第八章五资料

nC
nC
nC
N
C 1
C 1
npn npn C(1 pn )
n0
n0
n0
C 1
Ls C (C n) pn n0
C 1
所以 Ls Lq C (C n) pn Lq C n0
M/M/C/N系统的平均服务台数
C
C 1
npn
n0
N
Cpn
nC
C 1 p0
n0
n n
n!
C
N nC
n
C!C nC
C 1
p0
n1
n1
(n 1)!
N nC
n1
C!C
nC
1
C 2
p0
n0
n
n!
N
n
nC1 C!C nC
N
C!C
N
C
p0
C
1
n0
n
n!
N n
nC C!C nC
N
C!C N C
(1
N
C!C
p0
N C
)
(1 pN )
Ls Lq C Lq (1 pN ) 与前式比较后有
2, 0.5, 4,C 2, C 4 / 2 2, N 5
例8.5的系统空闲的概率、顾客损失率、顾客到 达需等待的概率、平均服务台数、有效到达率
p0
1
4
42 (1 2521) 1
2!(1 2)
1251
0.008
pN
p5
45 0.008 2!252
0.512
42 (1 2521)
n0
nC
n0
n0
C 1
C (C n) pn n0
平均队长和平均时间指标
C 1
Ls Lq C Lq C (C n) pn n0
Ls
Lq
C
Lq
e
Lq
(m Ls )
Ls
Lq 1
m
,
C
1
(m
Lq )
Ws
Ls
e
,
Wq
Lq
e
Ws
1
M/M/C/m/m系统举例：例8.6
设有一个工人看管5台机器，每台机器正 常运转的时间服从负指数分布，平均为 15分钟。当发生故障后，每次修理时间 服从负指数分布，平均为12分钟。试求 系统的有关运行指标。 解：这是M/M/1/m/m系统，并且
1 , 1 , 0.8, m 5
15 12
例8.6求解
p0 1 5 0.8 5 4 0.82 5!0.85 1 0.0073
p5 5!0.85 0.0073 0.287
Ls
5
1 0.8
(1 0.0073)
3.76(台)
Lq 3.76 (1 0.0073) 2.77(台)
可见工人的劳 动强度太大， 且技术水平不 高。应增加工
Ws
512 1 0.0073
15
46(分钟)
人或提高技术 水平。
Wq 46 12 34(分钟）
A e (1 0.0073) /12 0.083(台/ 分)
作业
习题5、6、9，P.275 (新书) P295：习题5、6、10。
Lq
C C p0 C!(1 C )2
[1
N C1 C
(1
C )(N
C
1)
N C
C
]
C 1 C
1
(N
C
1)
N C
C
(1
1 CN C1
C
)
c(C,
)
C 1 C
1 (N
C
1)CN C (N
1
N C 1 C
C
)
N C
C
1
c(C,
)
M/M/C/N系统的平均队长
N
N
N
由于 Lq (n C) pn npn C pn
n
C!C nC
p0
p0 C!
N
C
nC
nC
s nC
C p0
C!
N C
Cn
n0
C(N C
C!
1)
p0 ,
C 1
Lq
N
(n C) pn
nC
C
C!
N C
p0 nCn
n1
C C
C!
N C
p0 n
n1
C
2C! (N C)(N C 1) p0 ,
C 1
平均排队长的另一种形式：s 1
n
C!C nC
)
C1 n
C nC
p0 (
n0
n!
nC C!C nC )
C 1
p0 (
n0
n
n!
C
C!
nC
nC C nC )
C 1
p0 (
n0
n
n!
C
C!
n C
)
n0
C 1
p0 (
n0
n
n!
C ) 1 C!(1 C )
所以
C1 n
C
1
p0 n0
n!
