根轨迹的基本概念
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根轨迹分析法
根轨迹分析法就是利用根轨迹对系统进行分析 和设计的一种图解方法。该方法利用特征根在s平 面上的位置，分析系统参数变化对系统特征根的 影响，从而根据系统特征根位置与瞬态响应的关 系，可直观地分析系统参数与系统的稳态响应和 瞬态响应的关系。
第一节 根轨迹的基本概念
.一根轨迹的基本概念 1.定义：系统开环传递函数的某一参数变化 时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹，称 为根轨迹，一般取开环增益k为可变参数。
第一节 根轨迹的基本概念
特别是当系统高于三阶时，求解特征根是相当 困难的，尤其是当参数变化时，要求出特征方程 的根，就更加困难了。因此在实际中常用图解的 方法绘制根轨迹。
为了减少多次求解代数方程的工作量，1948 年埃文斯(W.R.Evans)提出了根轨迹分析法，这种 方法不直接求解特征方程，而是根据反馈控制系 统开、闭环传递函数之间内在联系，提出一种在s 平面上，根据系统开环零、极点的分布，用几何 作图的方法，确定闭环系统特征方程根的图解方 法。
由此可见，当 k由0至变化时，特征根s1,s2均 在s平面的左半平面，因此，系统对所有k值均是 稳定的。但是系统在不同的k值下，其动态特性不 同，为了使系统尽可能稳、准、快地结束，应多 次改变k值，以调节闭环极点在s平面的位置，达 到寻求理想的输出特性曲线的目的。但每改变一 次k值，需重新求解一次闭环特征方程，这使得系 统的分析、计算工作量很大。
第一节 根轨迹的基本概念
二.根轨迹与系统性能
有了根轨迹，就可以通过它对系统的控制性能进 行分析。 K=2
1.稳定性。
从图中可以看出，
k=0 -2 K=1 -1 k=0 0
当k由0∞变化时，
根轨迹均在s平面的左半平面，因此该系统对所有 的k值都是稳定的，这一结论与劳斯判据所得的一
第一节 根轨迹的基本概念
k s1 s2
0 0 -2
0.5
0.75 1 -1 -1
2 -1+j -1-j
5 -1+2j -1-2j
… … …
∞
-1+j∞ -1-j∞-0.293 -0.5 -1.707 -1.5
第一节 根轨迹的基本概念
令增益k 从0变化到∞，用解析法求特征根的全 部数值，将这些数值标注在s平面上，并连成光滑 的粗实线，粗实线即为开环增益k变化时，闭环极 点的轨迹称为该系统的根轨迹，箭头表示随着k值 的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值则代 表与特征根位置相应的增益k的数值。
2.稳态性能
系统是I型系统，阶跃信号作用下的稳态误差 为零，静态速度误差系数kv=k/2。
3.暂态性能
（1）0<k<1时，所有闭环极点均在实轴上，闭环特 征根为两个实根，系统为过阻尼状态，阶跃响应 为非周期过程。 （2）k=1时，两个闭环极点重合，系统为临界阻尼 状态。
（3）k>1时 闭环极点为共轭复数极点，系统为欠 阻尼状态。阶跃响应为衰减振荡过程。
R（s）
k ss 2
Y（s）
-
第一节 根轨迹的基本概念
k 举例：设控制系统如图 G s s s 2 Y s k 闭环传递函数 GB s 2 Rs s 2 s k 闭环特征方程式 s 2 2s k 0的根用解析法求得 s1, 2 1 1 k
根轨迹分析法就是利用根轨迹对系统进行分析 和设计的一种图解方法。该方法利用特征根在s平 面上的位置，分析系统参数变化对系统特征根的 影响，从而根据系统特征根位置与瞬态响应的关 系，可直观地分析系统参数与系统的稳态响应和 瞬态响应的关系。
第一节 根轨迹的基本概念
.一根轨迹的基本概念 1.定义：系统开环传递函数的某一参数变化 时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹，称 为根轨迹，一般取开环增益k为可变参数。
第一节 根轨迹的基本概念
特别是当系统高于三阶时，求解特征根是相当 困难的，尤其是当参数变化时，要求出特征方程 的根，就更加困难了。因此在实际中常用图解的 方法绘制根轨迹。
为了减少多次求解代数方程的工作量，1948 年埃文斯(W.R.Evans)提出了根轨迹分析法，这种 方法不直接求解特征方程，而是根据反馈控制系 统开、闭环传递函数之间内在联系，提出一种在s 平面上，根据系统开环零、极点的分布，用几何 作图的方法，确定闭环系统特征方程根的图解方 法。
由此可见，当 k由0至变化时，特征根s1,s2均 在s平面的左半平面，因此，系统对所有k值均是 稳定的。但是系统在不同的k值下，其动态特性不 同，为了使系统尽可能稳、准、快地结束，应多 次改变k值，以调节闭环极点在s平面的位置，达 到寻求理想的输出特性曲线的目的。但每改变一 次k值，需重新求解一次闭环特征方程，这使得系 统的分析、计算工作量很大。
第一节 根轨迹的基本概念
二.根轨迹与系统性能
有了根轨迹，就可以通过它对系统的控制性能进 行分析。 K=2
1.稳定性。
从图中可以看出，
k=0 -2 K=1 -1 k=0 0
当k由0∞变化时，
根轨迹均在s平面的左半平面，因此该系统对所有 的k值都是稳定的，这一结论与劳斯判据所得的一
第一节 根轨迹的基本概念
k s1 s2
0 0 -2
0.5
0.75 1 -1 -1
2 -1+j -1-j
5 -1+2j -1-2j
… … …
∞
-1+j∞ -1-j∞-0.293 -0.5 -1.707 -1.5
第一节 根轨迹的基本概念
令增益k 从0变化到∞，用解析法求特征根的全 部数值，将这些数值标注在s平面上，并连成光滑 的粗实线，粗实线即为开环增益k变化时，闭环极 点的轨迹称为该系统的根轨迹，箭头表示随着k值 的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值则代 表与特征根位置相应的增益k的数值。
2.稳态性能
系统是I型系统，阶跃信号作用下的稳态误差 为零，静态速度误差系数kv=k/2。
3.暂态性能
（1）0<k<1时，所有闭环极点均在实轴上，闭环特 征根为两个实根，系统为过阻尼状态，阶跃响应 为非周期过程。 （2）k=1时，两个闭环极点重合，系统为临界阻尼 状态。
（3）k>1时 闭环极点为共轭复数极点，系统为欠 阻尼状态。阶跃响应为衰减振荡过程。
R（s）
k ss 2
Y（s）
-
第一节 根轨迹的基本概念
k 举例：设控制系统如图 G s s s 2 Y s k 闭环传递函数 GB s 2 Rs s 2 s k 闭环特征方程式 s 2 2s k 0的根用解析法求得 s1, 2 1 1 k