工程制图直线平面(整理).ppt
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工程制图直线平面课件
06
工程制图实例解析
机械零件的工程制图解析
机械零件的工程制图概述
机械零件的工程制图是机械设计中的重要环节，它涉及到机械加 工、装配和维修等多个方面。
图纸规范
机械零件的工程制图需要遵循一定的规范，包括图框、标题栏、比 例、线型、视图等。
图纸标注
机械零件的工程制图需要标注尺寸、公差、表面粗糙度等参数，以 确保加工和装配的准确性。
标注和注释
工程制图中需要进行标注 和注释，以清晰地表达设 计师的意图和要求。
工程制图的投影法
正投影法
正投影法是工程制图中最 常用的投影方法，能够准 确表达物体的形状和尺寸。
轴测投影法
轴测投影法是一种将物体 放置在三个互相垂直的坐 标轴上，沿坐标轴方向投 影的方法。
透视投影法
透视投影法是一种模拟人 眼视线的投影Βιβλιοθήκη 法，能够 产生三维立体感。02
直线和平面的投影特性
直线投影特性
直线投影的形成
根据三视图原理，直线在平面上 的投影是直线或点。当直线与投 影面平行时，其在该投影面上的 投影与原直线重合。
直线投影的特性
直线的投影仍然是直线，并且与 原直线在空间上保持平行。
平面投影特性
平面投影的形成
平面的投影是直线或一个平面。当平 面与投影面垂直时，其在该投影面上 的投影为一条直线。
详细描述
在绘制工程图时，线条的粗细和清晰度是影响图纸质量和阅读性的重要因素。为 了提高图纸的清晰度，需要使用粗细适中的线条，并避免线条交叉和重叠。同时， 需要注意线条的起点和终点，确保线条的完整性和准确性。
标注尺寸的准确性问题处理
总结词
标注尺寸的准确性问题处理是工程制图中的重要问题。
土木工程制图第三章点-直线和平面的投影PPT课件
① 铅垂线与H面垂直同时与V面、W面平行。 ② 正垂线与V面垂直同时与H面、W面平行。 ③ 侧垂线与W面垂直同时与H面、V面平行。
(3)投影面垂直线的投影特点为：在它所垂直的投 影面上的投影积聚为一点，另外两个投影垂直 于相应的投影轴，如图3.15所示。
可编辑课件PPT
24
投影面垂直线
土木工程制图
ax
a●
解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
可编辑课件PPT
7
例2：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。
土木工程制图
(a) 已知
(b) 作图
分析：因为根据点的任意可编两辑面课件投PPT影可以求出第三投影。 8
四、特殊位置的点
土木工程制图
注意：A点的侧面投影a"应在OYW轴上，C点的水平投影
(b) 正平线
21
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
水平线
a b Z a
Xa β γ b YH
实长
实长
b b α
YW X
b
正平线
a Z a
γ
b
侧平线
a
Z a
β
b
α
YW X a
a
b
YH
YH
与H面的夹角:α
实长
b
YW
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
O b
a AB实长
△Z
△Z
A0 a′
OX
B0
a
YH
(3)投影面垂直线的投影特点为：在它所垂直的投 影面上的投影积聚为一点，另外两个投影垂直 于相应的投影轴，如图3.15所示。
可编辑课件PPT
24
投影面垂直线
土木工程制图
ax
a●
解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
可编辑课件PPT
7
例2：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。
土木工程制图
(a) 已知
(b) 作图
分析：因为根据点的任意可编两辑面课件投PPT影可以求出第三投影。 8
四、特殊位置的点
土木工程制图
注意：A点的侧面投影a"应在OYW轴上，C点的水平投影
(b) 正平线
21
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
水平线
a b Z a
Xa β γ b YH
实长
实长
b b α
YW X
b
正平线
a Z a
γ
b
侧平线
a
Z a
β
b
α
YW X a
a
b
YH
YH
与H面的夹角:α
实长
b
YW
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
O b
a AB实长
△Z
△Z
A0 a′
OX
B0
a
YH
机械制图(工程图学)第三章 直线与平面、平面与平面
b' e' d' a' a' c' f' X e b c 2 1 a d a d a d 1 X e b c 2 f' X e b c c' f' a' c' e' 2' 1' d' 1' d' b' e' 2' b'
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
X X f g c k a h e (a) e a b 1 c k h 1(2) c f g b 1
a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
X X f g c k a h e (a) e a b 1 c k h 1(2) c f g b 1
a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c
工程制图 直线平面
a"（b"）
X a b
O
YW
YH
垂直线的投影特征： 垂直线的投影特征：
（1）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚 为一点； （2）其余的两个投影垂直于相应的投影轴，且 反映实长。
