人教版初二(上)数学第39讲：乘法公式(教师版)——东直门吴伟伟(1)

乘法公式

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1、会用平方差公式22

()()a b a b a b +-=- 进行计算；

2、会用完全平方公式22()2a b a ab b ±=±+ 进行计算；

3、乘法公式的正向、逆向的灵活应用.

1．平方差公式

_________ ___，这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 形如a b +的多项式与形如a b -的多项式相乘，由于

2222()()a b a b a ab ab b a b +-=-+-=-，

所以对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出计算结果，即

22()()a b a b a b +-=-.

2. 平方差公式

_________ ___，这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 形如2

()a b ±的多项式相乘，由于 22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=+-=+++=++，

22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b -=--=--+=-+，

所以对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出计算结果，即

222()2a b a ab b +=++，

222()2a b a ab b -=-+.

3.添括号法则

乘法公式计算时，去括号法则，即

()a b c a b c ++=++；

()a b c a b c -+=--.

反过来，就得到添括号法则：

()a b c a b c ++=++；

()a b c a b c --=-+.

也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都_______符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_______符号.

参考答案：

1.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差

2.两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍

3.不变 改变

1、运用平方差公式计算

【例1】（1）(32)(32)x x +-； （2）(23)(23)a b c a b c ++--

【解析】（1）中，可以把3x 看成a ，2看成b ，即

22(32)(32)(3)2x x x +-=-.

22()()a b a b a b +-=-

（2）中，将23b c +结合，再运用平方差公式计算.

解：（1）(32)(32)x x +-

=22

(3)2x -

=294x - （2）(23)(23)a b c a b c ++--

=[(23)][(23)]a b c a b c ++-+

=22

(23)a b c -+.

总结：运用平方差公式计算时，公式中的a 和b 可以表示单项式，也可以是多项式.

练1.已知223x y -=，求22()()x y x y +-的值.

【解析】观察求解的式子，现运用幂运算的逆运算，再运用平方差，即可求解．

解： 22()()x y x y +-

=2[()()]x y x y +-

=222()x y -

=23

=9

2．利用平方差公式巧算

【例2】计算102×98．

【解析】将102变形成100+2，将98变形成100-2，再运用平方差公式计算，即可求解.

解：102×98=（100+2）（100-2）

=1002-22

=9996.

总结：有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式.

练2.计算1110099

22⨯ 【解析】将11002变形成11002+，将1992变形成1992+，再运用平方差公式计算，即可求解. 解：111009922⨯=（11002+）（1992

+） =221100()2-=1100004

- =399994

练3.计算24(1)(1)(1)(1)x x x x ++-+

【解析】先将(1)(1)x x +-运用平方差公式，再与2(1)x +、最后与4

(1)x +运用平方差公式，即可求解．

解：24(1)(1)(1)(1)x x x x ++-+

=24(1)(1)(1)(1)x x x x +-++=224(1)(1)(1)x x x -++

=44(1)(1)x x -+=81x -.

练4. （2015秋•岳麓区月考）计算：24816

(21)(21)(21)(21)(21)1++++++.

【解析】将多项式增加(21)-后，可以运用平方差公式，即可求解.

解: 24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++

=24816(21)(21)(21)(21)(21)(21)1-++++++

=224816(21)(21)(21)(21)(21)1-+++++

=44816(21)(21)(21)(21)1-++++

=8816(21)(21)(21)1-+++=1616(21)(21)1+++

=32(21)1-+=322

3．运用完全平方公式计算

【例3】计算（1）2(4)m n +； （2）(23)(23)x y x y +--+

【解析】直接运用完全平方公式计算．

解：（1）2(4)m n +=22(4)2(4)m m n n ++

=22168m mn n ++．

（2）(23)(23)x y x y +--+

=[(23)][(23)]x y x y +---

=22(23)x y --

=22(4129)x y y --+

=224129x y y -+-

总结：

（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，

就可以用公式计算；

（2）在利用此公式计算时，勿丢掉中间项“2ab ”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍. 练6．若22294(32)x y x y M +=++，则M 为（ ）

A ．6xy

B ．6xy -

C ．12xy

D ．12xy -