数值计算方法matlab 第一章 误差分析
使用MATLAB进行参数估计与误差分析的基本原理
使用MATLAB进行参数估计与误差分析的基本原理在科学研究和工程实践中，我们经常需要利用观测数据来估计某些未知参数，例如物理模型中的参数，金融模型中的市场波动率等。
参数估计是一项复杂而重要的任务，而误差分析则是对参数估计结果的可靠性进行评估。
在本文中，我们将探讨使用MATLAB进行参数估计与误差分析的基本原理。
首先，让我们介绍一下参数估计的概念。
参数估计是基于观测数据，通过某种数学方法对未知参数进行估计，从而使模型更好地拟合数据。
在MATLAB中，我们可以使用最小二乘法进行参数估计。
最小二乘法是一种最常用的参数估计方法，它通过最小化观测数据与模型预测值之间的差异来确定参数值。
MATLAB提供了丰富的函数和工具箱，可以帮助我们进行最小二乘法估计。
参数估计的过程通常需要首先定义一个数学模型，并通过观测数据来确定模型中的未知参数。
在MATLAB中，我们可以使用符号和函数来定义数学模型。
通过符号计算工具箱，我们可以将数学模型转化为符号表达式，并使用观测数据来估计未知参数。
使用符号计算工具箱可以使参数估计更加精确和方便。
一旦我们获得了参数估计结果，我们就需要进行误差分析来评估估计结果的可靠性。
在MATLAB中，误差分析通常包括计算参数估计的标准误差、置信区间和假设检验等。
标准误差是估计结果的一种度量，它反映了估计值的可靠性。
在MATLAB中，我们可以使用统计工具箱中的函数来计算标准误差。
置信区间是对估计结果的可靠区间的一个估计。
在MATLAB中，我们可以使用置信区间函数来计算参数估计的置信区间。
假设检验是用来检验参数估计结果的统计显著性的方法。
在MATLAB中，我们可以使用统计工具箱中的假设检验函数来进行假设检验。
除了标准误差、置信区间和假设检验之外，误差分析还可以包括其他方面的评估，例如残差分析和敏感性分析。
残差分析是一种用来评估模型拟合程度的方法。
在MATLAB中，我们可以使用残差分析函数来计算模型的残差，并绘制残差图。
matlab求标准误差
matlab求标准误差在MATLAB中，求解标准误差是一个常见的问题。
标准误差是指样本均值与总体均值之间的差异的度量，它是对样本均值的不确定性的度量。
在实际的数据分析中，我们经常需要计算标准误差来评估样本均值的可靠性。
下面我将介绍在MATLAB中如何求解标准误差。
首先，我们需要明确标准误差的计算公式。
标准误差的计算公式为：SE = s / sqrt(n)。
其中，SE表示标准误差，s表示样本标准差，n表示样本容量。
在MATLAB 中，我们可以利用现有的函数来求解标准误差。
接下来，我将介绍两种常用的方法。
方法一，使用MATLAB内置函数。
MATLAB提供了计算标准误差的内置函数std和sqrt。
我们可以先利用std函数计算样本标准差，然后再利用sqrt函数计算样本容量的平方根，最后将两者相除即可得到标准误差。
下面是具体的代码示例：```matlab。
data = [10, 12, 15, 18, 20]; % 示例数据。
s = std(data); % 计算样本标准差。
n = length(data); % 计算样本容量。
SE = s / sqrt(n); % 计算标准误差。
disp(SE); % 显示结果。
```。
通过上述代码，我们可以得到示例数据的标准误差。
这种方法简单直接，适用于简单的数据分析场景。
方法二，使用MATLAB统计工具箱。
除了内置函数外，MATLAB还提供了统计工具箱，其中包含了丰富的统计分析函数。
我们可以利用统计工具箱中的函数来更方便地求解标准误差。
下面是具体的代码示例：```matlab。
data = [10, 12, 15, 18, 20]; % 示例数据。
SE = stderror(data); % 调用统计工具箱中的标准误差函数。
disp(SE); % 显示结果。
```。
通过上述代码，我们同样可以得到示例数据的标准误差。
使用统计工具箱中的函数能够更加高效地进行数据分析，适用于复杂的统计计算场景。
matlab 误差计算
matlab 误差计算误差计算是数值计算中非常重要的一部分，它用于衡量数值计算结果与真实值之间的差异。
在MATLAB中，有多种方法可以进行误差计算，包括绝对误差、相对误差、均方根误差等。
绝对误差是最直观的一种误差计算方法，它表示数值计算结果与真实值之间的差距。
绝对误差可以通过用数值计算结果减去真实值来得到，然后取绝对值。
绝对误差越小，表示数值计算结果越接近真实值。
相对误差是相对于真实值的误差，它可以用来衡量数值计算结果相对于真实值的偏离程度。
相对误差可以通过将绝对误差除以真实值的绝对值来得到。
相对误差越小，表示数值计算结果越接近真实值。
均方根误差是对误差的整体衡量，它是将每个误差的平方求和后再取平均值的平方根。
均方根误差可以用来评估数值计算结果的整体准确度，它越小表示数值计算结果越准确。
除了以上三种常见的误差计算方法，MATLAB还提供了其他一些用于特定情况下的误差计算函数。
例如，在处理时间序列数据时，可以使用相关系数函数来计算预测值与观测值之间的差异程度。
误差计算在科学计算、工程设计、数据分析等领域中都扮演着重要的角色。
通过对误差进行计算和分析，可以评估数值计算方法的准确性和稳定性，帮助我们选择合适的计算方法和优化算法。
在MATLAB中，误差计算的过程通常是通过编写相应的函数或脚本来实现的。
这些函数或脚本可以根据具体的问题和需求，选择合适的误差计算方法，并进行相应的计算和分析。
误差计算是数值计算中非常重要的一部分，它可以帮助我们评估数值计算结果的准确性和稳定性。
MATLAB提供了多种方法和函数来进行误差计算，可以根据具体的问题和需求选择合适的方法进行计算和分析。
通过对误差的计算和分析，我们可以更好地理解和评估数值计算结果，并根据需要进行优化和改进。
使用MATLAB进行参数估计与误差分析的基本原理
使用MATLAB进行参数估计与误差分析的基本原理参数估计与误差分析是MATLAB中常用的数据分析技术，用于从数据中识别和估计出模型的参数，并评估估计结果的准确性。
在这个过程中，基本的原理包括数据拟合、参数估计和误差分析。
首先，数据拟合是将实际观测数据与数学模型进行匹配的过程。
在MATLAB中，可以使用曲线拟合工具箱中的函数来拟合数据。
