理解为就是数学语言的学习过程.无论学生将来从事何种工作，经过高中（包括基础教育）阶段的数学学习，具备初步的数学语言理解、转化和表达能力是非常重要的，是一个人具备一定的数学素养的基本标志.尤其是当前高考考试形式主要考查的是书面表达能力.试卷能否得分，不唯你会做，重要的是你要准确的表达出来，卷面上的文字表述务必正确、简洁；文字书写力求工整.因此，在日常教学中要重视对学生口头和书面表述（包括作图）能力的培养，以求达到数学语言运用的准确性、逻辑性、完整性和流畅性.5.重视创新能力和应用意识的培养创新能力的培养是新课改的一个重要理念，我们的教学对象，不应该仅仅是接受知识的口袋，而更应该是创造知识的机器，我们的教学对象，是蓄势待发的火箭，他们将来应该能够独立地翱翔于知识的太空，应该能够独立的探索未知的世界，而我们，作为教师，应该像点火者一样，激发学生的能动性，赋予他们能够创新的基本知识，激活他们的创新意识，让学生能够在已有的知识基础上，探索未知的知识领域.只有这样，我们和我们的教学对象才能真正体会“生知也有涯，而知也无涯”的境界，只有这样，我们的知识水平才能不断的增加，我们的认知能力才能不断地提高，教师永远要记住：培养学生的创新能力和探索能力，永远是重要的.培养数学的应用意识也是非常重要的，数学对我们大多数人而言，应该是一个工具，是处理其它实际问题的工具，如何将已有的数学知识应用到我们面临的实际问题中，如何利用我们已掌握的数学知识，处理我们面对的实际问题，这都是很重要的，我们教育的目的，是使我们的学生将来走向生活，走向社会，并且能够适应社会，这就要求他们必须将现在的“所学”和将来的“所遇”有一个好的衔接，这样的能力不是自然产生的，需要一个培养的过程，要有意识的培养学生的数学应用意识，高考命题中很好的体现了这一点，我们的高考题中有相当数量的题目是数学的应用题，需要考生面对实际问题，将他们转化为数学问题，然后运用所学的知识，解决这个数学问题，最后再将所得到的数学结果，还原到实际背景中，并合理的解释实际的问题，这就是数学的应用过程，这就是数学的建模过程，这也是我们的教学对象，将来走向社会后，需要面对和解决问题的主要过程，培养学生适应这个解决问题的方法和过程是非常重要的.11。
2023年高考真题——数学(新高考II卷) Word版含解析
程，解出即可.
y xm
【详解】将直线
y
x
m
与椭圆联立
x2 3
y2
，消去
1
y
可得
4x2
6mx
3m2
3
0
，
因为直线与椭圆相交于 A, B 点，则 36m2 4 4 3m2 3 0 ，解得 2 m 2 ，
设 F1 到 AB 的距离 d1,F2 到 AB 距离 d2 ，易知 F1 2, 0 , F2 2, 0 ，
5.
已知椭圆 C :
x2 3
y2
1 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，直线
y
x m 与 C 交于 A，B 两点，若 △F1AB
面积是 △F2 AB 面积的 2 倍，则 m （ ）．
2 A. 3
B. 2 3
C. 2 3
D. 2 3
【答案】C
【解析】
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用 0 ，求出 m 范围，再根据三角形面积比得到关于 m 的方
综上所述： a 1 .
故选：B.
3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高 中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有 （ ）．
A.
C45 400
C15 200
种
.C
C30 400
C40 400
C20 200
种.
故选：D.
4.
若
f
x
x
a
ln
2x 2x
1 1
为偶函数，则
a
（
）．
A. 1
2024年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题卷(含答案与解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数 学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知1i z =--，则z =（ ）A. 0B. 1C. 2D. 22. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题 C. p 和q ⌝都是真命题D. p ⌝和q ⌝都是真命题3. 已知向量,a b r r满足1,22a a b =+=r r r ，且()2b a b -⊥r r r ，则b =r （ ）A. 12B.22C.32D. 14. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200） 频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB. 100块稻田中亩产量低于1100kg 稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5. 已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A. 221164x y +=（0y >）B. 221168x y +=（0y >）C. 221164y x +=（0y >）D. 221168y x +=（0y >）6. 设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ） A. 1-B. 12C. 1D. 27. 已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A. 12B. 1C. 2D. 38. 设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A.18B.14C. 12D. 1二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（ ） A. ()f x 与()g x 有相同零点 B. ()f x 与()g x 有相同最大值 C. ()f x 与()g x 有相同的最小正周期D. ()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10. 抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A. l 与A e 相切B. 当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =的⊥；（1）证明：EF PD（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为A. 0B. 1C. 2D. 2【答案】C 【解析】【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若1i z =--，则()()22112z =-+-=.故选：C2. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题 C. p 和q ⌝都是真命题 D. p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B 【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题， 对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题， 综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B.3. 已知向量,a b r r满足1,22a a b =+=r r r ，且()2b a b -⊥r r r ，则b =r （ ）A. 12 B.22C.32D. 1【答案】B 【解析】【分析】由()2b a b -⊥r r r 得22b a b =⋅r r r ，结合1,22a a b =+=r r r ，得22144164a b b b +⋅+=+=r r r r ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥r r r ，所以()20b a b -⋅=r r r ，即22b a b =⋅r r r，又因为1,22a a b =+=r r r，所以22144164a b b b +⋅+=+=r r r r ，.从而22=r b .故选：B.4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200） 频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB. 100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间 【答案】C 【解析】【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<, 所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误； 对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+， 所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确； 对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误. 故选；C.5. 已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A. 221164x y +=（0y >）B. 221168x y +=（0y >）C. 221164y x +=（0y >）D. 221168y x +=（0y >）【答案】A 【解析】【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '， 因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>， 即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>. 