数字信号处理习题与解答

k ( r
)
k 0,1,2,, rN 1
24
▲
■
3-12 已知序列x(n)是有限长序列，X(k)=DTFT[x(n)]，现
将x(n)的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个rN点的
有限长序列y(n)
y(n)
x(n
/
r
),
0,
n ir,i 0,1,, N 1 其他n
试求rN点DFT 与X(k)的关系。
xˆa (t)的频谱；
X a ( j)
0 3 5
r 1 8 5
Xˆ a ( j) G( j) 4
r1
0 3 5
8
由图可知，xˆa (t) 通过 H ( j)后其输出信号为：
ya (t) cos(2t) cos(3t)
▲
7 ■
2-1 试求矩形序列x(n)=R5(n)的频谱，并作图。
【解】
【解】 X (k) DFT[x(n)] N1 x(n)WN nk
k 0,1,2,, N 1
n0
Y
(k)
DFT[
y(n)]
rN
1
y(n)WrN
nk
rN 1
x(n
/
r )WrN
nk
n0
n0
N 1
N 1
x(ir / r)WrN irk x(i)WN ik
k 0,1,2,, rN 1
n0
【解】 法一：直接用DFT定义求
X (k)
5
x(n)W6nk
5
x(n)e
j
2 6
nk
n0
n0
1
e
j
3
k
e
j
2 3
k
e j k
计算求得
X (0) 4 ; X (1) j 3 ; X (2) 1 ; X (3) 0 ; X (4) 1 ; X (5) j 3 。
法二：根据DTFT与DFT关系求
4
▲
■
第二章
习题解答
5
▲
■
补充题1——抽样定理
对xa (t) 进行理想取样，取样间隔 T 0.25s ,得到 xˆa (t) , 再让 xˆa (t) 通过理想低通滤波器 H ( j) ，其中：
H
(
j)
0.25,| | 4
0, 4 | |
设：xa (t) cos(2t) cos(5t) ，要求： （1）写出 xˆa (t) 的表达式；
h(m / 2) zm
n
m m是 2的整数倍
对比有，g(n)是h(n)的内插序列，
g(n)
h(n
/ 2), 0，
n 2m, m为整数 其他
▲
12 ■
在频域上，G(z) H (z 2 ) ，则 G(e j ) H (e j2 ) 故将原序列的频谱压缩2倍即可得2倍内插序列的频谱。
【解】
X
(k)
1
[e
j
2 16
3k
e
j 2 3k
16 ]
3
[e
j
2 16
5k
j 2 5k
e 16
]
2
2
已知
(n) N点DFT RN (k )
由时移性质
x((n
m))
N
RN
(n)
N点DFT
e
j
2 N
mk
X
(k
)
x(n)
{1 2
[
((n
3))16
((n
3))16
]
3 2
[
((n
5))16
((n
5))16
H (e j ) h(n)e jn 1 e j 2e j / 2 cos
n
2
▲
11 ■
补充题3——数字频率映射
设H(z)为截止频率为c=/2的理想低通滤波器，试 画出系统G(z)=H(z2)的幅度响应。
【解】
G(z)
g(n) zn
n
H (z2 ) h(n) z2n
试求DFT[y(n)](rN点DFT)与X(k)的关系。
【解】 X (k) DFT[x(n)] N1 x(n)WN nk n0
k 0,1,2,, N 1
rN 1
N 1
Y (k) DFT[ y(n)] y(n)WrN nk x(n)WrN nk
n0
n0
N
1
x(n)WN
n
k r
n0
X
X (3) 0 ; X (4) 1 ; X (5) j 3 。
4
3
amplitude
2
1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
w/pi
4
2
angle
0
-2
-4
-2
-1
0
1
2
3
4▲
17 ■
3-3
设
x(n)
n 0
1, ，
0n 其它n
4
，h(n)
R4 (n
2) ，令
~x (n) x((n))6 ，h(n) h((n))6 ，试求 ~x (n)和 h~(n)的 周期卷积并作图。
【解】（3）直接代入卷积公式，有
y(n) x1(m) x2 (n m) u(m 2) u(n m 3)
m
m
n3
[ 1]u(n 1) nu(n 1)