例题1: 根据投影图判断下列直线的空间位置 例题1 Z Z a' a" a" a' b' b' X a （b） a' b' a b YH Z a" b" YW X a YH b YH a' O b" YWX a b YH b' Z
2.各种位置的直线：
1 投影面的平行线 2 投影面的垂直线
3 一般位置线
2.各种位置的直线：
1 投影面的平行线 (Projection of parallel line of projection plane)
（1）水平线 a' Z b' a" b"
X a 实长
β γ
O b YH
YW
（2）正平线 Z b' a' X a b YH
b' i'(j') f' a' (c') d' b"(c") a"(d")
e'
(h')
j"(f") e"(h") i" k' (k") o' (o") c
B
C D A G N E I L
j f
b a e
d h k(o)
H
F J M
K O
工程制图(第四版)第3章 点、直线和平面的投影PPT
1.投影面平行线
平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线
(1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
b YH
2. ab=AB
正平线— 平行于正面投影面的直线
Z
Z
b
b
b
a
a
a
B
a
X
O
YW
A
b
X
O
a
b
a
b
Y
YH
投影特性： 1、ab OX ; a b OZ
2、a b=AB
3、反映、角的真实大小
侧平线— 平行于侧面投影面的直线
3、 a b = a b = AB
正垂线— 垂直于正面投影面的直线
ab
Z
z a
b
ab
A
a
X
O
YW
B
b
X
O
a
a b
b
Y
YH
投影特性： 1、 ab积聚 成一点
2 、 ab OX ; ab OZ
3 、 ab = ab =AB
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
Z
a
b Z
ab
平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线
(1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
b YH
2. ab=AB
正平线— 平行于正面投影面的直线
Z
Z
b
b
b
a
a
a
B
a
X
O
YW
A
b
X
O
a
b
a
b
Y
YH
投影特性： 1、ab OX ; a b OZ
2、a b=AB
3、反映、角的真实大小
侧平线— 平行于侧面投影面的直线
3、 a b = a b = AB
正垂线— 垂直于正面投影面的直线
ab
Z
z a
b
ab
A
a
X
O
YW
B
b
X
O
a
a b
b
Y
YH
投影特性： 1、 ab积聚 成一点
2 、 ab OX ; ab OZ
3 、 ab = ab =AB
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
Z
a
b Z
ab
工程制图直线平面课件
平面正投影
平面的正投影是一个多边形，其 形状和大小与平面在投影面上的
形状和大小相同。
正投影的特性
正投影具有真实性和积聚性，即 直线和平面在正投影下保持其真 实长度和形状，且与投影面垂直 的线或面在投影面上积聚为一点
。
直线和平面的斜投影
斜投影
光线与投影面形成一定的角度， 物体在投影面上形成的影子或图 像。
直线和平面在机械设计中的应用
确定零部件位置
在机械设计中，直线和平面被用来确定零部件的位置和方向，以 确保机器的正常运转。
构建机械结构
直线和平面可以用来构建机械结构，例如机架、底座等。
指导加工和装配
直线和平面可以用来指导机械零件的加工和装配过程，以确保零 件的精度和互换性。
05
直线和平面的作图技巧
总结词
强调线条的流畅性和比例感
详细描述
建筑结构的直线图绘制需要注重线条的流畅性和比例感 。在绘制过程中，需要使用各种绘图工具，如马克笔、 彩铅等，以产生具有表现力的线条。同时，还需要对建 筑结构的基本知识有深入的理解，以便准确地表达建筑 物的结构和比例。此外，还需要考虑建筑物的功能和美 学要求，以创造出具有吸引力和表现力的直线图。
斜投影的特性
斜投影具有类似性，即直线和平 面在斜投影下保持其类似长度和 形状，但长度和形状可能会发生 变化。
04
直线和平面在工程中的应用
直线在工程中的应用
确定物体位置
在工程中，直线常被用来确定物体的位置和方向 ，例如建筑物的墙角、道路的走向等。
分割和组织空间
直线可以用来分割和组织空间，例如在室内设计 中，直线可以用来划分不同的功能区域。
要点二
详细描述
直线与平面平行是指直线与平面没有交点，即直线的方向 向量与平面的法向量平行。直线与平面垂直是指直线与平 面只有一个交点，即直线的方向向量与平面的法向量垂直 。直线与平面相交是指直线与平面有至少一个交点，即直 线的方向向量与平面的法向量不垂直。这些关系在工程制 图中具有重要意义，是确定物体位置和形状的基础。
工程制图直线平面
表达结构关系
通过直线的连接和交叉， 可以表达物体各部分之间 的结构关系，如梁、柱、 板等构件的相互连接。
辅助定位和测量
在工程制图中，直线可以 作为辅助线来定位和测量 物体的尺寸和角度。
平面在工程制图中的应用
表达平面形状
在工程制图中，平面常用 来表示物体的内部或外部 平面，如楼板的平面、机 械零件的切面等。
元素。
设计师通过绘制直线和平面来 表达机器零件的形状、尺寸和 位置，以及装配体的装配关系
。
直线和平面在机械设计中用于 表示轮廓、表面、切线、轴线 等元素，以及用于标注尺寸和
公差。
机械图纸中的零件图、装配图 等都是基于直线和平面进行绘
制的。
电子线路设计中的直线和平面
在电子线路设计中，直线和平 面用于表示电路板上的导线和
确定平面位置
通过平面的几何属性，可 以确定平面的位置和方向， 如平行、垂直、倾斜等。
辅助定位和测量
在工程制图中，平面可以 作为辅助面来定位和测量 物体的尺寸和角度。
直线和平面在工程制图中的综合应用
1 2
组合表达物体形状