这些函数可以根据实际数据集选择合适的数学模型，并根据模型的参数来拟合数据。
常用的拟合方法包括最小二乘法和最大似然估计等。
接下来，参数估计是用于确定模型中未知参数的过程。
在MATLAB中，可以使用参数估计工具箱中的函数来进行参数估计。
这些函数可以通过最大化似然函数或最小化方差等指标，来寻找最优的参数估计值。
常用的参数估计方法包括极大似然估计、最小二乘估计和贝叶斯估计等。
最后，误差分析是用于评估参数估计结果的准确性和可靠性的过程。
在MATLAB中，可以使用统计工具箱中的函数来进行误差分析。
这些函数可以计算参数估计的标准误差、置信区间和假设检验等指标，来评估参数估计结果的精度和置信度。
常用的误差分析方法包括标准误差法、置信区间法和假设检验等。
在实际应用中，可以使用MATLAB的函数和工具箱来进行参数估计与误差分析。
以下是一个具体的步骤：1.导入数据：使用MATLAB的函数将实际观测数据导入到工作空间中。
2.选择合适的拟合模型：根据数据的特点和假设，选择合适的拟合模型。
可以使用曲线拟合工具箱中的函数来进行模型选择和拟合。
3.拟合数据：使用曲线拟合工具箱中的函数，根据选择的模型来拟合数据。
可以得到拟合模型的参数估计值。
4.参数估计：使用参数估计工具箱中的函数，根据拟合数据和模型，进行参数估计。
可以得到最优的参数估计值。
5.误差分析：使用统计工具箱中的函数，根据参数估计结果，进行误差分析。
可以得到参数估计的标准误差、置信区间和假设检验等指标。
6.结果分析：根据误差分析的结果，评估参数估计的精度和置信度。
matlab标准误差
matlab标准误差标准误差（Standard Error）是统计学中常用的一个概念，它是用来衡量样本均值与总体均值之间的差异程度的一种统计量。
在Matlab中，我们可以通过一些内置的函数来计算标准误差，以便更好地理解数据的分布和可靠性。
本文将介绍Matlab中标准误差的计算方法和应用场景。
首先，让我们来了解一下标准误差的概念。
标准误差是用来衡量样本均值与总体均值之间的差异程度的一种统计量。
它的计算公式为标准误差=标准差/√样本量。
标准误差的大小可以反映出样本均值的稳定性，当标准误差较小时，说明样本均值较为稳定，反之则不稳定。
在Matlab中，我们可以使用`std`函数来计算数据的标准差，使用`sqrt`函数来计算样本量的平方根，然后将二者相除即可得到标准误差。
下面是一个简单的示例：```matlab。
data = [1, 2, 3, 4, 5];std_dev = std(data);sample_size = length(data);standard_error = std_dev / sqrt(sample_size);disp(standard_error);```。
在这个示例中，我们首先定义了一个包含5个数据的数组`data`，然后使用`std`函数计算了数据的标准差，使用`length`函数计算了样本量，最后通过计算得到了标准误差。
运行这段代码，我们可以得到数据的标准误差值。
除了使用上述的方法计算标准误差之外，Matlab还提供了`stderror`函数来直接计算标准误差。
这个函数可以更加简便地得到数据的标准误差，例如：```matlab。
data = [1, 2, 3, 4, 5];standard_error = stderror(data);disp(standard_error);```。
通过这个示例，我们可以看到使用`stderror`函数可以直接得到数据的标准误差值，而不需要手动计算标准差和样本量的平方根。
matlab误差 -回复
matlab误差-回复Matlab误差的概述及处理方法Matlab是一种广泛应用于科学与工程计算的高级编程语言和环境。
由于其强大的计算能力和丰富的数学函数库，Matlab被广泛用于数值分析、仿真和数据处理等领域。
然而，由于计算机硬件和浮点数运算的限制，Matlab代码在进行复杂计算时往往会出现误差。
本文将介绍Matlab中常见的误差类型和对应的处理方法。
一、Matlab中的误差类型1. 舍入误差舍入误差是由于计算机在表示实数时所遇到的约束而产生的。
计算机存储实数时使用二进制表示，但大多数实数无法精确地用有限的二进制位表示，因此会产生舍入误差。
例如，将1/3用十进制表示，结果是0.33333333...无限循环，但在计算机中，只能用0.3333来近似表示，从而引入了舍入误差。
2.截断误差截断误差是指在数值计算中对无限级数或无穷小项进行有限项截取而引入的误差。
在Matlab中，当我们使用数值方法来求解微分方程或积分时，通常会将无限级数或无穷小项进行截取，导致结果与精确解之间存在误差。
3.近似误差近似误差是指定性的近似计算会引入的误差。
这种误差源于使用近似方法或替代模型来解决问题。
例如，在数值求解微分方程时，通常会使用数值积分方法来近似求解，因此会引入近似误差。
二、Matlab中的误差处理方法1.增加数值精度提高数值精度可以减小舍入误差的影响。
在Matlab中，可以通过使用高精度库、增加计算机的浮点数位数或使用符号计算工具箱来提高数值精度。
例如，使用vpa函数可以将变量表示为Variable Precision Arithmetic格式，从而增加计算精度。
2.使用数值积分技术对于积分计算中的误差问题，可以通过使用更精确的数值积分技术来减小误差。
在Matlab中，可以使用quad函数进行数值积分，同时也可以使用symbolic math toolbox来进行符号积分，从而得到更精确的结果。
3.使用数值优化方法当需要求解非线性方程或进行最优化计算时，Matlab提供了一些优化工具箱，比如optimization toolbox，可以通过使用这些工具箱内置的数值优化方法来减小近似误差。
数值计算方法第一章
