《数学分析III》期中考试试题及参考答案

数学分析下册期末试题（模拟）

一、填空题（每小题3分，共24分）

1

、重极限

22(,)lim

x y →=___________________

2、设(,,)x yz

u x y z e +=，则全微分du =_______________________

3、设(sin ,)x

z f x y y e =+，则

z

x

∂=∂___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则

2

2()L

x

y ds +=⎰________.

5、曲面2

2

2

239x y z ++=和2

2

2

3z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的法平面方程是___________________________. 6

、已知12⎛⎫Γ=

⎪⎝⎭32⎛⎫

Γ-= ⎪⎝⎭

_____________. 7、改变累次积分的顺序，2

1

20

(,)x dx f x y dy =⎰⎰

______________________.

8、第二型曲面积分

S

xdydz ydzdx zdxdy ++=⎰⎰______________，其中S 为

球面2

2

2

1x y z ++=，取外侧.

二、单项选择题（每小题2分，共16分）

1、下列平面点集，不是区域的是（ ）

（A ）2

2

{(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（ ）

（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在

00(,)x y 处重极限必定不存在.

（B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都存在且相等，则该函数在

00(,)x y 处重极限必定存在.

（C ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数都存在，则该函数在00(,)x y 处可微. （D ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微，则该函数在00(,)x y 处必定连续. 3、方程3

2

3

0xyz x y z ++-=在原点附近能确定连续可微的隐函数形式是（ ）

(A) (,)x x y z =

(B)(,)y y x z =

(C) (,)z z x y =

(D) 以上选项都不对.

4、设arctan 2z uv t =+，其中2t

u e =，ln v t =，则

1

t dz

dt

=等于（ ）

（A ）2

25e + （B ）2

25

e - （C ）225e （D ）252e

5、设平面曲线L ：()y f x =在[,]a b 上具有一阶连续偏导数，且点A 与B 的坐标分别为(,())a f a 与(,())b f b ，又设(,)P x y 和(,)Q x y 为L 上的连续函数，则沿L 从B 到A 的第二型曲线积分

(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +⎰

等于 （ ）

（A ）[](,())(,())()b

a

P x f x Q x f x f x dx '+⎰

（B ）[](,())(,())()a

b

P x f x Q x f x f x dx '+⎰

（C ）[](,())(,())()b

a

P x f x Q x f x f x dx '+⎰

（D ）

[](,())()(,())a

b

P x f x f x Q x f x dx '+⎰

6、变换T ：x u uv =-，y uv =所对应的函数行列式(,)J u v 为（ ）

(A)

2u (B)2

v

(C) u (D) v 7、对于任意光滑封闭曲线L 中，以下第二型曲线积分中为零的是（ ） （A ）

(sin )y L

x y dx xe dy -+⎰ （B ）2()2L

x y dx xydy --⎰

（C ）

sin()cos()L

xy dx x y dy ++⎰

（D ）22

L xdy ydx

x

y -+⎰

8、下列积分区域D 中，既是x 型又是y 型的是（ ）

(A)D 是由直线0x =，y x =和1y x =-所围成的闭区域. (B)D 是由直线y x =

和曲线y =

.

(C)D 是由直线1x =，2x =和4y x =-所围成的闭区域. (D)D 是由直线y x =，0y =

和曲线y =.

三、计算题（每小题8分，共48分）

1、讨论函数2222

220(,)00

xy x y x y

f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

在原点(0,0)处的连续性，计算

(0,0)x f 和(0,0)y f .

2、设,y z f x y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

，求2z x y ∂∂∂