追及问题的解题研究

对③进行讨论：
（1）当a1<a2时，③式t只有一个正解，则相遇一次.
（2）当a1=a2时，x甲-x乙=s，所以t=s/v0，t只有一个解，则相遇一次.
（3）当a1＞a2时，若v02<2（a1-a2）s，③式无解，即不相遇，
若v02=2（a1-a2）s，③式t只有一个解，即相遇一次.
则在这段时间内B车的位移为：xB＝vBt-aBt2/2＝1 600 m
两车的位移关系：xB＝1 600m>xA+x0＝1 500 m，所以A、B两车在速度相同之前已经相撞．
2.数学方法
应用数学知识处理物理问题的能力，是高考重点考查的五种能力之一.所谓数学方法就是对物理问题的分析和处理运用数学关系式来解决，在追及问题中常用的数学方法有不等式、二次函数的极值、一元二次方程的判别式等.
①一定能追上，当两者速度相等时两者间有最大距离．
②当追者位移等于被追者位移与初始两者间距之和时，后者追上前者即相遇．
二、追及问题的解题思路及方法
1.物理分析法
分析追及问题，其实质就是分析两物体在相同时间内是否到达同一位置.追及问题的求解一般要涉及两物体的不同运动性质，以及两物体之间的运动关系.所以，在分析追及问题时，要紧抓“一个图三个关系式”，即过程示意图，速度关系式、时间关系式和位移关系式.同时在分析追及问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等．解决追及问题的思路如下：
【分析】 选取B车为参考系，认为B车静止不动.A车相对B车做匀减速运动，A车的相对初速度为v0，相对加速度为a′＝-2a-a＝-3a，相对位移为x，Ａ车追上B车且刚好不相撞的条件是：A车相对B车的末速度vｔ＝0
由运动学公式vt2-v02=2as 得：0-v02=2(-3a)x
所以
即要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是
点评 本题巧选B车作为参考系，从而使解题更简单.在用相对运动方法解题时，当选取恰当的参考系后，要特别注意被研究物体的相对速度、相对位移和相对加速度等.
三、类追及问题的例析
狭义的追及问题指两交通工具（如自行车、汽车等）在公路上相互追赶所涉及的追及、相遇问题，广义的追及问题指两运动物体在同一直线或封闭图形上运动所涉及的追及、相遇问题.我们把两运动物体发生相互作用所涉及运动学规律的问题都可以看成类追及问题.这类问题可以用追及问题的解题思路和解题方法来解决.
4.相对运动法
我们研究物体的运动情况，通常选取地面作为参考系.有时为了研究方便，可以灵活选取参考系.当选取其他物体作为参考系时，被研究的物体的运动就是相对这个物体的.
调研4 在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车与A车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，则A车的初速度v0应满足什么条件？
【分析】 根据题意画出前车刹车后做匀减速运动的速度-时间图线（如图线①），前车经过时间t停下来，在这段时间内，后车做匀速运动（如图线②），在t时刻后车也开始刹车，后车以同样的加速度做匀减速运动(如图线③).由速度-时间图像的物理意义可知,前车经过的位移大小等于△OAt的面积，大小为ｓ，而后车经过的位移大小等于梯形OADC的面积，所以，两车在匀速行驶时保持的距离至少应为平行四边形AtCD的面积，其大小为2s，即选项B正确.答案：B
由牛顿第二定律得：F+μmg=ma1
设滑块经过时间t1（时间关系）刚好运动到平板车的左端，速度为v0，则t1=v0/a1
滑块的位移s2=a1t12/2
平板车在水平面上运动的位移s1=v0t1
由图可知：s1-s2=L/2（位移关系）
联立以上各式解得：F=6 N
要保证滑块不从车的左端掉下，恒力F大小应该满足：F≥6 N.
调研2 甲、乙两车相距s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1，初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2，初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系.
【分析】 设甲经过时间t追上乙，它们相遇时有x甲－x乙=s. ①
由运动学公式得：x甲=v0t+a2t2/2，x乙= a1t2/2 ②
若v02＞2（a1-a2）s，③式t有两个正解，即相遇两次.
3.图像法
图像在中学物理解题中应用十分广泛,它能形象地表达物理规律,直观地叙述物理过程,并简洁地表示物理量间的各种关系.所以图像法是解决物理问题的一种重要方法.在追及问题中，一般根据两物体的运动情况，画出运动物体的位移-时间图像或者速度-时间图像，然后根据它们的运动关系解题.
滑块相对平板车从车面中点开始向左做匀减速运动，滑块的相对初速度为-v0，相对加速度为a1，相对位移为L/2，滑块刚好不从平板车的左端掉下来的速度条件是：滑块的相对末速度vｔ＝0
