高等数学常用概念及公式

高等数学常用概念及公式

● 极限的概念

当x 无限增大（x →∞）或x 无限的趋近于x 0（x →x 0）时，函数f(x)无限的趋近于常数A ，则称函数f(x)当x →∞或x →x 0时，以常数A 为极限，记作：

lim ∞

→x f(x)=A 或 lim 0

x x →f(x)=A

● 导数的概念

设函数y=f(x)在点x 0某邻域内有定义，对自变量的增量Δx ＝x- x 0，函数有增量Δy=f(x)-f(x 0)，如果增量比

x

y

∆∆当Δx →0时有极限，则称函数f(x)在点x 0可导，并把该极限值叫函数y=f(x)在点x 0的导数，记为f ’(x 0)，即 f ’(x0)＝lim

→∆x x y ∆∆=lim 0x x →0

0)()(x x x f x f -- 也可以记为y ’=|x=x0，dx dy |x=x0或dx

x df )

(|x=x0 ● 函数的微分概念

设函数y=f （x ）在某区间内有定义，x 及x+Δx 都在此区间内，如果函数的增量

Δy=f （x+Δx ）-f(x)可表示成 Δy=A Δx+αΔx

其中A 是常数或只是x 的函数，而与Δx 无关，α当Δx →0时是无穷小量( 即αΔx 这一项是个比Δx 更高阶的无穷小)，那么称函数y=f （x ）在点x 可微，而A Δx 叫函数y=f （x ）在点x 的微分。记作dy ，即：

dy=A Δx=f ’(x)dx

● 不定积分的概念

原函数：设f(x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于该区间上每一点都满足 F ’(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx

则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。

不定积分：设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，则所有原函数F(x)+c （c 为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作

⎰dx x f )(

求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。 其中“⎰”是不定积分的记号；f(x)称为被积函数；f(x)dx 称为被积表达式；x 称为积分变量；c 为任意实数，称为积分常数。 ● 定积分的概念

设函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续，用分点

a=x 0

i i i x f 1)(ξ

当分点无限增加(n →∞)且所有小区间长度中的最大值λ=max{Δx i }→0时，和式I n 的极限，叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作⎰b

a dx x f )(，即

⎰

b

a

dx x f )(=

∑=→∞→∆n

i i

i

n x f 1

)0()(lim ξλ

其中f(x)称为被积函数，b 和a 分别称为定积分的上限和下限，区间[a ，b]叫积分区间，x 为积分变量。 极限的性质及运算法则

无穷小的概念：若函数f(x)当x →x 0(或x →∞)时的极限为零，则称f(x)当x →x 0(或x →∞)时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。

无穷小的性质：性质1：有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。

无穷大的概念：若当x →x 0(或x →∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)当x →x 0(或x →∞)时为无穷大量，简称无穷大。注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。

无穷大与无穷小的关系：定理：在同一变化过程中，若f(x)为无穷大，

则)(1x f 为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则)

(1x f 就为无穷大。 极限运算法则：

法则1：lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)=A+B 法则2：lim[f(x)·g(x)]= lim f(x)·lim g(x)=A ·B 特别的：lim cf(x)=c ·lim f(x)=c ·A (c 为常数)

法则3：lim )()(x g x f =)(lim )(lim x g x f =B

A （其中

B ≠0）

注意用法则3求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。 两个重要极限：重要极限1：x

x

x sin lim

→=1 ==》 ()

sin()

lim

()→=1 重要极限2：lim

∞

→x (1+x

1

)x =e =》

lim

()∞

→(1+()1)（）

=e 或lim 0

()→（）＋（）1

)1(=e

等价无穷小(x →0)：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替

sin ~x x ；tan ~x x ；arcsin ~x x ；arctan ~x x ；ln(1)~x +x ；1~x e -x ；

1cos ~

x -212x

1~1

2

x ；1~x a -ln x a . 导数的性质、求导法则及常用求导公式

连续的概念：若函数f(x)在x 0的某邻域内有定义，当x →x 0时，函数的极限存在，且极限值等于函数在x 0处的函数值f(x 0)即lim 0

x →x f(x)=f(x 0)

则称函数在x 0处是连续的。

连续与可导的关系：定理：若函数f(x)在点x 0处可导，则函数在点x 0处连续。(连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数在某一点连续，但在该点不一定可导) 导数的计算步骤(按定义计算)：

第一步 求增量，在x 处给自变量增量Δx ，计算函数增量Δy ，即 Δy=f(x+Δx)-f(x)；

第二步 算比值，写出并化简比式：

x y ΔΔ=x

x x f ΔΔ)

(f -)x (＋；(化简比式的关键是使分式中仅分母或分子中含有Δx 项，避免出现00或∞

∞

)