通过直线和平面的组合，可以完整地表达物体的 形状和结构，如建筑物的三维空间关系、机械零 件的整体结构等。
直线和平面在建筑结构中用于表示墙线、门窗位置、楼 梯、梁柱等结构元素。
建筑师通过绘制直线和平面来表达建筑物的外观、结构 和功能，为施工提供准确的指导。
建筑图纸中的平面图、立面图和剖面图等都是基于直线 和平面进行绘制的。机械设计中的直Fra bibliotek和平面01
02
03
04
在机械设计中，直线和平面是 构成机器零件和装配体的基本
构建投影体系
在工程制图中，直线和平面可以作为投影体系的 基础，通过投影将三维物体转换为二维图形。
工程制图 直线与平面、平面与平面的相对位置 PPT
二、两平面相交
两平面相交时要讨论的问题： ① 求两平面的交线
方法：确定交线的两个端点。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系， 即：
判别可见性。 先讨论两平面中至少有一个处
于特殊位置的情况。
d’
c’
l’ b’
e’ k’ a’
f’
c
df
lb
e
k
a
空间及投影分析：
DEF为铅垂面， 在H面投影积聚成直线， 交线应在此直线上，
例2：求矩形平面P与ABC的交线MN，并判别可见性。
p b m
a n
a m(n) b
p
作图过程
判别 可见性
B PM
A
C
N
c
a M(n)
p b cH
空间及投影分析
平面P和 ABC都是铅垂面，它们 c 的水平投影有积聚性。ab与p的交点
m(n) 即为两平面交线MN的积聚性投 影。MN为铅垂线。
例3：求矩形平面P与ABC
PV d’ m’ b’
k’
a’
c’
n’ e’
d nc
a
ke
m b
平面与平面的相对位置
一、两平面平行
若一个平面内有两条相交直线分
别与另一个平面内两条相交直线平行，
则这两个平面平行。
P
A
C B
Q
E G
F
∵AB∥EF； AC∥EG ∴P∥Q
例5—3试判断两已知 平面ABC和DEF是否平行？
例5-4已知由平行两直线AB和CD给定的平面， 试过定点作一平面平行该面？
空间及投影分析
b
n
平面ABC是一铅垂面，
k
a
土建工程制图第章点直线平面的投影_图文
已知
作图
直线的投影——两直线的相对位置
3.过E点作一直线与已知两交叉直线AB、C直线的相对位置
4.求作正平线MN与交叉三直线AB、CD、EF相交。
已知
作图
直线的投影——两直线的相对位置
5.作直线GH,使其与CD和EF相交且AB平行。
已知
作图
直线的投影——应用题
3.判断直线EF或点K是否在给定的平面上。
已知
作图
平面的投影——各种位置平面的投影
4.求平面内点的另一投影。
已知
作图
平面的投影——各种位置平面的投影
5.求平面ABC内直线EF的H面投影
（a）已知
（b）作图
分析：线段EF在平面ABC上，它一定通过平面上两个点， 作图过程及结果见上图(b)。
平面的投影——各种位置平面的投影
4.已知A、B、C三点的各一投影a、b′、c“，且Bb′=10， Aa=20，C c"=5。完成各点的三面投影，并用直线连接各同
面投影。
已知
点的投影
作图
点的投影
5.作出A、B两点的W面投影，并判断它 们的相对位置
A在B
A在B左前上方
已知
作图
分析：已知点的两投影可以求出点的第三投影，作图过程及 结果见上图（b)
1)过点A作正垂面P,其α为30° 2）过AB作铅垂面△ABC.
3) 过点A作一般面△ABC.
4) 过AB作一般面△ABC.
1)
2)
3)
4)
已知
平面的投影——各种位置平面的投影
3.过已知点、线作平面。
1)过点A作正垂面P,其α为30° 2）过AB作铅垂面△ABC.
3) 过点A作一般面△ABC.
工程制图直线平面
a●
● c
● c
不在同一 直线及
直线上的 线外一
三个点 点
● b ●b
a●
●
d
●c
两平行直 线
c
●
a●
● b ●b
a● ●c
两相交 直线
c
●
a●
● b ●b a●
●c
平面 图形
2、用迹线表示平面
V
Z
PV P
X
W
O
PH
Y
X PX
PZ Z PV
O
PW PYW YW
PH
PYH YH
二、各种位置平面
平面对于三投影面的位置可分为三类：
c●
k
a
b
d
a
d
k c●
b
先作正面投影
⒊ 两直线相错
b′
c′ d′
a′
X
O
a
d
c
b
两直不线相相交交！吗？
交点不符合一个
点的投影规律！
V c′ a′ AC a
c
b′ d′
B D
d bH
§2.4 平面的投影
一、平面的表示法
1、用几何元素表示平面
c
●
c
●
c
●
a●
a●
a●
d
●
● b
● b
●b
●b
a●
解法一： （应用第三投影）
解法二： （应用定比定理）
a
a
k ●
k ●
a
●
k ●
●
b
b
b
b
b
k●
k●
a
工程制图之直线与平面 平面与平面相对位置
返回
A
Ⅰ
A
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直
D
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个 平面作的垂线必属于第一个平面。
例1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂面。
h’ f’
c’
g’
k’
a’
b’
d’
a d
f c b
k g
h
返回
例2 、试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
a’ e’
f
2
a
b k
1
c
e
返回
例2 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
f’
c’
b’ PH f
2’ k’
1’
a’ e’
步骤：
1、 过EF作铅垂面P。 2、求P平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。
3、求交线ⅠⅡ 与EF 的交点K。
a
1
b
k 2
c
e
返回
六、两一般位置平面相交求交线的方法
B M
K A
L F