故选：A 6. 设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ） A. 1- B. 12C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+， 令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点， 注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =， 若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立， 可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点， 所以2a =符合题意； 综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=， 则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0， 即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立， 可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立， 即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意； 故选：D.7. 已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A. 12 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高433h =，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求为则2211AA AM A M =+=可得2211DD DN D N =+则1A A 与平面ABC 所成角即为因为11113PA A B PA AB ==，则P P V V -可知1112627ABC A B C P ABC V V --==若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >； 当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥； 可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>， 此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立， 所以22a b +的最小值为12. 故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（ ）A. ()f x 与()g x 有相同零点B. ()f x 与()g x 有相同最大值C. ()f x 与()g x 有相同的最小正周期D. ()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点， 令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点， 显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确； D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ， ()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误. 故选：BC10. 抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A. l 与A e 相切B. 当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C. 当||2PB =时，PA AB ⊥D. 满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A e 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A e 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长22224115PQ PA r =-=-=，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)ABk -==--， 不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--， 不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误； D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=， 于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=， 2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确. 方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，根据两点间的距离公式，422(4)1164t t t +-=+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确. 故选：ABD11. 设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A. 当1a >时，()f x 有三个零点 B. 当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C. 存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D. 存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值， 由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <， 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<， 则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴， 即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-， 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为33332C (2)()2b x x -=-， 于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________. 【答案】95 【解析】【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=. 故答案：95.13. 已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 21αβ=+，则sin()αβ+=_______. 【答案】223- 【解析】【分析】法一：根据两角和与差正切公式得()tan 22αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得()()tan tan 4tan 221tan tan 121αβαβαβ++===---+，因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈， 则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，的为的则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)， (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)， (13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)， (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=. 故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 3cos 2A A +=． （1）求A ．（2）若2a =，2sin sin 2b C c B =，求ABC V 的周长． 