高等代数课件：第七课 线性方程组

若方程组有两个解，则一定有无穷多解。
9
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21
x1
a22
x2
a2n xn b2
(1)
as1 x1
as2 x2
asn xn bs
线性方程组的解有哪几种情况？ 无解， 唯一解， 无穷多解
10
例1 解方程组
2x1 x2 4x1 2x2
2
x1
x2
3x3
x3
1
2
(2)
x3 2
再将方程组(2)中第2个方程加上第3个方程，得
13
整理得 解得
2
x1
1 2
d2
,,
1 2
cn
1 2
dn
)
也是方程组的解。
7
a11c1 a12c2 a1ncn b1 a11d1 a12d2 a1ndn b1
a21c1
a22c2
a2ndn
b2
a21d1
a22d 2
a2ndn
b2
as1c1 as2c2 asncn bs as1d1 as2d2 asndn bs
解集合是空集时就称方程组（1）无解．
4
3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们 是同解的．
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
as1
x1
as2
x2
asn xn bs
线性方程组解的个数有哪几种情况？
a22c2
a2ndn
b2
as1c1 as2c2 asncn bs
a11d1 a12d2 a1ndn b1
a21d1
a22d 2
a2ndn
b2
as1d1 as2d2 asndn bs
两组等式两边分别乘以1/2后，相加得
1 a11( 2 c1
1
1
2 d1 ) a12( 2 c2
若 (c1,c2 , ,cn ) (d1,d2,,dn ) 是方程组的两个解，则
(
1 2
c1
1 2
d1,
1 2
c2
1 2
d2
,,
1 2
cn
1 2
dn
)
(
1 3
c1
2 3
d1
,
1 3
c2
2 3
d2
,,
1 3
cn
2 3
dn
)
也是方程组的解。
显然 ( pc1 (1 p)d1, pc2 (1 p)d2,, pcn (1 p)dn ) 0 p 1 也都是方程组的解。
1 2
d
2
)
a1n
(
1 2
cn
1 2 dn)
b1
a21 (
1 2
1
c1
2
d1 )
1
a22
(
2c2
1 2
d2 )
1 a2n( 2
cn
1 2
dn
)
b2
1 as1( 2 c1
1 2
d1
)
as
2
(
1 2
c2
1 2
d
2
)
asn
(
1 2
cn
1 2
d
n
)
2bs
(
1 2
c1
1 2
d1
,
1 2
c2
第三章 线性方程组
1 消元法 2 n维向量空间 3 线性相关性 4 矩阵的秩 5 线性方程组有解判别定理 6 线性方程组解的结构
1
第一节 消元法
2
一、一般线性方程组的基本概念
1．一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21
x1
a22
x2
a2n xn b2
(3)
将方程组(3)中第2，3方程交换，得
2
x1
x2
x2
3
x3
x3
1
5
(4)
3x3 18
得方程组有唯一解
x1 x2
9 1
x3 6
(5)
12
例2 解方程组
2x1 x2 4x1 2x2
3x3 5x3
1 4.
2x1 x2 4x3 1
解 方程组(1)中第2个方程减去第1个方程的2倍， 第3个方程减去第1个方程，得
第一组等式两边乘以1/3，第二组等式两边乘以2/3，相加得
1 a11( 3
c1
2 3
d1
)
1 a12( 3
c2
2 3
d2
)
1 a1n ( 3
cn
2 3
dn
)
b1
a21 (
1 3
c1
2 3
d1 )
1 a22( 3
c2
2 3
d2
)
ห้องสมุดไป่ตู้
1 a2n( 3
cn
2 3
dn
)
b2
1 as1( 3 c1
2
1
3 d1) as2( 3 c2
a21c1
a22c2
a2ndn
b2
as1c1 as2c2 asncn bs
a11d1 a12d2 a1ndn b1
a21d1
a22d 2
a2ndn
b2
as1d1 as2d2 asndn bs
6
a11c1 a12c2 a1ncn b1
a21c1
2 3
d
2
)
a
sn
(
1 3
cn
2 3 dn ) bs
(
1 3
c1
2 3
d1,
1 3
c2
2 3
d2
,,
1 3
cn
2 3
dn
)
也是方程组的解。
8
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
as1
x1
as2
x2
asn xn bs
3x3 5x3
1 4
(1)
2 x1
2x3 6
解 方程组(1)中第2个方程减去第1个方程的2倍，
第3个方程减去第1个方程，得
2
x1
x2 3x3
4x2 x3
1
2
(2)
x2 x3 5
再将方程组(2)中第2个方程减去第3个方程的4倍，得
11
2
x1
x2
3x3
1
3x3 18 x2 x3 5
无解，唯一解， 有两个解？
5
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
as1 x1
as2 x2
asn xn bs
设 (c1,c2 , ,cn ) (d1,d2 ,,dn ) 是方程组的两个解，则
a11c1 a12c2 a1ncn b1
(1)
as1 x1
as2
x2
asn xn bs
的方程组，其中 x1, x2 , , xn代表 n个未知量的系数，
s 是方程的个数 ; aij (i 1,2, , s, j 1,2, ,n)
称为方程组的系数；bi (i 1, 2, , s) 称为常数项 。
3
2．方程组的解
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
as1
x1
as2 x2
asn xn bs
设 k1, k2 , , kn 是 n 个数，如果 x1, x2 , , xn分别用 k1, k2 , , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 , , kn ) 是（1）的一个解. (1)的解的全体所成集合称为它的解集合．