导数有关知识点总结经典例题及解析近年高考题带答案

导数及其应用

【考纲说明】

1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性及其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

【知识梳理】

一、导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）

－f （x 0），比值x y

∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。如果当0→∆x 时，x y ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可

导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0

x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x x y

∆∆=0lim

→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。如果x y

∆∆不存在极限，就

说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；

（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)

()(00；

（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y

x ∆∆→∆0lim

。

二、导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数

①0;C '= ②()

1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x e e '=⑥()ln x

x

a a a '=; ⑦

()1ln x x '=

; ⑧()1

l g log a a o x e

x '=.

四、两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

.)'

''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

.)('

''uv v u uv += 若C 为常数,则'

''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数及函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

.)('

'Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数及分母的积，减去分母的导数及分

子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2

'

'v uv v u -（v ≠0）。

形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：

一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

如果'

f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'

f 0)(

如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；

2、极点及极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值：

一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值及最小值。

①求函数ƒ(x)在(a ，b)内的极值；

②求函数ƒ(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；

③将函数ƒ(x)的各极值及ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分

(1)概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0

i f

1＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式In

的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作：

⎰b

a

dx

x f )(，即⎰

b

a

dx

x f )(＝∑=∞→n

i n f

1lim (ξi)

△x 。

这里，a 及b 分别叫做积分下限及积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式：

⎰dx 0＝C ； ⎰dx x m

＝1

11

++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；

⎰x 1

dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x ＝x e ＋C ；

⎰dx a x

＝a a x ln ＋C ；⎰xdx cos ＝sinx ＋C ；⎰xdx sin ＝－cosx ＋C （表中C 均为常数）。

(2)定积分的性质 ①⎰⎰=b

a

b

a

dx

x f k dx x kf )()(（k 为常数）；

②⎰⎰⎰±=±b

a b a

b a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；

③⎰⎰⎰+=b

a

c

a

b

c

dx

x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。