【答案】（1）π6A =（2）2632++ 【解析】【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 3cos 2A A +=进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【小问1详解】方法一：常规方法（辅助角公式） 由sin 3cos 2A A +=可得13sin cos 122A A +=，即sin()1π3A +=， 由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A = 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 3cos 2A A +=，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 43cos 30(2cos 3)0A A A -+=⇔-=，解得3cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin 3cos (0π)f x x x x =+<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 3cos 22sin()3f A A A A =+==+， max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos 3sin f A A A '==-，即3tan 3A =， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(1,3),(sin ,cos )a b A A ==r r ，由题意，sin 3cos 2a b A A ⋅=+=r r， 根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==r r r rr r r r ，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔=r r r r ，此时,0a b =rr ，即,a b r r 同向共线，根据向量共线条件，31cos 3sin tan 3A A A ⋅=⋅⇔=， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22223(1)sin 3cos 211t t A A t t-+==+++， 整理可得，2222(23)(23)0((23))t t t --+-==--， 解得tan232A t ==-，根据二倍角公式，223tan 13t A t ==-， 又(0,π)A ∈，故π6A = 【小问2详解】由题设条件和正弦定理2sin sin 22sin sin 2sin sin cos b C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而2cos 2B =，得到π4B =，于是7ππ12C A B =--=， 26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A +=--=+=+=， 由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412bc==， 解得22,62b c ==+，故ABC V 的周长为2632++ 16. 已知函数3()e x f x ax a =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围． 【答案】（1）()e 110x y ---= （2）()1,+∞ 【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=-xf x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-， 可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=. 【小问2详解】解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立， 可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a'=+>， 可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >， 所以a 的取值范围为()1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ， 若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点， 令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =， 可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,∞+内单调递增， 可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >， 所以a 的取值范围为()1,+∞.⊥；（1）证明：EF PD（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析865（2）18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为阶段，由该队的另一名队员投篮总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为相互独立．（2）假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1）0.686（2）（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.【小问2详解】（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q <<Q ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦， 32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦， 3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦， 33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q ⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15， 同理()32()1533E Y q q q p =-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+--- 15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<， 则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19. 已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y . （1）若12k =，求22,x y ； （2）证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列； （3）设n S 为12n n n P P P ++V 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=. 【答案】（1）23x =，20y = （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可； （2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可. 【小问1详解】由已知有22549m =-=，故当12k =时，过()15,4P 且斜率为解得3x =-或5x =，所以该直线与故()3,0P ，从而3x =，所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k+++-+--=--- ()()222222221211111n n n n n n n n n n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----. 再由22119x y -=，就知道110x y -≠，所以数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列. 【小问3详解】方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b =u u u r ，(),UW c d =u u u u r，则12UVW S ad bc =-V .（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVW S =V ） 证明：211sin ,1cos ,22UVW S UV UW UV UW UV UW UV UW =⋅=⋅-V u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r()222211122UV UWUV UW UV UW UV UW UV UW ⎛⎫⋅ ⎪=⋅-=⋅-⋅ ⎪⋅⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r()()()2222212a b c d ac bd =++-+ 222222222222122a c a dbc bd a c b d abcd =+++--- ()222221112222a dbc abcd ad bc ad bc =+-=-=-. 证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+. 再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+----- ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+- ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211m mn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211m mk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=----u u u u u u r ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--u u u u u u u r，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+--V ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=----- ()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+--- 2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+. 