由运动学公式：vｔ=v0+at
所以t1=v0/a1=0.5 s
选取平板车作为参考系，要使滑块不从平板车的右端掉下来
滑块相对平板车从左端开始向右运动，滑块的相对初速度为0，先做相对加速度为a2的匀加速运动，达到最大相对速度vm，然后开始做相对加速度为a3的匀减速运动，滑块刚好不从平板车的右端掉下来的速度条件是：滑块的相对末速度vｔ＝0
由运动学公式可得：
所以
则
综上所述，要证滑块不从车上掉下，力F的作用时间t应该取的范围为：
由运动学公式和图像的几何关系可得：t1=0.5 s（解略）
滑块运动到平板车左端后，在水平恒力F的作用下，以加速度大小a2向右匀加速运动（如图线③），经过一段时间t2后撤去F，滑块在摩擦力作用下，以加速度大小a3向右匀减速运动（如图线④），滑到平板车右端的速度为v0，则此情况下，F的作用时间最长.平板车一直做匀速运动（如图线⑤）.由速度-时间图像的物理意义可知,滑块经过的位移大小等于多边形OADBC的面积，而平板车经过的位移大小等于矩形OABC的面积，而△DAB面积的大小
【分析】 根据两车的运动性质画出它们的运动过程示意图（一个草图），如图所示
由题意可知，两车不相撞的速度临界条件是B车减速到与A车速度相等（速度关系）.
aB=vB2/(2x)=0.25m/s2
B车减速至vA＝10 m/s的时间t＝80 s
在这段时间（时间关系）内A车的位移为：xA＝vAt＝800 m
t1＜t＜t1+t2
即0.5 s＜t＜1.08 s.
追及问题的解题研究
追及问题是运动学中比较常见的一类问题，此类问题的综合性强，往往涉及两个或两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同.追及问题的解题方法较多，题目常常可以一题多解，从而培养考生的思维能力和解题能力. 本文选自《试题调研》2012版第1辑，更多精彩内容，可通过“当当网”及当地书店购买阅读。
调研5 在水平长直的轨道上，有一长度为L=2 m的平板车在外力控制下始终保持速度v0=4 m/s做匀速直线运动．某时刻将一质量为m=1 kg的小滑块轻放到车面的中点，已知滑块与车面间的动摩擦因数为μ=0.2（g=10 m/s2）．
（1）当滑块放到车面中点的同时对该滑块施加一个与车运动方向相同的恒力F，要保证滑块不从车的左端掉下，恒力F大小应该满足什么条件？
分析两物体的运动情况 →画出过程示意图→抓住两者速度关系→由时间和位移关系列方程
调研1 A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s.因大雾能见度低，B车在距A车700 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过1 800 m B车才能停止．问A车若按原速度前进，两车是否会相撞？说明理由．
（2）解法一 图像法
根据题意画出滑块做匀加速运动的速度-时间图线（如图线①），经过时间t1滑块刚好运动到平板车的左端，其速度大小为v0.在t1时间内平板车做匀速直线运动(如图线②).由速度-时间图像的物理意义可知,滑块经过的位移大小等于△OBC的面积，而平板车经过的位移大小等于矩形OABC的面积，而△OAB面积的大小为L/2
②两者速度相等时，若追者位移恰等于被追者位移与初始两者间距之和，则刚好追上，也是两者避免碰撞的临界条件．
③若相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能再一次与追者相遇，两者速度相等时，两者间距离有一个较大值．
(2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)
一、追及问题的特点分析
1．追上与追不上的临界条件
两物体（追与被追）的速度相等常是追上、追不上及两者距离有极值的临界条件．
2．常见的两类追及形式
(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)
①两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移与初始两者间距之和，则永远追不上，此时两者间距最小．
为L
根据牛顿第二定律有：F-μmg=ma2,μmg=ma3
由运动学公式和图像的几何关系可得：

力F=6 N，要保证滑块不从车上掉下，力F的作用时间t应该取的范围为：
t1＜t＜t1+t2
即0.5 s＜t＜1.08 s.
解法二 相对运动法
选取平板车作为参考系，要使滑块不从平板车的左端掉下来
（2）在（1）的情况下，力F取最小值，要保证滑块不从车上掉下，力F的作用时间应该在什么范围内?
【分析】 (1)物理分析法
根据滑块和平板车的运动情况，画出它们的过程示意图（一个草图），如图所示

当滑块放到车面中点的同时对该滑块施加一个与车运动方向相同的恒力F，滑块在恒力F和摩擦力f共同作用下以加速度a1向右匀加速运动，平板车保持速度v0做匀速直线运动.滑块恰好不从平板车的左端滑下来的条件是当滑块相对平板车向左运动到左端时速度刚好为v0(速度关系)