向量自回归模型(VAR)-Eviews实现资料
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第九章 向量自回归和误差修正模型
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变 量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间 的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出 现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断 变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构 性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的 向量自回归模型(vector autoregression，VAR)和向量误差 修正模型(vector error correction model，VEC)就是非结 构化的多方程模型。
之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边
的变量相关，假设 是t 的协方差矩阵，是一个(kk)的正定矩
阵。式(9.1.1)可以展开表示为
3
y1t
y1 t1
y1t p
x1t 1t
y2t
ykt
当VAR的参数估计出来之后，由于 (L)A(L)=Ik，所 以也可以得到相应的VMA(∞)模型的参数估计。
8
由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边， 所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS) 能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰
动向量 t 有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的
yt Φ1 yt1 Φp yt p εt
或
Φ(L) yt εt
(9.1.5)
6
如果行列式det[(L)]的根都在单位圆外，则式(9.1.5)
满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均 (VMA(∞))形式
yt A(L)εt
其中
(9.1.6)
A(L) Φ(L)1
其中， ci , aij , bij 是要被估计的参数。也可表示成：
IPt M 1t
c1 c2
a11 a21
a12 a22
源自文库
IPt 1 M 1t 1
b11 b21
b12 b22
IPt 2 M 1t 2
ln( m1)t
rrt
c2 ck
1
ln( m1) rrt 1
A(L) A0 A1L A2L2
A0 Ik
7
对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如
对 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的
估计量为
其中：
Σˆ 1
T
εˆt εˆt
(9.1.7)
εˆt yt Φˆ1 yt1 Φˆ 2 yt2 Φˆ p yt p
2
9.1.1 VAR模型的一般表示
VAR(p) 模型的数学表达式是
yt Φ1 yt1 Φp yt p Hxt εt
t 1, 2,,T (9.1.1)
其中：yt是 k 维内生变量列向量，xt 是d 维外生变量列向量，p
是滞后阶数，T是样本个数。kk 维矩阵1，…， p和kd维 矩阵H是待估计的系数矩阵。t 是 k 维扰动列向量，它们相互
1,t 2,t
5
一般称式(9.1.1)为非限制性向量自回归模型(unrestricted
VAR)。冲击向量 t 是白噪声向量，因为 t 没有结构性的含
义，被称为简化形式的冲击向量。
为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含常数项的 非限制向量自回归模型，用下式表示
4
例如：作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供 应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定。内生变量 滞后二阶的VAR(2)模型是：
IPt c1 a11IPt1 a12M1t1 b11IPt2 b12M1t2 1,t M1t c2 a2,1IPt1 a22M1t1 b21IPt2 b22M1t2 2,t
1
§9.1 向量自回归理论
向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型， VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内 生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回 归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回 归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与 预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多 元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来 VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。
10
利用VAR(p)模型对 ln(gdp) ， ln(m1) 和 rr，3个变量 之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数差 分的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。
ln( gdp)t c1 ln( gdp) t1
ln( gdp) tp 1t
Φ1
y2 t1
yk t1
Φ
p
y2 t p
ykt p
H
x2t
xdt
2t
kt
(9.1.2)
t 1, 2,,T
即含有k个时间序列变量的VAR(p)模型由 k 个方程组 成。
方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等 价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 的滞后而被消除，所以扰动项序列不相关的假设并不 要求非常严格。
9
例9.1 我国货币政策效应实证分析的VAR模型 为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长 期影响和短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度～ 2007年4季度的季度数据，设居民消费价格指数为CPI_90 (1990年1季度=1)、居民消费价格指数增长率为CPI 、实 际GDP的对数ln(GDP/CPI_90) 为ln(gdp) 、实际M1的对 数ln(M1/CPI_90) 为ln(m1) 和实际利率rr (一年期存款利 率R-CPI ）。
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变 量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间 的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出 现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断 变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构 性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的 向量自回归模型(vector autoregression，VAR)和向量误差 修正模型(vector error correction model，VEC)就是非结 构化的多方程模型。
之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边
的变量相关，假设 是t 的协方差矩阵，是一个(kk)的正定矩
阵。式(9.1.1)可以展开表示为
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y1t
y1 t1
y1t p
x1t 1t
y2t
ykt
当VAR的参数估计出来之后，由于 (L)A(L)=Ik，所 以也可以得到相应的VMA(∞)模型的参数估计。
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由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边， 所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS) 能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰
动向量 t 有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的
yt Φ1 yt1 Φp yt p εt
或
Φ(L) yt εt
(9.1.5)
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如果行列式det[(L)]的根都在单位圆外，则式(9.1.5)
满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均 (VMA(∞))形式
yt A(L)εt
其中
(9.1.6)
A(L) Φ(L)1
其中， ci , aij , bij 是要被估计的参数。也可表示成：
IPt M 1t
c1 c2
a11 a21
a12 a22
源自文库
IPt 1 M 1t 1
b11 b21
b12 b22
IPt 2 M 1t 2
ln( m1)t
rrt
c2 ck
1
ln( m1) rrt 1
A(L) A0 A1L A2L2
A0 Ik
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对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如
对 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的
估计量为
其中：
Σˆ 1
T
εˆt εˆt
(9.1.7)
εˆt yt Φˆ1 yt1 Φˆ 2 yt2 Φˆ p yt p
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9.1.1 VAR模型的一般表示
VAR(p) 模型的数学表达式是
yt Φ1 yt1 Φp yt p Hxt εt
t 1, 2,,T (9.1.1)
其中：yt是 k 维内生变量列向量，xt 是d 维外生变量列向量，p
是滞后阶数，T是样本个数。kk 维矩阵1，…， p和kd维 矩阵H是待估计的系数矩阵。t 是 k 维扰动列向量，它们相互
1,t 2,t
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一般称式(9.1.1)为非限制性向量自回归模型(unrestricted
VAR)。冲击向量 t 是白噪声向量，因为 t 没有结构性的含
义，被称为简化形式的冲击向量。
为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含常数项的 非限制向量自回归模型，用下式表示
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例如：作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供 应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定。内生变量 滞后二阶的VAR(2)模型是：
IPt c1 a11IPt1 a12M1t1 b11IPt2 b12M1t2 1,t M1t c2 a2,1IPt1 a22M1t1 b21IPt2 b22M1t2 2,t
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§9.1 向量自回归理论
向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型， VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内 生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回 归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回 归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与 预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多 元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来 VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。
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利用VAR(p)模型对 ln(gdp) ， ln(m1) 和 rr，3个变量 之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数差 分的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。
ln( gdp)t c1 ln( gdp) t1
ln( gdp) tp 1t
Φ1
y2 t1
yk t1
Φ
p
y2 t p
ykt p
H
x2t
xdt
2t
kt
(9.1.2)
t 1, 2,,T
即含有k个时间序列变量的VAR(p)模型由 k 个方程组 成。
方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等 价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 的滞后而被消除，所以扰动项序列不相关的假设并不 要求非常严格。
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例9.1 我国货币政策效应实证分析的VAR模型 为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长 期影响和短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度～ 2007年4季度的季度数据，设居民消费价格指数为CPI_90 (1990年1季度=1)、居民消费价格指数增长率为CPI 、实 际GDP的对数ln(GDP/CPI_90) 为ln(gdp) 、实际M1的对 数ln(M1/CPI_90) 为ln(m1) 和实际利率rr (一年期存款利 率R-CPI ）。