m2
或者，由已知公式 u(n) *u(n) (n 1)u(n) r(n)
有 u(n 2) *u(n 3) r(n 1) (n)u(n 1)
▲
32 ■
3.16 设 x1 (n) R5 (n) ，求 (2) X1(k) DFT[x1(n)] ,画出它的幅频特性
X1(k)
X1(e j ) 2 k 5
5, 0,
k 0 otherwise
5 4.5
4 3.5
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
【解】
HI
(e j
)
sin
1 2j
(e j
e j
)
DTFT[ho (n)]
jH
I
(e
j
)
1 2
(e
j
e j ) ho (n)e jn
n
ho
(n)
1 , n 1 2 0, n 0
0, n 0 1, n 0
h(n)
h(n), n 0
1,
n
1
1,n 1 2
2ho (n), n 0 0, others
n
sin 0n]
Sa(
n)
0
Sa(0n)
(n)
0
Sa(0n)
▲
不可略
9 ■
2.14、连续时间信号 x(t) 2 cos(140 t ) ，现用
4
fs 100Hz的抽样频率对该信号进行抽样，并利用 DFT近似计算信号的频谱，谱线将出现在何处？
【解】
信号频率为 f0 70Hz 抽样频率为 fs 100Hz
]}R16
(n)
x(n) 1 [ (n 13) (n 3)] 3 [ (n 11) (n 5)]
2
2
20
▲
■
3-9 设有两个序列
x(n)
x(n),
0,
0n5 其他n
y(n)
y(n),
0,
0 n 14 其他n
各作15点DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的 IDFT，设所得结果为f (n)，问f (n)的哪些点（用序号n 表示）对应于x(n)*y(n)应该得到的点。
▲
33 ■
3.16 设 x1 (n) R5 (n) ，求 (3) X 2 (k) DFT[x1 ((n))10 R10 (n)] ,画出它的幅频特性
X (e j
)
e
j N 1 2
sin(
N 2
)
sin(1 )
2
sin(5 / 2)
2 4 6 8 2
5
55 5
sin( / 2)
2 4 6 8 2
5 555
()
2π 5
arg[()]
π(1-1/N)
2π N
- π(1-1/N)
▲
2π
2π
8 ■
2.2、已知 x(n) 的傅里叶变换为
X
(e
j
)
0
X1(e
j
)
e
j N 1 2
sin( N )
2
sin(1 )
e
j 2
sin(5 / 2) sin( / 2)
2
6
4
|X1(ej)|
2
arg[X1(ej)]/pi
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 w/pi
1
0.5
0
-0.5
-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 w/pi
【解】(1)
T0
1 F0
且 F0 10Hz
最小记录长度为0.1s；
T0
1 10
0.1s
(2)
fs
1 T
1 0.1103
104 Hz
fh
fs 2
5kHz
所允许处理的信号最高频率为5kHz；
(3) N 2 fh 104 1000 F0 10
N取1024。 28
▲
■
3.16 设 x1 (n) R5 (n) ，求 (1) X1 (e j ) DTFT[x1 (n)],画出它的幅频特性和相频特性
【解】 x(n) {1, 2,3, 4,5, 0} h(n) {0, 0,1,1,1,1} 以N=6为周期的周期卷积列表为
h(3-m) h(4-m) h(5-m)
1 1 00 1 1 10 1 1 11
11 01 00
y(3)=8
y(4)=6
y(5)=10
▲
18 ■
y(n) {14, 12, 10, 8, 6, 10}
2
2
2
▲
■
1-4 、求下列序列的卷积和 y(n) x1(n) x2 (n)
（2） x1 (n)
{
1,
2,
0,
1} ,
x2
(n)
{2,
2,
3
}
【解】 （2）列不进位竖式乘法，有
y(n) { 2, 6, 7, 8, 2, 3}
3
▲
■
