行列式计算方法总结

行列式展开定理
定理
a11 a12 a1n
n阶行列式 D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
等于它的任意一行(列)中所有元素与它
们对应的代数余子式的乘积之和，即
n
D a i1 A i1 a i2 A i2 a iA n in aikAik(i1,2,n) k1
或 D a 1 jA 1 j a 2 jA 2 j a nA n j j
4 1 0 4 1 0 0
736
5 1 3
0 1 0
(1)(1)32 7
6 9
53
元素为数值 行列式计算
二、三阶公式
利用性质化简
基本运算化简 观察特点化简
元素为字母
利用性质观察化简
小结
计算行列式常用方法： (1)对角线法（二、三阶）; (2)化三角行列式法； (3)降阶（按行列展开法，选0元较多的）； （4）拆行列式； （5）各行（列）求和（适用类型？）； （6）利用性质化简其他形式．
例3
1 012
已知 D 1
1
0
3 ,
1 110
1 x 5 4
注意区分余 子式与代数
余子式
(1)、若第二行的余子式为：1,3,0,2
(2)、若第二行的代数余子式为：1,3,0,2 求：D
解：(1)、若第二行代数的余子式为：
1, 3 , 0 , 2
D(1)(1)13003(2) 2
(2)、D(1)(1)13003(2)
17 2 6 6 2 17
3 42 1 4 2 D2 5 0 4 1 0 4
17 2 5 12 2 5
2 5 7 2 5 7 D3 4 0 11 0 10 25
8 3 6 0 23 34
（2）把第一行分别乘以 a2,1 a3,1 , an 1
加到第 2,3,n行对应元素上去，这样 就把第一列a11 以下的元素全化为零. 再逐次用类似的方法把主对角线以下 (以上)的元素全部化为零. （3）利用三角行列式求值.
【说明】
在上述变换过程中，主对角线上
元素a ii (i 1 ,2 , ,n )不能为零若，出现零，
可通过行(列)变换使得主对角线上不为 零.
【说明】
1 1 0 2
0 1 1 2
00 24
00 35
2 1(1)
4 12
35
例1
1 0 21
计算行列式 D 2 1 1 0
1 2 03
解：
0 3 21
1 012
2、D
1 1
1 1
0 1
3
, 0
则D=（
）
1 2 5 4
A. A31A32A33
A
B. A 3 12A 32 5A 3 34A 34
C. A23A332A43 D. ( 1 ) 1 4 M 1 ( 4 1 ) 2 4 M 2 ( 4 1 ) 3 4 M 3 ( 4 1 ) 4 4 A 44
22
定理2
行列式D中任意一行(列)的各元素 另一与行(列)对应元素的代数余子式乘积
之和等于零，即当 i j 时，
或 n
aik Ajk 0
n
aki Akj 0
k 1
k 1
【说明】
综合定理1 和定理2可得：
n
aki Akj
k 1
D
0
当i j时 当i j时
a11 a12 a1n
如： D a21 a22 a2n
0 110
2 3 1 0 (3)1(1) 2 3 1 0
解：D 4 2 1 1 (2)2(1) 0 8 3 1
2 1 2 1
0 431
0 110
0110
2
3
1
0
(4)8(2)
2
3
1
0
(2)(4) 0 0
11 43
0 (3)4(2) 0
1
0
11 0 1
0
1
0 8 3 1
0 0 5 1
23 1 0
目标：1、最好 首非零元是1 2、最好能化为 三角行列式
(3)1(1) 1 0 2
D(2)2(1) 0 1 3
0 2 2
032
1
(4)3(2)
2 (3)2(2) 2
1
10 0 1
00 00
21 3 2
8 2 7 5
8 2
1(1)
26
7 5
例2
2 310
计算行列式 D 4 2 1 1
2 1 2 1
行列式计算方法总结
【练习18】
a11 a12 a13 • 设行列式 a 2 1 a 2 2 a 2 3 =6，
a31 a32 a33
•则
3a11 a31
a21 a31
3a12 a32 a22 a32
3a13 a33 a23 a33
=（ C ）
• A．－12 B．－ 18 C．18 D．12
3a11 a31 a21 a31
0 2
1 0
41(1)13 0 3
2 0
305
4(6) 24
例2 选择题
1 012
1、D
1 1
1 1
0 1
3 , 则D=（
0
）
1 2 5 4
A. A31 A32 A33 A34
C
B. A 3 12A 32 5A 3 34A 34 C. A13A335A43 D. ( 1 ) 1 4 M 1 ( 4 1 ) 2 4 M 2 ( 4 1 ) 3 4 M 3 ( 4 1 ) 4 4 A 44
n
akjAkj(j1,2,n) k1
其中，Aij 是元素D在a ij 中的代数余子式
称上式为行列式 D n按第 i行( j列)的 展开式.
例1
1 0 21
计算行列式 2 1 1 0
1 0 03
1 0 2 1
选零元最多 的行（列）
1
解： 2
0 21
1
1 1 0 (1)(1)22 1
21 03
an1 an2 ann
D a 1 A 1 1 1 a 1 A 1 2 2 a 1 n A 1 n
a 1A 1 3 1 a 1A 2 3 2 a 1 n A 3 n 0
例4
1 012
已知D 1
1
0
3 ,
则下列等于零（
）
1 110
1 2 5 4
A. A31 A32 A33 A34
(4)5(3)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
01 1 0
8
0 0 1 1
00 0 4
(二)、利用“降阶法”计算行列式
所谓降阶法就是应用行列式按行(列) 展开定理，把高阶行列式的计算转化为
低阶行列式的计算。
方法：
先结合行列式的性质，把行列式的某 一行(列)的元素尽可能多的转化为零，然 后再展开。这是行列式最常用、最有效 的方法。
1 0 03
1 2 1
1 0 2 1
1 21
1 0 3 (1)21 2 1 3(1)23 1 2
21
1 2
1 2 1
12
3
12
1 2
练习
0010
24
计算
0 D
2
0
0 _________._
3050
8594
提示：
0010
0200
001
D 3
0
5
0 4 (1)44 0
2
0
8594
305
0 40
3a12 a32 a22 a32
3a13 a33 a23 a33
a11 3(1) a31
a21a31
a12 a32 a22 a32
a13 a33 a23a33
a11 a12 a13 (3) a31 a32 a33
a21 a22 a23
a11 a12 a13 (3) a21 a22 a23
a31 a32 a33
B
B. A 3 12A 32 5A 3 34A 34
C. A13A335A43
D. ( 1 ) 1 4 M 1 ( 4 1 ) 2 4 M 2 ( 4 1 ) 3 4 M 3 ( 4 1 ) 4 4 A 44
2 4 1 2 5 3 6
5 3 0 6 (1) (1)13 9 1 3 9 1 0 3
2
1 012 1 1 0 3 1 110 1 x 5 4
1,3,0,2
1,3,0,2
练习 四阶行列式第三行的元素分别是
6,7,3,4, 对应的余子式分别为
1,2,10,4, 求：D 提示：第三行的代数余子式为：
1 , 2 , 10 , 4
D( 6 ) 1 7 2 3 1 4 0 ( 4 )
计算行列式的基本方法
(一)、利用“化三角法”计算行列式
1、数字元素行列式化为三角 行列式的方法
（1）先把 a11变换为1或-1.
一般可通过变换行(列)、 1
a 11
乘以第1行
或r1kir(c1kic)等变换来实现，
要注意保值，同时要避免元素变为分
数，否则将给后面的计算增加困难.
如
3 41 1 4 3 D1 5 0 4 4 0 5