第一章 绪 论本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．§ 引 言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1)非线性方程的近似求解方法； (2)线性代数方程组的求解方法； (3)函数的插值近似和数据的拟合近似； (4)积分和微分的近似计算方法； (5)常微分方程初值问题的数值解法； (6)优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差． 如 +++=!21!111e 的计算是无穷过程，当用!1!21!111n e n ++++= 作为e 的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差e e n -．当用计算机计算n e 时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到n e 的近似值*e ，也就是说最终用*e 近似e ，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差．由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点． 可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题． 对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算． 在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性． 收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大．对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法． 如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求n 次多项式0111a x a x a x a n n n n ++++-- 值的如下快速算法n a s =；k n a t -=；t sx s += ),,2,1(n k =它通过n 次乘法和n 次加法就计算出了任意n 次多项式的值． 再如幂函数64x 可以通过如下快速算法计算出其值x s =；s s s ⋅=；循环6次如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)． 事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法． 也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．§ 误差的度量与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．定义 用*x 作为量x 的近似，则称)(:**x e x x =-为近似值*x 的绝对误差．由于量x 的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界ε，即有ε≤-=x x x e **)( 称正数ε为近似值*x 的绝对误差限，简称误差． 这样得到不等式εε+≤≤-**x x x工程中常用ε±=*x x表示近似值*x 的精度或真值x 所在的范围．误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度． 如量m m cm s μ50001230000005.023.15.0123±=±=±=为此，我们需要引入相对误差定义 用0*≠x 作为量x 的近似，称)(:**x e xxx r =-为近似值*x 的相对误差． 当*x 是x 的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差***)(x xx x e r -=显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化． 如式中的量s 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．同样地，因为量x 的真值未知，我们需要引入近似值*x 的相对误差限)(*x r ε，它是相对误差绝对值的较小上界． 结合式和，*x 相对误差限可通过绝对误差限除以近似值的绝对值得到，即***)()(xx x r εε=为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．定义 设量x 的近似值*x 有如下标准形式 p n m a a a a x 21*.010⨯±=()p m p n m n m m a a a a ----⨯++⨯++⨯+⨯±101010102211 ＝其中}9,,1,0{}{1 ⊂=p i i a 且01≠a ，m 为近似值的量级． 如果使不等式n m x x -⨯≤-1021* 成立的最大整数为n ，则称近似值*x 具有n 位有效数字，它们分别是1a 、2a 、… 和 n a ． 特别地，如果有p n =，即最后一位数字也是有效数字，则称*x 是有效数．从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限． 利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数． 对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数． 注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度．例 设量π=x ，其近似值141.3*1=x ，142.3*2=x ，722*3=x ． 试回答这三个近似值分别有几位有效数字，它们是有效数吗 解 这三个近似值的量级1=m ，因为有312*110211021005.000059.0--⨯=⨯=≤=- x x 413*2102110210005.00004.0--⨯=⨯=≤=- x x571428571428.3*3=x 312*310211021005.0001.0--⨯=⨯=≤=- x x所以*1x 和*3x 都有3位有效数字，但不是有效数． *2x 具有4位有效数字，是有效数．二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差． 