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ 在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2 不可见。
返回
五、直线与一般位置平面相交
M
A
例题1
C
例题2
B
N
判别可见性
返回
例1 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
QV
c’
f’ 1’
k’ b’
2’
步骤：
1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。 3、求交线ⅠⅡ与EF 的交点K。
返回
例：求两平面的交线MN并判别可见性。
A
Ⅰ
A
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直
D
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个 平面作的垂线必属于第一个平面。
例1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂面。
h’ f’
c’
g’
k’
a’
b’
d’
a d
f c b
k g
h
返回
例2 、试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
a’ e’
f
2
a
b k
1
c
e
返回
例2 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
f’
c’
b’ PH f
2’ k’
1’
a’ e’
步骤：
1、 过EF作铅垂面P。 2、求P平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。
3、求交线ⅠⅡ 与EF 的交点K。
a
1
b
k 2
c
e
返回
六、两一般位置平面相交求交线的方法
B M
K A
L F
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ 在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2 不可见。
返回
五、直线与一般位置平面相交
M
A
例题1
C
例题2
B
N
判别可见性
返回
例1 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
QV
c’
f’ 1’
k’ b’
2’
步骤：
1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。 3、求交线ⅠⅡ与EF 的交点K。
返回
例：求两平面的交线MN并判别可见性。
工程制图---第2章-点、直线、平面的投影市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
a’ax-b’bx
a’
b’ V
a’ ß
X =ab a
倾角 O
X a
bH
一般位置直线旳投影不反应其空间长度 及其对投影面旳倾角,可用直角三角形 AB
法作图求出
Wang chenggang
AB
b’ O
b
a’ax-b’bx
26/86
例2-6：已知直线AB旳正面投影及端A点旳水平投影α，且已
知AB 直线对V面倾角为30°，B点在A点旳后方，求作AB
b yH
•1.a′b′= //OX，a" b" //OY。
•2. ab=AB。
•3.反应、 角旳真实大小。
Wang chenggang
b
yW
21/86
表2.1 投影面平行线
1 1）在所平行投影面上旳投影反应实长，且它与投影轴旳夹角，
分别等于直线与其他两个投影面旳倾角 。
2） 在另外两个投影面上旳投影平行于相应旳投影轴，长度缩
az
a’’
Z
a’
az
a’’
X
ax
O
Yw
X
45º
a Yh
ax
Wang chenggang
O Yh
Yw
9/86
二、点在三投影面体系第一分角中旳投影 3 点旳直角坐标
a’
a’
V
Ya A
Za
Xa
a’’
X
ax
Za O W X
Xa
Z
a’’ Za
O Ya
Yw
Ya a
H
a Yh
将投影轴视为笛卡尔坐标系旳坐标轴,, 则点旳投影与其 直角坐标一一相应.
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9
例：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
解法二： （应用定比定理）
a
a
k ●
k ●
a
●
k ●
●
b
b
b
b
b
k●
k●
a
a
精品文档
10
四、两直线的相对位置
平行、相交、相错（异面）
⒈ 两直线平行
V d
c a
A C
a
b B
D
c
b
d
H
d b
c a
X
O
a
b
c
d
空间两直线平行，则其各同面投影必
● a ● b
2
1.一般位置直线
b B b
a
b A
a
a
b a a
b
b a
投影特性：1. 各投影的长度均小于直线本身的实长
2. 直线的各个投影均不平行各投影轴
精品文档
3
2.投影面平行线
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
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4
水平线
正平线
a b a b 实长 a
a
b α γ
b
侧平线
10
m
n
c
b
bcn ma精品文档27
例：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一：
b
解法二： b
a
k
c a
c
d
d
d
d
a
k
ca
c
b
精品文档
b
28
作业
2—10(1)、11(3)、15、19、 21、22
精品文档
29
精品文档
30
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
影特性。
精品文档
