弧度制弧长面积公式

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典例剖析
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第一章 三角函数
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类型一 角度与弧度的互算 例 1 把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′； 36°；－152π；3.5.
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用180°＝π这个关系来实现换算．
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第一章 三角函数
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解 112°30′＝2225×1π80＝58π. 36°＝36×1π80＝π5. －152π＝－152π×(1π80)°＝－75°. 3．5＝3.5×18π0°≈3.5×57.3°＝200.55°(或200°33′)．
样实数的集合与角的集合建立了一一对应关系．
(2)角度制与弧度制的一个重要区别是角度制是60进位
制，弧度制是10进位制．
(3)角度制与弧度制不能混用．比如“
π 6
＋k·360°”或“60°
＋2kπ”的写法是不允许的，尤其是当角用字母表示时更要注
意，如角α是在弧度制下，就不能写成“k·360°＋α”等．
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第一章 三角函数
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解 设A︵B 长为lcm，扇形半径为rcm，则由题意得
l＋2r＝10， 12l·r＝4，
解得
r＝4， l＝2，
或
r＝1， l＝8
(不合题意，
舍去)．
∴α＝24＝12(弧度)．
∴弦AB＝2×4sin14＝8sin14(cm)．
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类型三 扇形面积、弧长公式的应用 例3 如图，扇形AOB的面积是4cm2，它的周长是10 cm，求扇形的中心角α的弧度数及弦AB的长．
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2．角度与弧度的换算 360°＝________，________＝πrad. 1°＝________≈0.01745 rad， 1 rad＝________≈________＝57°18′. 3．扇形的弧长与面积公式 (1)在弧度制下，弧长公式为________，扇形面积公式为 ________． (2)在角度制下，弧长公式为________，扇形面积公式为 ________.
3π 2
5π 3
11π 6
2π
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2.扇形面积与弧长公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|r，S＝12lr＝12|α|r2. (1)由上述公式可知，由α，r，l，S中的两个量可以求出 另外两个量． (2)运用弧度制下的弧长公式明显比角度制下的公式简单 的多，但要注意它的前提是α为弧度数．
变式训练3 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形
的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )
π
2π
A.3
B. 3
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(3)比值
l r
只反映了弧所对圆心角的大小，不反映圆心角
的方向，应注意|α|＝rl中的绝对值符号，否则会漏解．
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课前热身
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1.弧度 (1)长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做________，记 为________．用弧度为单位来度量角的单位制叫做 ________． (2)正角的弧度数是________，负角的弧度数是 ________，零角的弧度数是________，角α的弧度数的绝对 值为________，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是 圆的半径．
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类型一 角度与弧度的互算
例1 把下列各角用另一种度量制表示出来：
112°30′；36°；－152π；3.5.
分析
角度制与弧度制之间的换算可以利用1°＝
π 180
弧
度，1弧度＝
180

π

°≈57.3°来完成，对于某些特殊角也可以利
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变式训练3 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形
的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )
π
2π
A.3
B. 3
C. 3
D．2
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解 (1)如上图①中以OB为终边的角330°，可看成为－ 30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×1π80＝152π.
∴θ|2kπ－π6<θ<2kπ＋51π2，k∈Z. (2)如上图②中以OB为终边的角225°，可看成是－ 135°，化为弧度，即－34π，而135°＝135×1π80＝34π， ∴θ|2kπ－34π<θ<2kπ＋34π，k∈Z.
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分析 首先可以利用弧度制与角度制间的关系将有关角 化为弧度数，同时在表示所给角的范围时还要注意正角和负 角之间的转化．
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误区警示 1在表示角的集合时，一定要使用统一度量 单位统一制度，不能混用；
2在进行区间的合并时，一定要做到准确无误，如在本 题3中，前一集合是以π的偶数倍表示，后一集合是以π的奇 数倍表示，二者合并，即用π的整数倍表示.
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解
(1)在0与2π之间，终边落在OA位置上的角是
π 2
＋
π 4
＝34π，
终边落在OB位置上的角是32π＋π3＝116π或－6π， 故终边落在OA上的角的集合为
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误区警示 用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不 写，而用角度制表示角时要特别注意单位“°”不能丢，因 为1°与1是完全不同的两个角.
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规律技巧 1灵活运用扇形弧长公式，面积公式列方程 组求解是解决此类问题的关键.
2一般地说，在几何图形中研究角时其范围是[0，2π.
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§1.1 任意角和弧度制
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1.1.2 弧度制
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(5)一些需要记住的特殊角的弧度数
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150°
弧度 0
π 6
π π π 2π 5π 4 323 6
180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
π
7π 6
4π 3
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变式训练2 如下图所示
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
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α|α＝2kπ＋34π，k∈Z ，终边落在OB上的角的集合为 β|β＝2kπ＋116π，k∈Z或β|β＝2kπ－π6，k∈Z.
(2)终边落在阴影部分角的集合为 α|2kπ－6π≤α≤2kπ＋34π，k∈Z.
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(3)如上图③，∵30°＝π6，210°＝76π， ∴{θ|2kπ＋6π<θ<2kπ＋2π，k∈Z}∪ {θ|2kπ＋76π<θ<2kπ＋32π，k∈Z} ＝{θ|2kπ＋6π<θ<2kπ＋2π，k∈Z}∪ {θ|(2k＋1)π＋π6<θ<(2k＋1)π＋2π，k∈Z} ＝{θ|kπ＋6π<θ<kπ＋2π，k∈Z}．
(2)l＝1n8π0r S＝n3π6r02
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1.角度制与弧度制
(1)弧度制的建立，使一个角的弧度数就是一个实数，这
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第一章 三角函数
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(4)用“度”作为单位度量角时，“度”或“°”不能省 略；用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”两字可以省 略．如sin3是指sin(3 rad)，这时的弧度数“3”在形式上是一个 不名数，应理解为名数．常常把弧度数写成“多少π”的形 式，如无特别要求，不必把π写成小数的形式．
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第一章 三角函数
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变式训练1 (1)－300°化为弧度是( )
A．－43π
B．－53π
C．－74π
D．－76π
(2)85π化为度数是(
)
A．278°
B．280°
C．288°
D．318°
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解析 (1)－300°＝－300×1π80＝－53π. (2)85π＝85×180°＝288°. 答案 (1)B (2)C
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类型二 区间角的表示 例2 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半 轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图 所示)．
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1.(1)1弧度的角 1 rad 弧度制
自 (2)正数 负数 0 |α|＝rl
我
π
180
校
2.2πrad
180° 180rad

π
°

57.3°
对 3.(1)l＝|α|r S＝12lr
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(5)一些需要记住的特殊角的弧度数 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 弧度
180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
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