C!(1
C
)
Wq
Lq
1.929 0.6
3.215(分钟)
( Ws 1/ 5.715 2.5 3.215)
例8-4的两个方案的比较
一个M/M/2系统比两个M/M/1系统服务效 率高，见下表
运行指标
系统 2个M/M/1 一个M/M/2
系统
系统
顾客到达需要等待的概率 0.75
0.6429
平均队长
6(两处之和) 3.429人
第四节 多通道服务系统(M/M/c)
M/M/C系统 M/M/C/N系统 M/M/C/m/m系统
一、M/M/C系统
系统的参数为
n
n
n, C ,
n 1,2 , C n C, C 1,
设
C
C
C
1
M/M/C系统的状态转移图
该系统容量无限大，是等待制系统，但 有C个服务台。
设每服务台的服务率为
在例8-1的情况下，购票顾客平均到达率增加了 一倍，达0.6人/分钟，而服务速率未变，因而产 生了过长的排队现象。为解决该问题，准备增 加窗口。有两个方案：一个是在另一处再设一 个售票点，另一个是在原售票处增设一个售票 窗口，试问哪一种方案好？（从系统效率考虑） 解：采用第一方案时，相当于两个M/M/1系统， 假设每个售票点的平均到达率相同，即为0.3人/ 分钟，此时与例8-1的运行指标完全一样。
W L,
Wq
Lq
W
1
Lq
(n C) pn
nC
p0 C
C!
(n
C
)
nC C
nC
关
于
p0 C
C!
nCn
n0
Lq 的 公
p0 C C
C!
d
dC
Cn
n1
式 的 推
p0 C C
C!
d
dC
1
C C
导
p0 C C C!(1 C )2
c(C, )C 1 C
关于平均工作服务台数公式的推导
n
n, n 1,2, , C 1 C, n C,C 1, , m
e (m Ls )
系统状态分布
m(m 1) (m n 1)n
1 2 n n
Cn
m! n ,
n!(n m)!
m(m 1) (m
C!C nC
n
n 0,1,
1)n n
,C
m! (n m)!C!C nC
n,m
c(2,4)
0.008 0.96
2!(1 2)
C 4(1 0.512) 1.952
e 0.51.952 0.976
例8.5的平均队长、平均排队长、平均逗留时 间、平均排队时间
2
(5 2 1)252 (1 2)
Lq 1 2 (1
1 2521
) 0.96
2.176(辆)
L Lq C 2.176 1.952 4.128(辆)
例8-4的第二方案分析
第二方案相当于M/M/2系统，参数是
0.6, 0.4,C 2
/ 1.5, C / C 0.75
售票处无顾客的概率
P0
1 1.5n
n0
n!
1.52
1
2!(1
0.75)
1 7
0.1429
例8-4的第二方案分析
顾客到达需要等待的概率
c(C,
)
C 1
C 1
C C (C n) pn或 (C n) pn C C
n0
n0
当C=1时的M/M/C/N系统
可以证明当s=1时， C c(1, ) 1 p0
C
N n1
pn
1
p0
(1 N 1 N 1
)
C(1,
)
N
有效到达率和平均时间
C
e
(1
pN ),e
C
(1
pN )
01
2
2 3
C-1
C
(C1) C
C
系统状态分布
( / )n n
Cn
(
n!
n!
/ )C
C!
C
nC
,
n 1,2
n
C!C nC ,
,C nC
因此
pn
n
n! p0
n
C!C nC
,
p0
,
n
1,2, nC
,C
系统无顾客的概率
n0
pn
p0 (1
C n1
n
n!
nC 1
平均排队长
5.5人
1.929人
平均逗留时间
10分钟
5.715分钟
平均排队时间
7.5分钟 3.215分钟
作业
习题8，P.275
二、M/M/C/N系统
系统参数 （N≥C)
n
,
0,
n 0,1,2, , N 1 nN
n
n , C ,
0nC CnN
Cn
n n! n
n
n!
,
n
C!C nC n
n
C!C nC
n!
(1
B(C,
))
(1
pC
)
e
M/M/C/C损失制系统的运行指标
有效到达率(绝对 通过能力) 平均队长
平均逗留时间
相对通过能力
服务台（通道） 利用率
e (1 pC ) A
Ls C (1 pC )
Ws
Ls
e
1
Q
A
1
pC
C C
C (1
pC )
CQ
三、M/M/C/m/m系统
系统特征说明
C )
)
1
,
C
C
C!
