全等三角形各类题型讲解

全等三角形及其应用

【知识精读】

1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法:若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中,“≌”读作

“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

３. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等;

4. 寻找对应元素的方法

（１）根据对应顶点找

如果两个三角形全等，那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2)根据已知的对应元素寻找:全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;

（3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成

①翻折:如图(1)，∆BOＣ≌∆EＯD，∆BOC可以看成是由∆ＥOＤ沿直线AＯ翻折180︒得到的;

②旋转:如图（２），∆COD≌∆BOA,∆COD可以看成是由∆ＢOA绕着点Ｏ旋转1８０︒得到的;

③平移：如图(3)，∆DEF≌∆ＡCB,∆ＤＥＦ可以看成是由∆ACＢ沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：SAS，SSS,ASＡ,AＡS,HL

6. 注意问题：(1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

(2)不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等,即AAA;b ：有两边和其中一角对应相等,即ＳSA。

【分类解析】

(1)证明线段（或角)相等

例1:如图，已知ＡD=AＥ,AB＝AC．求证:BF=FC

(２）证明线段平行

E

D

A

例2：已知:如图,ＤE ⊥AC,ＢF ⊥ＡＣ,垂足分别为E 、Ｆ，ＤＥ=B Ｆ,AF ＝C Ｅ.求证：AB ∥ＣD

D C

B A

E F

(3）证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3:如图，在△ ABC 中，AB=AC ，延长A Ｂ到D ，使B Ｄ＝AB ，取AB 的中点Ｅ,连接CD 和ＣE. 求证：CD=2CE

(4)证明线段相互垂直

例4:已知:如图，A 、D 、B 三点在同一条直线上,ΔADC 、ΔB ＤO 为等腰三角形,AO 、B Ｃ的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。

C B

A O E

D

【题型点拨】

例1．如图,A Ｃ∥BD,E Ａ，EB 分别平分∠CA Ｂ,∠DBA ，ＣD 过点Ｅ,求证;AB ＝AC+ＢD

D

C

B

A

例2如图，在四边形ABCＤ中,BC>BＡ，AD=ＣD,BD平分ABC

∠，

求证: 0

180

=

∠

+

∠C

A

【题型展示】

例1 如图,△AＢC中，∠C=２∠B，∠１=

∠2。求证：AＢ＝ＡC+CD.

【实战模拟】

１.下列判断正确的是（)

(A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

(B）有两边对应相等，且有一角为３０°的两个等腰三角形全等

（C)有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

(D)有两角和一边对应相等的两个三角形全等

２．已知:如图，CＤ⊥AＢ于点D,BE⊥AＣ于点E,BE、CD交于点O,且ＡO平分∠ＢAC．求证:OB＝OC．

O

E

D

C

B

A

3. 如图，已知C 为线段A Ｂ上的一点，∆ACM 和∆CBN 都是等边三角形，AN 和CM 相交于F 点，BM 和CN 交于E 点。求证:(1)∆CEF 是等边三角形。（２）设AN 、BM 交于O,求∠AOM 的度数

A

B

C

M

N

E F

1

2

4. 如图，已知在△A ＢC 中,∠Ｂ=6０°,△A ＢC 的角平分线AD,CE 相交于点Ｏ, 求证:OE=OD

5． 如图，在等腰R ｔ△ABC 中,∠C ＝90°，D 是斜边上ＡB 上任一点，AE ⊥ＣD 于E ,BF ⊥CD 交CD 的延长线于Ｆ，

CH ⊥AB 于H 点，交A Ｅ于Ｇ．

求证:B Ｄ=ＣＧ．

６、(1）如图23（１），以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形

ACFG ,连结EG ,试判断ABC △与AEG △面积之间的关系,并说明理由。

(２)园林小路，曲径通幽，如图23(２)所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和 是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米?