13
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
k c●
b
先作正面投影
精品文档
14
⒊ 两直线相错
b′
c′
a′ X
a
V
d′
c′
O
a′
AC
d
a
c
c
b
两直不线相相交交！吗？
交点不符合一个
点的投影规律！
精品文档
b′ d′
B D
d bH
15
§2.4 平面的投影
点在直线上
点的各个投影在该直线
的同面投影上
V
b
c
B
a
C
A
ac
b H
直线上的点，分割线段之比等于其投影之比。即： AC/CB=ac/cb=ac/cb = ac/cb
精品文档
8
例：判断点C是否在线段AB上。
①
c
a
●
b
② a
c●
在
c
b
a
●
ac ●
③ a
c ● b
a
不在
●
c b
a c●
b
精品文档
不在
b b
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为 辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
①
b
②
b d
k●
c
a
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
精品文档
●
k
c
a
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
26
例：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。
a
c
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
精品文档
22
用迹线表示的特殊位置平面
PV X
PH
PV PV
PV PV
0
PH
PH
PH
PH
精品文档
23
三、平面上的点和直线
1、平面内的点： 点在平面内的某一直线上，则此点必在该
平面上，反之亦然。
a
a 实长
β
b
α b
a β γ
b
实长
a
ba
b
投 影 特 性： ① 在其所平行的投影面上的投影，反映实长，
且其投影与投影轴的夹角，反映直线与另两 个投影面的真实倾角。
② 在另外两个投影面上的投影平行于相应
的投影轴。
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5
3.投影面垂直线
a
a
Z
a
A
b
B a(b)
a
b
b
X
O
YW
b
a(b)
YH
1． a b 积聚 成一点
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16
一、平面的表示法
1、用几何元素表示平面
c
●
c
●
c
●
a●
a●
a●
d
●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
● c
● c
不在同一 直线及
直线上的 线外一
三个点 点
● b ●b
a●
●
d
●c
两平行直 线
c
●
a●
● b ●b
a● ●c
两相交 直线
c
●
a●
● b ●b a●
●c
平面 图形
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17
2、用迹线表示平面
相互平行，反之亦然精品。文档
11
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d
a c
b d
a
c
AB与CD平行。
ac
②
b c
d
a
d b c
b
da
c a
d b
AB与CD不平行。
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12
⒉ 两直线相交
交点是两直
V c
b
k
a
d
C A
K
B D
X
O
a
d
ck
b
H
线的共有点
c k a
b d
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同面投影必
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
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6
铅垂线
a
a
b
b
●
a(b)
正垂线
c(d) d c ●
d c
侧垂线
e f e(f) ●
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
② 在另外两个投影面上的投影，垂直于相
应的投影轴。且反映线段实长。
精品文档
7
三、直线上的点
三个投影都类似。
精品文档
20
2.投影面垂直面
类似性
b
b
类似性
c c
a
a
积聚性
βc
b
γ
a
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直 线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面 与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面精上品文的档 投影为类似形。 21
3.投影面平行面
积聚性
a b
c a c b 积聚性
a
实形性
§2.3 直线的投影
精品文档
1
一、直线的投影
两点确定一条直线，将两 点的同面投影用直线连接，就 得到直线的同名投影。
a● b
●
a●
二、各种位置直线
b●
正平线（//Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（//Ｗ面）
特殊位置直线
水平线（//Ｈ面）
正垂线（Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（Ｗ面）
铅垂线（Ｈ面）
一般位置直线 精品文档
2、平面内的直线： 通过平面上的两个点或通过平面上的一个
点，且平行于平面上的一条直线，反之亦然。
解决三类问题：
判别已知点、线是否属于已知平面；完成已
