3.2 基本不等式与最大(小)值 学案(含答案)

3.2 基本不等式与最大(小)值学案（含答案）

3.2基本不等式与最大小值学习目标

1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.

2.会用基本不等式解决简单的最大小值问题.

3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.知识点用基本不等式求最值基本不等式求最值的条件1x，y必须是正数；2求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值；3等号成立的条件是否满足.1.yx的最小值为

2.2.因为x212x，当且仅当x1时取等号.所以当x1时，

x21min

2.3.y23xx0的最大值为

24.题型一基本不等式与最值例11若x0，求函数yx的最小值，并求此时x的值；2设0x，求函数y4x32x的最大值；3已知x2，求x的最小值.解1当x0时，x24，当且仅当x，即x24，x2时取等号.函数yxx0在x2处取得最小值

4.20x，32x0，y4x32x22x32x

22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立.，函数y4x32x的最大值为.3x2，x20，xx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立.x 的最小值为

6.反思感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式

最大值时应使和为定值恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧；三是考虑等号成立的条件是否具备.跟踪训练1已知x3，求fxx的最大值.解x3，x30，fxxx333231，当且仅当3x，即x1时取等号.fx的最大值为

1.题型二有限制条件的最值问题例2已知正数x，y，满足1，求x2y的最小值.解x0，y0，1，x2yx2y10102

18.当且仅当即时，等号成立，故当x12，y3时，x2ymin

18.引申探究

1.若x0，y0，且x2yxy，求xy的最小值.解x0，y0且

x2yxy，1，xyxy33232，当且仅当，即xy时等号成立，又

1.当x2，y1时，xy取得最小值

32.2.若x0，y0且xy6，求xy的最大值.解x0，y0，xy6，

xy29，当且仅当xy3时，xy取得最大值

9.3.若x0，y0，且x21，求x的最大值.解xxx，当且仅当x，即x，y时，x取得最大值.4.若x0，y0，且2xy6xy，求xy的最小值.解xy2xy626，令t0.则t22t6，即t22t60，t3或t舍，xy18，当且仅当2xy且2xy6xy，即x3，y6时，xy取得最小值

18.反思感悟1

若已知两个变量的和为定值或积为定值，求积或和的最值可直接利用基本不等式求解；2若“已知axbyma，b，x，y均正，求的最值”或“已知1a，b，x，y均正，求xy的最值”，则利用“常值代换法”构造定值求解.3若“已知axbymxy”，求xy或xy

的最值，通常换元解不等式.跟踪训练21已知正数x，y满足

xy1，求的最小值.解xy1，xy

14.x0，y0，0，0，24，

59.当且仅当即x，y时等号成立.min

9.2若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是________.答案解析根据题意，1xy2xyxy22xy2，所以xy2，所以xy，当且仅当xy0且x2y2xy1，即xy时等号成立.基本不等式在实际问题中的应用典例某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少解设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.由题意可知，面粉的保管费及其他费用为36x6x16x2619xx

1.设平均每天所支付的总费用为y元，则

y9xx1900618009x1080921080910989元，当且仅当9x，即x10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少.引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少解设x1，x215，，且x1x

2.则9x1x2900x1x2x1x

2.15x1x2，x1x20，x1x2225，x1x20，即y9x10809在15，上为增函数.当x15，即每15天购买一次面粉时，平均每天所支付的

总费用最少.素养评析数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值.数学建模是数学核心素养的重要内容之一.1.下列结论中正确的是

A.函数yx的最小值为4

B.函数y的最小值为2

C.函数y23xx0的最小值为22

D.函数y23xx0的最大值为22答案D解析y22222，当且仅当3x，即x时，“”成立.2.若x，y0，且x2y3，则的最小值为

A.2

B.

C.1

D.32答案C解析1121，当且仅当，即x31，y时等号成立.3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理够用且浪费最少的是

A.6.5m

B.6.8m

C.7m

D.7.2m答案C解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，所以ab4，lab24

26.828m当且仅当ab2时，取等号.因为要求够用且浪费最少，故选

C.4.若正数a，b满足2，则ab的最小值为________.答案4

解析a，b都为正数，22，ab

4.当且仅当a1，b4时，等号成立.

5.设a0，b0，若是3a与

3b的等比中项，则的最小值为________.答案4解析由题意知

3a3b3，即3ab3，所以ab

1.因为a0，b0，所以ab2224，当且仅当ab时，等号成立.1.用基本不等式求最值1利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可.2利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项.添项.配凑.变形”等方法创建应用基本不等式的条件.3在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的

等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这

时通常可以借助函数yxp0的单调性求得函数的最值.2.求解应用

题的方法与步骤1审题；2建模列式；3解模；4作答.