2021届人教版高考物理一轮复习课件-常见的圆周运动动力学模型
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A．球 A 的线速度必定大于球 B 的线速度 B．球 A 的角速度必定等于球 B 的角速度 C．球 A 的运动周期必定小于球 B 的运动周期 D．球 A 对筒壁的压力必定大于球 B 对筒壁的压力
答案
解析 以 A 为例对小球进行受力分析，可得支持力和重力的合力充当 向心力，设圆锥筒的锥角为 θ，则 FN＝smingθ，Fn＝tmangθ＝mvr2＝mω2r＝m4Tπ22 r，A、B 质量相等，A 做圆周运动的半径大于 B 做圆周运动的半径，所以 球 A 的线速度必定大于球 B 的线速度，球 A 的角速度必定小于球 B 的角速 度，球 A 的运动周期必定大于球 B 的运动周期，球 A 对筒壁的压力必定等 于球 B 对筒壁的压力，A 正确，B、C、D 错误。
解析
2. 如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做 圆周运动，内侧壁半径为 R，小球半径为 r，则下列说法 中正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度 vmin＝ gR＋r B．小球通过最高点时的最小速度 vmin＝ gR C．小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作 用力 D．小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作 用力
对于这类动态变化的问题，关键是找到临界状态，作受力分析。
2．四种临界条件 (1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力 FN ＝0。 (2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且相对静止时，常存在着静摩 擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。 (3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳 子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛 的临界条件是：FT＝0。 (4)运动趋势方向变化的临界条件：静摩擦力为 0。
(2)轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运 动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。 其特点是在最高点有支撑。
2．竖直面内圆周运动的两个基本模型的比较 轻绳模型
轻杆模型
情景图示
受力 除重力外，物体可能受到向 除重力外，物体可能受到向下、
最 特征 下或等于零的弹力
第四章 曲线运动
第20讲 常见的圆周 运动动力学模型
能力命题点一 水平面内的圆周 运动
1．向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种 力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再 另外添加一个向心力。
2．几种典型的运动模型 运动模型
飞机水平转弯
解得 ω0＝ lcogsθ＝522 rad/s。
解析 答案
(2)当细线与竖直方向成 60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及 向心力公式得 mgtan60°＝mω′2lsin60°
解得 ω′＝ lcosg60°＝2 5 rad/s。
解析
求解圆周运动问题的“一、二、三、四”
1．(2019·北京期末)(多选)如图所示，一个内壁光滑的 圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质 量相同的小球 A 和 B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面 内做匀速圆周运动，则下列说法不正确的是( )
解析
能力命题点三 水平面、斜面内 的圆周运动临界问题
1．水平面内的圆周运动的临界问题 如下图，在水平面内做圆周运动的物体，提供向心力的可能是绳子的 拉力、摩擦力等及它们的合力或分力。 当角速度变化时，物体有远离圆心或向着圆心运动的趋势，从而出现 临界情况。当角速度 ω 增大时，图 a 中绳子 BC 可能由松驰变为绷紧，甚 至断裂；图 b 斜面的支持力变为零时物体将脱离斜面；图 c 静摩擦力达到 最大时木块开始滑动；图 c、图 d 木块或小球受到的静摩擦力的方向可能发 生变化。
答案
解析 如图所示为火车车轮在转弯处的受力示意图，轨道的外轨高于内 轨，在此转弯处规定的火车行驶速度为 v，则当转弯的实际速度大于规定速 度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有 离心运动的趋势，故其外侧车轮轮缘会与外轨相互 挤压，A 正确；当转弯的实际速度小于规定速度时， 火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心 力，火车有近心运动的趋势，故其内侧车轮轮缘会 与内轨相互挤压，B 错误；
O
wk.baidu.com
点，另一端系一个小球(可视为质点)。小球以 O 为圆心在竖
直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g 为重力加速度。
下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时速度可能小于 gL
B．小球通过最高点时所受轻杆的作用力不可能为零
C．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大