知平面上的点和直线的投影；完成多边形的
投影。
精品文档
24
已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于 该平面。
e' d'
e
d
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25
首先面上取线
面上取点的方法：
V
Z
PV P
X
W
O
PH
Y
X PX
PZ Z PV
O
PW PYW YW
PH
PYH YH
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18
二、各种位置平面
平面对于三投影面的位置可分为三类：
投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
一般位置平面
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1.一般位置平面
b
b
c
c
a
a
b
a
c
投影特性：
例：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
解法二： （应用定比定理）
a
a
k ●
k ●
a
●
k ●
●
b
b
b
b
b
k●
k●
a
a
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10
四、两直线的相对位置
平行、相交、相错（异面）
⒈ 两直线平行
V d
c a
A C
a
b B
D
c
b
d
H
d b
c a
X
O
a
b
c
d
空间两直线平行，则其各同面投影必
● a ● b
2
1.一般位置直线
b B b
a
b A
a
a
b a a
b
b a
投影特性：1. 各投影的长度均小于直线本身的实长
2. 直线的各个投影均不平行各投影轴
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3
2.投影面平行线
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
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水平线
正平线
a b a b 实长 a
a
b α γ
b
侧平线
10
m
n
c
b
bcn ma精品文档27
例：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一：
b
解法二： b
a
k
c a
c
d
d
d
d
a
k
ca
c
b
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b
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作业
2—10(1)、11(3)、15、19、 21、22
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29
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30
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
影特性。
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13
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
k c●
b
先作正面投影
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14
⒊ 两直线相错
b′
c′
a′ X
a
V
d′
c′
O
a′
AC
d
a
c
c
b
两直不线相相交交！吗？
交点不符合一个
点的投影规律！
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b′ d′
B D
d bH
15
§2.4 平面的投影
点在直线上
点的各个投影在该直线
的同面投影上
V
b
c
B
a
C
A
ac
b H
直线上的点，分割线段之比等于其投影之比。即： AC/CB=ac/cb=ac/cb = ac/cb
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8
例：判断点C是否在线段AB上。
①
c
a
●
b
② a
c●
在
c
b
a
●
ac ●
③ a
c ● b
a
不在
●
c b
a c●
b
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不在
b b
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为 辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
①
b
②
b d
k●
c
a
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
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●
k
c
a
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
26
例：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。
a
c
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
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22
用迹线表示的特殊位置平面
PV X
PH
PV PV
PV PV
0
PH
PH
PH
PH