(N
C
1 1) ,
C
1 1
顾客到达需等待的概率和平均排队
长： s 1
c(C, )
N nC
pn
N n
nC C!C nC
p0
p0 C!
N nC
C C nC
nC
p0 C!
N C
C Cn
n0
C (1 CN C1) C!(1 C )
p0 ,
C 1
Lq
N
(n C) pn
顾客到达后需要等待的概率
c(C,
)
P{N
C}
nC
pn
C C!(1 C
)
p0
很容易证明
c(1, )
顾客到达后立即能得到服务的概率
P{N C} 1 c(C, )
平均空间指标和平均时间指标
平均空间指标
Ls Lq C Lq
Lq
c(C, )C 1 C
,
C (平均工作服务台数）
平均时间指标—Little公式
顾客源m个顾客
队列
顾客 顾客
顾客到达顾客进入队列
顾客接受服务客户服务 顾客离开
顾客离开后返回顾客源
系统状态转移图
是没顾客平均到达率， 是每服务
台平均服务率。
m (m1)
01
2
2
(mC1) (mC)
C-1
C
C
C
2
m-1
m
C C
系统参数，系统状态转移率
n (m n),n 0,1,2, , m 1
C 1
C npn C pn
n0
nC
C 1 n0
n n
n!
p0
C
C C!(1 C )
p0
C2
p0 [
n0
n
n!
C 1
]
(C 1)!(1 C )
C 1
p0 [
n0
n
n!
C 1
1
(
(C 1)! 1 C
1)]
C 1
p0 [
n0
n
n!
(C
C1C
]
1)!(1 C )
p0 p01
M/M/C系统应用举例：例8-4
n
C
pn
Cn
p0
m!
n!(n m)!
n
p0 , n
0,1,
,C
m!
(n m)!C!C nC
n p0 , m
n
C
系统运行指标：平均排队长
p0
C n0
(m
m! n)!n!
n
m nC
1
(m
m! n)!C!C
nC
n
1
m
Lq (n C) pn nC
C 1
m
C 1
C 1
C npn Cpn npn C(1 pn )
1.52 2!(1 0.75)
P0
4.5 /
7
0.6429
平均排队长
Lq
c(C, )C 1 C
0.6429 0.75 0.25
1.929
平均队长
Ls Lq 1.929 1.5 3.429
例8-4的第二方案分析
顾客平均逗留时间
Ws
Ls
3.429 0.6
5.715(分钟)
顾客平均排队时间
Ws
Ls
e
4.128 0.976
4.230(分钟)
Wq
Ws
1
4.230 2 2.230(分钟)
M/M/C/C损失制系统(N=C)
n
pn n! p0 ,
p0
C
[
n0
n
n!
]1
B(C, )
pC
C C
[ C! n0
n ]1
n!
C
C
npn
n0
C
n0
n
n!
C
C!
C [ n0
n ]1
Ws
Ls
e
,
Wq
Lq
e
LC
e
1
Ws
M/M/C/N系统举例：例8-5
某汽车加油站有两个加油机，汽车按 Poisson流到达，平均每分钟到达2辆； 汽车加油时间服从负指数分布，平均加 油时间是2分钟。又知加油站最多可停3 辆等待加油的汽车，试求该系统的性能 指标。
解：这是M/M/2/5排队系统，且已知
nC
C
C!
N C
p0
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n
n C
n1
C C
C!
p0
d
dC
N C
Cn
n1
C C
C!
p0
d
dC
C
(1 1
CN C
C
)
C C p0 C!(1 C )2
[1
N C 1 C
(1 C )(N C 1)CN C ], C 1
顾客到达需等待的概率和平均排队
长： s 1
c(C, )
N nC
pn
N nC
,
0nC CnN
M/M/C/N的状态转移图
是每服务台的服务率
01
2
2
C-1
C
C
C
N-1
N
C
M/M/C/N系统的状态分布
n
pn
Cn p0
n! p0
n
C!C nC p0
0nC CnN
p0
1
1
K
Cn
n1
C1 n0 C 1 n0
n
n!
n
n!
C (1 C!(1
N C 1 C