再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+----- ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+- ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---. 移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+. 故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=--u u u u u u r ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--u u u u u u u r.所以3n n P P +u u u u u u r 和12n n P P ++u u u u u u u r平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++=V V ，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。
2023年高考数学全国卷试题评析
2023年高考数学全国卷试题评析2023年高考数学全国卷试题评析据教育部教育考试院消息，2023年教育部教育考试院命制4套高考数学试卷，分别是全国甲卷(文、理科)、全国乙卷(文、理科)、新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷。
高考数学全国卷贯彻落实教育方针，落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展;反映新时代基础教育课程理念，落实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥数学学科在人才选拔中的重要作用。
一、发挥基础学科作用助力创新人才选拔高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。
一是重点考查逻辑推理素养。
如新课标Ⅰ卷第7题，以等差数列为材料考查充要条件的推证，要求考生判别充分性和必要性，然后分别进行证明，解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证。
又如新课标Ⅱ卷第11题，其本质是根据一元二次方程根的性质判定方程系数之间的关系，题中函数经过求导后既有极大值又有极小值的性质，可以转化为一元二次方程的两个正根。
再如全国乙卷理科第21题，要求考生根据参数的性质进行分类推理讨论，考查考生思维的条理性、严谨性。
二是深入考查直观想象素养。
如全国甲卷理科第15题，要求通过想象与简单计算，确定球面与正方体棱的公共点的个数。
又如全国乙卷理科第19题，以几何体为依托，考查空间线面关系。
再如新课标Ⅱ卷第9题，以多选题的形式考查圆锥的内容，4个选项设问逐次递进，前面选项为后面选项提供条件，各选项分别考查圆锥的不同性质，互相联系，重点突出。
三是扎实考查数学运算素养。
试题要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。
如新课标Ⅰ卷第17题，以正弦定理、同角三角函数基本关系式、解三角形等数学内容，考查数学运算素养。
2016年-2017年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷2,参考版解析)
高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。
穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。
食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。
如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。
另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。
好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。
考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。
用：出门考试之前，一定要检查文具包。
看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。
行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。
2016年高考新课标Ⅱ卷文数试题参考解析一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =I （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}，【答案】D【解析】由29x <得，33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，所以{1,2}A B =I ，故选D. 2. 设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C【解析】由3z i i +=-得，32z i =-，故选C. 3. 函数=sin()y A x ωϕ+ 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=【答案】A4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π （B ）323π （C ）8π （D ）4π 【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为233，所以球面的表面积为243)12ππ⋅=，故选A.5. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D【解析】(1,0)F ，又因为曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以21k =，所以2k =，选D.6. 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（A ）−43 （B ）−34（C ）3 （D ）2 【答案】A【解析】圆心为(1,4)，半径2r =，所以2211a =+，解得43a =-，故选A.7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为28S π=，故选C.8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ）710 （B ）58 （C ）38 （D ）310【答案】B【解析】至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B. 9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34【答案】C【解析】第一次运算，a=2，s=2，n=2，k=1，不满足k>n; 第二次运算，a=2，s=2226⨯+=，k=2，不满足k>n; 第三次运算，a=5，s=62517⨯+=，k=3，满足k>n ， 输出s=17，故选C ．10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 （A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x（D ）y x=【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．11. 函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答案】B【解析】因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.12. 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数 y =|x 2-2x -3| 与 y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B【解析】因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】6-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．14. 若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x -2y 的最小值为__________.【答案】5-15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+= （I ）求{n a }的通项公式；(II)设nb =[na ]，求数列{nb }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2【试题分析】（I ）先设{}n a 的首项和公差，再利用已知条件可得1a 和d ，进而可得{}n a 的通项公式；（II ）根据{}n b 的通项公式的特点，采用分组求和法，即可得数列{}n b 的前10项和．18． (本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