D．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小
3．斜面上圆周运动的临界问题 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控 制、轻绳控制、轻杆控制，物体的受力情况和临界条件也不相同。 (1)静摩擦力控制下的圆周运动
(2)轻绳控制下的圆周运动
(3)轻杆控制下的圆周运动
B．4
3
3 mg
C．3mg
D．2 3mg 答案
解析 设小球在竖直面内做圆周运动的半径为 r，小球运动到最高点时 轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为 θ＝30°，则有 r＝Lcosθ＝ 23L。根据题 述，小球在最高点速率为 v 时，两根绳的拉力恰好均为零，有 mg＝mvr2； 小球在最高点速率为 2v 时，设每根绳的拉力大小为 F，则有 2Fcosθ＋mg ＝m2rv2，联立解得 F＝ 3mg，A 正确。
解析 答案
(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图 乙，由牛顿第二定律得
F3－mg＝mvR32③ 又 F3≤45 N④ 联立③④式得 v3≤4 2 m/s，所以小球的速度不能超过 4 2 m/s。
解析
模型 2 轻杆模型
[例 2] 如图所示，轻杆长为 L，一端固定在水平轴上的
1．概述 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向 在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅改变速度的方向，还改变速 度的大小，所以一般不研究任意位置的情况，常常研究的是特殊的位置—— 最高点、最低点和与圆心等高的位置。竖直平面内的圆周运动一般可以分 为两类：
(1)轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似 轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是 在最高点无支撑。
解析
2．(2019·北京期末)如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道 的外轨高于内轨，在此转弯处规定的火车行驶速度为 v，则( )
A．若火车通过此弯道时速度大于 v，则火车的轮缘会挤压外轨 B．若火车通过此弯道时速度小于 v，则火车的轮缘会挤压外轨 C．若火车通过此弯道时行驶速度等于 v，则火车的轮缘会挤压外轨 D．若火车通过此弯道时行驶速度等于 v，则火车对轨道的压力小于火 车的重力
1. 如图所示，长均为 L 的两根轻绳一端共同系住质量
为 m 的小球，另一端分别固定在等高的 A、B 两点，A、B
两点间的距离也为 L。重力加速度大小为 g。现使小球在竖
直平面内以 AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为 v
时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为 2v
时，每根绳的拉力大小为( ) A． 3mg
最高点的速度 v≥ gR
最高点的速度 v≥0
过最低点 受力分析
轻绳模型
轻杆模型
FT－mg＝mvR2，轻绳或圆轨 FT－mg＝mvR2，存在对杆拉力 道受拉力或压力最大，存在
或对管压力最大值问题 绳断的临界条件
注：汽车过凸形拱桥最高点相当于杆只有支持力而没有压力的情况， 此时 mg－FN＝mvR2，过最高点的临界条件是 FN＝0 时，v＝ gR。
答案
解析 因是在圆形管道内做圆周运动，所以在最高点时，内壁可以给 小球沿半径向外的支持力，所以小球通过最高点时的最小速度为零，故 A、 B 错误；小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，竖直向下的重力沿半径方 向的分力沿半径方向向外，小球的向心力沿半径指向圆心，小球与外壁一 定会相互挤压，所以小球一定会受到外壁的作用力，内侧管壁对小球一定 无作用力，故 C 正确；小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，当速度较小 时，重力沿半径方向上的分力大于或等于小球做圆周运动需要的向心力， 此时小球与外壁不存在相互挤压，外侧管壁对小球没有作用力，故 D 错误。
模型 1 轻绳模型 [例 1] 如图所示，一质量为 m＝0.5 kg 的小球，用长 为 0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g 取 10 m/s2，求： (1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 多大？ (2)当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力多大？ (3)若轻绳能承受的最大张力为 45 N，小球的速度不能超过多大？
火车转弯 (以规定速度行驶)
圆锥摆
飞车走壁
向心力的来源图示
如图所示，用一根长为 l＝1 m 的细线，一端系一质量 为 m＝1 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体 顶端，锥面与竖直方向的夹角 θ＝37°，当小球在水平面内 绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为 ω 时，细线的张力 为 FT(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8, g 取 10 m/s2，结果可用根 式表示)。求：
等于零或向上的弹力
高 受力
点 示意图
轻绳模型
轻杆模型
力学 方程
mg＋FT＝mvR2
mg±FN＝mvR2
临界 特征
FT＝0，即 mg＝mvRm2 in，即 vmin ＝ gR
v＝0 时 F 向＝0，即 FN＝mg