1-4 、求下列序列的卷积和 y(n) x1(n) x2 (n) （3） x1(n) u(n 2), x2 (n) u(n 3)
n0
y(n) y((n))6
或者，利用圆周卷积和线性卷积的关系
yl (n) {0, 0, 1, 3, 6, 10, 14, 12, 9, 5,}
y(n)
r
yl
(n
rL)
RL
(n)
▲
19 ■
补充题、求 X (k) cos( 2 3k) j3sin( 2 5k)
16
16
的16点离散傅立叶反变换x(n)。
【解】 （1）直接代入卷积公式，有
y(n) x1(m) x2 (n m) (0.3)m u(m) (0.5)nm u(n m)
m
m
[ n (0.5)n (0.6)m ]u(n) [(0.5)n 1 (0.6)n1 ]u(n)
m0
1 0.6
[5 (0.5)n 3 (0.3)n ]u(n)
n0
故
Y (k) X ((k))N RrN (k)
25
▲
■
26
▲
■
3-14 设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂， 假设没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力10Hz，如 果采用的抽样时间为0.1ms 试确定： (1)最小记录长度； (2)所允许处理的信号的最高频率； (3)在一个记录中的最小点数。
第一章
习题解答
1
▲
■
1-4 、求下列序列的卷积和 y(n) x1(n) x2 (n)
（1） x1(n) (0.3)n u(n), x2 (n) (0.5)n u(n)
（2） x1 (n)
{
1,
2,
0,
1} ,
x2
(n)
{2,
2,
3
}
（3） x1(n) u(n 2), x2 (n) u(n 3)
RN
(n)
DTFT
sin( N sin( /
/ 2) 2)
e
j
N 1 2
▲
16 ■
则有：
R4
(n)
DTFT
sin(2) sin( / 2)
e
j
3 2
然后：
X (k)
X (e j ) 2 k 6
sin(
2 3
k
)
e
j
1 2
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin(1 k)
代入 k 0,1,,5 即得：
6
X (0) 4 ; X (1) j 3 ; X (2) 1 ;
H (e j )
2
/2
/2
G(e j )
2
/2
/2
▲
13 ■
第三章
习题解答
14
▲
■
ZT DFT
X (s)
z esT
X (z)
DTFT
z e j
X (e j )
z WNk
X (k)
2 k
N
▲
15 ■
3-2 设 x(n) R4 (n) ，~x (n) x((n))6 ，试求 X~(k) 并作图表示 ~x (n) 、X~(k) 。
（2）求出理想低通滤波器的输出信号 ya (t) 。
（1） xˆa (t) xa (t) p(t) xa (t) (t nT )
n
xˆa (t) [cos(2nT ) cos(5nT )] (t nT ) 6
n
▲
■
（2）如下图所示， X a ( j)为 xa (t)的频谱，Xˆ a ( j)为
【解】
n=0到n=4(=N-L-1)这5点处发生混叠，即f (n)中只有
n=5到n=14的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点.
23
▲
■
3-11 已知序列x(n)是有限长序列，X(k)=DTFT[x(n)]，现
将它变成rN点的有限长序列y(n)
y(n)
x(n), 0,
0 n N 1 N n rN 1
1
, 0 | | 0 , 0| |
试求其所对应的信号 x(n)
HHP (e j )
π 0
0 π
【解】 该信号是高通滤波器
x(n) 1 X (e j )e jn d 1 0 e jnd 1 e jnd
2
2
2 0
1
2 nj
[e
j0n
e
j n
e
j n
e j0n ]
1
n
[sin
不满足抽样定理!
折叠频率为 f fs / 2 50Hz 超出该频率的频率分量将被折叠，谱线出现在:
f fs f0 100 70 30Hz
▲
10 ■
补充题2——DTFT的性质
若序列h(n)是实因果序列，h(0)=1，其DTFT的虚部为: H I (e j ) sin ，求序列h(n)及其DTFT H (e j ) 。