2024年新高考数学I卷分析
2024年新高考数学I卷分析2024年高考数学全国卷,考主干、考能力、考素养,重思维、重创新、重应用,突出考查思维过程、思维方法和创新能力.创设全新的试卷结构,减少题量,给学生充足的思考时间,加强思维考查,强化素养导向,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,助力教育强国建设.一、依托高考评价体系,创新试卷结构设计2024年数学新课标卷调减了题量,同时增加了解答题的总分值,优化了多选题的赋分方式,强化了考查思维过程和思维能力的功能.试卷题量减少能够增加用于思考的时间,学生不必过多地关注做题的进度和速度,可以更专注、更深入地思考,更从容地试错,使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出,发挥了高考的选拔功能,引导数学教学关注对学生核心素养的培养.新课标卷打破以往的模式,灵活科学地确定试题的内容、顺序.机动调整题目顺序,有助于打破学生机械应试的套路,打破教学中僵化、固定的训练模式,防止猜题押题,同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力.引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力,灵活地整合知识解决问题.如新课标Ⅰ卷将解析几何试题安排在解答题的第2题,数列内容则结合新情境,安排在最后压轴题的位置.试卷聚焦主干知识内容和重要原理、方法,着重考查数学学科核心素养,引导中学教学遵循教育规律,突出数学教学本质,回归课标,重视教材,重视概念教学,夯实学生学习基础,给学生留出思考和深度学习的空间.避免超纲学、超量学,助力减轻学生学业负担.如新课标Ⅰ卷第10题以基本求导公式及求导法则、利用导数判断函数单调性的方法为素材,考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力,以及学生的逻辑推理能力、运算求解能力.二、突出思维能力考查,助力拔尖创新人才选拔数学作为一门重要的基础学科,也是唯一一门理科性质的统考科目,在服务人才选拔、服务国家发展战略、助力强国建设方面承担重要责任、发挥关键作用.2024年高考数学重点考查学生逻辑推理、批判性思维、创新思维等关键能力,助力拔尖创新人才选拔,引导培育支撑终身发展和适应时代要求的能力.试卷贯彻改革要求,注重整体设计,很好地处理考试时间、试卷题量、试题难度之间的关系,统筹协调试题的思维量、计算量和阅读量.优化题量设置、合理控制试题的计算量,尽量避免繁难运算,保证学生在分析问题的过程中有充裕的时间进行思考,强调对思维能力的考查,适应拔尖创新人才选拔需要.如新课标Ⅰ卷第12题,通过应用双曲线的定义和性质,可以避免较为复杂的坐标计算以及联立方程求解,从而有效地减少计算量,节省考试时间.试题突出创新导向,新课标卷根据试卷结构调整后整卷题量减少的客观情况,创新能力考查策略,设计全新的试题情境、呈现方式和设问方式,加强解答题部分对基本能力的考查,提升压轴题的思维量,突出理性思维和数学探究,考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力.如新课标Ⅰ卷第19题以等差数列为知识背景,创新设问方式,设置数学新定义,搭建思维平台,引导学生积极思考,在思维过程中领悟数学方法,自主选择路径和策略分析问题、解决问题.试题强化综合性考查,强调对原理、方法的深入理解和综合应用,考查知识之间的内在联系,引导学生重视对学科理论本质属性和相互关联的深刻理解与掌握,引导中学通过深化基础知识、基本原理方法的教学,培养学生形成完整的知识体系和网络结构.如新课标Ⅰ卷第5题将圆柱与圆锥结合,综合考查侧面积、体积的计算,第18题在函数导数试题中考查了曲线的对称性的这一几何性质.三、加强考教衔接,引导中学教学2024年高考数学试卷立足课程标准,考查的内容依据学业质量标准和课程内容,注重考查学生对基础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用,强调知识的整体性和连贯性,引导教学以课程目标和核心素养为指引,避免超纲教学,注重内容的基础性和方法的普适性,避免盲目钻研套路和机械训练.高考数学通过创新试卷结构设计和题目风格,深化基础性考查,强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.增加基础题比例、降低初始题起点,增强试题的灵活性和开放性.如新课标Ⅰ卷第14题,不是考查学生记住了哪些知识点,而是突出考查学生的理性思维和探究能力,使得一些套路无用、模板失效,让死记硬背的教学方式不能适应现在高考的新要求.1.总题量由21题减少为19题,多选题由4题减少为1题,填空题由4题减少为1题,解答题由6道减少为5题.2.多选题分值由每题5分调整为每题6分,解答题分值增加,由原来的70分增加到77分.3.增加新定义问题,全国卷I为数列新定义问题压轴,解答题中少了单调考查概率统计的试题,导数题目增加为3道,立体几何题由3道减少为2道,导数解答题中出现对“纯”函数内容的考查.4.大部分题目都比较简单,考查基础知识与基本技能题占100分左右,难题数量少,但更难,难在数学上思维上.减少题量,体现“多想少算”,加强思维考查,强化素养导向,容易题占多数,难题更难,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.题号分值题型考查内容模块（题目数）15分单选题集合与不等式 1.集合（共1题）2.不等式（共2题）25分单选题复数的运算复数（共1题）35分单选题平面向量的数量积平面向量（共1题）45分单选题三角变换三角函数与解三角形（共3题）55分单选题圆锥的体积立体几何（共2题）65分单选题分段函数单调性函数（共2题）75分单选题三角函数的图象三角函数与解三角形（共3题）85分单选题抽象函数函数（共2题）96分多选题正态分布概率统计（共3题）106分多选题导数应用1导数（共3题）2.不等式（共2道）116分多选题曲线与方程解析几何（共3题）125分填空题双曲线解析几何（共3题）135分填空题导数的几何意义导数（共3题）145分填空题概率概率统计（共3题）1513分解答题解三角形三角函数与解三角形（共3题）1615分解答题椭圆、面积解析几何（共3题）1715分解答题线面平行、二面角立体几何（共2题）1817分解答题导数应用、对称问题导数（共3题）1917分解答题新定义、数列数列（共1题）1．重视“双基”复习,首轮复习时在概念定义、通性通法上回归教材,把教材上典型的例题、习题（复习题）过一下,做到：正确地理解基本概念的内涵和外延；熟练地掌握和应用相关的公式与定理；熟悉并运用常见的基本技能和方法.2.一轮复习要做到：各章内容综合化；基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范化.3.对复习资料要处理,删去偏难、偏怪、超纲、解法太唯一的题目,对基本运算能力、空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力等在复习时要逐步提高,达到高考要求4.第一轮复习结束后,要做好以下几个方面的工作：抓住每一专题（板块）的宏观主线,提纲挈领,将板块知识及题型和解题方法等高度系统化,条理化.把高考试题进行专题整合,采对重要知识、方法和技能通过高考试题的链式分析,体会“突出重点、突破难点、关注热点、把握通性、注重通法、淡化技巧”的内涵,真正明白高考到底考什么、怎么考,对高考试题的认识和把握形成清晰的思维脉络.5.对于大部分考生高考数学考不好的原因不是难题没有作对,二是基础题失分过多,可以说会做做不对是失分的主要原因.所以平时的复习要注意纠错,对每次考试中“会做做不对的题”,要找出错误原因进行标注,同时再找几道类似的题进行巩固,做到以例及类、题不二错.2024年新高考数学I 卷试题一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}355A x x =-<<,{}3,1,0,2,3B =--,则A B =（）A ．{}1,0-B ．{}2,3C ．{}3,1,0--D ．{}1,0,2-【命题意图】本题考查集合的交集运算及简单不等式的解法,考查数学运算的核心素养.难度：易.【解析】由355x -<<得x <<,因为158<<,12<,所以{}1,0A B =- ,故选A.【快解】因为333275,285-=-<-=>,排除BCD,故选A.【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集,这种考查方式多年来保持稳定.【知识链接】1.求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x |y ＝f (x )},{y |y ＝f (x )},{(x ,y )|y ＝f (x )}三者是不同的；(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).2．若1i 1zz =+-,则z =（）A ．1i--B ．1i-+C ．1i-D 1i +．【命题意图】本题考查复数的运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：易.【答案】C 【解析】由1i 1z z =+-得,1i1i i z +==-,故选C.【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,新高考复数题单选题、多选题、填空题都可能出现,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.