对于函数),,,(21n x x x f y =有近似值),,,(**2*1*n x x x f y =，利用在点),,,(**2*1n x x x 处的泰勒公式(Taylor Formula)，可以得到)(),,,()(*1**2*1**i i ni n i x x x x x f y y y e -≈-=∑= )(),,,(*1**2*1i ni n i x e x x x f ∑== 其中ii x ff ∂∂=:，*i x 是i x 的近似值，)(*i x e 是*i x 的绝对误差),,2,1(n i =． 式表明函数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值．从式也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式)(),,,()(***1**2*1*i r ini n i r x e y x x x x f y e ∑=≈对于一元函数)(x f y =，从式和可得到如下初值误差传播近似计算公式)()()(***x e x f y e '≈)()()(*****x e yx x f y e r r '≈式表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值的绝对误差也可能很大．例 试建立函数n n x x x x x x f y +++== 2121),,,(的绝对误差(限)、相对误差的近似传播公式，以及{}ni i x 1*0=>时的相对误差限传播公式． 解 由公式和可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下∑∑==≈ni i ini ni x e x e x x x f y e 1**1**2*1*)()(),,,()(＝∑∑==≈ni i r i i r i ni ni r x e yx x e y x x x x f y e 1******1**2*1*)()(),,,()(＝进而有∑∑∑===≤≤≈ni in i in i ix x e x e y e 1*1*1**)()()()(ε于是有和的绝对误差限近似传播公式 ∑=≈ni i x y 1**)()(εε当{}ni i x 1*0=>时，由式推得相对误差限的近似传播公式)(max )(max )(max )()()(*11***11***11****1**i r ni ni i ir n i ni i i r n i ni i r i ni ir x yx x y x x x y x yxy εεεεεε≤≤=≤≤=≤≤====≤=≈∑∑∑∑例 使用足够长且最小刻度为1mm 的尺子，量得某桌面长的近似值3.1304*=a mm ，宽的近似值8.704*=b mm (数据的最后一位均为估计值)． 试求桌子面积近似值的绝对误差限和相对误差限．解 长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误差限5.0)(*=a εmm ，5.0)(*=b εmm面积ab S =，由式得到近似值***b a S =的绝对误差近似为)()()(*****b e a a e b S e +≈进而有绝对误差限55.10045.03.13045.08.704)()()(*****=⨯+⨯=+≈b a a b S εεε mm 2相对误差限 %11.00011.08.7043.130455.1004)()(***=≈⨯=≈S S S r εε§ 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项．算例 表达式)1(1111+=+-x x x x ，在计算过程中保留7位有效数字，研究对不同的x ，两种计算公式的计算精度的差异．说明1：Matlab 软件采用IEEE 规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位． 机器数的相对误差限(机器精度)eps=2－52≈×10－16，能够表示的数的绝对值在区间×10－308，×10308)内，该区间内的数能够近似表达，但有舍入误差，能够保留至少15位有效数字． 其原理可参阅参考文献[2, 4]．分析算法1： 111)(1+-=x x x y 和算法2： )1(1)(2+=x x x y 的误差时，精确解用双精度的计算结果代替． 我们选取点集301}{=i i π中的点作为x ，比较两种方法误差的差异．从图可以看出，当x 不是很大时，两种算法的精度相当，但当x 很大时算法2的精度明显高于算法1． 这是因为，当x 很大时，x 1和11+x 是相近数，用算法1进行计算时出现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大． 这一事实也可以从误差传播公式分析出． 鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减．在图中我们给出了当x 接近1-时，两种算法的精度比较，其中变量x 依次取为{}3011=--i i π． 从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为710-，因而二者的精度相当．图 算例中两种算法的相对误差图（+∞→x ）图 算例中两种算法的精度比较)1(-→x算例 试用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组⎩⎨⎧=+=+2321200001.02121x x x x 说明2：浮点数系统中的加减法在运算时，首先按较大的阶对齐，其次对尾数实施相应的加减法运算，最后规范化存入计算机．算法 1 首先用第一个方程乘以适当的系数加至第二个方程，使得第二个方程的1x 的系数为零，这时可解出2x ；其次将2x 带入第一个方程，进而求得1x (在第三章中称该方法为高斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法1a 和算法1b ．算法 2 首先交换两个方程的位置，其次按算法1计算未知数 (第三章中称其为选主元的高斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法2a 和算法2b ．方程组的精确解为...25000187.01=x ，...49999874.02=x ，用不同的算法计算出的结果见表．