v＝ gR 物体能否过最高点的临界速度
FN 表现为拉力还是支持力的临
的意义
界速度
过最高点 的条件
解析
当火车以速度 v 通过此弯道时，火车重力与轨道支持力的合力恰好提 供向心力，内外轨都无压力，故 C 错误； 设轨道所在斜面的倾角为 θ，当 火车以速度 v 通过此弯道时，由受力可知，Ncosθ＝mg，解得：N＝cmosgθ， 所以火车对轨道的压力大于火车的重力，故 D 错误。
解析
能力命题点二 竖直面内的圆周 运动
解析
解题技巧 (1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的 临界条件不同。 (2)确定临界点：抓住绳模型中在最高点 v≥ gR及杆模型中在最高点 v≥0 这两个临界条件。 (3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低 点的运动情况。 (4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第 二定律列出方程：F 合＝F 向。 (5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系 起来列方程。
答案
解析 小球在最高点时，杆对球可以表现为支持力，由牛顿第二定律 得：mg－F＝mvL2，则得 v＝ gL－FmL< gL，故 A 正确。当小球通过最高 点的速度为 gL时，由重力提供向心力，杆的作用力为零，故 B 错误。在 最高点轻杆对小球的作用力可以表现为拉力，此时根据牛顿第二定律有 mg ＋F＝mvL2，则知 v 越大，F 越大，即随小球速度的增大，杆的拉力增大； 小球通过最高点时杆对球的作用力也可以表现为支持力，当表现为支持力 时，有 mg－F＝mvL2，则知 v 越大，F 越小，即随小球速度的增大，杆的支 持力减小，故 C、D 错误。
答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4 2 m/s 解析 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得 mg ＋F1＝mvR2① 由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即 F1 不可能取负值，亦即 F1≥0② 联立①②式得 v≥ gR 代入数值得 v≥2 m/s 所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s。
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度 ω0 至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为 60°，则小球的角速度 ω′为多大？
52 答案 (1) 2 rad/s (2)2 5 rad/s 解析 (1)小球刚好离开锥面时，小球受到重力和细线拉力，如图所示。
小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方 向运用牛顿第二定律及向心力公式得 mgtanθ＝mω02lsinθ
答案
解析 以 A 为例对小球进行受力分析，可得支持力和重力的合力充当 向心力，设圆锥筒的锥角为 θ，则 FN＝smingθ，Fn＝tmangθ＝mvr2＝mω2r＝m4Tπ22 r，A、B 质量相等，A 做圆周运动的半径大于 B 做圆周运动的半径，所以 球 A 的线速度必定大于球 B 的线速度，球 A 的角速度必定小于球 B 的角速 度，球 A 的运动周期必定大于球 B 的运动周期，球 A 对筒壁的压力必定等 于球 B 对筒壁的压力，A 正确，B、C、D 错误。
解析
2. 如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做 圆周运动，内侧壁半径为 R，小球半径为 r，则下列说法 中正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度 vmin＝ gR＋r B．小球通过最高点时的最小速度 vmin＝ gR C．小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作 用力 D．小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作 用力
对于这类动态变化的问题，关键是找到临界状态，作受力分析。
2．四种临界条件 (1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力 FN ＝0。 (2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且相对静止时，常存在着静摩 擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。 (3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳 子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛 的临界条件是：FT＝0。 (4)运动趋势方向变化的临界条件：静摩擦力为 0。
(2)轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运 动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。 其特点是在最高点有支撑。
2．竖直面内圆周运动的两个基本模型的比较 轻绳模型
轻杆模型
情景图示
受力 除重力外，物体可能受到向 除重力外，物体可能受到向下、
最 特征 下或等于零的弹力
第四章 曲线运动
第20讲 常见的圆周 运动动力学模型
能力命题点一 水平面内的圆周 运动