【知识链接】解复数运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合复数的几何意义解答．3．已知向量()()0,1,2,x ==a b ,若()4⊥-b b a ,则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D.2【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.【答案】D【解析】因为()4⊥-b b a ,所以()2244440x x ⋅-=-⋅=+-=b b a b a b ,所以2x =,故选D.【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是难题,难题常用平面几何、不等式、三角函数等知识交汇考查.【知识链接】1.求平面向量数量积,当已知向量的模和夹角时,可利用a·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉求解；当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a·b ＝x 1x 2＋y 1y2.2.求解与平面几何有关的平面向量数量积的最值与范围问题,常见的方法有2种,一是建立坐标系,把问题转化为代数问题利用函数思想或基本不等式求解,二是引进角作变量,把问题转化为三角函数求最值或范围.4.已知()cos ,tan tan 2m αβαβ+==,则()cos αβ-=A ．3m-B ．3m -C ．3m D.3m【命题意图】本题考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数基本关系式,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.【答案】A 【解析】因为()()()()cos cos 2sin sin tan tan 2cos cos 2cos cos αβαβαβαβαβαβαβ--+===-++.所以()()cos cos mmαβαβ--=-+2,所以()cos αβ-=3m -,故选A.【快解】因为tan tan 2αβ=,取π,sin 4αββ===则()cos αβ+=()2cos sin 2βα-=1010,()cos αβ-=()2cos sin 2βα+=()3103cos 310m αβ=-+=-,故选A.【点评】三角函数与解三角形在高考中通常有2-3道试题,若有3道题,通常是三角变换、三角函数图像与性质、解三角形各有1道题.【知识链接】1.使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征．2.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．3.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角,二看名,三看式子结构与特征；三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点．4.给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法．5．已知圆柱与圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为则圆锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．【命题意图】本题考查圆柱与圆锥的侧面积与体积,考查逻辑推理、直观想象等核心素养.难度：易【答案】B【解析】设圆柱与圆锥的底面半径相等为r ,由侧面积相等,得2ππr r =,解得r ,所以圆锥的体积为21π33⨯=,故选B.【点评】新课标高考数学立体几何客观题一般有两道（今年特殊,只有1到客观题）,一般分别涉及多面体与旋转体,表面积、体积计算及线面位置判断是考查热点.【知识链接】对于柱体、椎体、台体的体积可直接使用公式求解,对于不规则多面体的体积计算常采用割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.6.已知函数()()22,0ln 1,0x x ax a x f x e x x ⎧---<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是A ．(],0-∞B ．[]1,0-C ．[]1,1-D ．[)0,+∞【命题意图】本题考查分段函数的单调性,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.难度：中【答案】B【解析】当0x ≥时()f x 单调递增,要使()f x 在R 上单调递增,应满足01a a -≥⎧⎨-≤⎩,所以10a -≤≤,故选B.【点评】高考函数客观题一般有2道,考查热点是函数的奇偶性、单调性与周期性,利用函数单调性求参数取值范围更是热点中的热点.【知识链接】1.确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性．2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．7．[]0,2x π∈时,曲线sin y x =与π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想,考查直观想象的核心素养.难度：中【答案】C【解析】作出曲线sin y x =与π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π上的图象如图所示,由图象可得交点有6个,故选C.【点评】三角函数的图象与性质基本是高考每年必考题,本题求解没有过多的技巧,关键是能熟练作出三角函数图像,高考中有不少题目都需要借助图形求解,在此提醒考生,做题时千万不要得“意”忘“形”.【知识链接】1.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．2.对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0,ω≠0),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点．3.根据y ＝A sin(ωx ＋φ),x ∈R 的图象求解析式的步骤：(1)首先确定振幅和周期,从而得到A 与ω.(Ⅰ)A 为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x 轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的14个周期(借助图象很好理解记忆)．(2)求φ的值时最好选用最值点求．峰点：ωx ＋φ＝π2＋2k π；谷点：ωx ＋φ＝－π2＋2k π.也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．升零点(图象上升时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝2k π；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝π＋2k π(以上k ∈Z )．8．已知函数()f x 的定义域为R ,()()()12f x f x f x >-+-,且当3x <时,()f x x =,则下列结论一定正确的是（）A ．()10100f >B ．()20100f >C ．()101000f <D ．()2010000f <【命题意图】本题考查抽象函数求值,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.难度：难【答案】C【解析】由3x <时()3f x =,()()()12f x f x f x >-+-得,()()()321f f f >+=3()()()432f f f >+>5,()()()5438f f f >+>,()()()65413f f f >+>,不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项：3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ,所以()()201615971000f f >>>,故选B.【点评】抽象函数是近两年高考考查热点,考查频率比较高的是抽象函数求值、奇偶性、周期性及与不等式的交汇问题.【知识链接】1.本题是由裴波那契数列改编而成,下面列出斐波那契数列{}n a 的一些基本性质,供有兴趣的同学参考：(1)n a a a a ++++...321=12-+n a ；(2)n n a a a a a 212531...=++++-；(3)1...122642-=+++++n n a a a a a ；(4)12232221...+=++++n n n a a a a a a ；(5)1)()1()1(...1321+--=-++-+-+n n nn na a a a a a ；(6)11+-++=m n m n n m a a a a a ；(7)nn n n a a a ）（1211-=--+；(8)n n n a a a 322=+-+.2.对称性与周期性是抽象函数考查的热点,下面列出一些基本结论,供参考：(1)若()()f a x f b x +=-,则()f x 的图象关于直线2a bx +=对称；(2)()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b ax -=对称；(3)若()()22f a x f x b -+=,则()f x 的图象关于点(),a b 对称.