高一数学一元二次不等式解法

一
元 二 次 不
等
式
的
解
授课人：朱 平
法
2009年12月9日
复习回顾：
一元一次函数
它们之
一元一次方程 间有怎
样的联
一元一次不等式 系？
一元一次函 数y=ax+b的 图像
一元一次方程 ax+b=0的解
一元一次不等式 ax+b>0的解集
一元一次不等式 ax+b<0的解集
a>0
b y
a
●o
x
xb a
{x | x b} a
变题：
n 已知不等式 ax2 bx 1 0的解集为
{x
3
x
4}，
解不等式
x2
ax
b
0
2.求不等式x2 数x解12 0 的整
3.已知集合：
A
A{x x(2CR4B)及0},AB求
{x 2x2
(CR B)
x
6
0}
总结提练：
（1）一元二次不等式的解集与一元二次方 程的解及其相应的二次函数的图像相对于 轴的位置密切相关.解题时要注意解题格式， 头脑中要想象图像或划出草图. （2）对于a<0的一元二次不等式可转化为 a>0的情形求解. （3）一元二次不等式的解法是今后学习其 他不等式的基础，要求大家熟练掌握解法，
{x | x1 x x2}
这张表是我们今后求解一元二次不 等式的主要工具，必须熟练掌握，其关
键是抓住相应的二次函数的图像。
记忆口诀：注意：(a>0)
大于0取两边，小于0取中间.
例1：
求k取什么实数时，方程
x2 k 2x k 2 0
有两个不相等的实数根？
解：由题知
△＝ -k 22 4k 2 0
（1）二次项系数化正 （2）判断所对应二次方程的根的情况； 若有根，则求出其根。
（3）画出所对应的二次函数的图象； （4）根据图象写出不等式的解集。
练习及作业：
n 1.解下列不等式：
n （1）(x 1)(x 3) 0
n （2） 6x2 x 2 0
n （3）(x 2)(x 2) 1
n （4） 3x2 5x 4 0
例1.解下列不等式：
n （1） x2 7x 12 0
n （2） x2 2x 3 0 n （3） x2 2x 1 0
(3) 的变题：x2 2x 1 0 的解集
x2 2x 1 0的解集 x2 2x 1 0 的解集
例3
n 已知不等式 ax2 bx 1 0 的解集为
{x 3 x 4}，求实数a, b 的值。
(1)x2 2x 3 0 (2) x2 2x 3 0 (3) x2 2x 1 0
归纳：
对于形如 ax2 bx c 0 的不等式
（1）如果相应的一元二次方程ax2 bx c 0
分别有两个实根、 唯一实根、无实 的话，其相应的二次函数的图像与 轴的位置关系如何？
（2）请观察表中的二次函数的图像， 并写出相应的一元二次不等式的解 集.
即：k 2 8k 12 0
令：k 2 8k 12 0 k1 2, k2 6
解集为: k k 2或k 6
综上知当k<2或k>6时方程有 两不相等的实数根
问题：
那如果二次项系数(a<0)时，该 如何解呢？
例如： x2 2x 3 0
2009年12月9日
总结：
由上我们可以得出解一元二次不等式的 一般步骤：
{x | x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ b} a
a<0
y
b
a
o● x
xb a
{x | x b} a
{x | x b} a
小结：
y
b
a
o ●
x
由上表我们可以看出:
n一元一次方程的解就是所对应的 一元一次函数与X轴交点的横坐 标；
n一元一次不等式的解集可依据所 对应的一元一次函数图象求得。
探究一
二次函数
它们之
一元二次方程 间有怎
准确运算结果.
在X轴上方的部分，所对应的X的所
有取值范围即：
y
x x 2或x 3
. .
－2 o 3 x
y
想一想
. .
根据图像写出
－2 o 3 x
1、
x2
x
6
0的解集 ·
x 2 x 3
2、x2 x 6 0的解集 x 2 x 3
3、x2 x 6 0的解集 x x 2或x 3
练习： 求下列不等式的解集
样的联
一元二次不等式 系？
探究二
解不等式 x2 x 6 0
（1）作出y=x2－x－6的图像
（2）写出的x2－x－6=0解集
（3）根据图像写出
y
x2 x 6 0 的解集
●
－2 o
●
3
x
解： 由 y x2 x 6 的图象我们可
以得出一元二次不等式 y x2 x 6 的
解集是二次函数 x2 x 6 0 的图象
∆＝b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a>0）的图像
∆>0
y o x●1
x
●
x2
∆=0
y
●
o
y xo
∆<0
x
ax2+bx+c=0 的根
x1,2
b 2a
x1
x2
b 2a
ax2+bx+c>0 （a>0）的解集
{x | x x1 或x x2}
{x | x R, x b }
2a
R
ax2+bx+c<0 （a>0）的解集