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23
三、平面上的点和直线
1、平面内的点： 点在平面内的某一直线上，则此点必在该
平面上，反之亦然。
a
a 实长
β
b
α b
a β γ
b
实长
a
ba
b
投 影 特 性： ① 在其所平行的投影面上的投影，反映实长，
且其投影与投影轴的夹角，反映直线与另两 个投影面的真实倾角。
② 在另外两个投影面上的投影平行于相应
的投影轴。
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3.投影面垂直线
a
a
Z
a
A
b
B a(b)
a
b
b
X
O
YW
b
a(b)
YH
1． a b 积聚 成一点
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一、平面的表示法
1、用几何元素表示平面
c
●
c
●
c
●
a●
a●
a●
d
●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
● c
● c
不在同一 直线及
直线上的 线外一
三个点 点
● b ●b
a●
●
d
●c
两平行直 线
c
●
a●
● b ●b
a● ●c
两相交 直线
c
●
a●
● b ●b a●
●c
平面 图形
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2、用迹线表示平面
相互平行，反之亦然精品。文档
11
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d
a c
b d
a
c
AB与CD平行。
ac
②
b c
d
a
d b c
b
da
c a
d b
AB与CD不平行。
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⒉ 两直线相交
交点是两直
V c
b
k
a
d
C A
K
B D
X
O
a
d
ck
b
H
线的共有点
c k a
b d
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同面投影必
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
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铅垂线
a
a
b
b
●
a(b)
正垂线
c(d) d c ●
d c
侧垂线
e f e(f) ●
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
② 在另外两个投影面上的投影，垂直于相
应的投影轴。且反映线段实长。
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三、直线上的点
三个投影都类似。
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2.投影面垂直面
类似性
b
b
类似性
c c
a
a
积聚性
βc
b
γ
a
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直 线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面 与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面精上品文的档 投影为类似形。 21
3.投影面平行面
积聚性
a b
c a c b 积聚性
a
实形性
§2.3 直线的投影
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1
一、直线的投影
两点确定一条直线，将两 点的同面投影用直线连接，就 得到直线的同名投影。
a● b
●
a●
二、各种位置直线
b●
正平线（//Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（//Ｗ面）
特殊位置直线
水平线（//Ｈ面）
正垂线（Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（Ｗ面）
铅垂线（Ｈ面）
一般位置直线 精品文档
2、平面内的直线： 通过平面上的两个点或通过平面上的一个
点，且平行于平面上的一条直线，反之亦然。
解决三类问题：
判别已知点、线是否属于已知平面；完成已
知平面上的点和直线的投影；完成多边形的
投影。
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24
已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于 该平面。
e' d'
e
d
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25
首先面上取线
面上取点的方法：
V
Z
PV P
X
W
O
PH
Y
X PX
PZ Z PV
O
PW PYW YW
PH
PYH YH
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二、各种位置平面
平面对于三投影面的位置可分为三类：
投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
一般位置平面
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1.一般位置平面
b
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c
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b
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投影特性：