1．向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种 力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再 另外添加一个向心力。
2．几种典型的运动模型 运动模型
飞机水平转弯
解得 ω0＝ lcogsθ＝522 rad/s。
解析 答案
(2)当细线与竖直方向成 60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及 向心力公式得 mgtan60°＝mω′2lsin60°
解得 ω′＝ lcosg60°＝2 5 rad/s。
解析
求解圆周运动问题的“一、二、三、四”
1．(2019·北京期末)(多选)如图所示，一个内壁光滑的 圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质 量相同的小球 A 和 B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面 内做匀速圆周运动，则下列说法不正确的是( )
解析
能力命题点三 水平面、斜面内 的圆周运动临界问题
1．水平面内的圆周运动的临界问题 如下图，在水平面内做圆周运动的物体，提供向心力的可能是绳子的 拉力、摩擦力等及它们的合力或分力。 当角速度变化时，物体有远离圆心或向着圆心运动的趋势，从而出现 临界情况。当角速度 ω 增大时，图 a 中绳子 BC 可能由松驰变为绷紧，甚 至断裂；图 b 斜面的支持力变为零时物体将脱离斜面；图 c 静摩擦力达到 最大时木块开始滑动；图 c、图 d 木块或小球受到的静摩擦力的方向可能发 生变化。
答案
解析 如图所示为火车车轮在转弯处的受力示意图，轨道的外轨高于内 轨，在此转弯处规定的火车行驶速度为 v，则当转弯的实际速度大于规定速 度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有 离心运动的趋势，故其外侧车轮轮缘会与外轨相互 挤压，A 正确；当转弯的实际速度小于规定速度时， 火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心 力，火车有近心运动的趋势，故其内侧车轮轮缘会 与内轨相互挤压，B 错误；
O
wk.baidu.com
点，另一端系一个小球(可视为质点)。小球以 O 为圆心在竖
直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g 为重力加速度。
下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时速度可能小于 gL
B．小球通过最高点时所受轻杆的作用力不可能为零
C．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大
D．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小
3．斜面上圆周运动的临界问题 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控 制、轻绳控制、轻杆控制，物体的受力情况和临界条件也不相同。 (1)静摩擦力控制下的圆周运动
(2)轻绳控制下的圆周运动
(3)轻杆控制下的圆周运动
B．4
3
3 mg
C．3mg
D．2 3mg 答案
解析 设小球在竖直面内做圆周运动的半径为 r，小球运动到最高点时 轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为 θ＝30°，则有 r＝Lcosθ＝ 23L。根据题 述，小球在最高点速率为 v 时，两根绳的拉力恰好均为零，有 mg＝mvr2； 小球在最高点速率为 2v 时，设每根绳的拉力大小为 F，则有 2Fcosθ＋mg ＝m2rv2，联立解得 F＝ 3mg，A 正确。
解析 答案
(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图 乙，由牛顿第二定律得
F3－mg＝mvR32③ 又 F3≤45 N④ 联立③④式得 v3≤4 2 m/s，所以小球的速度不能超过 4 2 m/s。
解析
模型 2 轻杆模型
[例 2] 如图所示，轻杆长为 L，一端固定在水平轴上的
1．概述 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向 在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅改变速度的方向，还改变速 度的大小，所以一般不研究任意位置的情况，常常研究的是特殊的位置—— 最高点、最低点和与圆心等高的位置。竖直平面内的圆周运动一般可以分 为两类：
(1)轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似 轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是 在最高点无支撑。
解析
2．(2019·北京期末)如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道 的外轨高于内轨，在此转弯处规定的火车行驶速度为 v，则( )
A．若火车通过此弯道时速度大于 v，则火车的轮缘会挤压外轨 B．若火车通过此弯道时速度小于 v，则火车的轮缘会挤压外轨 C．若火车通过此弯道时行驶速度等于 v，则火车的轮缘会挤压外轨 D．若火车通过此弯道时行驶速度等于 v，则火车对轨道的压力小于火 车的重力
1. 如图所示，长均为 L 的两根轻绳一端共同系住质量
为 m 的小球，另一端分别固定在等高的 A、B 两点，A、B
两点间的距离也为 L。重力加速度大小为 g。现使小球在竖
直平面内以 AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为 v
时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为 2v