表 对算例用不同算法的计算结果比较对于算例，表中的数据表明，当用4位尾数计算时，算法1给出错误的结果，算法2则给出解很好的近似． 这是因为在实现算法1时，需要给第一个方程乘以00001.0/2－加至第二个方程，从而削去第二个方程中1x 的系数，但在计算2x 的系数时需做如下运算661610000003.0104.0103.0104.03200001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－对上式用4位尾数进行计算，其结果为6104.0⨯－． 因为舍入误差，给相对较大的数加以相对较小的数时，出现大数“吃掉”小数的现象． 计算右端项时，需做如下运算661610000002.0102.0102.0102.02100001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－同样出现了大数吃小数现象，其结果为6102.0⨯－． 这样，得到的变形方程组⎩⎨⎧⨯-=⨯-⨯=⨯+⨯62612114102.0104.0101.0102.0101.0x x x 中没有原方程组中第二个方程的信息，因而其解远偏离于原方程组的解． 该算法中之所以出现较大数的原因是因为运算00001.0/2－，因而算法设计中尽可能避免用绝对值较大的数除以绝对值较小的数． 其实当分子的量级远远大于分母的量级时，除法运算还会导致溢出，计算机终止运行．虽从单纯的一步计算来看，大数吃掉小数，只是精度有所损失，但多次的大数吃小数，累计起来可能带来巨大的误差，甚至导致错误． 例如在算法1a 中出现了两次大数吃小数现象，带来严重的后果． 因而尽可能避免大数吃小数的出现在算法设计中也是非常必要的．当用较多的尾数位数进行计算，舍入误差减小，算法1和2的结果都有所改善，算法1的改进幅度更大些． 算例 计算积分⎰+=1055dx x x I n 有递推公式),2,1(511 =-=-n I n I n n ，已知56ln0=I ． 采用IEEE 双精度浮点数，分别用如下两种算法计算30I 的近似值． 算法 1 取0I 的近似值为6793950.18232155*=I ，按递推公式*1*51--=n n I nI 计算*30I 算法2 因为)139(5156)139(611039103939+⨯=<<=+⨯⎰⎰dx x I dx x ，取39I 的近似值为3333330.004583332001240121*39≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=I ，按递推公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-**1151n n I n I 计算*30I算法1和算法2 的计算结果见表． 误差绝对值的对数图见图． 表 算例的计算结果139238337436535634 (33)25+001+0013226+001+0013127+002+002 3028+003+00329+003+00330+004+004图算例用不同算法计算结果的误差绝对值的对数图从表中的计算结果可以看出，算法1随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地以5的倍数增长，即有0*02*221*1*555I I I I I I I I n n n n n n n -≈≈-≈-≈-----成立． 对于逐步向前推进的算法，若随着过程的进行，相对误差在不断增长，导致产生不可靠的结果，这种算法称之为数值不稳定的算法． 对于算法1绝对误差按5的幂次增长，但真值的绝对值却在不断变小且小于1，相对误差增长的速度快于5的幂次，导致产生错误的结果，因而算法1数值不稳定，不能使用． 而算法2随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地缩小为上一步的1/5，即有mmn m n n n n n n n I I I I I I I I 5/5/5/*22*21*1*++++++-≈≈-≈-≈- 成立． 绝对误差不断变小，真值的绝对值随着过程向前推进却在变大，这样相对误差也越来越小，这样的方法称之为数值稳定的算法． 算法1和算法2的误差对数示意图见图． 这个算例告诉我们应该选用数值稳定的算法．知识结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧算法设计要点数值方法的稳定性数值方法的收敛性算法多元函数一元函数传播有效数字相对误差（限）绝对误差（限）度量截断误差舍入误差误差的产生误差误差与算法 习题一1 已知有效数105.3*1-=x ，4*210125.0⨯=x ，010.0*3=x ． 试给出各个近似值的绝对误差限和相对误差限，并指出它们各有几位有效数字．2 证明当近似值*x 是x 的较好近似时，计算相对误差的计算公式xxx -*和**x xx -相差一个和2*⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 同阶的无穷小量． 3 设x 的近似值*x 具有如式的表示形式，试证明 1) 若*x 具有n 位有效数字，则相对误差n r a x e -⨯≤11*1021)(； 2) 若相对误差n r a x e -⨯+≤11*10)1(21)(，则*x 至少具有n 位有效数字．4 试建立二元算术运算的绝对误差限传播近似计算公式．5 试建立如下表达式的相对误差限近似传播公式，并针对第1题中数据，求下列各近似值的相对误差限．1) *3*2*1*1x x x y +=； 2) 3*2*2x y =； 3) *3*2*3/x x y = 6 若例题中使用的尺子长度是80mm ，最小刻度为1mm ，量得某桌面长的近似值3.1304*=a mm ，宽的近似值8.704*=b mm ． 试估计桌子长度、宽度的绝对误差限，并求用该近似数据计算出的桌子面积的绝对误差限和相对误差限． 7 改变如下计算公式，使其计算结果更为精确． 1)0,cos 1≠-x xx且1<<x 2) 1,1ln )1ln()1(ln 1>>--++=⎰+N N N N N xdx N N3) 1,133>>-+x x x8 (数值试验)试通过分析和数值试验两种手段，比较如下三种计算1-e 近似值算法的可靠性．算法1 ∑=--≈mn nn e1!)1(；算法2 101!1-=-⎪⎭⎫⎝⎛≈∑m n n e； 算法3 101)!(1-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈∑m n n m e ；9 (数值试验)设某应用问题归结为如下递推计算公式72.280=y ，251-=-n n y y ， ,2,1=n在计算时2取为具有5位有效数字的有效数*c ． 试分析近似计算公式**1*5c y y n n -=-的绝对误差传播以及相对误差传播情况，并通过数值实验验证(准确值可以用IEEE 双精度浮点运算结果代替)，该算法可靠可用吗。