(4)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于直线x b =对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(5)若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(6)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()4b a -是它的一个周期.二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2N x s ,则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Zu σ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><【命题意图】本题考查正态分布,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：易【答案】BC【解析】依题可知,22.1,0.01x s ==,所以()2.1,0.1Y N ,故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>,C 正确,D 错误；因为()1.8,0.1X N ,所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯,因为()1.80.10.8413P X <+≈,所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<,而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<,B 正确,A 错误,故选BC ．【点评】概率统计在新高考试卷中通常有2-3道题,由于概率统计知识点比较多,出题没有固定方向,但大多有实际背景.【知识链接】正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；2.解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.10．设函数2()(1)(4)f x x x =--,则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时,()2()f x f x<C ．当12x <<时,4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时,()()2f x f x->【命题意图】本题考查利用导数研究函数单调性,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：中【答案】ACD【解析】解法一：对于A,因为()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--',当()1,3x ∈时,()0f x '<,当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时,()0f x '>,()f x 在(),1∞-上单调递增,在()1,3上单调递减,在()3,∞+上单调递增,3x =是函数()f x 的极小值点,A 正确；对于B,当01x <<时,210x x >>>,由()f x 在()0,1上单调递增,可得()()2f x f x >,B 错误；对于C,当12x <<时,1213x <-<,由()f x 在()1,3上单调递减,可得()()()1213f f x f >->,即()4210f x -<-<,C 正确；对于D,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,D 正确；故选ACD.解法二：对于A,由()()()313f x x x -'=-,且()1,3x ∈时,()0f x '<,当()3,x ∞∈+时,()0f x '>,得3x =是函数()f x 的极小值点,A 正确；对于B,取12x =,则1728f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,1135464f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>14f ⎛⎫⎪⎝⎭,B 错误；对于C,因为()()()22141250f x x x -=--<,()()()221442210f x x x -+=-->,C 正确；对于D,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,D 正确；故选ACD.【点评】利用导数研究函数单调性是高考热点,客观题中此类问题常与数式大小比较、不等式等知识交汇.【知识链接】1.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域．(2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．特别提醒：划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点．2.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增(减)函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上,f ′(x )不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．11．造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+【命题意图】本题考查曲线与方程,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度:难【答案】ABD【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ,则2x >-()2224x y x a -+-=,因为曲线过坐标原点,故()2202004a -+-=,解得2a =-,故A 正确.对于B ：又曲线方程为()22224x y x -++=,而2x >-,故()()22224x y x -++=.当22,0x y ==时,()()2222222844-=-=,故()2,0在曲线上,故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+,取32x =,则2641494y =-,而64164525624510494494494---=-=>⨯,故此时21y >,故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时,由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++,故0004422y x x -≤≤++,故D 正确.故选ABD.【点评】往年解析几何试题都是以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体命题,该题以与生活有关的曲线命题,背景新颖,对解题能力要求较高,是一道好题.【知识链接】直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ,B 两点,若1||13,||10F A AB ==,则C 的离心率为___________．【命题意图】本题考查双曲线,考查数学运算的核心素养,难度：易【答案】32【解析】解法一：由题可知2,,A B F 三点横坐标相等,设A 在第一象限,将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±,即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2210b AB a ==,225b AF a ==,又122AF AF a -=,得1222513AF AF a a =+=+=,解得4a =,代入25b a=得220b =,故22236,c a b =+=,即6c =,所以6342c e a ===.解法二：在直角△12AF F 中1213,5F A AF ==,由勾股定理得1212F F =,所以C 的离心率为12121231352F F e F A AF ===--.【点评】本题通过应用双曲线的定义和性质求离心率,没有较为复杂的计算,属于基础题,高考中双曲线客观题以容易题居多.【知识链接】1.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>焦点且与实轴垂直的弦长为22b a；2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．3.根据双曲线的渐近线求离心率常用结论：e =13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a __________.【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理、直观想象,难度：中【答案】ln 2【解析】由e x y x =+得e 1x y '=+,00|e 12x y ='=+=,故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+,设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++,由两曲。
全国卷数学高考分析及2024年高考预测：全国II卷文科数学2024年高考分析及2024年高考预测
全国卷数学高考分析及2024年高考预测：全国II卷文科数学2024年高考分析及2024年高考预测全国卷数学高考分析及2024年高考预测在全国范围内，高考数学考试无疑是一项极其重要的考试，对于每一位考生来说都具有深远的影响。
高考数学考试的主要形式包括全国I 卷、全国II卷以及一些省份的自主命题，而全国II卷文科数学则是其中较为代表性的一份试卷。
