成都市第三中学数学全等三角形单元测试题(Word版 含解析)

成都市第三中学数学全等三角形单元测试题（Word 版 含解析）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．

【答案】(－4，2)或(－4，3)

【解析】

【分析】

【详解】

把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等.

故答案为(－4，2)或(－4，3).

2．在锐角三角形ABC 中．BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ．若M ，N 分别是边BD ，BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值是____．

【答案】4

【解析】

【分析】

过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，则CE 即为CM+MN 的最小值，再根据32ABC=45°，BD 平分∠ABC 可知△BCE 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE 的长．

【详解】

解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，

则CE 即为CM+MN 的最小值，

∵32ABC=45°，BD 平分∠ABC ，

∴△BCE 是等腰直角三角形，

∴CE=BC•cos45°=32×22

=4． ∴CM+MN 的最小值为4．

【点睛】

本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．

3．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；

②点O 到ABC ∆各边的距离相等；③1902

BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=；⑤1()2

AD AB AC BC =

+-.其中正确的结论是.__________．

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】

由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC =90°+12

∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF =BE +CF 故①正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得

④设OD =m ，AE +AF =n ，则S △AEF =

12

mn ，故④错误，根据HL 证明△AMO ≌△ADO 得到AM =AD ，同理可证BM =BN ，CD =CN ，变形即可得到⑤正确．

【详解】

∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC =

12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∴∠OBC +∠OCB =90°﹣12

∠A ，∴∠BOC =180°﹣（∠OBC +∠OCB ）=90°+12

∠A ；故③正确； ∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC =∠OBE ，∠OCB =∠OCF ． ∵EF ∥BC ，∴∠OBC =∠EOB ，∠OCB =∠FOC ，∴∠EOB =∠OBE ，∠FOC =∠OCF ，∴BE =OE ，CF =OF ，∴EF =OE +OF =BE +CF ，故①正确；

过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ．

∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON =OD =OM =m ，

∴S △AEF =S △AOE +S △AOF =12AE •OM +12AF •OD =12OD •（AE +AF ）=12

mn ；故④错误； ∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；

∵AO =AO ，MO =DO ，∴△AMO ≌△ADO （HL ），∴AM =AD ；

同理可证：BM =BN ，CD =CN ．

∵AM +BM =AB ，AD +CD =AC ，BN +CN =BC ，∴AD =

12

（AB +AC ﹣BC ）故⑤正确． 故答案为：①②③⑤．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

4．如图，已知，点E 是线段AB 的中点，点C 在线段BD 上，8BD =，2DC =，线段AC 交线段DE 于点F ，若AF BD =，则AC =__________.

【答案】10.

【解析】

【分析】

延长DE至G，使EG=DE，连接AG，证明BDE AGE

∆≅∆，而后证明AFG

∆、CDF

∆是等腰三角形，即可求出CF的长，于是可求AC的长.

【详解】

解：如图，延长DE至G，使EG=DE，连接AG，

∵点E是线段AB的中点，

∴AE=BE,

∴在BDE

∆和AGE

∆中，

BE AE

BED AEG

DE EG

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

,

∴BDE AGE

∆≅∆,

∴AG=BD, BDE AGE

∠=∠,

∵AF=BD=8,

∴AG=AF,

∴AFG AGE

∠=∠

∵AFG DFC

∠=∠,

∴BDE DFC

∠=∠,

∴FC=DC,

∴FC=2,

∴AC=AF+FC=8+2=10.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

5．△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其中