线性代数—实对称矩阵的对角化

7 .
7
26
例9 设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；属于特征
值1,2的特征向量分别为
1 (1,1,1)T ,2 (1,2,1)T ,
(1) 求属于特征值3的特征向量；(2) 求矩阵A.
解 设属于特征值 3 的特征向量为3 , 由于实对称
矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有
1T3 0 ,2T3 0 ,
，求得 P 1
1 6
2 1 3
2 2 0
2 1 ， 3
1 所以 A P
2
P 1 3
1 13
6
2 5
2 10 2
5 2. 13
28
例10 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
(3) Q的行向量是两两正交的单位向量. (4) Q的列向量是两两正交的单位向量.
16
例6 判别下列矩阵是否为正交矩阵．
1 1 1
1 8 4
2 3
9 9 9
(1)
1 2
1
1 2
,
(2)
8 9
1 9
4 9
.
1
3
1 2
1
4 9
4 9
7
9
解 (1) 1 ( 1) ( 1)1 1 1 0 , 2 2 32
向量的内积具有如下基本特性：
(1) ( , ) ( , )
(2) ( , ) (, ) ( , )
(3) (k , ) k( , ) （k 为实数）
(4) (, ) 0 ，(, ) 0 当且仅当 。 证略.
3
定义 记 (,) ，称为向量 的长度。
由定义可知 a12 a22 an2 .
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
29
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
解
2
,
应
3
满足
方程
T 1
x
0,
即
x1 x2 x3 0 , 1
0
它的基础解系为 1 0 , 2 1 . 再正交化，
1
1
2 1 ,
3
2
(2 , 1 ) (1 , 1 )
1
0 1 1
1 2
1 0 1
1 2
1 2 1
.
12
定义 若n阶矩阵Q 满足 QT Q E ,则称 Q为正交矩阵。
特别取 k 1 ，即得 (3,2,1) ，将向量 单位化，
即得所求向量为 1 ( 3 , 2 , 1 ) .
14 14 14
6
定义 若非零向量 1 , 2 , , s 两两正交，
则称之为正交向量组。
定理 正交向量组必线性无关。
证 设 1 , 2 , , s 是正交向量组，
设有数 k1 , k2 , , ks , 使 k11 k22 ks s 0 ,
☎ 显然零向量与任何向量都正交。 ☎ n维基本单位向量组 1 , 2 , , n 是两两正交的。
1 (1, 0, , 0)T , 2 (0, 1, , 0)T , , n (0, 0, , 1)T ,
显然有 ( i , j ) 0 , (i j , i, j 1, n)
正交矩阵的性质：
(1) 若 Q 为正交矩阵，则 Q 1 ； (2) 若 Q 为正交矩阵，则 Q 可逆，且Q1 QT ；
从而有 QQT E ； (3) 若 P 与 Q 都是正交矩阵，则 PQ 也是正交矩阵。
证 (PQ)T (PQ) (QT PT )( PQ) QT (PT P)Q QT EQ QT Q E .
1 设 A2
2 1
3 3 ,
求正交阵P，使 P1 AP 为对角阵.
3
3
6
1 2 3
解 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
3 3 6
1
1 0 ，1 1 ,
1
2 1，2 1 ,
1
对 3 9 ，3 1 ,
1
0
2
再单位化, 1
1
1 1 ,
3 1
2
1
1 1 ,
2 0
3
1
1 1,
6
2
22
1
1
1
1 ,
3 1
2
1
1 1 ,
2
0
3
1
1 1,
6
2
于是所求正交阵为
1 1 1
3
2 6
P
(
1
,
2
,
3
)
1
3 1
3
1 2 0
1
6 2
6
,
0
使
P 1 AP
1
.
9
23
3 2 4
(3 , 1 ) (1, 1 )
1
(3 , 2 ) (2 , 2 )
2
(3,5,1,1)T 8 (1,1,1,1)T 14 (0,2,1,3)T (1,1,2,0)T .
4
14
9
1
1
4
例4 将向量组 1 2 , 2 3 , 3 1
标准正交化.
1
1
0
1 1 ,
0
特征向量 1 (2 , 1 , 2)T ,
24
3 2 4 E A 2 6 2 ( 2)( 7)2 ,
4 2 3
4
对
2
7
，7 E
A
2
2 1
4 2 2 0
1 0
2 0 ,
4
2
4
0
0
0
特征向量 2 (1 , 2 , 0)T , 3 (1 , 0 , 1)T ,
解 2
1 2
1 , ( 2 , 1 )
(1, 1)
1
1 3 1
4 6
1 2 1
5 3
1 1 1
,
2
1 1
1
,
3
3
( 3 , 1 ) (1, 1)
1
( 3 , 2 ) ( 2 , 2 )
2
4 1
2
1 2
5
1 1
0
6
1
3
1
1 3
设 A 是一个实对称矩阵，A , A , ,
( , ) ( , ) ( A , ) ( A )T T AT T A ( , A ) ( , ) ( , ) ,
( ) ( , ) 0 , 而 ， ( , ) 0 .
20
定理 设 A 是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵 P， 使 P 1 AP 为对角阵。 证略.
5
例2 设 (1,0,3) ， (1,2,1) ,求一个 3 维单
位向量 ，使它与向量 , 都正交。
解 设 ( x1 , x2 , x3 ) ，则
( , ( ,
) )
x1 3x3 0 x1 2x2 x3
0
A
1 1
0 2
13
1 0
0 1
23
,
求得通解为 k(3, 2, 1) ，
第三节
1
并非所有方阵都可对角化,但是实对称 矩阵必可对角化.