时，每根绳的拉力大小为( ) A． 3mg
最高点的速度 v≥ gR
最高点的速度 v≥0
过最低点 受力分析
轻绳模型
轻杆模型
FT－mg＝mvR2，轻绳或圆轨 FT－mg＝mvR2，存在对杆拉力 道受拉力或压力最大，存在
或对管压力最大值问题 绳断的临界条件
注：汽车过凸形拱桥最高点相当于杆只有支持力而没有压力的情况， 此时 mg－FN＝mvR2，过最高点的临界条件是 FN＝0 时，v＝ gR。
答案
解析 因是在圆形管道内做圆周运动，所以在最高点时，内壁可以给 小球沿半径向外的支持力，所以小球通过最高点时的最小速度为零，故 A、 B 错误；小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，竖直向下的重力沿半径方 向的分力沿半径方向向外，小球的向心力沿半径指向圆心，小球与外壁一 定会相互挤压，所以小球一定会受到外壁的作用力，内侧管壁对小球一定 无作用力，故 C 正确；小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，当速度较小 时，重力沿半径方向上的分力大于或等于小球做圆周运动需要的向心力， 此时小球与外壁不存在相互挤压，外侧管壁对小球没有作用力，故 D 错误。
模型 1 轻绳模型 [例 1] 如图所示，一质量为 m＝0.5 kg 的小球，用长 为 0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g 取 10 m/s2，求： (1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 多大？ (2)当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力多大？ (3)若轻绳能承受的最大张力为 45 N，小球的速度不能超过多大？
火车转弯 (以规定速度行驶)
圆锥摆
飞车走壁
向心力的来源图示
如图所示，用一根长为 l＝1 m 的细线，一端系一质量 为 m＝1 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体 顶端，锥面与竖直方向的夹角 θ＝37°，当小球在水平面内 绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为 ω 时，细线的张力 为 FT(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8, g 取 10 m/s2，结果可用根 式表示)。求：
等于零或向上的弹力
高 受力
点 示意图
轻绳模型
轻杆模型
力学 方程
mg＋FT＝mvR2
mg±FN＝mvR2
临界 特征
FT＝0，即 mg＝mvRm2 in，即 vmin ＝ gR
v＝0 时 F 向＝0，即 FN＝mg
v＝ gR 物体能否过最高点的临界速度
FN 表现为拉力还是支持力的临
的意义
界速度
过最高点 的条件
解析
当火车以速度 v 通过此弯道时，火车重力与轨道支持力的合力恰好提 供向心力，内外轨都无压力，故 C 错误； 设轨道所在斜面的倾角为 θ，当 火车以速度 v 通过此弯道时，由受力可知，Ncosθ＝mg，解得：N＝cmosgθ， 所以火车对轨道的压力大于火车的重力，故 D 错误。
解析
能力命题点二 竖直面内的圆周 运动
解析
解题技巧 (1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的 临界条件不同。 (2)确定临界点：抓住绳模型中在最高点 v≥ gR及杆模型中在最高点 v≥0 这两个临界条件。 (3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低 点的运动情况。 (4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第 二定律列出方程：F 合＝F 向。 (5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系 起来列方程。
答案
解析 小球在最高点时，杆对球可以表现为支持力，由牛顿第二定律 得：mg－F＝mvL2，则得 v＝ gL－FmL< gL，故 A 正确。当小球通过最高 点的速度为 gL时，由重力提供向心力，杆的作用力为零，故 B 错误。在 最高点轻杆对小球的作用力可以表现为拉力，此时根据牛顿第二定律有 mg ＋F＝mvL2，则知 v 越大，F 越大，即随小球速度的增大，杆的拉力增大； 小球通过最高点时杆对球的作用力也可以表现为支持力，当表现为支持力 时，有 mg－F＝mvL2，则知 v 越大，F 越小，即随小球速度的增大，杆的支 持力减小，故 C、D 错误。
答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4 2 m/s 解析 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得 mg ＋F1＝mvR2① 由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即 F1 不可能取负值，亦即 F1≥0② 联立①②式得 v≥ gR 代入数值得 v≥2 m/s 所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s。
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度 ω0 至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为 60°，则小球的角速度 ω′为多大？
52 答案 (1) 2 rad/s (2)2 5 rad/s 解析 (1)小球刚好离开锥面时，小球受到重力和细线拉力，如图所示。
小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方 向运用牛顿第二定律及向心力公式得 mgtanθ＝mω02lsinθ