数值计算方法matlab 第一章 误差分析
1 第一章作业1.对一个数求和100000次。
对数1以单精度方式求和，对数0.00001分别以单精度和双精度方式求和。
问题分析：单精度方式使用函数single()，双精度求和为matlab自动调整，不需要特别说明。
程序编写如下：运行结果：实验结果分析：不难看出，对于1进行单精度求和得到的结果和期望值一致，但是对0.00001进行单精度求和的结果却存在误差，对0.00001进行双进度求和，误差得到减小。
这是由于量化误差造成的，0.00001在计算机中并不能准确表示，只能对其进行量化处理，得到一个和真值有一点区别的量化值，小量计算中可以忽略，但在计算了100000后误差积累，导致了最后的结果误差较大。
双精度的情况下，该误差小得多。
当x=0.1时，从1x -开始，然后每次加入一项来分别计算。
在每加入一个新项后，计算近似百分比相对误差，直到近似误差估计值的绝对值小于与五位有效数字一致的误差准则时停止计算。
问题分析：本例中，要保证5位有效数字，因此容限误差为：256s (0.510)%510--ε=⨯=⨯近似百分比误差为： -100%a ε=⨯当前近似值前一近似值当前近似值真误差为：-100%ε=⨯真值近似值真值跳出循环的标准为：a |s |ε<ε程序编写如下：运行结果如下：3实验结果分析：实验结果表明，当计算到第6次时，近似误差就已经小于了容限值，循环结束。
随着添加多的项数，实际误差和近似误差都减小了，说明了计算精度在逐步提高。
我们可以通过改的值来调节所需要的计算精度。
变s。
数值计算方法第一章 误差
6
误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器 字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。 本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
7
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1
绝对误差与相对误差
17
x* 0.a1a2 an 10m
如果
1 x x 10 m n 2
*
(1-5)
(1-6)
* x 则称近似值 有n位有效数字。
1 5 x 0 . 003400 10 例如 表示近似值0.003400准确 2
到小数点后第5位,有3位有效数字。
上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划 误差限。 形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字 数位n越大，则误差限越小。
但可以根据测量 能算出绝对误差 e( x*) 的准确值， 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e( x ) x x
* *
*
(1-2)
通常称 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 显然误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值，就可以得到准确值 的范围 * * 即准确值 x
* 显然，误差限与近似值绝对值之比 * 为 x 的 一 x
个相对误差限。
例 取3.14作为 相对误差限.
的四舍五入的近似值,试求其
13
绝对误差、相对误差和有效数字
1 2 3 . 14 0 . 0016 10 解: 2 相对误差限 1 2 10 2 0.159 % * x 3.14 又如 由实验测得光速近似值为 c * 2.997925 105 km/s， 其误差限为 0.1 km/s， 于是
matlab 误差
在MATLAB中，误差通常是指实际值与模型或算法预测值之间的差异。
误差分析是评估模型或算法准确性和可靠性的重要方法。
在MATLAB中进行误差分析时，通常会计算以下误差指标：1. 均方误差（Mean Squared Error，MSE）：MSE是预测值与实际值之间差异的平方的平均值。
它衡量了预测值的总体准确性。
```matlabMSE = mean((actual_values - predicted_values).^2);```2. 均方根误差（Root Mean Squared Error，RMSE）：RMSE 是MSE的平方根，它提供了与标准偏差相关的误差度量。
```matlabRMSE = sqrt(MSE);```3. 平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）：MAE是预测值与实际值之间绝对差异的平均值。
它关注预测值与实际值之间的绝对差异。
```matlabMAE = mean(abs(actual_values - predicted_values));```4. 平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error，MAPE）：MAPE是预测值与实际值之间差异的绝对百分比值的平均值。
它通常用于比较不同模型或算法之间的性能。
```matlabMAPE = mean(abs((actual_values - predicted_values) ./ actual_values));```这些误差指标可以根据实际需求进行计算和评估。
在MATLAB中，还可以使用其他函数和工具箱来进行更高级的误差分析和可视化。
误差分析计算公式及其matlab代码实现（mse、mape、rmse等）