为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要 研究向量内积和正交的概念和性质。
2
一、向量的内积, 正交和长度
定义 两个n维向量 (a1 , a2 , , an )T , (b1 , b2 , , bn )T
的内积( , ) 定义为：
( , ) a1b1 a2b2 anbn T .
6 0 6
,
3
1
0 ,
1
10
1
1 2 ,
1
1
2 1 ,
1
1
3 0 ,
1
再单位化,
1
1
1 2 ,
6 1
2
1
1 1 ,
3
1
3
1
1 0 .
2 1
1 , 2 , 3 即为所求 .
11
例5 已知1 (1, 1, 1)T ，求一组非零向量2 , 3 ， 使 1, 2, 3 两两正交.
具体计算步骤如下：
(1) 求出实对称矩阵A的全部特征值；
(2) 若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征 向量，并加以单位化；
若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特 征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再 单位化； (3) 将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就
得到了正交矩阵P。
21
例7
2
2
( 2 , (1,
1) 1)
1
,
3
3
( 3 , (1,
1) 1)
1
( 3 , (2,
2) 2)
2
,
s
s
( s (1
, ,
1 1
) )
1
( (
s 2
, ,
2 2
) )
2
( s , s1 ) ( s1 , s1 )
.
可以证明， 1, 2 , , s 是一组两两正交的向量， 且与1,2 , ,s 等价。 证略。
例8
设
A
2
6
2
,
求正交阵P，使
P
1
AP
为对角阵.
4 2 3
c1 c3
3 2 4 7 2 4 解 E A 2 6 2 0 6 2
42
( 2)( 7)2 ,
5
对 1 2， 2E A 2
4
3 7 2
r1 r3
2 4 1 4
8 2 0 2
2
5
0
0
3
0
解百度文库得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2x2 x3 0
2
解之得基础解系
2
1
.
2
30
对 3 2,由A 2E x 0,得
2
x1
4 x1 3x2
2x2 2x3
0
0
解之得基础解系 3
8
例3 用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：
1 (1,1,1,1)T , 2 (1,1,0,4)T , 3 (3,5,1,1)T
解 1 1 (1, 1, 1, 1)T ,
2
2
(2 , 1 ) (1, 1 )
1
(1,1,0,4)T
4 4
(1,1,1,1)T
(0,2,1,3)T ,
3
3
13
定理 Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组
是单位正交向量组．
证明 Q (1, 2 , ,n ) ,
T 1
QTQ
T 2
(1
,
2
,
,n )
E
T n
T 1
1
T 1
2
T 1
n
T 2
1
T 2
2
T 2
n
E
T n
1
T n
2
T n
n
14
T 1
1
T 1
2
T 1
n
T 2
1
T
n1
T 2
2
T n
1 2.
2x2 2x3 0
向量长度的性质:
(1) 0 ， 0 当且仅当 0 ；
(2) k k ,（k 为实数）
如果 1 ，则称 为单位向量。
例1 证明：对任意非零向量 ， 1 为单位向量。
证
1
1
1.
1 称为 的单位化向量。
4
二、正交向量组和正交矩阵 定义 当 ( , ) 0 时，称向量 与 正交。
2
T 2
n
T n
n
E
i
T j
ij
1, 当 i 0, 当i
j j
(i, j 1,2, , n)
即 1, 2 , ,n 是单位正交向量组．
同理, 由 Q QT E可知Q的行向量组是单位正交
向量组.
15
Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
(1) QTQ E ; QQ T E ; (2) Q1 QT ;
以
T 1
左乘上式两端,
得
k11T1 0 ,
由1 0 1T1 1 2 0, 从而有k1 0 .
同理可得k2 ks 0 ,
故 1,2, ,s 线性无关 .
7
施密特正交化方法
施密特正交化方法是将一组线性无关的向量1,2 , , s
转化为与之等价的一组正交向量组的方法，具体程序如下：
1 1 ,
不是正交矩阵．
17
1 9
8 9
4 9
1 9
8 9
4 9
T
(2) 8 1 4 8 1 4
9 4
9
9 4
9
9 7
9
9 4
9
9 4
9
9 7
9
1 0 0
0 1 0 ,
0
0
1
所以它是正交矩阵．
18
练习 验证矩阵
1
2
1
P
2 1
2
0
是正交矩阵.
1 1 1
2 2 2
1 1 22
1 2
1
0
0
2
0
1 1 2 2
P 每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以 P是正交矩阵。
19
三、实对称矩阵的相似对角化
并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化. 定理 实对称矩阵的特征值都是实数. 证略. 定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交. 证 只证两个特征向量的情况.
3
1
0
1
1 5
1
2
0
1 5
4 2 5
,
4
3 2 ,
5
25
2
1
4
1 1 , 2 2 , 3 2 ,
2
0
5
再单位化,拼起来得 2 1
3 5
P
1 3 2 3
2 5 0
4
45
2
45 5
45
.
2
使 P 1 AP
即解齐次线性方程组,其系数矩阵为
1 1
1 2
11
1 0
1 3
10 ,
27
1 1
1 2
111
1 (1,10,1)T
,
1 3
2
1
0
(1,,基2,础1解)T
系,
为
(1,0,1)T
,
属于特征值3的特征向量为 3 k(1,0,1)T ,k 为任意常数;
1 (2) 记 P 1 1
1 2 1
1 0 1