工程数学教案

课程教案

2011~2012学年第一学期

课程编号

课程名称工程数学主讲教师胡丽姣职称助教

系（部）名称公共课部

20XX年09月28日

题目：数列极限的定义 函数的极限

课时：2

教学目的、要求：

理解数列极限的概念,会用数列极限的性质求一些数列的极限,理解函数极限的概念；会用函数极限的定义和性质求一些函数在某点处的极限；

重点：数列极限的定义，用数列极限的性质求一些数列的极限,函数极限的定义，求函数在某点处的极限；

难点：计算数列极限,函数在无穷远处的极限的概念的理解。

内容：

1．数列的定义

无穷多个数

,,,,,321n x x x x 按某些规律一个一个地进行排列，n x 为数列的第n 项，又

是通项。 例：（1） ,1,,41,31,21,1:n 1n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧; 趋近于0 01lim n =∞→n

（2 ,11,,411,311,211,2:n 11n ++++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+

; 趋近于1 111lim n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n

（3）{} ,2,,8,6,4,2:2n n

（4）(){} ,0,2,,0,2,0,2:111

--+n （5）{}()是常数C C C C C ,,,,:C C =∞→n lim

分析以上五个数列的特性，得出数列的极限概念。

2、极限的定义：设有数列{}n x ，A 为常数，当n 无限增大时，n x 无限趋近于A ，则数列极

限存在或收敛，极限是A 或{}n x 收敛于A 。记为

()

∞→→=∞→n A A x n n x lim n 或 若{}n x 极限不存在，则{}n x 发散。

数列的几何解释：将A 及

,,,,,321n x x x x 在数轴上一一表示出来，当n 无限增大时，数列{}n x 对应的点n x 聚集在A 点附近且无限趋近于A 点。

单调数列：

{}n n x x x x x 321，则 ≤≤≤≤≤单调增加；

{}

n n x x x x x 321，则 ≥≥≥≥≥单调减少； {}n n x x x x x 321，则 <<<<<严格单调增加；

{}

n n x x x x x 321，则 >>>>>严格单调减少。 例，⎭⎬

⎫⎩⎨⎧n 1

3、数列极限的性质：（1）若收敛，则极限唯一。

（2）若数列收敛，则有界。

注：有界数列不一定有极限，如(){}1

11--+n 。 （3）单调有界数列必存在极限。

4、收敛数列运算法则：（1）若,lim lim B y A x n n n n ==∞→∞→，则B y x x n n n n n n n +=+=+∞→∞→∞→A lim lim )y (lim 。 例：1lim

+∞→n n

n （2）若,lim lim B y A x n n n n ==∞→∞→，则B y x x n n n n n n n A )lim )(lim ()y (lim ==∞→∞→∞→。 例：23lim

n n ∞→ 推广：)k (;lim 为正整数为常数，c n c k n ∞→。 （3）若,0lim lim ≠==∞→∞→B y A x n n n n ，则B A y x y n n n n n n n ==∞→∞→∞→lim lim )x (lim 。 例1232lim 22+-+∞→n n n n ，

.0,0a n ),,2,1,0,,2,1,0(,),,,(,lim 002211022110≠≠==≤N ∈+++++++++----∞→b m j k i b a m k m k b n b n b n b a n a n a n a j i m

m m m k k k k n 无关的常数，是与 ．0x x →时函数)(x f 的极限

讨论抛物线2x y =在2=x 处的切线的斜率问题。

定义：设函数)(x f 在0x 的附近（在点0x 也可以无意义）有定义，A 是一个确定的常数．若当x 无限趋近于0x 时，函数)(x f 无限趋近于常数A ，则称A 是

函数)(x f 在点0x 的极限（或)(x f 在点0x 的极限存在），记为

A x f x x =→)(lim 0或)( )(0x x A x f →→．

两个常用结论：（1）()

为常数C C C x x =→0lim ； （2）0x lim 0

x x x =→. 例：（1）16x 4-x lim

24-→x （2）sinx lim a →x （3）x

x 1sin lim 0→ 2.单侧极限 左极限 如果函数)(x f 当x 从0x 的左侧(即0x x <)趋于0x 时以A 为极限，则A 称为)(x f 在0x 的左极限．记作

A x f x x =-→)(lim 0或A x f =-)0(0．

右极限 如果函数)(x f 当x 从0x 的右侧(即0x x >)趋于0x 时以A 为极限，则A 称为)(x f 在

0x 的右极限．记作

A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)0(0．

左极限与右极限皆称为单侧极限，它与函数极限(双侧极限)有如下关系：

A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f =+=-)0()0(00．

3.∞→x 时函数)(x f 的极限 例。讨论函数x

x 1)(f =

，当（1）()+∞∈,0x ；（2）()0,∞-∈x ;(3)()+∞∞-∈,x 的变化情况。

函数在正无穷远处的极限：A x f x =+∞→)(lim 或者)( )(+∞→→x A x f 。 函数在负无穷远处的极限：A x f x =∞

→)(lim -或者)-( )(∞→→x A x f 。 函数在负无穷远处的极限：A x f x =∞

→)(lim 或者)( )(∞→→x A x f 。