误差分析计算公式及其matlab代码实现（mse、mape、rmse
等）
⽬录
YReal 是真实的数据，YPred 是预测的数据。
残差平⽅和（SSE）
计算公式
代码实现
sse = sum((YReal - YPred).^2);
均⽅误差（MSE）
计算公式
代码实现
mse = sum((YReal - YPred).^2)./n;
平均绝对误差（MAE）
计算公式
代码实现
mae = mean(abs(YReal - YPred));
平均绝对百分⽐误差（MAPE）
计算公式
代码实现
mape = mean(abs((YReal - YPred)./YReal));
均⽅根误差（RMSE）
计算公式
代码实现
rmse = sqrt(mean((YPred-YReal).^2));
决定系数（R2-R-Square）
⼀个模型的 R2 值为 0 还不如直接⽤平均值来预测效果好；⽽⼀个 R2 值为 1 的模型则可以对⽬标变量进⾏完美的预测。
从 0 ⾄ 1 之间的数值，则表⽰该模型中⽬标变量中有百分之多少能够⽤特征来解释。
模型也可能出现负值的 R2，这种情况下模型所做预测有时会⽐直接计算⽬标变量的平均值差很多。
计算公式
代码实现
r2 = 1 - (sum((YPred - YReal).^2) / sum((YReal - mean(YReal)).^2));
如有错误，请在评论区指出，谢谢。
李培冠博客
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李培冠博客：。
MATLAB的数据误差处理方法
MATLAB 的数据误差处理方法一、几个基本概念1、误差在测量中，误差表示测得值与真值之差，若令测量误差为δ，测得值为x,真值为x 0，则有δ=x-x 0或x 0=x-δ (1) 由于实际应用中真值一般是无从知道或无法确定的，所以，在统计学中，常以测量次数足够大时的测得值的算术平均值近似代替真值。
2、算术平均值x 对一真值为x 0的物理量进行等精度的n 次测量，得n 个测得值x 1,x 2,…,x n ，它们都含有随机误差δ1,δ2,…δn ，统称真差。
常以算术平均值作为n 次测量的结果，即x =（x 1+ x 2+…+ x n )=n x i∑ （2）3、残差v各测得值x i 对其算术平均值的误差量叫做残余误差，简称残差，即 v= x i -x (3) 4、标准差（标准偏差）σ在计量学中，常用标准差来评定测得值的精度，即 σ=n nδδδ22221+++ (n ∞→) （4）式中：δi：真差（随机误差）；n ：测量次数。
但在实际应用中，真差δi往往是不可知的，而常根据有限个测量值的残差v 来求取随机测量误差方差的估计值σ2x ，开方，得1222212-+++=n v v v nxσ（5）式5称为贝塞尔（Bessel ）公式，称为试验标准差，即是标准差σ的估计值。
5、随机误差的正态分布：正态分布是随机误差的一种重要分布。
实践表明，在大多数情况下，在测量过程中,产生的误差服从正态分布。
正态分布的分布曲线例子如图1所示， 图1的matlab 程序如为：>> x=0:0.02:5;y=1/(.5*sqrt(2*pi))*exp((x*2.5).^2/(2*.5^2));plot(x,y)ylim{[0,1]};xlim{[0,5]} xlabel('x'),ylabel('y')图一其分布密度函数为y=f(x)=eu x σπσ2)(2122--（6）式中，y ：概率密度；x ：随机变量；σ ：标准差；u ：理论均值或随机变量x 的数学期望。
Matlab中常用的数值计算误差分析方法
Matlab中常用的数值计算误差分析方法近年来，数值计算在科学与工程领域的应用日益广泛。
然而，由于计算机在数值计算过程中的有限精度，数值计算结果会引入一定的误差。
为了准确评估数值计算的结果，我们需要进行误差分析，以了解数值计算的精度和稳定性。
在Matlab 中，有许多常用的数值计算误差分析方法，下面将逐一介绍。
1. 舍入误差分析舍入误差是由于计算机在存储和处理实数时所引入的误差。
在Matlab中，可以使用符号计算工具箱来分析舍入误差。
我们可以通过使用符号变量代替具体数值，然后比较符号计算和数值计算的结果，以评估舍入误差的影响。
例如，我们可以考虑计算数值积分的情况。
在Matlab中，我们可以使用积分函数进行数值积分，但结果可能会受到舍入误差的影响。
通过使用符号变量来表示积分函数，并比较符号计算和数值计算结果，我们可以评估数值积分的精度和稳定性。
2. 截断误差分析截断误差是由于数值计算过程中对无限级数或无穷级数进行截断而引入的误差。
在Matlab中，可以通过增加计算步骤，以达到更高的精度和稳定性来分析截断误差。
例如，考虑使用Taylor级数展开来计算某个函数的值。
在Matlab中，我们可以指定展开的阶数，并比较不同阶数的展开结果，以评估截断误差的影响。
通过逐步增加阶数，我们可以逐渐减小截断误差，获得更加精确的结果。
3. 条件数分析条件数是用来衡量由于输入数据微小变动引起的输出数据相对误差的增长程度的因子。
在Matlab中，可以使用矩阵的条件数来分析数值计算中的条件数。
例如，考虑解线性方程组的情况。
在Matlab中，我们可以使用线性代数函数来求解线性方程组，但数值计算的结果可能会受到条件数的影响。
通过计算矩阵的条件数，我们可以评估线性方程组解的稳定性和数值计算的精度。
4. 残差分析残差是指数值计算结果与真实值之间的差异。
在Matlab中，可以使用残差来分析数值计算的精度和稳定性。
例如，考虑拟合曲线的情况。
matlab 计算数组的误差
matlab 计算数组的误差
在MATLAB中，计算数组的误差可以采用多种方法，具体取决于你想要计算的误差类型。
以下是一些常见的计算数组误差的方法：
1. 绝对误差，绝对误差是实际值与理论值之间的差异。
在MATLAB中，你可以使用abs函数来计算数组的绝对误差。
例如，如果你有两个数组A和B，你可以使用abs(A B)来计算它们之间的绝对误差。
2. 相对误差，相对误差是绝对误差与实际值的比率。
在MATLAB中，你可以使用相似的方法来计算数组的相对误差。
例如，你可以使用abs((A B) ./ A)来计算数组A和B之间的相对误差。
3. 均方根误差（RMSE），均方根误差是实际值与理论值之间差值的平方的均值的平方根。