本文将对全国II卷文科数学2024年高考进行分析和预测，以期为广大考生提供参考。
首先，我们需要了解全国II卷文科数学的基本情况。
全国II卷文科数学是针对高中文科生而设置的高考数学试卷，其难度相对较低。
然而，无论是从试卷结构、考点分布还是题目类型来看，全国II卷文科数学都呈现出较高的稳定性和连续性。
这为我们的分析和预测提供了有力的依据。
在进行高考预测时，我们需要考虑多种因素，包括历年考试出题规律、考生答题习惯、社会经济和科技的发展趋势等。
就全国II卷文科数学而言，我们发现近几年的试卷在难度上呈现出稳中有降的趋势，更加注重对基础知识的考查。
同时，对于一些应用性较强的问题，如概率、统计等，也逐渐得到了更多的关注。
结合以上分析，我们对全国II卷文科数学2024年高考进行如下预测：1、试卷结构：预计全国II卷文科数学的试卷结构将保持稳定，仍然包括选择题、填空题和解答题等几个部分。
2、考点分布：根据历年考试情况，预计2024年高考全国II卷文科数学将继续加强对基础知识的考查，如代数、三角函数、平面几何等。
同时，对于应用性较强的知识点，如概率、统计等，也将继续保持较高的出题比例。
3、题目类型：在题目类型上，预计将继续保持多样化的特点。
包括直接求解、证明题、应用题等。
同时，为了更好地考查学生的数学素养，可能会在一些题目中融入更多的实际背景和问题情境。
总的来说，全国II卷文科数学的高考预测应该以稳为主，同时注重对基础知识的考查和应用能力的提升。
考生在备考过程中应重点把握基础知识，并适当加强解题技巧的训练和应用能力的提升。
2023高考数学全国二卷试题评析
2023高考数学全国二卷试题评析2023高考数学全国二卷试题评析一、选择题2023高考数学全国二卷试题的选择题部分涉及广泛的数学知识，考察了学生的运算能力、逻辑思维和解题技巧。
试题设置合理，既具有一定难度，又不失应试性质，能够考查学生对数学的全面理解和掌握。
二、填空题本次数学试卷的填空题部分延续了数学知识的复合性和运用性，旨在考查学生对数学概念的理解和灵活应用能力。
试题设置较为巧妙，对学生的适应能力和解题思路提出了较高要求，对于反映学生综合分析和推理能力具有一定的指导意义。
三、解答题2023年高考数学全国二卷试题的解答题部分共分为三个大题，考查了学生对数学知识的整合能力和问题解决能力。
试题的难度适中，不过分依赖计算，更注重学生对数学思维的深化和灵活运用。
大题一为函数相关问题，考查了学生对函数性质的理解和函数应用的能力。
试题中通过给出函数图像、表达式等不同形式的信息，要求学生做出函数性质的判断、画出函数图像等，考查学生综合运用数学知识和图像信息的能力。
大题二为概率统计问题，考查了学生对概率和统计知识的掌握和运用。
试题涉及了概率计算、统计分析等内容，要求学生通过数据整理、集中趋势等统计指标进行分析，以及进行事件的概率计算，考查学生综合运用数学知识和统计思维的能力。
大题三为空间几何问题，考查了学生对空间几何的理解和运用。
试题要求学生通过建立几何模型、借助几何关系、利用几何性质等方法解决实际问题，考查学生综合运用几何知识和空间想象力的能力。
总的来说，2023年高考数学全国二卷试题在考查内容和难度设置上比较全面，既考察了学生的计算能力和基础知识掌握，又注重了学生的数学思维和问题解决能力。
试题的设计合理，能够有效反映学生对数学的理解和应用水平。
希望同学们在备考过程中注重理论联系实际，注重综合运用，做好知识的巩固和技巧的提升，提高解题的准确性和速度，以取得优异的成绩。
近5年高考数学全国卷2、3试卷分析
年高考全国卷 、 试卷分析从 年云南进入新课标高考至今，已有六年时间， 数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。
近 年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。
选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。
选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置 解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。
一、近五年高考数学考点分布统计表：从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。
具体来说几个方面：．整体稳定，覆盖面广高考数学全国卷 、 全面考查了新课标考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查。
有些内容这几年轮换考查，如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划，理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。
．重视基础，难度适中试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。
理科前 道选择题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。
填空题前三题的难度相对较低，均属常规题型。
解答题的前三道题分别考查解三角形，分布列、数学期望，空间线面位置关系等基础知识，利用空间直角坐标系求二面角，属中低档难度题。
．全面考查新增内容，体现新课改理念如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。
．突出通性通法、理性思维和思想方法的考查数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。
数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。
教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析
教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析2023年高考数学全国卷是中国教育部教育考试院组织的一项重要考试，对于广大高中生来说具有重要的意义。
本文将对这份试题进行评析，重点分析试题的难度、命题特点以及解题思路，帮助考生更好地理解数学试题，提高解题能力。
一、试题难度及命题特点的分析1.试题难度：在整体难度方面，2023年高考数学全国卷试题整体难度适中。
试题涵盖了基础知识与能力的考察，并融入了拓展性思维和创新性思考。
试题难度较往年有所提高，注重考查学生的综合应用能力和解决问题的能力。
2.命题特点：（1）综合性：试题涉及到数学各个领域的知识点，考查对基础知识的综合运用能力。
（2）拓展性：试题中设置拓展性的思考点，引导考生进行更深层次的思维拓展和推理。
（3）创新性：部分试题设置了新颖的解题思路和方法，考察学生的创造性思维。
二、试题解析及思路指导1.解析题目的要领：在解析试题时，我们要明确题目所给条件，分析题目的要求，并结合已有的知识和解题方法进行推理和运算。
同时，合理利用所给信息和相关定理或公式，将问题转化为数学语言描述，最终求出问题的解答。
2.常见题型及解题思路：（1）选择题：在选择题中，首先要审题仔细，理解题意。
根据所给条件，进行筛选，常用排除法来提高准确率。
（2）填空题：在填空题中，要注意被填空的位置对应的数学概念或表达方式。
可通过代入法或反证法来解答。
（3）计算题：应结合所给条件分析题目的要求，合理利用已有知识和定理进行计算，注意运算细节，避免粗心错误。
（4）证明题：在证明题中，要明确题目的要求，根据已有知识进行推理，合理巧妙地利用已知条件，通过逻辑推理和数学运算，得出结论。
接下来，我们以一道典型题目为例进行分析和解答，帮助考生更好地理解试题的解题思路。
例题：某数列的前三项分别为3，1，-2，则这个数列的通项公式为____。
首先，我们观察数列的前三项，发现每一项与前一项的差是递减的。
因此，我们可以猜测这个数列与等差数列存在一定的关系。
2023年全国新高考二卷数学试卷分析
2023年全国新高考二卷数学试卷分析引言2023年全国新高考二卷数学试卷是全国范围内高中学生参加的一项重要考试。
本文将对该试卷进行分析，包括试卷结构、题型选择、难易程度以及评价等方面，以便为学生提供参考和指导。
试卷结构2023年全国新高考二卷数学试卷共分为三个部分：选择题、填空题和解答题。
其中，选择题占总分的40%，填空题占总分的35%，解答题占总分的25%。
每个部分的试题数量和分值如下：1.选择题：共有20道选择题，每题2分，总分40分。
2.填空题：共有10道填空题，每题3分，总分35分。
3.解答题：共有5道解答题，每题10分，总分25分。
整个试卷的总分为100分。
题型选择在2023年全国新高考二卷数学试卷中，选择题是基础题型，涵盖了各个知识点。
该部分题目设计考察了学生对基本概念和计算能力的掌握程度，以及运用所学知识解决问题的能力。
填空题主要考察学生对数学概念的理解和灵活运用能力。
其中，一部分填空题需要进行推理和变式思维，要求学生在解题过程中运用所学知识进行分析和推理。
解答题是试卷的难点和重点，旨在考察学生解决复杂问题的能力。
这些问题通常较长且需要较多的计算步骤，要求学生将所学知识和解题方法进行整合和应用。
通过采用多种题型，试卷设计者旨在全面考察学生的数学素养和解决问题的能力。
难易程度根据参加考试的学生反馈和教师评价，2023年全国新高考二卷数学试卷的难易程度整体适中。
选择题部分普遍偏易，很多题目考察了基础知识的掌握情况，大部分学生都可以得出正确答案。
填空题部分考察了学生对知识点的深入理解和扩展运用，难度适中。
部分填空题需要通过推理和变式思维进行解答，相对较难，但总体上没有超出学生的能力范围。
解答题部分是试卷的难点，题目相对复杂，需要学生运用多种数学知识和解题方法进行分析和解答。
其中一道解答题题目较长且需要进行复杂的计算步骤，较为考验学生的逻辑思维和应用能力。
综上所述，2023年全国新高考二卷数学试卷整体难易程度适中，能够全面考察学生的数学素养和解题能力。