空间几何—平行垂直证明(高一)

l a
a l
a∥b b
a 图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， E 、 F 分别是 A1B 、 A1C 的
中点，求证： EF∥平面 ABC； (两种方法证明)
方法一：
方法二：
例 2.如图，正三棱柱 ABC A1B1C1 中， D 是 BC 的中点， 求证： A1B // 平面 ADC1 ．（两种方法证明）
H
E
G
D
F
C
DD G
B
B
CC F
A
A F BB D
C
D AA C
Bபைடு நூலகம்
3. 已 知 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， ABCD 为 平 行 四 边 形 ， E 为 PC 的 中 点 ， O 为 BD 的 中 点 . 求 证 ： OE
P
E
A
D
P
C
C
O
B
A
B D
B
A 知在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形， E 为 PC 的中点. 求证：
方法一： 方法二：
3．如图，在底面为平行四边行的四棱锥 P ABCD 中，点 E 是 PD 的中点.求证： PB // 平面 AEC ；（两种
方法证明） 方法一：
P
方法二：
E
A
B
D C
P
E
A
B
D C
4.如图， E、F、O 分别为 PA ， PB ， AC 的中点， G 是 OC 的中点，求证： FG / / 平面 BOE ；（两种
D A
F D
A
C B M
C B
P
A
P
A
E
A
P D
C
PA A
B B
面
P
BDD1B1
A
C B
A方体 ABCD A1B1C1D1 中，E,G 分别是 BC, C1D1 中点.求证：EG // 平
D1 A1
G C1
B1
D A
C E B
6.如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点 证明：直线 MN‖平面 OCD ；
P
E
D
C
A B
4.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB=1， AC AA1 3 ，∠ABC= 60 .求证： AB A1C
5. 直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BAC 90 ， AB AC AA1 2 ， M、N 分别是 BC、CC1 的中点，求证： B1M 平面 AMN ；
空间几何平行垂直证明专题训练
知识点讲解
一、“平行关系”常见证明方法
（一）直线与直线平行的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行
2) 利用三角形中位线性质
利用
//
a∥ a
a b
a // b
a∥b
β
a
b
α
b
空 间 平 行 线 的 传a递
a b
b
a∥b
性 :m a∥ b
O
M A
B
N
D C
7.在四棱锥 P-ABCD 中，底面四边形 ABCD 是平行四边形，E,F 分别是 AB，PD 的中点. 求证：AF // 平面 PCE
P
E
A
A
D
B
P
C
A
B
P
D1 A
P
A1
F
A
P D
C
C
B
B
A
A
P
P C1
B1
A 9．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1，O 是底 ABCD 对角线的交点．求证： C1O
方法证明） 方法一：
方法二：
课后练习
1.已知空间四边形 ABCD 中，E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点.求证： A
B AC A
H
E
G
D
F
C
DD G
B
CC F
A F BB D
C
D AA C
B
2.已知空间四边形 ABCD 中，E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点.求证：EF A
D1 A1
C1 B1
D
C
E
A
B
6.如图，已知棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形，且 AA1 面 ABCD，DAB 60 ，AD AA1 1， F 为棱 AA1 的中点， M 为线段 BD1 的中点，
（1）求证： MF // 面 ABCD；（2）判断直线 MF 与平面 BDD1B1 的位置关系，并证明你的结论；（3）求 三棱锥 D1 BDF 的体积.
a ∥
a∥
α
a a
β
a ⊂ b ⊂
a ∩b P
⇒ //
b
a
P
a //
b //
a b ba α
b a
l a b al bl
a b
β b
l
α
a
a b ∥
ab ∥ a
α a
c
a
a
a
b bba
al
a
a∥b a c bc
a
b
ab
A
l
l a l b
l
b
Aa
a a
D O
C B
在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 D 在 B1C1 上， A1D B1C .求证：平面 A1CD 平面 BB1C1C .
图，
2.如图，正三棱柱
ABC
A1B1C1
中，D
是
BC
的中点，．求证：直线
AD 1
B
C
1
1
；
3.如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形， PD 底面ABCD ，点 E 在棱 PB 上. 求证：平面 AEC 平面PDB ；
6.如图，在三棱锥 P ABC 中，⊿ PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º 。 求证：AB⊥PC P
课后练习
A
C B
1.如图，ABCD—A1B1C1D1 是正四棱柱.求证：BD⊥平面 ACC1A1;
D1 A1
C1 B1
D A
C B
2.如图， 四棱锥 P ABCD 的底面是正方形 ， PD 底面ABCD ，点 E 在棱 PB 上.求证： 平面 AEC 平面PDB ；
3.如图，三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长都相等，且 A1A 底面 ABC ， D 为 C1C 的中点， AB1 与 A1B 相交于点 O ，连结 OD ，（1）求证： OD // 平面 ABC ；（2）求证： AB1 平面 A1BD 。
4.如图所示，四边形 ABCD为矩形， AD 平面 ABE ， F 为 CE 上的点， AE EB BC 2 ，且 BF 平面 ACE
（1）求证： AE 平面 BCE ；（2）求证： AE // 平面 BFD ；（3）求三 棱锥 C BGF 的体积 。
Ｄ
Ｃ
G
Ｆ
Ａ
Ｂ
Ｅ
5.如图，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的侧棱长为1，底面边长为 2 ， E 是棱 BC 的中点。
（1）求证： BD1 // 平面 C1DE ；（2）求三棱锥 D D1BC 的体积.