在MATLAB中，你可以使用以下公式来计算均方根误差，sqrt(mean((A B).^2))，其中A和B是你要比较的两个数组。
4. 最大误差，最大误差是两个数组之间的最大差值。
在MATLAB中，你可以使用max(abs(A B))来计算数组A和B之间的最
大误差。
5. 相关系数，相关系数可以用来衡量两个数组之间的相关性。
在MATLAB中，你可以使用corrcoef函数来计算两个数组之间的相关系数。
需要注意的是，计算数组的误差时，要确保两个数组的维度相同，否则可能会出现错误。
另外，根据你的具体需求，选择合适的方法来计算误差是很重要的。
希望这些信息能够帮助到你。
matlab 误差计算
matlab 误差计算Matlab是一种常用的数学软件，广泛应用于科学计算、数据分析和可视化等领域。
在进行数值计算和模拟过程中，误差是一个不可避免的问题。
本文将探讨如何使用Matlab来计算和分析误差，并提供一些常见的误差计算方法和技巧。
误差是指实际值与理论值之间的差异。
在科学研究和工程应用中，我们往往需要对实验数据和计算结果的准确性进行评估。
误差计算是评估准确性的一种重要方法，它可以帮助我们了解实际值与理论值之间的差异程度，从而判断计算或测量结果的可靠性。
在Matlab中，可以使用多种方法来进行误差计算。
下面将介绍一些常见的误差计算方法和其在Matlab中的实现。
1. 绝对误差计算绝对误差是指实际值与理论值之间的差的绝对值。
在Matlab中，可以使用abs函数来计算绝对误差。
例如，假设实际值为x，理论值为y，可以使用abs(x-y)来计算绝对误差。
2. 相对误差计算相对误差是指实际值与理论值之间的差除以理论值的绝对值。
在Matlab中，可以使用relerr函数来计算相对误差。
例如，假设实际值为x，理论值为y，可以使用abs(x-y)/abs(y)来计算相对误差。
3. 百分比误差计算百分比误差是指实际值与理论值之间的差除以理论值的绝对值再乘以100。
在Matlab中，可以使用percenterr函数来计算百分比误差。
例如，假设实际值为x，理论值为y，可以使用abs(x-y)/abs(y)*100来计算百分比误差。
4. 均方根误差计算均方根误差是指实际值与理论值之间的差的平方的平均值的平方根。
在Matlab中，可以使用rms函数来计算均方根误差。
例如，假设实际值为x，理论值为y，可以使用sqrt(mean((x-y).^2))来计算均方根误差。
5. 最大误差计算最大误差是指实际值与理论值之间差的绝对值的最大值。
在Matlab 中，可以使用maxerr函数来计算最大误差。
例如，假设实际值为x，理论值为y，可以使用max(abs(x-y))来计算最大误差。
matlab误差
matlab误差Matlab是一种用于数值计算和科学数据可视化的强大工具。
然而，使用Matlab进行计算时，误差是一个不可避免的问题。
本文将探讨Matlab误差的原因以及如何解决这些问题。
让我们来看看Matlab误差的来源。
一方面，计算机的计算能力是有限的，它使用二进制表示数字，因此在进行浮点数计算时，会出现舍入误差。
另一方面，由于算法和数值计算方法的不同，也会导致误差的产生。
例如，在数值积分中使用的数值方法可能会导致近似误差的产生。
为了解决这些误差问题，我们可以采取一些策略。
首先，我们可以通过增加计算精度来减小误差。
在Matlab中，我们可以使用"format long"命令来增加计算精度。
这将使得Matlab将结果以更高的精度显示出来，从而减小舍入误差的影响。
我们可以使用更稳定的数值计算方法来减小误差。
例如，当计算导数时，可以使用数值微分方法而不是直接使用差分公式。
这样可以减小舍入误差的影响，并提高计算结果的准确性。
我们还可以通过增加计算的迭代次数来减小误差。
例如，在解方程时，可以使用迭代方法，如牛顿迭代法或二分法。
这些方法可以通过多次迭代来逼近方程的解，从而减小误差。
除了上述方法外，我们还可以通过使用更高级的数值计算工具箱来减小误差。
Matlab提供了许多数值计算工具箱，如优化工具箱、符号计算工具箱等，这些工具箱可以提供更准确和稳定的计算结果。
Matlab误差是在计算过程中不可避免的。
然而，通过采取适当的策略和方法，我们可以减小误差的影响，并获得更准确和可靠的计算结果。
无论是增加计算精度、使用稳定的数值计算方法还是使用更高级的数值计算工具箱，都可以帮助我们解决Matlab误差问题，提高计算的准确性。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
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1 第一章作业
1.对一个数求和100000次。
对数1以单精度方式求和，对数0.00001分别以单精度和双精
度方式求和。
问题分析：单精度方式使用函数single()，双精度求和为matlab自动调整，不需要特别说明。
程序编写如下：
运行结果：
实验结果分析：
不难看出，对于1进行单精度求和得到的结果和期望值一致，但是对0.00001进行单精
度求和的结果却存在误差，对0.00001进行双进度求和，误差得到减小。
这是由于量化误差
造成的，0.00001在计算机中并不能准确表示，只能对其进行量化处理，得到一个和真值有
一点区别的量化值，小量计算中可以忽略，但在计算了100000后误差积累，导致了最后的
结果误差较大。
双精度的情况下，该误差小得多。
当x=0.1时，从1x -开始，然后每次加入一项来分别计算。
在每加入一个新项后，计算近似百分比相对误差，直到近似误差估计值的绝对值小于与五位有效数字一致的误差准则时停止计算。
问题分析：
本例中，要保证5位有效数字，因此容限误差为：
25
6s (0.510)%510--ε=⨯=⨯
近似百分比误差为： -100%a ε=⨯当前近似值前一近似值
当前近似值
真误差为：
-100%ε=⨯真值近似值
真值
跳出循环的标准为：a |s |ε<ε
程序编写如下：
运行结果如下：
3
实验结果分析：
实验结果表明，当计算到第6次时，近似误差就已经小于了容限值，循环结束。
随着添
加多的项数，实际误差和近似误差都减小了，说明了计算精度在逐步提高。
我们可以通过改
的值来调节所需要的计算精度。
变
s。